Tuyển tập 300 đề thi Chuyên và Bồi dưỡng HSG toán 9 lên 10

1

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 THPT CHUYÊN ĐHKHTN-ĐHQG HN 2013-2014 V1
Câu I

1) Giải phương trình 3x  1  2  x 1
1 1 9

 x  y  x  y 2

2) Giải hệ phương trình 
 1  3  x  1   xy  1
 4 2 
y 
xy

Câu II 1) Giả sử a; b; c là các số thực khác 0 thỏa mãn (a+b)(b+c)(c+a)=8abc
Chứng minh rằng
a
b
c
3
ab
bc
ca


 


b  c b  c a  c 4  a  b  b  c   b  c  c  a   c  a  a  b 

2) Có bao nhiêu số nguyên dương có 5 chữ số abcde sao cho abc  10d  e  chia hết cho
101?
Câu III Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp (O) và ABtại D khác A .Gọi M là trung điểm AD và E là điểm đối xứng với D qua tâm O.Giải sử đường
tròn ngoại tiếp tam giác ABM cắt đoạn thẳng AC tại điểm F khác A
1) Chứng minh rằng tam giác BDM và tam giác BFC đồng dạng
2)Chứng minh EF  AC
Câu IV Giả sử a,b,c,d là các số thực dương thỏa mãn điều kiện abc+bcd+cda+dab=1
Tìm giá trị nhior nhất cảu biểu thức P 4 a 3  b 3  c 3   9c 3

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 THPT CHUYÊN ĐHKHTN-ĐHQG HN 2013-2014 V2
Câu I

 x 3  y 3 1  y  x  xy
1) Giải hệ phương trình 
 7 xy  x  y 7

2) Giải phương trình x  3  1  x 2 3 x  1  1  x
5 x 2  8 y 2 20412
Câu II
1) Giải phương trình nghiệm nguyên (x,y) :
2) Với x, y là các số thực dương thỏa mãn x  y 1 .Tìm giá trị cực tiểu của biểu thức
1 1
P    1  x 2 y 2
x y

Câu III . Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp (O) có trực tâm H.Gọi P là điểm nằm trên đường tròn
ngoại tiếp tam giác HBC ( P khác B,C,H ) và nằm trong tam giác ABC .PB cắt (O)tại M khác B.
PC cắt (O) tại N khác C.BM cắt AC tại E, CN cắt AB tại F .Đường tròn ngoại tiếp tam giác AME

và đường tròn ngoại tiếp tam giác ANF cắt nhau tại Q khác A
1) Chứng minh rằng M,N,Q thẳng hàng
2) Giả dụ AP là phân giác góc MAN .Chứng minh PQ đi qua trung điểm của BC
Câu IVGiả dụ dãy số thực có thứ tự x1  x 2  x3 ....  x192 Thỏa mãn điều kiện
 x1  x 2  x3  ......  x n 0

 x1  x 2  x3  ......  x192 2013

Chứng minh rằng x192  x1 

2013
96

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 THPT CHUYÊN ĐHKHTN-ĐHQG HN 2012-2013 V1
Câu I. 1) Giải phương trình
x  9  2012 x  6 2012   x  9 x  6 
 x 2  y 2  2 y 4
2)Giải hệ phương trình 
 2 x  y  xy 4
1


2

Câu II.

1) Tìm tất cả các cặp số nguyên  x; y  thỏa mãn đẳng thức:
 x  y  1 xy  x  y  5  2 x  y 

2) Giả sử x, y la các số thực dương thỏa mãn điêu kiện

Tim giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

P





x 1



y  1 4

x2 y2

y
x

Câu III.Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm O .Gọi M là một điểm trên cung nhỏ
BC ( M khác B,C và AM không đi qua O).Giả sử P là một điểm thuộc đoạn thẳng AM sao cho
đường tròn đường kính MP cắt cung nhỏ BC tại điểm N khác M.
1)Gọi D là điểm đối xứng với điểm M qua O .Chứng minh rằng N,P,D thẳng hàng
2)Đường tròn đường kính MP cắt MD tại Q khác M.Chứng minh rằng P là tâm đườn tròn
nội tiếp tam giác AQN.
Câu IV. Giả sử a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a b 3 c; c b  1; a  b c
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Q

2ab  a  b  c(ab  1)
(a  1)(b  1)(c  1)

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 THPT CHUYÊN ĐHKHTN-ĐHQG HN 2012-2013 V2

Câu 3: Cho tam giác nhọn ABC(AB>AC) nội tiếp đường tròn tâm (O). Giả sử M,N là 2 điểm trên
cung nhỏ BN thỏa mãn MN song song với BC và AN là tia nằm giữa 2 tia AM,AB. P là hình
chiếu vuông góc của C trên AN, Q là h/c vuông góc of M trên AB
a/ Giả sử CP giao QM tại T. C./m T nằm trên (O)
b/ NQ giao (O) tại R khác N. Giả sử AM giao PQ tại S. C.m: A,R,Q,S thuộc 1 dường tròn

Find Min,Max của C(X)
ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 THPT CHUYÊN ĐHKHTN-ĐHQG HN 2011-2012 V1
Câu I.

