Giáo án Giải tích 12 chương 1 bài 3: Giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của hàm số

Giáo án giải tích 12
GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
I.

Mục tiêu
1. Về kiến thức: Học sinh nắm được : : khái niệm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ
nhất của hàm số, cách tính giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên
một đoạn.
2. Về kĩ năng: HS biết cách nhận biết giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm
số, biết vận dụng quy tắc tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số trên
một đoạn để giải một số bài toán đơn giản.
3. Về tư duy: Biết qui lạ về quen, tư duy các vấn đề của toán học một cách
logic và hệ thống.
4. Về thái độ: Cẩn thận chính xác trong lập luận , tính toán và trong vẽ hình.
II.
PHƯƠNG PHÁP,
1. Phương pháp: Thuyết trình, gợi mở, vấn đáp, nêu vấn đề
2. Công tác chuẩn bị:
- Giáo viên: giáo án, sgk, thước kẻ, phấn, …- Học sinh: Sgk, vở ghi, dụng cụ
học tập,…
III. TIẾN TRÌNH BÀI HỌC
1. Ổn định lớp: 1 phút
2. Kiêm tra bài cũ: ( 2 phút ) Nêu các qui tắc tìm cực trị?
NỘI DUNG
HOẠT DỘNG CỦA GV
HOẠT ĐỘNG CỦA
HS
I − định nghĩa
Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập
D.
a) Số M được gọi là giá trị lớn nhất

của hàm số y = f(x) trên tập D nếu f(x)
≤ M với mọi x thuộc D và tồn tại
x0 ∈ D sao cho f ( x0 ) = M .
f ( x).
Kí hiệu M = max
D

b) Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất
của hàm số y = f(x) trên tập D nếu
f ( x) ≥ m với mọi x thuộc D và tồn tại
x0 ∈ D sao cho f ( x0 ) = m.

Gv giới thiệu cho Hs định nghĩa
sau:

HS theo dõi và ghi
chép

T
G

10’


Giáo án giải tích 12
f ( x)
Kí hiệu m = min
.
D

Ví dụ 1
Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
của hàm số
y= x−5+

1
x

trên khoảng (0 ; + ∞ ) .
Bảng biến thiên
x
y'

0

y

+∞

Giải. Ta có
1
0

−

−3

+∞

+

y' = 1 −

1
2

x

=

x2 − 1
x2

; y ' = 0 ⇔ x2 − 1 = 0
x = 1
⇔
 x = −1 (lo¹ i).

+∞ Qua bảng biến thiên ta thấy trên
khoảng (0 ; +∞ ) hàm số có giá trị
cực tiểu duy nhất, đó cũng là giá
trị nhỏ nhất của hàm số.

II − Cách tính giá trị lớn nhất và giá
trị nhỏ nhất củahàm số trên một đoạn
1. Định lí
Mọi hàm số liên tục trên một đoạn
đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
nhất trên đoạn đó.

min f ( x) = −3

Vậy (0; +∞ )
(tại x = 3).
Không tồn tại giá(0trị; +∞
lớn) nhất của
f(x) trên khoảng
.

Thảo luận nhóm để
xét tính đồng biến,
nghịch biến và tính
giá trị nhỏ nhất, giá trị
lớn nhất

Ta thừa nhận định lí này.
Ví dụ 2
Tính giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
của hàm số y = sinx.
π

7π 

π



a) Trên đoạn  6 ; 6  ;



b) Trên đoạn  6 ; 2π  .



30’


Giáo án giải tích 12

Từ đồ thị của hàm số y = sinx, ta
thấy ngay :
π

7π 

a) Trên đoạn D =  6 ; 6  ta có :



HS theo dõi và ghi
chép

π
π 1
y ÷ = 1 ; y ÷ = ;
 2
 6 2
1
 7π 
y ÷ = − .

