Ánh xạ Gauss và ứng dụng

luan van,khoa luan, thac si , su pham 1 of 50.

LỜI NÓI ĐẦU
Khóa luận này trình bày về vấn đề ánh xạ Gauss và ứng dụng của nó.
Ứng dụng của ánh xạ này để nghiên cứu về độ cong của đa tạp hai chiều trong
E3 như độ cong chính, độ cong trung bình, độ cong Gauss, độ cong của các
đường đặc biệt trên đa tạp hai chiều.
Nội dung của khóa luận gồm:
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị
1. Không gian Euclit n chiều và một số định nghĩa
2. Đa tạp định hướng trong không gian En
Chương II: Ánh xạ Gauss và ứng dụng
1. Ánh xạ Gauss
2. Ánh xạ tiếp xúc với ánh xạ Gauss
3. Các vấn đề liên quan đến ánh xạ tiếp xúc của ánh xạ Gauss
4. Một số đường đặc biệt trên mặt
5. Mặt kẻ và mặt cực tiểu trong E3
Kết luận
Em xin được bày tỏ lòng biết ơn công lao dạy dỗ của các thầy cô giáo, đặc
biệt là sự hướng dẫn tận tình của Thầy giáo- Phó giáo sư- Tiến sĩ Nguyễn
Năng Tâm đã giúp em hoàn thành khóa luận này.
Hà Nội, ngày

tháng

Sinh viên thực hiện

Hoàng Thị Thanh Hằng

Footer Page 1 of 50.

1

năm


luan van,khoa luan, thac si , su pham 2 of 50.

MỤC LỤC
Nội dung

Trang

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1

1. Không gian Ơclit n chiều và một số định nghĩa

1

1.1 Định nghĩa

1

1.2 Hệ tọa độ trực chuẩn trong không gian En

1

1.3 Tọa độ của vectơ, của điểm đối với hệ tọa độ trực chuẩn trong En 1
2. Đa tạp hai chiều định hướng trong không gian E3

2

2.1 Đa tạp hai chiều

2

2.2 Dấu hiệu nhận biết đa tạp hai chiều trong E3

2

2.3 Tiếp diện và pháp tuyến của đa tạp hai chiều tại điểm không kì dị 2
2.4 Trường vectơ tiếp xúc trên đa tạp hai chiều trong En

3

2.5 Hướng trên đa tạp hai chiều trong En

3

2.6 Tiêu chuẩn định hướng được

4

2.7 Ánh xạ khả vi giữa hai đa tạp hai chiều trong En

4

Chương 2 ÁNH XẠ GAUSS VÀ ỨNG DỤNG

5

1. Ánh xạ Gauss

5

1.1. Định nghĩa

5

1.2. Ảnh của một số đa tạp hai chiều qua ánh xạ Gauss

5

2. Ánh xạ tiếp xúc với ánh xạ Gauss

5

2.1. Định nghĩa

5

2.2 Tính chất

6

3. Ánh xạ tiếp xúc của ánh xạ Gauss và vấn đề độ cong địa phương
của đa tạp hai chiều trong E3

6

3.1.Độ cong chính, phương chính của đa tạp hai chiều S tại p

6

Footer Page 2 of 50.

2


luan van,khoa luan, thac si , su pham 3 of 50.

3.2.Độ cong Gauss và độ cong trung bình của đa tạp hai chiều S

6

3.3.Các định nghĩa

7

3.4.Ví dụ

7

3.5. Định nghĩa

8

3.6. Dạng cơ bản thứ hai trên đa tạp hai chiều trong E3

8

3.7. Định lí

10

3.8.Độ cong pháp dạng và công thức Ơle, công thức Meusnier

10

4. Một số đường đặc biệt trên mặt

12

4.1. Đường chính khúc

12

4.2. Đường tiệm cận

13

4.3. Cung trắc địa

14

4.4.Liên hệ giữa các đường đặc biệt trên của đa tạp hai chiều

16

5. Giới thiệu mặt kẻ và mặt cực tiểu trong E3

16

5.1. Mặt kẻ

16

5.2. Mặt cực tiểu

18

Kết luận

19

Tài liệu tham khảo

20

Footer Page 3 of 50.

3


luan van,khoa luan, thac si , su pham 4 of 50.

CHƢƠNG 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trước khi tìm hiểu về ánh xạ Gauss và ứng dụng của nó, chúng ta cần
phải nắm được một số kiến thức cơ bản. Chương 1 này nhắc lại một số kiến
thức cơ bản đó.
1. Không gian Ơclit n chiều En và một số định nghĩa
1.1. Định nghĩa
Không gian Ơclit n chiều En là không gian afin liên kết với không gian

vectơ Ơclit n chiều Ε n .
1.2. Hệ tọa độ trực chuẩn trong không gian Ơclit En

  

Trong E n ,tích vô hướng giữa hai phần tử x, y Ε n kí hiệu là x.y


 n
 
hoặc  x, y . Chuẩn của phần tử x  E được tính theo công thức x = x.x

Trong không gian E , chọn điểm O bất kì. Trong không gian Ε n , chọn
n


  
  0 khi i  j
hệ vectơ trực chuẩn {e1 , e2 ,..,en } tức là ei .e j  
và ei =1 với
1 khi i=j
  

i=1,n . Khi đó, tập {Ο, e1 ,e 2 ,...,e n } gọi là hệ tọa độ trực chuẩn trong En. Đặc
biệt, khi n =2, n=3 thì tọa độ này còn gọi là hệ tọa độ Đềcác vuông góc và
được viết là Oxy hoặc Oxyz.
1.3. Tọa độ của vectơ, của điểm đối với hệ tọa độ trực chuẩn trong En
  
Trong En, cho hệ tọa độ trực chuẩn {Ο, e1 ,e 2 ,...,e n }
 n
1.3.1 Với x  Ε , tồn tại bộ số (x1, x2,…,xn) (x i   , i=1,n) sao cho

 n


x   x i .ei , khi đó bộ số (x1, x2,…,xn) được gọi là tọa độ của x trong hệ tọa
i=1



độ trực chuẩn đã chọn. Viết là x=(x1 , x 2 ,...,x n ) hoặc x(x1 , x 2 ,...,x n ) .

Footer Page 4 of 50.

4


luan van,khoa luan, thac si , su pham 5 of 50.

 n
1.3.2 Với Ρ  Ε , khi đó ΟΡ  Ε . Trong hệ tọa độ trực chuẩn của En đã

chọn giả sử ΟΡ=(x1 , x 2 ,...,x n ) . Khi này, ta gọi bộ số (x1, x2,…,xn) là tọa độ

n

của điểm P, viết là P(x1, x2,…,xn) hoặc P=(x1, x2,…,xn).