2
�
� x  1 y  x  y  3
1) Giải hệ phương trình �
2
�( y  2) x  y  x  1 .

2


3

3
x 7


.
x
2( x  1)
Câu II. 1) Chứng minh rằng không tồn tại các bộ ba số nguyên ( x, y, z ) thỏa mãn
đẳng thức
4
4
4
x  y  7 z  5.
2) Tìm tất cả các cặp số nguyên ( x, y ) thỏa mãn đẳng thức ( x  1) 4  ( x  1) 4  y 3 .
2) Giải phương trình

2

x

Câu III. Cho hình bình hành ABCD với �
cắt
BAD  90o. Đường phân giác của góc �
BCD
đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD tại O khác C . Kẻ đường thẳng (d ) đi qua A và
vuông góc với CO . Đường thẳng (d ) lần lượt cắt các đường thẳng CB, CD tại E , F .
1) Chứng minh rằng OBE  ODC .
2) Chứng minh rằng O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CEF .
3) Gọi giao điểm của OC và BD là I , chứng minh rằng IB.BE.EI  ID.DF .FI .
Câu IV. Với x, y là những số thực dương, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P

x3


x3  8 y 3

4 y3
.
y 3  ( x  y )3

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 THPT CHUYÊN ĐHKHTN-ĐHQG HN 2011-2012 V2
Câu I.

1) Giải phương trình



x3  x



2



1 x 1  1.

�
 2x y
� x y
�
2) Giải hệ phương trình � x  y   1  xy   4 x 2 y 2 .
2

2

2

Câu II. 1) Với mỗi số thực a ta gọi phần nguyên của a là số nguyên lớn nhất không vượt quá a
và ký hiệu là  a  . Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n , biểu thức
2
�
�
1
1
3 n
n�
 � không biểu diễn được dưới dạng lập phương của một số nguyên
27 3 �
�
dương.
2) Với x, y, z là các số thực dương thỏa mãn đẳng thức xy  yz  zx  5 , tìm giá
trị
nhỏ nhất của biểu thức
3x  3 y  2 z
P
.
6( x 2  5)  6( y 2  5)  z 2  5
�
Câu III. Cho hình thang ABCD với BC song song AD. Các góc �
là các góc nhọn.
BAD và CDA
Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại I . P là điểm bất kỳ trên đoạn thẳng BC ( P
không trùng với B, C ). Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác BIP cắt đoạn thẳng PA

tại M khác P và đường tròn ngoại tiếp tam giác CIP cắt đoạn thẳng PD tại N khác P.
1) Chứng minh rằng năm điểm A, M , I , N , D cùng nằm trên một đường tròn. Gọi
đường tròn này là ( K ).

2) Giả sử các đường thẳng BM và CN cắt nhau tại Q, chứng minh rằng Q cũng nằm
trên đường tròn ( K ).
PB BD
P
,
I
,
Q
3) Trong trường hợp
thẳng hàng, chứng minh rằng PC  CA .
Câu IV. Giả sử A là một tập con của tập các số tự nhiên �. Tập A có phần tử nhỏ nhất là 1, phần
tử lớn nhất là 100 và mỗi x thuộc A  x �1 , luôn tồn tại a, b cũng thuộc A sao cho x  a  b ( a
có thể bằng b ). Hãy tìm một tập A có số phần tử nhỏ nhất

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 THPT CHUYÊN ĐHKHTN-ĐHQG HN 2010-2011 V1
3


4
 3 x 2  8 y 2  12 xy 23
Câu IGiải hệ phương trình  2
 x  y 2 2.

