Một số ứng dụng của hàm suy rộng

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Trần Văn Bằng

LỜI CẢM ƠN
Khóa luận tốt nghiệp này là bước đầu tiên giúp em làm quen với việc
nghiên cứu khoa học. Trước sự bỡ ngỡ khi bất đầu công việc và gặp nhiều
khó khăn khi mới làm quen với công tác nghiên cứu khoa học, em đã nhận
được sự động viên và giúp đỡ tận tình, tỉ mỉ của các thầy cô giáo và các bạn
sinh viên trong khoa.
Đặc biệt em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến Tiến sĩ Trần văn Bằng đã
giúp đỡ hướng dẫn tận tình để em hoàn thành khóa luận này.
Em xin gửi lời cảm ơn đến Ban chủ nhiệm khoa Toán đã tạo điều kiện
cho em có cơ hội làm quen với việc nghiên cứu khoa học.
Em xin chân thành cảm ơn!
Sinh viên
Lê Thị Hà

SVTH: LÊ THỊ HÀ

1

K32-CN TOÁN


LỜI CAM ĐOAN
Em xin cam kết đề tài „„Một số ứng dụng của hàm suy rộng‟‟ là kết
quả nghiên cứu của riêng em dưới sự hướng dẫn của thầy giáo - Tiến sĩ Trần
Văn Bằng - Khoa Toán - Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2. Đề tài này
không hề sao chép từ bất kì một tài liệu có sẵn nào. Và kết quả nghiên cứu
không hề trùng lặp với kết quả nào.

Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm!
Sinh viên
LÊ THỊ HÀ


MỤC LỤC
Mở đầu............................................................................................................4
Chương 1: Hàm Thử Gauss..........................................................................5
1.1. Không gian của những hàm thử......................................................5
1.2. Vai trò không gian các hàm thử Gauss...........................................7
1.3. Một số tính chất của hàm thử Gauss............................................10
Chương 2 :Hàm suy rộng............................................................................14
2.1. Hàm số..........................................................................................14
2.2. Hàm suy rộng............................................................................... 15
2.3. Đại số cơ bản của hàm suy rộng...................................................18
2.4. Một số dãy của hàm liên tục.........................................................21
Chương 3: Phép biến đổi cơ bản của giải tích Fourier suy rộng...............23
3.1.Phép biến đổi Fourier.....................................................................23
3.2. Phép tịnh tiến suy rộng.................................................................27
3.3. Đạo hàm suy rộng.........................................................................29
Chương 4: Ứng dụng hàm suy rộng...........................................................33
4.1. Những cơ sở trong cách giải phương trình đại số đơn giản..........33
4.2. Phương trình thuần nhất với nhân tử đa thức...............................36
4.3. Phương trình không thuần nhất với nhân tử đa thức....................39
4.4. Hàm cực....................................................................................... 42
4.5. Phép biến đổi, tích và nghiệm trong hàm cực..............................46
KẾT LUẬN.................................................................................................. 51
TÀI LIỆU THAM KHẢO...........................................................................52

LỜI MỞ ĐẦU
Hàm suy rộng xuất hiện vào thế kỷ XX trong các công trình của Dirac
về cơ học lượng tử và nhà toán học L.Shwartz đã góp phần quan trọng vào
việc nghiên cứu các phương trình đạo hàm riêng. Do nghiệm của phương
trình đạo hàm riêng nói chung, phương trình đạo hàm riêng tuyến tính nói
riêng thường không tồn tại toàn cục nên nhu cầu mở rộng khái niệm nghiệm
cho phương trình đạo hàm riêng ngày càng trở nên bức thiết.
Sự ra đời của lý thuyết hàm suy rộng có nhiều ứng dụng trong vật lý và
lý thuyết đạo hàm riêng, đặc biệt góp phần giải quyết những vấn đề về lý
thuyết của phương trình đạo hàm riêng tuyến tính, trong khi đó những hiểu
biết về hàm suy rộng vẫn còn xa lạ và mới mẻ đối với sinh viên.
Với mong muốn được nghiên cứu và tìm hiểu sâu hơn về vấn đề này và
bắt đầu làm quen với công việc nghiên cứu khoa học em đã chọn đề tài: "Một
số ứng dụng của hàm suy rộng".
Nội dung khóa luận gồm 3 phần
Phần 1: Mở đầu
Phần 2: Nội dung
Chương 1: Hàm Thử Gauss
Chương 2: Hàm suy rộng
Chương 3: Phép biến đổi cơ bản của giải tích Fourier suy rộng
Chương 4: Ứng dụng hàm suy rộng
Phần 3: Kết luận


Chƣơng 1
HÀM THỬ GAUSS
1.1. KHÔNG GIAN CỦA NHỮNG HÀM THỬ
1.1.1. Những hàm thử Gauss cơ bản.
Định nghĩa 1. Một hàm trên  được gọi là một hàm thử Gauss cơ bản nếu và
chỉ nếu nó có dạng.