Với Μ,Ν  Εn , Μ(x1 ,x 2 ,..,yn ), Ν(y1 , y2 ,..,yn ) , khi đó tọa độ của MN là


ΜΝ=(y1  x1 , y 2  x 2 ,.., y n  x n ) và  

n

 (y

i

 x i )2

i=1

2. Đa tạp hai chiều định hƣớng trong không gian E3
2.1. Đa tạp hai chiều trong E3
Trong En, cho tập S   . Tập S được gọi là đa tạp hai chiều trong En (đơn
giản có thể gọi là mặt) nếu với mỗi p  S có lân cận mở V của p trong En sao
cho V  S là một mảnh hình học. Mỗi tham số hoá của mảnh hình học này
được gọi là tham số hóa địa phương của S.
2.2. Dấu hiệu nhận biết đa tạp hai chiều trong E3
2.2.1 Trong E3, cho hệ tọa độ afin (x1, x2,…,xn), tập S   . Tập S là đa
tạp hai chiều trong En khi và chỉ khi với mỗi p  S có lân cận V của p trong E3
và một hàm số khả vi φ :V  R, (x1 ,x 2 ,x 3 )  φ(x1 ,x 2 ,x 3 ) sao cho x  V

 φ
φ
φ 1 2 3 
(x , x , x )  bằng 1 và nếu đặt
hạng  (x1 , x 2 , x 3 ); (x1 , x 2 , x 3 );
y
z
 x

φ(p) = a thì V  S = φ1 (a) . Điểm p  S , p(x1, x2, x3) làm cho
φ 1 2 3 φ 1 2 3
φ 1 2 3
(x , x , x )= (x , x , x ) 
(x , x , x )  0 được gọi là điểm kì dị của
x
y
z

S.
2.2.2 Trong E3, cho tập S   , tọa độ afin (x1, x2, x3). Tập S được gọi là
đa tạp hai chiều trong E3 khi và chỉ khi với mỗi p  S có lân cận mở của nó
trong S là một mảnh hình học với tham số hóa kiểu đồ thị, nếu cần có thể đổi

Footer Page 5 of 50.

5


luan van,khoa luan, thac si , su pham 6 of 50.

chỉ số các tọa độ afin để tham số hóa đó có dạng

(x1 ,x 2 )  r(x1 ,x 2 )= (x1 ,x 2 ,φ3 (x1 ,x 2 ),...,φn (x1 ,x 2 )) .
2.3. Tiếp diện và pháp tuyến của đa tạp hai chiều tại điểm không kì dị
Trong E3, cho đa tạp hai chiều S. Tại p  S , chọn tham số hóa địa phương
 
của S là r: U  S, (u,v)  r(u,v) . Khi đó, tồn tại ru' , rv' và chúng độc lập
tuyến tính. Tiếp diện của đa tạp S tại p=r(u,v) là 2-phẳng đi qua r(u,v) và có
 
không gian vectơ chỉ phương là  ru' ,rv'  .
Đặc biệt, trong E3 tiếp diện này là mặt phẳng tiếp xúc; đường thẳng đi
qua r(u,v) và vuông góc với mặt phẳng tiếp xúc tại r(u, v) được gọi là pháp
tuyến của S tại p.
2.4. Trƣờng vectơ tiếp xúc trên đa tạp hai chiều trong En
  
Trong En cho đa tạp hai chiều S, tại p  S đặt Tp E n  {(p,α); α  Ε n } và

gọi là không gian vectơ tiếp xúc của En tại p.
 
Với mỗi p  S , đặt TpS  {(p, α); α  không gian vectơ chỉ phương của tiếp
diện của S tại p}, TpS được gọi là không gian vectơ tiếp xúc của S tại p. Ánh
xạ Χ: S  Tp En , p  X(p)  TpS được gọi là trường vectơ tiếp xúc của S tại p.
Khi X  p   TpS thì ta gọi ánh xạ X là trường vectơ pháp tuyến của S, lúc này

nếu Χ(p)  1 thì X được gọi là trường vectơ pháp tuyến đơn vị của S.
Đặc biệt khi trong E3, S có tham số hóa địa phương là

  '
r: U  S, (u,v)  r(u,v) , p = r(u, v), TpS  {(p,α) | α  ru (u, v), rv' (u, v)} ,

thì vectơ pháp tuyến đơn vị trên S tương thích với tham số hóa r tại p được

xác định là n(p) = (n  r)(u, v)   r(u, v);




Footer Page 6 of 50.

6

 

ru' ×rv'
  (u, v)  . Lúc này ta nhận được

ru' ×rv'




luan van,khoa luan, thac si , su pham 7 of 50.

ánh xạ khả vi n: S  Tp E n , p  n(p) , ta gọi ánh xạ này là trường vectơ pháp
tuyến đơn vị của S
2.5. Hƣớng trên đa tạp hai chiều trong En
Cho đa tạp hai chiều S trong En. Giả sử trên mỗi không gian vectơ tiếp
xúc TpS của S có thể lấy một cơ sở (ap, bp) sao cho tồn tại một tham số hóa địa
phương r: U  S tại p thỏa mãn: với mọi  u,v   V, p = r (u,v) hai cơ sở

{ru' , rv' } và {a p , bp } cùng hướng. Khi đó ta nói S định hướng được. Kí hiệu Dp
là hướng của TpS xác định bởi cơ sở (ap, bp). Khi S định hướng được ta gọi họ
D={Dp} là một hướng của S. Tham số hóa địa phương của S ở trên r: U  S
gọi là tham số hóa tương thích với hướng D.
2.6. Tiêu chuẩn định hƣớng đƣợc
2.6.1. Trong En, đa tạp hai chiều định hướng được S khi và chỉ khi có họ
tham số hóa địa phương { ri : Ui  S } của S sao cho S   r(Ui ) và nếu
i

ri (Ui )  rj (U j )   thì tại những điểm chung của giao đó hai tham số hóa địa
phương ri và rj tương đương bảo tồn hướng.
2.6.2. Đa tạp hai chiều S trong E3 định hướng được khi và chỉ khi trên S có



một trường vectơ pháp tuyến n : S  E n liên tục và n(p)  0 tại mọi p thuộc
S.
2.7. Ánh xạ khả vi giữa hai đa tạp hai chiều trong En
2.7.1. Định nghĩa
Trong En, cho hai đa tạp hai chiều S1 và S2 và ánh xạ h: S1  S2 . Ánh xạ h
khả vi nếu h liên tục và với mọi tham số hóa địa phương r1 : U1  S1 và

r2 : U2  S2 mà h(r1 (U1 ))  r2 (U2 ) thì ánh xạ r2-1  h  r1: U1  U2 khả vi.
2.7.2. Ánh xạ tiếp xúc của ánh xạ khả vi giữa hai đa tạp hai chiều

Footer Page 7 of 50.

7

luan van,khoa luan, thac si , su pham 8 of 50.