1) Giải phương trình 2 x  1  3 4 x 2  2 x  1 3  8 x 3  1.
Câu II Tìm tất cả các số nguyên không âm (x, y) thoả mãn đẳng thức

1  x 1  y   4 xy  2 x  y 1  xy  25.
2

2

1) Với mỗi số thực a, ta gọi phần nguyên của số a là số nguyên lớn nhất không vượt quá a
và ký hiệu là [a]. Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương ta luôn có.
 3
7
n 2  n  1

 ...

 n
n n  1 
1.2 2.3

Câu III
Cho đường tròn (O) với đường kính AB = 2R. Trên đường thẳng tiếp xúc với đương tròn
(O) tại A ta lấy điểm C sao cho góc ACB 30 0 . Gọi H là giao điểm thứ hai của đường thăng BC
với đường tròn (O).
1) Tính độ dài đương thẳng AC, BC và khoảng cách từ A đến đương thẳng BC theo R.
2) Với mỗi điểm M trên đoạn thẳng AC, đường thẳng BM cắt đường tròn (O tại điểm N
(khác B). Chứng minh rằng bốn điểm C, M, N, H nằm trên cùng một đường tròn và
tâm đường tròn đó luôn chạy trên một đường thẳng cố định khi M thay đổi trên đoạn
thẳng AC.
9
4

Câu IVVới a,b là các số thực thoả mãn đẳng thức (1  a )(1  b)  , hãy tìm giá trị nhỏ nhất của

biểu thức P  1  a 4  1  b 4 .

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 THPT CHUYÊN ĐHKHTN-ĐHQG HN 2010-2011 V2
Câu IGiải phương trình

x  3  3 x  1 4
 5 x 2  2 y 2  2 xy 26
1) Giải hệ phương trình 
 3 x   2 x  y  x  y  11 .
Câu II Tìm tất cả các số nguyên dương n để n 2  391 là số chính phương.
1) Giả sử x, y, z là những số thực dương thoả mãn điều kiện x  y  z 1 . Chứng minh

rằng
xy  z  2 x 2  2 y 2
1  xy

1.

Câu III
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và M là điểm nằm trong tam giác. Kí hiệu H là hình
chiếu của M trên cạnh BC và P, Q, E, F lần lượt là hình chiếu của H trên các đường thẳng MB,
MC, AB, AC. Giả sử bốn điểm P, Q, E, F thẳng hàng.
1) Chứng minh rằng M là trực tâm của tam giác ABC.
2) Chứng minh rằng BEFC là tứ giác nội tiếp.
Câu IV
Trong dãy số gồm 2010 số thực khác 0 được sắp xếp theo thứ tự a1 , a 2 ,..., a 2010 , ta đánh dấu
tất cả các số âm và tất cả các số mà tổng của nó với một số liên tiếp liền ngay sau nó là một số
dương. (Ví dụ với dãy số -8,-4,-1,2,-1,2,-3,...,-2005 thì các số được đánh dấu là
a 2  4, a 3 4, a 4  1, a5 2 ).
Chứng minh rằng nếu trong dãy số đã cho có ít nhất một số dương thì tổng của tất cả các số

được đánh dấu là một số dương.

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 THPT CHUYÊN ĐHKHTN-ĐHQG HN 2009-2010 V1
4


5

Câu I. 1) Giải phương trình

2

2

x  x  2 2 x  x  1
2

2

 x  y  xy 1

 3 x  y  y 2  3
Câu II.1) Tìm chữ số tận cùng của chữ số 1313  6 6  2009 2009

2) Giải hệ phương trình

2) Với a, b là những chữ số thực dương, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
a b
P
a(4a  5b)  b(4b  5a )

Câu III.
Cho hình thoi ABCD. Gọi H là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Biết rằng bán
kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC bằng a và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD
bằng b.
1) Chứng minh rằng

AH a

BH b

2) Tính diện tích hình thoi ABCD theo các bán kính a, b
Câu IV.
Với a, b, c là những số thực dương, chứng minh rằng
a2
b2
c2
a b c



5
3a 2  8b 2  14 ab
3b 2  8c 2  14bc
3c 2  8a 2  14ca

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 THPT CHUYÊN ĐHKHTN-ĐHQG HN 2009-2010 V2
Câu I. 1) Giải phương trình
14 x  35  6 x  1 84  x 2  36 x  35
2) Chứng minh rằng

1
3
2n  1
n2


...