φ, trong đó
=
n
x


Α,ζ ∈

2

 ;n∈ > 0 (1.1)
.
+ ,γ

Định nghĩa 2. Hàm g xác định trên  được gọi là hàm Gauss khi và chỉ khi
2

g

( x)

= Ae

trong đó A,ξ ,γ là hằng A,ξ
số,
∈

−γ

(

x−ξ

)

,γ ∈ .

Định nghĩa 3. Cho f là hàm số xác định trên  , f là hàm mũ khả tích khi và
và có một giá trị β ∈

chỉ khi nó liên tục trên từng phần trên 
sao cho
f

là khả tích tuyệt đối.

( x)e
x

Bổ đề 1. Cho φ là một hàm trên  . Khi đó các mệnh đề sau tương đương:
1. φ là hàm thử Gauss cơ bản.
2. Có một hằng số, > 0, n ∈

+

γ

2

φ(x)

;Α, ζ ∈ sao cho:

với −∞ < x < ∞ .

n −γ (
= Ax e
x−ζ )

3. Có một hằng số γ > 0 ; n ∈
sao cho:
2

φ(x) =

+

, Β∈ ;a, λ ∈

với −∞ < x < ∞ .

n i λx −γ ( x−a)
Βx e e

4. γ là hằng số,γ > 0 , n∈ +;C ∈ ,b, µ ∈ sao cho:
2

φ(x) =

với −∞ < x < ∞ .

Cxneµxe−γ ( x−ib)
5. γ là hằng số,γ
> 0,

n∈

+

; σ , D∈ sao cho:


φ
=
x

với


−∞ < x < ∞ .

2


Hơn nữa, nếu cố định những dạng trên thì ta có

ζ = a + ib , λ = , µ = , σ = µ + iλ
2bγ
2aγ

2

B = Aeγ b
−i 2abγ

Bổ đề
2.

2

2

, C = Ae−γ a
2abγ

−i

D = Ae

−γζ

,

1. Mọi hàm Gauss là một hàm thử Gauss cơ bản .
2. Mọi hàm thử Gauss cơ bản là hàm bị chặn, trơn và là hàm khả tích tuyệt
đối trên  .
3. Tích của hàm thử Gauss cơ bản bất kỳ với hàm mũ khả tích bất kỳ là hàm
khả tích tuyệt đối trên  .
4. Nếu φ là một hàm thử Gauss cơ bản thì các hàm sau cũng là hàm
Gauss cơ bản.

a. φψ ở đó C,σ ∈ ; k ∈
bản bất kỳ.
k

b. Cx e

σx

+

ψ là hàm thử Gauss cơ

φ(x) ở đó C,σ ∈+ ; k ∈ .

c. φ(ax) ở
đó

*

a ∈ .

5. Nếu φ là một hàm thử Gauss cơ bản thì các hàm sau là một tổ hợp tuyến
tính của các hàm thử Gauss cơ bản.
a. φ (x − ξ ) ở đó
b. φ

(m)

c. F

ở đó m∈

+

ξ ∈ .
.

[φ

] . d.
F

-1

[φ ] .
1.1.2. Không gian các hàm thử Gauss


Định nghĩa 4. Một hàm φ trên  là một hàm thử Gauss nếu và chỉ nếu
N

φ =

∑φ

N ∈
k =1

k

+

,với

là một hàm thử Gauss cơ bản.

, φk

Tập tất cả các hàm thử Gauss kí hiệu: G.


Bổ đề 3. G là một không gian véctơ (phức).
Chứng minh.
Cho φ,ψ
∈ G, cho

a,b là hai hằng số. Khi đó ta có

K, M
∈

+

; φi , ψ i
∈ G ,

φ1,..., ; ψ1,...,ψ
φk

K

φ=

∑

Vì vậy

φk

M

và

=

∑ψ

k =1

ψ

k

m

.

k =1

aφ + bψ

K

M

N

= a ∑φk +
b ∑ψ

∑Ψ

k =1

k =1

k
k

=
.

k =1

Với N = K
+ M và
aφk ,
Ψ
=
k

k
− K

,

k = 1,
2,..., K
k = K + 1, K
+ 2,..., N

b

ψ
Ta có a là một hàm thử Gauss cơ bản.