Với ánh xạ khả vi h được cho ở trên, tại p  S1 , mỗi phương α  TpS1 đều
tồn tại cung tham số của S1 là ρ : J  S1 , t  ρ(t) sao cho ρ(t 0 )= p , ρ'(t 0 )=α .
Khi đó h  ρ(t) : J  S2 là một cung tham số của S2 đi qua q = h(ρ(t 0 )) và

phép lấy đạo hàm (h  ρ)'(t 0 ) không phụ thuộc vào cách chọn cung ρ .
Khi đó ánh xạ tiếp xúc với h là Tp h : TpS1  Th(p)S2 được định nghĩa là

Tp h(α) = (h  ρ)'(t 0 )=((h  ρ(t 0 ); (h  ρ)'(t 0 )) .
Trên đây là những kiến thức cần nắm được trước khi nghiên cứu ánh xạ
Gauss và ứng dụng của nó.

Footer Page 8 of 50.

8


luan van,khoa luan, thac si , su pham 9 of 50.

CHƢƠNG 2

ÁNH XẠ GAUSS VÀ ỨNG DỤNG

Chương 2 này chúng ta làm quen với định nghĩa ánh xạ Gauss và sẽ xét ứng
dụng của nó trong vấn đề tốc độ biến thiên của mặt phẳng tiếp xúc tại lân cận
một điểm trên đa tạp hai chiều trong E3, một cách tương đương là tốc độ biến
thiên của trường vectơ pháp tuyến đơn vị trong lân cận của điểm đó.
1. Ánh xạ Gauss
1.1. Định nghĩa

Trong E3, cho đa tạp hai chiều (có thể gọi là mặt) S được định hướng bởi
trường vectơ pháp tuyến đơn vị khả vi n, lúc này xác định một ánh xạ từ S
vào mặt cầu đơn vị S2 (mặt cầu tâm O, bán kính 1) là

g: S  S2 , p  g(p) = n(p) . Ánh xạ này được gọi là ánh xạ Gauss của mặt
định hướng S.
Rõ ràng theo định nghĩa thì ánh xạ Gauss là một ánh xạ khả vi.
1.2. Ảnh của một số đa tạp hai chiều trong E3 qua ánh xạ Gauss
Trong E3 cho hệ tọa độ trực chuẩn Oxyz và mặt cầu đơn vị S2 tâm O, bán
kính 1.
1.2.1 Tìm ảnh của mặt trụ tròn xoay S bán kính a > 0, quay quanh Oz qua
ánh xạ Gauss
Trong hệ tọa độ đã chọn, giả sử tham số hóa địa phương của S là

r: U  S, (u,v)  r(u,v) = (a.cosv, a.sinv;u)  r(u,v) = (a.cosv, a.sinv,u) , từ


đây suy ra ru' (u, v) = (0, 0, 1) , rv' (u,v) = (  a.sinv,a.cosv,0) , hai vectơ này độc
lập tuyến tính. Khi này, xác định một trường vectơ pháp tuyến đơn vị định
 

ru' ×rv'
hướng trên S là (n  r)(u,v)    (u, v)  (  cosv,  sinv, 0) . Trong E3, gọi
ru' ×rv'
tọa độ của g(p)=(x, y, z) thì ảnh của mặt S là đường tròn lớn trong mặt phẳng

Footer Page 9 of 50.

9

luan van,khoa luan, thac si , su pham 10 of 50.

z=0 của mặt cầu đơn vị S2 tức là đường tròn trong E3 có phương trình là

 x 2 +y 2 = 1

z = 0
1.2.2 Tìm ảnh của mặt xuyến S qua ánh xạ Gauss
Trong E3, cho tham số hóa địa phương của S là
r : U  S, (u,v)  ((a  b.cosu).cosv, (a  b.cosu).sinv,bsinu) với (a >b > 0).

Từ đó r(u,v)  ((a  b.cosu ).cosv, (a  b.cosu).sinv,bsinu)

ru' (u,v)  (b.sin u.cosv,  b.sinu.sinv,b.cosu)

rv' (u,v)  ((a  b.cosu ).sin v, (a  b.cosu).cosv,0) . Khi này trường vectơ pháp

tuyến đơn vị được xác định bởi

ru'  rv'
n(p)  (n  r)(u,v)  ' ' (u,v)  ( cosu.cosv,  cosu.sinv,  sinu)
ru  rv
Hơn nữa nhận thấy rằng

(u,v)  U , p1  r(u,v)  ((a  b.cosu).cosv, (a  b.cosu).sinv,bsinu)  S và
(π  u,v)  U, p2  ((a  b.cosu).cosv, (a  b.cosu).sinv, b.sinu)  S thì n(p1)
= n(p2) = ( cosu.cosv,  cosu.sinv,  sinu) . Nghĩa là mặt xuyến có phương
trình tham số đang xét có ảnh là mặt cầu đơn vị được lấy hai lần.
1.2.3 Tìm ảnh của mặt paraboloit elliptic S qua ánh xạ Gauss.

Giả sử trong hệ trục tọa độ đã chọn, S có tham số hóa địa phương là




x 2 y2 
x 2 y2 
r : U  S, (x, y)   x, y,
  khi đó r (x, y)   x, y,
  và
2p
2q
2p
2q 






x  
y
rx' (x,y)   1, 0,  , ry' (x,y)   0, 1,  . Khi này trường vectơ pháp tuyến đơn
p
q


vị được xác định bởi

Footer Page 10 of 50.

10


luan van,khoa luan, thac si , su pham 11 of 50.



x
y
n(p)  
,
,
2
2
2
2

x
y
x
y
 p 1  2  2
q 1 2  2
p q
p q





1
 Theo định nghĩa
2
2 
x
y
1  2  2 
p q 





  theo
ánh xạ Gauss, g(p)=n(p) và trong hệ tọa độ đã chọn giả sử g(p)= x , y,z
đó thì z  0 với mọi x, y tức là ảnh của mặt S được xác định bởi nửa mặt cầu
đơn vị có tọa độ z > 0.
1.2.4 Tìm ảnh của mặt Catenoid qua ánh xạ Gauss.
Trong hệ tọa độ đã chọn của E3, giả sử tham số hóa địa phương của S là

u
u
(u,v)  r(u,v)  (a.ch .cosv, a.ch .sinv, u)
a
a

u
u
Theo đó r(u,v)  (a.ch .cosv, a.ch .sinv, u) và
a

a


u
u
u
u
ru' (u,v)  (sh .cosv, sh .sinv,1) , rv' (u,v)  (a.ch .sinv, a.ch .cosv, 0) .
a
a
a
a
Khi đó trường vectơ pháp tuyến đơn vị được xác định như sau :
ru'  rv'
cosv
sinv
u
n(p)  (n  r)(u,v)  ' ' (u,v)  ( 
,
, th ) . Nếu trong hệ tọa
u
u
a
ru  rv
ch
ch
a
a

độ trực chuẩn đã chọn, g(p)=(x, y, z) thì hàm z(u)  th

u
là hàm tăng nghiêm
a

ngặt và có giá trị trong khoảng (-1, 1) và không có giá trị hữu hạn nào của u
để z(u)=1, z(u)  1. Như vậy, ảnh của mặt Catenoid qua ánh xạ Gauss là mặt
cầu S2 không kể hai điểm cực (0, 0, 1) và (0, 0, -1).
1.2.5 Tìm ảnh của mặt đinh ốc đứng trong E3 qua ánh xạ Gauss
Trong hệ tọa độ trực chuẩn đã chọn, cho mặt đinh ốc đứng tham số hóa
địa phương là (u,v)  r(u,v)  (u.cosv, u.sinv, av) (a  0) , theo đó

Footer Page 11 of 50.