2
 6
y = 1 ; min y = − 1 .
Từ đó max
D
2

D

π

2.Quy tắc tìm giá trị lớn nhất, giá
trị nhỏ nhất của hàm số liên tục
trên một đoạn
a)Nhậnxét
Nếu đạo hàm f '(x) giữ nguyên dấu
trên đoạn [a; b] thì hàm số đồng
biến hoặc nghịch biến trên cả đoạn.
Do đó, f(x) đạt được giá trị lớn nhất
và giá trị nhỏ nhất tại các đầu mút
của đoạn.
Nếu chỉ có một số hữu hạn các điểm
xi (xi < xi+1) mà tại đó f '( x) bằng 0
hoặc không xác định thì hàm số
y = f (x) đơn điệu trên mỗi khoảng
(xi ; xi +1) . Rõ ràng giá trị lớn nhất ( giá
trị nhỏ nhất) của hàm số trên đoạn
[ a;b] là số lớn nhất (số nhỏ nhất)
trong các giá trị của hàm số tại hai
đầu mút a, b và tại các điểm xi nói

trên.



b) Trên đoạn E =  6 ; 2π  ta có :


π 1
π
y ÷ = , y ÷ = 1,
 6 2
 2
 3π 
y  ÷ = −1 ,
 2

y(2π) = 0.

y=1 ;
Vậy max
E

min y = −1 .
E

Thảo luận nhóm để
xét tính đồng biến,
nghịch biến và tính
giá trị nhỏ nhất, giá trị
lớn nhất

Giáo án giải tích 12
b) Quy tắc
1. Tìm các điểm x1, x2,..., xn trên [a ;
b], tại đó f '(x) bằng 0 hoặc f '(x) không
xác định.
2. Tính f(a), f( x1 ), ( x2 ),..., f ( xn ),
f(b).
3. Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất
m trong các số trên. Ta có :
f ( x) m = min f ( x)
M = [max
,
.
a; b]
[a; b]

Chú ý :
Hàm số liên tục trên một khoảng có
thể không có giá trị lớn nhất và giá trị
nhỏ nhất trên khoảng đó. Chẳng hạn,
hàm số f ( x) =

1
không có giá trị lớn
x

nhất, giá trị nhỏ nhất trên khoảng (0 ;
1). Tuy nhiên, cũng có những hàm số

có giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất
trên một khoảng như trong Ví dụ 3
dưới đây.
Ví dụ 3
Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh a.
Người ta cắt ở bốn góc bốn hình vuông
bằng nhau, rồi gập tấm nhôm lại như
Hình 11 để được một cái hộp không
nắp. Tính cạnh của các hình vuông bị
cắt sao cho thể tích của khối hộp là lớn
nhất.

HS theo dõi và ghi
chép


Giáo án giải tích 12

HS theo dõi và ghi
chép

Giải. Gọi x là cạnh của hình vuông
bị cắt.
Rõ ràng x phải thoả mãn điều kiện
0
a
.
2

Thể tích của khối hộp là
V ( x) = x(a − 2x)2



Ta phải tìm x0 ∈  0;

a

 0 < x < ÷.

2
a
÷ sao cho
2

V(x0) có giá trị lớn nhất.
Ta có
V '( x) = (a − 2x)2 + x.2(a − 2x).(−2) = (a − 2x)(a − 6x)

.
V '(x) = 0 ⇔


Giáo án giải tích 12

x =

x =


a
6
a
(lo¹ i).
2

Bảng biến thiên
x

a
6

0

V'(x)

+

0

a
2

−

HS theo dõi và ghi
chép

2a3

27

V(x)

Từ bảng trên ta thấy trong khoảng
a

 0 ; 2 ÷ hàm số có một điểm cực



trị duy nhất là điểm cực đại x =

a
6

nên tại đó V(x) có giá trị lớn nhất :
max V ( x) =

a

 0; ÷

2

2a3
.
27

Củng cố: ( 2’) Gv nhắc lại các khái niệm và quy tắc trong bài để Hs khắc sâu kiến thức.

Bài tập: Dặn BTVN: 1..5, SGK, trang 23, 24.