φ
i

bψ

k −K

Do đó
Ψk
Vậy aφ
+ bψ

là một hàm thử Gauss cơ bản.

là một hàm thử Gauss cơ bản.
là một hàm thử Gauss.

(1.2)
(1.3)


1.2. VAI TRÒ CỦA KHÔNG GIAN CÁC HÀM THỬ GAUSS
Cho f và g là những hàm mũ khả tích trên  .Dễ thấy nếu f = g thì
∞

∞

∫

∫

f

(x)φ (x)dx
=

−∞

g(x)φ(x)dx
−∞

Ngược lại, nếu đẳng thức trên đúng với
∀φ ∈G thì ta có f
Vậy ta có

, ∀φ ∈G.

= g.


Định lý 1. Giả sử f và g là hai hàm mũ khả tích trên  thì f = khi và chỉ
g
kh
i

∞

∞

∫

∫

f

(x)φ (x)dx

, ∀φ ∈G

(1.4)

g(x)φ (x)dx

=

−∞

−∞

Chứng minh.
Nếu f =
thì phương trình (1.4) đúng ∀φ ∈G.
g
Ngược lại giả sử với phương trình (1.4) đúng khi φ là hàm Gauss và

{
φ
}γ

là dãy đồng nhất thức Gauss.
γ

=1

Ta có

φγ

( x)

−π

=γ e

(γ x )

2

thì với mọi t và γ ≥1, ta cũng có

∞

∞

∫ f (x)φγ (x − ∫ g(x)φγ (x −

t)dx .

t)dx =
với mỗi φγ ( x
− t)

−∞

−∞

là hàm Gauss của x .

Kết hợp với

{φ } 

là dãy đồng nhất thức với tập tất cả những hàm
γ

γ

=1

mũ khả tích cho ta
f (t

)γ =

lim

→∞

∞

∫

−∞

Với mỗi t tại đó f và g liên tục.
Vậy
f

= g.

∞

φ ( x − t ) dx
f( x)

γ
∫ =lim
.
− t ) dx = g (t )
γ

→∞
−∞

g

(

x

)φ (

x


Định lý 2. Cho f và F là hai hàm khả biến đổi Fourier cổ điển. Khi đó các
mệnh đề sau là tương đương:
1. F = F

[ f]

2. với mỗi φ ∈ G thì
∞

f ( y) F

∞

∫ F (x)φ(x)dx
= ∫

[φ ]

y

dy .

−∞
−∞

3. với mỗi ψ
∈ G thì

∞

∫F
(x)

−∞

x

F

-1

[ψ
]

dx

∞

=

∫ f ( y)ψ

−∞

( y)dy .


Chứng minh .
Nếu mệnh đề 1 đúng thì mệnh đề 2 và 3 được suy trực tiếp từ đồng nhất
thức cơ bản của giải tích Fourier.
Ta giả sử mệnh đề 2 đúng và cho φ ∈ G, áp dụng đồng nhất
thức cơ bản
của giải tích Fourier ta có
∞

∫

∞

f ( y) F

[φ ] y

=

∫ F[ f ]

x

−∞

dy

φ(x)dx .

−∞

Kết hợp với mệnh đề 2 ta có
∞

∞

∫ F (x)φ(x)dx = ∫ F [ f ]
φ(x)dx

−∞

Theo định lý 1 ta có F = F

x

,với φ ∈ G.

−∞

[ f] .

Vậy mệnh đề 1 đúng, từ mệnh đề 1 đúng ta có mệnh đề 3 cũng
đúng. Giả sử mệnh đề 3 là đúng, cho φ ∈ G và

[φ ] . Áp dụng mệnh đề
3 và tính nghịch đảo phép biến đổi Fourier ta có
∞

∞

∫F

∫F

(x)φ (x)dx

(x)

−∞

=

F

-1

x

dx

[ψ
]

−∞

∞

=

∫ f ( y)ψ ( y)dy

−∞
∞

=
Vậy mệnh đề 2 đúng.

∫

f ( y) F

[φ ] y
−∞

ψ

= F


dy .
Cũng như chứng minh trên ta chứng minh được mệnh đề 1.
Vậy định lí được chứng minh.