11


luan van,khoa luan, thac si , su pham 12 of 50.



r(u,v)  (u.cosv, u.sinv, av) và ru' (u,v)  (cosv, sinv, 0) và

rv' (u,v)  (u.sinv, u.cosv, a) . Khi đó trường vectơ pháp tuyến đơn vị được

xác định bởi:

(n  r)(u,v) 

ru'  rv'

a
a
u
(u,v)

(
.sinv,
.cosv,
)
2
2
2
2
2
2
ru'  rv'
a u
a u
a u

Nếu trong hệ tọa độ trực chuẩn đã chọn, g(p) = (x, y, z) thì nhận xét thấy rằng
hàm x(u, v) và y(u, v) không đồng thời bằng 0 với mọi giá trị của (u,v). Như
vậy ảnh của mặt đinh ốc đứng là mặt cầu đơn vị không kể hai điểm cực. Hơn
nữa, với mỗi đường đinh ốc tròn u=u 0 thì các điểm

pk = (u 0 .cos(v+k2π), u 0 (sinv+k2π), a(v+k2π)) (k   ) thì ảnh của các pk
cùng là điểm


a

a
g(p k ) = 
.sin (v+k2π), 
cos(v+k2π),
2
2
 a 2 +u 2
a
+u
0
0


a
a
 g(p k ) =  2 2 .sin v,  2 2 cosv,
 a +u
a +u 0
0




2
2 
a +u 0 
uo


 . Như vậy thì ảnh của

2
2 
a +u 0 
uo

mặt đinh ốc đứng là mặt cầu S2 không kể hai điểm cực được lấy vô số lần.
Sau đây, chúng ta đi tìm hiểu một ứng dụng của ánh xạ Gauss, đó là ánh xạ
tiếp xúc của nó. Ánh xạ này chính là ánh xạ đạo hàm của ánh xạ Gauss trong
lân cận của một điểm trên đa tạp hai chiều, đây chính là đặc trưng cho tốc độ
biến thiên của mặt phẳng tiếp xúc trong một lân cận của điểm trên đa tạp hai
chiều trong E3
2. Ánh xạ tiếp xúc với ánh xạ Gauss
2.1 Định nghĩa

Footer Page 12 of 50.

12


luan van,khoa luan, thac si , su pham 13 of 50.

Trong E3, cho đa tạp hai chiều S được định hướng bởi trường vectơ
pháp tuyến đơn vị n, ánh xạ Gauss của S là g. Ánh xạ tiếp xúc của ánh xạ
Gauss là ánh xạ Tpg : TpS  Tg(p)S2 , được định nghĩa theo quy tắc sau: mỗi
phương α  TpS , chọn cung tham số ρ:J  S, t  ρ(t) sao cho

ρ(t 0 ) = p; ρ'(t 0 ) = α . Khi đó Tp g(α) = (g  ρ)'(t 0 ) = ((g  ρ)(t 0 ); (g  ρ)'(t 0 )) .

Mặt khác theo định nghĩa ánh xạ Gauss thì n(p)=g(p) tương đương





(n  ρ)(t 0 ) = (g  ρ)(t 0 )  (n  ρ)'(t 0 ) = (g  ρ)'(t 0 )

 
Ta có (n  ρ)(t) =1  (n  ρ)(t).(n  ρ)'(t)= 0 nên (n  ρ)'(t 0 )  TpS . Như
vậy, ta có thể đồng nhất TpS với Tg(p)S2 .
Ta khẳng định quy tắc trên là một ánh xạ.
Quy tắc trên xác định với mọi α  TpS . Thật vậy, tại p chọn tham số
hóa địa phương của S là r : U  S, (u,v)  r(u,v) , p = r(u0,v0),  u 0 , v0   U .
Trong TpS, chọn cơ sở là {ru' (u 0 ,v0 ), rv' (u 0 ,v0 )} . Với α  TpS , tồn tại a, b
  U, t  ρ(t)
 = (at, bt) với
sao cho α = (a.ru' +b.rv' )(u 0 ,v0 ) . Lấy cung ρ:J
 J  S , khi đó
(at0=u0 và bt0=v0.Đặt ρ = r  ρ:

ρ'(t)= (r.ρ)'(t)=
ru' (at)'+rv' (bt)' = a.ru' +b.rv' . Từ đó suy ra

ρ'(t 0 ) = a.ru' (u 0 ,v0 )+b.rv' (u 0 ,v0 )=α và ρ(t 0 ) = r(u 0 ,v0 ) . như vậy quy tắc này
xác định với mọi α  TpS .
Quy tắc này không phụ thuộc vào cách chọn cung ρ ở trên. Chẳng hạn,
có hai cung ρ, γ: J  S mà ρ(t 0 )= γ(t 0 )= p, ρ'(t 0 ) = γ '(t 0 ) = α , với cung
 J  U, t  ρ(t)
 sao cho ρ= r  ρ . Đặt
ρ: J  S , tồn tại duy nhất cung ρ:
 = (u(t); v(t)); u(t ) = u ; v(t ) = v . Khi đó
ρ(t)

0
0
0
0
'
'

(n  ρ)'(t 0 )= (n  r  ρ)'(t
(1)
0 )=(n  r) u (u 0 , v 0 ).u'(t 0 )+(n  r) v (u 0 , v 0 ).v'(t 0 )

Footer Page 13 of 50.

13


luan van,khoa luan, thac si , su pham 14 of 50.