NỘI DUNG

HOẠT DỘNG CỦA GV

HOẠT ĐỘNG CỦA HS

T
G


Giáo án giải tích 12
Bài tập 1:Tìm GTLN, GTNN của hàm
số sau:
a) y = x3 − 3x2 − 9x + 35 trên các
đoạn [−4 ; 4] và [0 ; 5] ;
b) y = x4 − 3x2 + 2 trên các đoạn [0 ;
3] và [2 ; 5] ;
c) y =

2− x
trên các đoạn [2 ; 4]
1− x

và [−3 ; −2] ;
d) y = 5 − 4x trên đoạn [−1 ; 1].
Giải
a) y = x 3 − 3x 2 − 9 x + 35 trên [-4,4]
 x = −1

y ' = 3x 2 − 6 x − 9 = 0 ⇔ 
∈ [-4;4]
x = 3
y (−4) = -41, y (4)= 15, y(-1) = 40,

y(3)=8
y = −41 , max y = 40
Vậy: min
[ −4;4]
[ −4;4]

b) y = 5 − 4 x trên đoạn [-1;1]
y'= −

2
< 0, ∀x ∈ [−1;1]
5 − 4x

Ta có : y(-1)=3, y(1) = 1 Vậy :
min y = 1 , max y = 3
[ −1;1]

[ −1;1]

Bài tập 2: Trong số các hình chữ nhật
cùng có chu vi 16 cm, hãy tìm hình chữ
nhật có diện tích lớn nhất.
Bài tập 3: Trong tất cả các hình chữ
nhật cùng có diện tích 48 m2, hãy xác
®Þnh h×nh ch÷ nhËt cã chu vi

GV: Gọi HS lên bảng trình
bày, kiểm tra vở bài tập về
nhà

HS: lên bảng trình bày

3
0
’


Giáo án giải tích 12
nhá nhÊt.
Bài tập 4: Tìm GTLN, GTNN của hàm
4
x

số : y = x + , ( x > 0)
GV: Gọi HS lên bảng trình
bày, kiểm tra vở bài tập về
nhà

Giải:
*y ' = 1 −

1
5
’
HS: lên bảng trình bày

4 x2 − 4
=
y’= 0 x = ±2
x2
x2

GV: Gọi HS lên bảng trình
bày, kiểm tra vở bài tập về
nhà
GV: Hãy nêu cách tìm
GTNN, GTLN của hàm số
trên một khoảng
Trên khoảng (0; +∞) , hàm số y = x +

1
x

có duy nhất một cực trị và cực trị này
là cực tiểu
y=4
Vậy: min
(0; +∞ )

HS: lên bảng trình bày

GV: Nêu bài tập và gọi HS
lên giải bài tập sau:

1

5
’

2
5
’
HS: Sử dụng bảng biến
thiên

HS: lên bảng trình bày


Giáo án giải tích 12
LUYỆN TẬP VỀ GTLN, GTNN CỦA HÀM SÔ

IV.

Mục tiêu
1. Về kiến thức: Học sinh nắm được : Quy tắc tìm GTLN, GTNN của hàm số
trên một đoạn, trêm một khoảng
2. Về kĩ năng: HS biết cách : Tìm GTLN, GTNN của hàm số theo quy tắc
được học
3. Về tư duy: Biết qui lạ về quen, tư duy các vấn đề của toán học một cách
logic và hệ thống.
4. Về thái độ: Cẩn thận chính xác trong lập luận , tính toán và trong vẽ hình.
V.
PHƯƠNG PHÁP,
1. Phương pháp: Thuyết trình, gợi mở, vấn đáp, nêu vấn đề
2. Công tác chuẩn bị:
- Giáo viên: giáo án, sgk, thước kẻ, phấn, …

- Học sinh: Sgk, vở ghi, dụng cụ học tập,…
VI. TIẾN TRÌNH BÀI HỌC
1. Ổn định lớp: 1 phút
2. Kiêm tra bài cũ: ( 2 phút ) Nêu : Quy tắc tìm GTLN, GTNN của hàm số
trên một đoạn, trêm một khoảng
Củng cố: ( 2’) Củng cố lại các kiến thức đã học trong bài