1.3. MỘT SỐ TÍNH CHẤT KHÁC CỦA HÀM THỬ GAUSS
1.3.1. Nhân tử đơn
Theo ý 4 của bổ đề 2 ta có.
Tích hφ là một hàm thử Gauss. Khi đó φ là hàm thử Gauss, h là
hàm thử Gauss hoặc h có dạng
h(x)
k σx
=Cx e
,

C,σ
∈

, k ∈Ζ+ ∪{0} .

Đặc biệt những tích sau
x φ(x) , e3xφ(x) , 4xei 2π
x
đều là những hàm thử Gauss. φ(x) ,
2

Hơn nữa, nếu h là tổng của

2

e

−x

φ(x)

x2 , e3x , 4xei , thì
2π x

π

2
3x
i2 x
 φ (x)
h(x)φ (x) =  x + e + 4xe
2
3x
i
= x φ(x) + e φ ( x ) + 4xe
2π x

φ ( x).

Tích hφ là tổng của những hàm thử Gauss, do đó nó là hàm thử

Gauss. Từ những lập luận trên suy ra.
Bổ đề 4. Cho h là một tổ hợp tuyến tính của những hàm có dạng

xnecxe

−γ

(

x−
2 ζ

)

, với n ∈ +
c,ζ ∈ , γ ∈
∪ {0} + ∪ {0} .
,

Thì tích hφ là một hàm thử Gauss, φ ∈ G.
Bổ đề 5.
Cho h là nhân tử đơn thuộc G. Khi đó hφ là một hàm thử Gauss,
φ ∈G.
1.3.2. Một vài tính chất giải tích phức của hàm thử Gauss
SVTH: LÊ THỊ HÀ

17

K32-CN TOÁN

Cho φ là một hàm thử Gauss cơ bản

φ ( s ) = Asnecxe
−γ

(

x−ζ

)

2

, với A,ζ
∈

,
∪{0} ,
n∈ γ >0 .
+

Nếu s là biến phức s = x
thì ta có φ ( x + iy
+ iy
) = A( x + iy )n
là hàm giải tích trên  .

e

−( x+iy−ζ

2

SVTH: LÊ THỊ HÀ

18

K32-CN TOÁN

)


Mặt khác nếu cho D,σ ∈ sao cho:
2

φ ( s Dsneσ se−γ

Thì ta có

)=

s

− ∞ < s < ∞.

,

D ( x + eσ ( x+iy)e−γ
( x+iy)

iy )n

2

n

−( x+iy−ζ

= A( x +

)

iy ) e

2

,

∀ x+
iy∈  .

Điều đó cho thấy, ta có thể coi các hàm thử Gauss là các hàm biền phức
giải tích. Lúc đó để phân biệt với hàm biến thực ta sẽ thêm chữ E vào để chỉ
rõ đó là hàm biến phức.

φE ( x + iy) = A( x

e

−( x+iy−ζ

)

2

.

+ iy )n
αx

1.3.3. Đánh giá đối với hàm thử

e

Cho φ ∈ G, α ∈ . Xét hàm
trên  cho bởi :

Ta có eα xφ
x) ,

(

e −α
x

φ ( x).

là những hàm thử Gauss. Do hàm thử Gauss

φ(x

)
là một hàm bị chặn trên  nên ∃M , > 0, hữu hạn sao cho
α
∀x∈ , ta có.
Mα

e

α x

φ
( x)

=

{

, x≤0
e

φ( x )
e

αx

−α x

{

φ( x ) ,

0≤
x

M

}

, x≤0

≤
α

}

=
M

Mα , 0≤x

α


Bổ đề 6. Với mỗi φ ∈ G, ∃Mα , > 0, hữu hạn sao cho:
α ∈ ,
Mα

φ ( x) ≤
α

M e

, ∀x ∈ .

−α x

1.3.4. Chuẩn và toán tử liên tục

:
- chuẩn của φ được kí hiệu bởi α
φ

Cho φ ∈ G,
α∈ + ∪ 0 .

α

, − ∞ < x < ∞, − α ≤ y

φα= max {φ ( x

≤ α

+ iy) ex

2

Ví dụ. Tính φ khi
:

φ ( x)
=e

α

,

}

α = 4.

−x

Ta thấy, ∀x, y ∈ ta có
−( x+iy

e
e

)

2

(

− x2 − y2
+i 2 xy

=

)

2
−
y2 x

= ee
e

−i
xy 2

− x2 y 2

= ee .