 J  U sao cho γ = r  γ . Đặt
Với cung γ: J  S , tồn tại duy nhất cung γ:
 = (u (t); v (t)); u (t )= u , v (t )= v . Khi đó
γ(t)
*
*
* 0
0
* 0
0
'
'


(n  γ)'(t 0 )= (n  r  γ)'(t
(2)
0 )=(n  r) u (u 0 , v 0 ).u *'(t 0 )+(n  r) v (u 0 , v 0 ).v* '(t 0 )

Do giả thiết ρ'(t 0 )= γ'(t 0 ) = α nên (u'(t 0 ); v'(t 0 )) = (u*' (t 0 ); v*' (t 0 )) , điều này
kết hợp với (1) và (2), ta suy ra rằng (n  ρ)'(t 0 ) = (n  γ)'(t 0 ) .
Như vậy ta khẳng định quy tắc xác định ở trên là ánh xạ.
Nếu đặt Dα n = (n  ρ)'(t 0 ) và h p (α) =  Dα n =  Tp g(α) thì gọi ánh xạ
hp này là ánh xạ Weingarten.
2.2 Tính chất cơ bản
Trong E3, cho đa tạp hai chiều S định hướng bởi trường vectơ pháp
tuyến đơn vị n. Tại p  S , ánh xạ Weingarten của S tại p là hp. Ánh xạ hp là tự
đồng cấu tuyến tính đối xứng của TpS.
Tức là  α, β  TpS thì h p (α).β = α.h p (β) .
Chứng minh
Trước hết ta chứng minh hp là tự đồng cấu tuyến tính của TpS. Chọn
tham số hóa địa phương của S tại p là r: U  S,(u,v)  r(u,v) , (u 0 , v0 )  U

p = r(u 0 ,v0 ) . Trong TpS, chọn cơ sở là {ru' (u 0 , v0 ), rv' (u 0 , v0 )} . Với phương

α  TpS , lấy cung ρ: J  S mà ρ'(t 0 ) = α (t 0  J) , theo đó tồn tại duy nhất
 J  U, t  ρ(t)
 = (u(t); v(t)) sao cho ρ = r  ρ . Như vậy,
cung tham số ρ:
'
'

α = ρ'(t 0 ) = (r  ρ)'(t
0 ) = ru (u 0 , v 0 ).u'(t 0 ) + rv (u 0 , v 0 ).v'(t 0 ) từ đây ta thấy rằng

(u’(t0), v’(t0)) là tọa độ của α trong TpS.
Lại theo định nghĩa ánh xạ Weingarten, ta có:

h p (α)=  (n  ρ)'(t 0 )=  (n  r  ρ)'(t
0)

Footer Page 14 of 50.

14


luan van,khoa luan, thac si , su pham 15 of 50.

h p (α) =  (n  r)'u (u 0 ,v0 ).u'(t 0 )  (n  r)'v (u 0 ,v0 ).v'(t 0 ) . Nhận thấy rằng

(n  r)'u (u 0 ,v0 );  (n  r)'v (u 0 ,v0 ) là hai vectơ cố định thuộc TpS. Như vậy,
với α, β  TpS , ta dễ dàng chứng minh được hp là một tự đồng cấu tuyến tính
của TpS.
Hơn nữa, hp còn là một tự đồng cấu tuyến tính đối xứng. Trước hết, ta
chứng minh tính đối xứng của hp với cơ sở trong TpS, tức là :

h p (ru' ).rv' (u 0 , v0 ) = ru' .h p (rv' )(u 0 , v0 )
Ta có ru' (u 0 ,v0 )h p (rv' (u 0 ,v0 )) =  ru' (u 0 ,v0 ).(n  r)'v (u 0 ,v0 ).

(1)

Từ (n  r)(u 0 ,v 0 ).ru' (u 0 ,v 0 ) = 0 , lấy đạo hàm hai vế của đẳng thức này theo v
ta được (n  r)'v (u 0 ,v0 ).ru' (u 0 ,v0 )+(n  r)(u 0 ,v0 ).ruv' (u 0 ,v0 ) = 0 , từ đây suy ra

(n  r)'v (u 0 ,v0 ).ru' (u 0 ,v0 ) = (n  r)(u 0 ,v0 ).ruv'' (u 0 ,v0 ) (2)
Ta có h p (ru' (u 0 ,v0 ))rv' (u 0 ,v0 ) =  (n  r)'u (u 0 ,v0 ).rv' (u 0 ,v0 )

(3)

Từ (n  r)(u 0 ,v 0 ).rv' (u 0 ,v 0 ) = 0 , lấy đạo hàm hai vế theo u ta được

(n  r)'u (u 0 ,v0 ).rv' (u 0 ,v0 )+(n  r)(u 0 ,v0 ).rvu'' (u 0 ,v0 ) = 0 , từ đây suy ra
(n  r)'u (u 0 ,v0 ).rv' (u 0 ,v0 ) = (n  r)(u 0 ,v0 ).rvu'' (u 0 ,v0 ) (4)
Kết hợp (1), (2), (3), (4) và điều kiện r khả vi đến cấp cần thiết ta có

h p (ru' ).rv' = ru' .h p (rv' ) . Với α, β  TpS thì đều biểu diễn được qua cơ sở

{ru' (u 0 , v0 ); rv' (u 0 , v0 )} , dễ dàng kiểm chứng tính chất đối xứng của hp.
3. Ánh xạ tiếp xúc của ánh xạ Gauss và vấn đề độ cong địa phƣơng của
đa tạp hai chiều trong E3
Trong E3, cho đa tạp hai chiều S trong E3 được định hướng bởi trường
vectơ pháp tuyến đơn vị n. Tại p  S , ánh xạ Weingarten của S tại p là hp.
3.1 Độ cong chính, phƣơng chính của đa tạp hai chiều S tại p
Độ cong chính của đa tạp hai chiều S là giá trị riêng của hp, phương chính

Footer Page 15 of 50.

15


luan van,khoa luan, thac si , su pham 16 of 50.

của S tại p là vectơ riêng của hp
3.2 Độ cong Gauss và độ cong trung bình của đa tạp hai chiều S tại p

3.2.1 Định nghĩa
Độ cong Gauss của S tại p là định thức của hp, kí hiệu là K(p). Độ cong
chính của S tại p là nửa vết của hp, kí hiệu là H(p).
3.2.2 Công thức tính độ cong Gauss và độ cong trung bình của S tại p theo
độ cong chính
Ánh xạ hp là tự đồng cấu tuyến tính đối xứng của không gian vectơ
thực hai chiều TpS, do vậy tại p chỉ có một trong hai trường hợp xảy ra
a) hp có hai giá trị riêng phân biệt thực là k1 ,k 2 ( k1  k 2 ) hay k1 ,k 2 là
hai độ cong chính của S tại p, hai phương chính tương ứng vuông góc với
nhau. Chọn một cơ sở của TpS gồm hai vectơ là phương chính của S tại p thì
ma trận của hp có dạng chéo:

 k1 0 
A

0 k 2 
Khi đó độ cong Gauss của S tại p là K  p  =k1.k 2 , độ cong trung bình của S
tại p là H(p)=

k1 +k 2
2

Chú ý : khi đổi hướng đa tạp hai chiều S thì trường vec tơ pháp tuyến
đơn vị n thay bằng –n do đó ma trận A thay bằng –A. Vì A là ma trận vuông
cấp hai nên A = -A và vết (A)=-vết (-A). Do đó độ cong Gauss không đổi,
độ cong trung bình đổi dấu.
b) hp có giá trị riêng kép thực k1 =k 2 (k1 ,k 2   ) thì mọi phương đều
là phương chính . Chọn cơ sở của TpS gồm hai vectơ chỉ phương chính thì độ
cong Gauss K(p)=k1.k 2 =(k1 ) 2 , độ cong trung bình H(p)=k1
3.3 Các định nghĩa

Footer Page 16 of 50.