Với mọi n
4  14 4  34
4  (2n  1) 4 4n 2  1

nguyên dương
Câu II.
1) Tìm chữ số nguyên dương n sao cho tất cả các số
n + 1, n + 5, n + 7, n + 13, n + 17, n + 25, n + 37 Đều là nguyên tố
2) Mỗi lần cho phép thay thế cặp số (a,b) thuộc tập hợp
M  (16,2), (4,32), (6,62), (78,8) bằng cặp số (a + c, b + d)
trong đó cặp số (c, d) cũng thuộc M. Hỏi sau một số hữu hạn lần thay thế ta có thể nhận được tập
hợp các cặp số M 1  (2018,702), (844,2104), (1056,2176), (2240,912) hay không?
Câu III.
Cho đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A và B. Trên đường thẳng
AB ta lấy một điểm M bất kỳ sao cho điểm A nằm trong đoạn BM  M  A .Từ điểm M kẻ tới
đường tròn (O’) các tiếp tuyến MC và MD (C và D là các tiếp điểm, C nằm ngoài (O)). Đường
thẳng AC cắt lần thứ hai đường tròn (O) tại điểm P và đường thẳng AD cắt lần thứ hai đường tròn
(O) tại Q. Đường thẳng CD cắt PQ tại K.
1) Chứng minh rằng hai tam giác BCD và BPQ đồng dạng
2) Chứng minh rằng khi M thay đổi thì đường tròn ngoại tiếp tam giác KCP luôn đi qua
điểm cố định.

0  x, y, z 2 và x+ y + z = 3
Câu IV. Giả sử x,y,z là những số thực thoả mãn điều kiện
Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức :

M  x 4  y 4  z 4  121  x (1  y )(1  z )
ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 THPT CHUYÊN ĐHSP HN 2013-2014 V1
5


6

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 THPT CHUYÊN ĐHSP HN 2013-2014 V2
Câu 1:

6


7

.Câu 2:

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 THPT CHUYÊN ĐHSP HN 2012-2013 V1
Câu 1 (2 điểm). Cho biểu thức P = + ∙ với a > b > 0.
a) Rút gọn P.
b/ Biết a − b = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của P.
Câu 2 (2 điểm). Trên quãng đường AB dài 210 km, tại cùng một thời điểm, một xe máy
khởi hành từ A đi về B và một ô tô khởi hành từ B đi về A. Sau khi gặp nhau, xe máy đi
tiếp 4 giờ nữa thì đến B và ô tô đi tiếp 2 giờ 15 phút nữa thì đến A. Biết rằng xe máy và ô
tô không thay đổi vận tốc trên suốt chặng đường. Tính vận tốc của xe máy và của ô tô.
Câu 3 (2 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P) : y = − x và đường thẳng

(d) : y = mx − n − 2 (m là tham số).
a) Chứng minh rằng khi m thay đổi, (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt có
hoành độ x, x .
b) Tìm m để |x − x| = .
Câu 4 (3 điểm). Cho tam giác ABC. Đường tròn () có tâm O và tiếp xúc với các đoạn
thẳng AB, AC tương ứng tại K, L. Tiếp tuyến (d) của đường tròn () tại điểm E thuộc
cung nhỏ KL, cắt các đường thẳng AL, AK tương ứng tại M, N. Đường thẳng KL cắt OM
tại P và cắt ON tại Q.
a) Chứng minh góc MON = 90 − góc BAC.
b) Chứng minh rằng các đường thẳng MQ, NP và OE cùng đi qua một điểm.
c) Chứng minh KQ.PL = EM.EN
Câu 5 (1 điểm). Cho các số thực dương x, y thỏa mãn điều kiện (x − y) = x + y.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x + y.

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 THPT CHUYÊN ĐHSP HN 2012-2013 V2
Câu 1(1,5 điểm): Giải phương trình:

x2  2 x  2 x2  2 x  1  2 x2  4x  4  0
7


8

Câu 2(2 điểm):
a) Cho các số a,b,c đôi một phân biệt thỏa mãn: a 2 (b  c)  b 2 (a  c)  2012
Tính giá trị của biểu thức: M  c 2 (a  b)
b) Cho 5 số nguyên dương đôi một phân biệt sao cho mỗi số dương trong chúng không có ước số
nguyên tố nào khác 2 và 3. Chứng minh rằng trong 5 số đó tồn tại 2 số mà tích của chúng là một
số chính phương.
Câu 3(2 điểm):

Cho n số thực x1 , x2 ,....., xn với n �3 . Kí hiệu Max  x1 , x2 ,....., xn  là số lớn nhất trong các số
x1 , x2 ,....., xn .Chứng minh rằng:
Max  x1 , x2 ,....., xn