{

Do
φ=
max
4

e

≤ 4
= max
e

y

2

Mà

)

4x

e ,− ∞ < x< ∞ ,− 4≤ y

}
2

−x

2e

− ∞
− 4≤ y≤ 4
< ∞ ,

}

4x

{e

−x

2

, − ∞ < x< ∞

4x

}

× max

{ e 2 , − 4 ≤ y ≤ 4}
y

max

{e 2 , − 4 ≤ y
y

≤4

} = e2

Và

max

e

xiy

,

= max
e

{e

(

16

= e .

4

{e

4x

−x

2

,
− ∞ <
x
< ∞

= max

{

4 16

φ4 = e e
20
=e .

φα
( x + iy

Thì ) e

α x

≤ M

2e

4x

:0≤ x

( x −4
ee
,0≤ x
x+4 )
4

−

2

{e
≤ x} = e .1.
= max

Bổ đề 7. Giả sử φ ∈G,

−x

}
= max

Vậy ta có

{e

−( x − 2 )

2:

0

4

α

≥ 0. Nếu M ∈ sao cho:

φ ≤ M
.

,∀x, y ∈

}

}


;y
≤

α

.
Bổ đề 8. Nếu
φ ∈G, α ≥ 0

thì

φ α( xx + iy
)e ≤φ
Bổ đề 9. Nếu 0 ≤

α

α

<

Bổ đề 10. Cho α ≥ 0,
1. φ +ψ

α

+ iy
, φ ( x−α
x
φ
) ≤e

α

, ∀x,
y ∈

;y
≤

α

β < ∞ , φ ∈G, thì
φ α ≤ φ β.

φ,ψ ∈ G, c∈ thì

≤ φ

+

α

α

ψ

.

2. φα= 0 .
3. 0 ≤ φ

<
∞ ,

φ

α

= 0 khi và chỉ khi φ là hàm 0 .
α

.


Chứng minh.

thì

1. Như bổ đề trên ta có ∀x, y ∈ ,
y
≤ α
e

φ ( x + iy )

α x

+ψ

)
Vậy φ

x + iy

≤ φ

+

ψ

(

α

+

α

φ (x

≤
e

α x

ψ

+ iy

)

+ e

α x

+ iy

)

ψ (x

.

.

β

2. Ta có

cφ = max
α

+ iy

)e

αx

{ cφ ( x

, −∞ < x < ∞, −α ≤ y
≤ α

= max { c φ ( x
+ iy

)e

, −∞ < x < ∞, −α ≤ y

αx

≤ α

}

, −∞ < x < ∞, −α ≤ y

= c max { φ ( x

+ iy ) e

}

≤ α

αx

}

= cφα.
Vậy
cφ

= c φ

φ

α

α

3. Ta có 0 ≤

.

<
∞ ,

φ

α

= 0 được suy ra từ định nghĩa của

α
α

chuẩn và tính chất của những hàm Gauss, suy ra
Ngược lại, nếu φ = thì ta
có

0
≤
e

φ ( x)

−α x

φα=0 khi φ = 0.

= 0 ,
− ∞ < ∞ .

-


α

Vậy

φ ( x)
= 0

0
khi φ = 0, ∀x∈ .

φα


Chƣơng 2
HÀM SUY RỘNG
2.1. PHIẾM HÀM
2.1.1. Hàm số của hàm thử
Hàm mũ khả tích f được xác định hoàn toàn bởi những giá trị của tất
∞

cả những tích phân có dạng

∫ f ( x )φ (

−∞

φ là biến số trong biểu

, φ ∈G

( 2.1)

x ) dx

thức.
∞

Vậy nếu ta xác định Γ bởi biểu Γ(φ f ( x )φ
thức
) = ∫ x) dx

(

, ∀φ
∈G.

−∞

Thì Γ là một hàm “Hàm giá trị phức của hàm thử Gauss”.
Định nghĩa 1. Trong toán học, những hàm cho tương ứng mỗi hàm thử với
một số được gọi là phiếm hàm.
Ví dụ 1. Cho f là hàm mũ khả tích bất kỳ trên  . Phiếm hàm tương ứng với
∞

( x )φ (
) = ∫ x) dx
−∞

hàm f được xác định bởi Γ(φ

f (x) = 2x + 3 , ta

Đặc biệt với có hàm

f

Γ(2
x+3)

, ∀φ ∈G.

và Γ2

[φ ]

∞
x+3

=

∫ (2x + 3)dx .

−∞

Ví dụ 2. Cho a ∈ , hàm giá trị tại a kí Ea được cho bởi:
hiệu
Ea [ φ ] =

φ ( a ) , φ ∈G

Ví dụ 3. Hàm chuẩn N là chuẩn đã được nói đến với những hàm trên  . Ở đó