16


luan van,khoa luan, thac si , su pham 17 of 50.

Trong E3, cho đa tạp hai chiều S được định hướng bởi trường vectơ
pháp tuyến đơn vị n. Tại p  S , S có độ cong chính là k1 ,k 2 , độ cong Gauss
là K(p), độ cong trung bình là H(p). Điểm p được gọi là điểm rốn nếu k1 =k 2 ,
điểm p được gọi là điểm cầu nếu k1 =k 2  0 , điểm p được gọi là điểm dẹt nếu
k1 =k 2 =0 . Điểm p được gọi là điểm elliptic nếu K(p)>0, điêm p được gọi là

Điểm hypebolic nếu K(p)<0, điểm p được gọi là điểm paraboloic nếu K(p)=0.
Chú ý: Trong E3, cho đa tạp hai chiều S có hướng xác định bởi trường
vectơ pháp tuyến n. Tại p  S , ánh xạ Weingarten của S tại p là hp. Khi đó

α,β  TpS ta có h p (α).h p (β)  2.H(p).h p (α).β+K(p).α.β=0
Thật vậy, trong không gian TpS, ta chọn cơ sở trực chuẩn {e1,e2} và gọi
k1 , k 2 là hai độ cong chính của S tại p. Từ đây suy ra h p (e1 )=k1.e1 và

h p (e2 )=k 2 .e2 Với α, β  TpS , tồn tại a, b, c, d sao cho α=a.e1 +b.e2 , β=c.e1 +d.e2
 e
Khi này h p (α)=h p (a.e1 +b.e2 )=a.k1e1 +b.k
2 2
h p (β)=h p (c.e1 +d.e2 )= c.k1e1 +d.k 2e2

k +k
Mặt khác có K(p)=k1.k 2 và H(p)= 1 2 , thay vào công thức ta có

2
VT=(a.k1e1 +bk 2 .e 2 )(ck1e1 +dk 2 .e 2 )  (k1 +k 2 )(a.k1e1 +bk 2.e 2 )(ce1 +de)+
+k1.k 2 (ae1 +be2 )(ce1 +de2 )

=ack1 +bdk 2  (k1 +k 2 )(ack1 +bdk 2 )+(ac+bd)k1.k 2
=0
3.4 Ví dụ
3.4.1 Trong E3, cho mặt cầu S tâm O bán kính R>0. Mặt cầu này là đa tạp
hai chiều trong E3, giả sử S được định hướng bởi trường vec tơ pháp tuyến

Footer Page 17 of 50.

17


luan van,khoa luan, thac si , su pham 18 of 50.


OP
) . Goị ánh xạ
đơn vị hướng ra ngoài, tức là với P  S, n(P)=(P;
R

Weingarten của S tại P là hp. Lấy α  TpS , xét đường tròn lớn của mặt cầu đi
qua P và tiếp xúc với phương α . Tham số hóa cung tròn lớn của đường tròn
lớn này mà đi qua P và tiếp xúc với phương α là ρ:J  S, t  ρ(t) và


Oρ(t 0 ) 
ρ(t 0 ) = P, ρ'(t 0 ) = α . Khi này n(P)=  ρ(t 0 );

 . Từ đây suy ra
R




Oρ'(t 0 ) 
(n  ρ)'(t 0 )=  ρ(t 0 );

R


Theo công thức h p (α)=  (n  ρ)'(t 0 )=

α
. Như vậy, giá trị riêng của h p (α) là
R

1
1
k1 =k 2 =  , điểm P là điểm cầu. Độ cong Gauss của S tại P là K(P)= 2 giá
R
R
trị này luôn dương, do đó điểm P là điểm elliptic của S. Độ cong trung bình
của S tại P là H(P)= 

1
. Điểm P là điểm bất kì trên S nên mọi điểm trên S
R

đều là điểm cầu.
3.4.2 Trong En, cho S là mặt phẳng, khi đó n là trường vectơ song song
nên hp=0 với mọi p  S . Như vậy, mọi điểm thuộc S đều là điểm dẹt, K = H =
0.
3.4.3 Trong E3 với hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxyz. Cho mặt trụ tròn
xoay S có bán kính a, trục quay là Oz . Tham số hóa địa phương của S là

r(u,v)=(a.cosu, a.sinu, v). Theo đó r(u,v) = (a.cosu,a.sin u, v) từ đó tính được


'
ru (u,v)=(  a.sinu,acosu, 0) và rv' (u,v)=(0,0,1) , khi này có thể định hướng S
bởi trường vectơ pháp tuyến đơn vị liên tục được xác định như sau

Footer Page 18 of 50.

18


luan van,khoa luan, thac si , su pham 19 of 50.

(n  r)(u, v) =

ru' ×rv'
(u, v) = (cosu, sinu, 0)
ru' ×rv'



1 

Khi này h p (ru' )=  (n  r)'u =(  sinu, cosu,0)=  .ru' , và
a

 1





'
'
'
'
h p (rv )=  (n  r) v = (0, 0,0) = 0. ru  0.rv . Do đó ma trận của hp là A=  a

0
Từ đây suy ra Kp=0, H p  


0

0

1 
1
, k1 =  ; k 2 =0 .
2a
a

Phương chính ứng với k1 là phương của ru' , đó là phương tiếp xúc của cung

tọa độ v=v0 (cung vĩ tuyến). Phương chính ứng với k 2 là phương của vectơ

rv' , đó là phương tiếp xúc của cung tọa độ u = u0 (cung kinh tuyến).
3.5 Định nghĩa
Ánh xạ f: S1  S2 giữa các đa tạp định hướng trên đa tạp hai chiều trong
E3 được gọi là ánh xạ bảo giác nếu có hàm số dương φ: S1   sao cho với
mọi α, β TpS1 ta có Tpf(α).Tpf(β) = φ(p).α.β (với mọi p  S1 ).
3.6 Dạng cơ bản thứ hai trên đa tạp hai chiều trong E3
Trong E3, cho đa tạp hai chiều S được định hướng bởi trường vectơ
pháp tuyến đơn vị n. Tại p  S , ánh xạ Weingarten của S tại p là hp.
3.6.1 Định nghĩa dạng cơ bản I và II của mặt S tại p  S
Dạng song tuyến tính đối xứng trên TpS Ip: TpS×TpS   , (α,β)  α.β ,

IIp: TpS×TpS   , (α, β)  h p (α).β lần lượt được gọi là dạng cơ bản thứ I và
II của đa tạp hai chiều S tại p. Kí hiệu Ip (α,α) = Ip (α) , IIp (α,α) = IIp (α) . Khi
P thay đổi trên S ta có thể dùng kí hiệu I và II.
3.6.2 Biểu thức tọa độ của dạng cơ bản thứ I và II trong tham số hóa địa

Footer Page 19 of 50.

19


luan van,khoa luan, thac si , su pham 20 of 50.

phương của S tại p
Tại p  S , chọn tham số hóa địa phương của S là r: U  S,(u,v)  r(u,v) mà
p=r(u0, v0), (u 0 , v0 )  U . Các hàm số trên U
 
 

 
E = (ru' .rv' )(u, v), F = (ru' .rv' )(u,v), G = (rv' .rv' )(u, v) được gọi là các hệ số của
biểu thức tọa độ của dạng cơ bản I.
 

 
 
 
L=(n  r).ruu'' =  (n  r)'u .ru' , M=(n  r)ruv'' =  (n  r)'u rv' =  (n  r)'v .ru'
 
 
N=(n  r).rvv'' =  (n  r)'v .rv' được gọi là các hệ số của biểu thức tọa độ của dạng
cơ bản thứ II.
Với X, Y  TpS, X=φ1.ru' +φ2 .rv' ; Y=ψ1ru' +ψ2rv' thì

I(X,Y)=(E.r -1 )φ1ψ1 +(F.r -1 )(φ1.ψ2 +φ2ψ1 )+(G.r -1)φ2ψ2
II(X,Y)=(L.r -1 )φ1ψ1 +(M.r -1 )(φ1.ψ2 +φ2ψ1 )+(N.r -1 )φ2ψ2 .
Đây lần lượt được gọi là biểu thức tọa độ của dạng cơ bản I và II trong tham
số hóa địa phương đã chọn của S.

 
 r ' ×r '
Khi r tương thích với hướng của S thì (n  r)= u v
ru' ×rv'
3.6.3 Công thức tính độ cong Gauss và độ cong trung bình theo các hệ số
của dạng cơ bản I và II
Trong TpS, lấy cơ sở {α,β} và giả sử h p (α)=a.α+bβ; h p (β)=cα+dβ
thì K(p)  ad  bc , H(p)=

(a+d)

. Khi đó h p (α)  β+α.h p (β)=2.H(p)α  β . Lấy
2

tích vô hướng của các vế của đẳng thức này với α  β ta được

h p (α).α
K(p)=

Footer Page 20 of 50.

h p (β).α
αα
βα

h p (α).β

II(α,α) II(α,β)
h p (β).β II(β,α) II(β,β)
=
αβ
I(α,α) I(α,β)
ββ
I(β,α) I(β,β)

20


luan van,khoa luan, thac si , su pham 21 of 50.

2H(p)=

h p (α).α

h p (β).β

βα

ββ

+

αα
h p (β).α

αα
βα

αβ
h p (β).β

αβ
ββ

Trong tham số hóa địa phương của S tại p là r: U  S, (u,v)  r(u,v) , ta lấy

α = ru' (u,v); β = rv' (u,v) suy ra
LN  M2
K(p)=
(u,v);
EG  F2

EN+GL  2FM
(u,v)
2(EG  F2 )

H(p)=

3.6.4 Một số kết quả
a) Trong E3 cho hệ tọa độ trực chuẩn Oxyz, cho đa tạp hai chiều S có
tham số kiểu đồ thị (x, y)  r(x, y)=(x, y,f(x, y)) . Với hàm f(x, y) là hàm số
khả vi. Khi đó



'
'
r(x, y)=(x, y, f(x, y)), rx (x, y)  (1, 0, f x ),ry' (x, y)  (0, 1, f y' )
Ta tính được E=1+ f x' F = f x' .f y'

G = 1+ f y' . Trong E3, chọn được

hướng và có phép tính tích có hướng, khi đó trường vectơ pháp tuyến đơn vị
 

rx' ×ry'
1
(n  r)(x,y) =   (x, y) =
f x' ,  f y' ,1

1+f x'2 +f y'2

rx' ×ry'



''
''
''
''
Mặt khác rxx =(0;0;f xx ); rxy =(0;0;f xy ); ryy'' =(0;0;f yy'' ) theo đó tính được

L=

f xx''
1+f x'2 +f y'2

; M=

Từ đó (K  r)(x, y) =

f xy''
1+f x'2 +f y'2

f xx'' .f yy''  f xy''
(1+f x'2 +f y'2 )2

; N=

f yy''
1+f x'2 +f y'2

, như vậy điểm ứng với (x, y) là điểm

elliptic, hypeboloit hay paraboloit của mặt tùy theo (f xx'' .f yy''  f xy''2 )(x,y) dương,
âm hay bằng 0

Footer Page 21 of 50.

21


luan van,khoa luan, thac si , su pham 22 of 50.

b) Đa tạp hai chiều liên thông cung trong E3 mà mọi điểm là điểm rốn
thì có độ cong Gauss hằng (không âm).
Chứng minh
Trong E3 cho S là đa tap hai chiều với tham số hóa địa phương là
(u, v)  r( u, v) . Gọi n là trường vectơ pháp tuyến đơn vị của mặt và với mọi

điểm p=r(u, v) trên S đều là điểm rốn tức là α  TpS đều là phương chính
 (α  T S)
của S tại p, gọi độ cong chính của S tại p là k . Suy ra h p (α)=k.α
p
 ' ,  (n r) ' =k.r
 ' . Lấy đạo hàm
 ' , h (r ' )=k.r
 ' hay (n  r) ' =k.r
Và h p (ru' )=k.r
u
u
v

v
u
p v
v

hai vế của đẳng thức thứ nhất theo v, đẳng thức thứ hai theo u ta dược:
 '' ,  (nr)'' =k ' .r ' +k.r
 ''
(nr)''uv =k 'v .ru' +k.r
uv
vu
u v
vu

Trừ vế với vế hai đẳng thức này ta được k 'v .ru' +k 'u .rv' =0 . Do {ru' , rv' } độc lập
tuyến tính nên k 'u =k 'v =0 . Vậy do đa tạp liên thông cung nên K=k 2 là hàm
hằng.
Vậy chỉ có thể có hai trường hợp sau:
+ K= 0: mọi điểm của S là điểm dẹt , khi đó S là một bộ phận liên thông của
mặt phẳng . Thực vậy, trên mỗi tập mở liên thông của S mà có trường vectơ
pháp tuyến đơn vị n thì có Dn=0 nên n là trường vectơ song song trên tập đó.
Vậy do S liên thông, nó định hướng bởi trường vectơ pháp tuyến đơn vị song
song n dọc S. Lấy p  S , với mọi điểm q  S , lấy cung tham số
ρ :[0,1]  S, t  ρ(t) , nối p=ρ(0) với q = ρ(1) và xét hàm
 
 
φ: [0,1]   , φ(t) = pρ(t).n , ta có φ'(t)=ρ'(t).n=0 và φ(0)=0 nên φ(t)=0 với

mọi t, từ đó q = ρ(1) phải thuộc mặt phẳng qua p và thẳng góc với n .

+ K=

1
(R>0) , với mọi điểm của S là điểm cầu , khi đó S là một bộ phận
R2

liên thông của mặt cầu bán kính R. Thực vậy, trên mỗi tập mở liên thông của

Footer Page 22 of 50.

22


luan van,khoa luan, thac si , su pham 23 of 50.

S mà có trường vectơ pháp tuyến đơn vị n, có thể coi h p (α)  

α
với mọi
R

α  TpS , p thuộc tập mở đó. Với cung tham số ρ : [0,1]  S, t  ρ(t) trong tập

  
mở đó, xét t  r(t)=ρ(t)  Rn(ρ(t))  E3 thì r(t)=ρ'(t)+Rh(ρ'(t)) 


ρ'(t) 
 ρ'(t)  R
 0 nên với mọi t [0,1] , r(t) là một điểm cố định O. Từ đó

R


Oρ(t) = R.(n(ρ(t)) =R nên với ρ(t) thuộc mặt cầu tâm O bán kính R. Lấy
p  S , với mọi q  S , lấy cung tham số ρ1 : [0,1]  S, p = ρ1 (0); q = ρ1 (1) thì

có thể chia nhỏ đoạn [0, 1] thành một số hữu hạn đoạn con để thu hẹp của ρ1
trên mỗi đoạn con có ảnh nằm trên một tập mở liên thông của S trên đó có
trường vectơ pháp tuyến đơn vị như nói trên. Từ đó, dễ thấy các điểm O cho
mỗi đoạn con đó là trùng nhau, vậy với mọi t  [0,1] , ρ1 (t) thuộc mặt cầu tâm
O, bán kính R, do đó q thuộc mặt cầu đó.
Hệ quả trực tiếp được rút ra là : S là một đa tạp hai chiều compắc liên thông
trong E3 mà mọi điểm là điểm cầu phải là toàn bộ một mặt cầu.
3.6.5 Ví dụ
a) Trong E3, với hệ tọa độ trực chuẩn Oxyz. Cho mặt xuyến với phương
trình tham số là
r :U  S,(u, v)  r(u, v) = ((a+b.cosu).cosv,(a+b.cosu).sinv,bsinu) với
0  u, v  2π và (a > b > 0) . Theo đó

r(u, v) = ((a+b.cosu).cosv,(a+b.cosu).sinv,bsinv) từ đó tính được

ru' (u,v) = (  b.sinu.cosv;  b.sinu.sinv; b.cosu) và

rv' (u, v) = (  (a+b.cosu).sinv, (a+b.cosu)cosv, 0) . Từ đó xác định được trường

vectơ pháp tuyến của S là

Footer Page 23 of 50.

23

luan van,khoa luan, thac si , su pham 24 of 50.

(n  r)(u, v) =

ru' ×rv'
(u, v) = (  cosu.cosv,  cosu.sinv, sin u) và xác định
ru' ×rv'

được các hệ số của dạng cơ bản I và II như sau

E = b2 , F = 0, G = (a+b.cosu)2
L=b2 , M=0, N=(a+b.cosu).cosu
Từ đó tính được độ cong Gauss và độ cong trung bình của mặt xuyến là

LN  M2
cosu
K(p) =
(u, v) 
2
EG  F
b.(a+b.cosu)
H(p) =

EN+GL  2FM (a+2b.cosu)

(EG  F2 )
b.(a+b.cosu)

π
3π
Từ đây dễ dàng nhận thấy rằng các điểm ứng với đường tròn u= , u=
có
2
2
độ cong Gauss bằng 0, các điểm tương ứng với miền

π
3π
< u<
có độ cong
2
2

Gauss nhỏ hơn 0, các điểm tương ứng với miền 0 < u <

π
hoặc miền
2

3π
< u < 2π có độ cong Gauss dương.
2
b) Trong E3 với hệ tọa độ trực chuẩn đã chọn, cho mặt parabolit eliptic
được xác định bởi tham số hóa kiểu đồ thị là


x 2 y2 
r: U  S, (x, y)   x, y,

+  với (p, q >0)
2p
2q 


x 2 y2
Theo đó, hàm f(x, y) =
là hàm khả vi. Theo kết quả ở trên thì
+
2p 2q
f x' (x, y) =

x
,
p

f y' (x, y) =

y
1
1
và f xx'' (x, y) = , f xy'' (x, y) = 0,f yy'' (x, y) = . Áp
q
p
q

dụng kết quả ta có độ cong Gauss tại mỗi điểm p= r( x, y) là :

Footer Page 24 of 50.

24


luan van,khoa luan, thac si , su pham 25 of 50.

K  r(x, y) =

1
 x 2 y2 
pq 1+ 2 + 2 
 q p 

2

3.7 Định lí
Khi đó nếu f là ánh xạ Gauss từ mặt liên thông S1 vào mặt cầu đơn vị
S2 thì f là ánh xạ bảo giác khi và chỉ khi S1 nằm trên mặt cầu hay một mặt cực
tiểu (mặt cực tiểu là đa tạp hai chiều có độ cong trung bình bằng 0)
Chứng minh
Trong E3 cho hệ tọa độ trực chuẩn Oxyz, với O là tâm mặt cầu S2. Vì

f : S1  S2 là ánh xạ Gauss nên với p  S1 thì f(p)  S2 thỏa mãn




Of (p) = n(p) . Khi đó ta đã chỉ ra có thể đồng nhất TpS1 và Tf(p)S2 . Ta có với





mọi α  TpS1 thì Tpf (α) = Dα n . Do vậy, Tpf =  h p . Ta đã chứng minh được
ánh xạ Weingarten là tự đồng cấu tuyến tính đối xứng của không gian hai

chiều TpS. Nếu ánh xạ f là ánh xạ bảo giác thì Tp f là ánh xạ tuyến tính đồng
dạng, tức hp là ánh xạ tuyến tính đồng dạng . Nếu đồng dạng này có hệ số
đồng dạng là λ (λ  0) thì mọi giá trị riêng của nó là λ hoặc  λ . Vậy hai độ
cong chính của S1 tại mọi p hoặc luôn luôn bằng nhau hoặc luôn luôn đối
nhau. Từ đó suy ra S1 là một mảnh mặt phẳng (đồng dạng tuyến tính trên suy
biến λ=0 ), mặt cầu (mọi điểm là điểm cầu vì có độ cong chính bằng nhau và
khác 0 với mọi điểm trên S1).
3.8. Độ cong pháp dạng và công thức Ơle, công thức Meusnier
3.8.1 Độ cong pháp dạng của đa tạp hai chiều trong E3
Trong E3 cho đa tạp hai chiều S có hướng. Tại p  S , lấy α  TpS,
II(α)

được gọi là độ cong pháp dạng của S tại p theo phương
α  0 . Số k(α)=
I(α)

α.

Footer Page 25 of 50.

25