x  x2  .....  xn x1  x2  x2  x3  .....  xn 1  xn  xn  x1

n
2n

 �1

Câu 4(1,5 điểm):
Trong một lớp học có 36 bàn học cá nhân, được xếp thành 4 hàng và 9 cột(Các hàng được đánh số
từ 1 đến 4, các cột được đánh số từ 1 đến 9). Sĩ số học sinh của lớp là 35. Sau một học kì cô giáo
chủ nhiệm xếp lại chỗ ngồi cho các bạn học sinh trong lớp. Đối với mỗi học sinh của lớp, giả sử
trước khi chuyển chỗ, bạn ngồi ở hàng thuộc hàng thứ m , cột thứ n và sau khi chuyển chỗ, bạn
ngồi ở hàng thuộc hàng am , cột thứ an , ta gắn cho bạn đó số nguyên( am  an )   m  n  . Chứng
minh tổng của 35 số nguyên gắn với 35 bạn học sinh không vượt quá 11.
Câu 5: Cho chình vuông ABCD nội tiếp đường tròn (O). Điểm M thuộc cung nhỏ CD của (O), M
khác C và D. MA cắt DB, DC theo thứ tự tại X,Z; MB cắt CA, CD theo thứ tự tại Y, T; CX cắt DY
tại K.
�  TXC,
� MYZ
�  ZYD
�
�  1350 .
a) Chứng minh rằng: MXT
và CKD
b) Chứng minh rằng:

KX KY ZT


1
MX MY CD

c) Gọi I là giao điểm của MK và CD. CMR: XT, YZ, OI cùng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp
tam giác KZT.

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 THPT CHUYÊN ĐHSP HN 2011-2012 Cho mọi T/S
Câu 1: Cho biểu thức

 x y
x2  y 2  y  2  4x4  4x2  y 2  4
:
A 

.
2
2 
2
y

x
2
y

xy

x

x 2  y  xy  x


Với x  0; y  0; x 2 y; y 2  2 x 2
1. Rút gọn biểu thức A

2. Cho y = 1 hãy tính x để A 

2
5

Câu 2: Một nhóm công nhân đặt kế hoạch sản xuất 200 sản phẩm. Trong 4 ngày đầu họ thực hiện
đúng mức đề ra, những ngày còn lại họ làm vượt mức mỗi ngày 10 sản phẩm, nên đó hoàn thành
sớm 2 ngày. Hỏi theo kế hoạch mỗi ngày nhóm công nhân cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm.
Câu 3 :
Cho Parabol (P) : y= x 2 và đường thẳng (d) y=mx - m 2 + 3 (m là tham số ). Tính tất cả các giá trị
m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x 1; x2 . Với giá trị nào
của m thỡ x1; x2 là độ dài cạnh góc vuông của tam giác vuông có độ dài cạnh huyền bằng

5
.
2

Câu 4 : Cho đường tròn (O) đường kính AB=10. Dây cung CD vuông góc với AB tại điểm E sao
cho AE =1. Các tiếp tuyến tại B và C của đường tròn (O) cắt nhau tại K, AK và CE cắt nhau tại
M.
1.Chứng minh tam giác AEC đồng dạng với tam giác OBK .Tính BK
2. Tính diện tích tam giác CKM.
8

9

� =120 . Các điểm M, N chạy trên cạnh BC và CD tương ứng
Câu 5:Cho hình thoi ABCD có BAD
� =300. Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MAN chạy trên đường
sao cho MAN
thẳng cố định.
0

Câu 6: Chứng minh bất đẳng thức:

1
1 2



1
3 4



1
5 6

 ... 

1
79  80

4

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 THPT CHUYÊN ĐHSP HN 2011-2012 Cho chuyên
Toán - Tin
1
1
2
Câu 1 Cho a 
2 
2
8 8
1.Chứng minh rằng 4a 2  2a  2 0
2. Tính giá trị của biểu thức S a 2  a 4  a  1
Câu 2
1.Giải hệ phương trình

2 xy
 2
2
 x  y  x  y 1

 x  y x 2  y

2. Cho 2 số hữu tỷ a,b thỏa mãn đẳng thức :

a 3b  ab 3  2a 2 b 2  2a  2b  1 0
Chứng minh rằng 1-ab là bình phương của một số hưũ tỷ.
Câu 3 Tìm tất cả các số nguyên tố p có dạng p a 2  b 2  c 2 với a, b, c là các số nguyên dương sao
cho a 4  b 4  c 4 chia hết cho p
Câu 4 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) , BE và CF là các đường cao .Các tiếp

tuyến của đường tròn (O) tại B và C cắt nhau tại S các đường thẳng BC và OS cắt nhau tại M
1.Chứng minh

AB BS

AE ME

2. Chứng minh tam giác AEM đồng dạng với tam giác ABS
3.Gọi N là giao điểm của AM và EF ,P là giao điểm của AS và BC .
Chứng minh NP vuông góc với BC
Câu 5 Trong một hộp có chứa 2011 viên bi màu ( mỗi viên bi có đúng 1 màu) ,trong đó có 655 viên bi
màu đỏ ,655 viên bi màu xanh , 656 viên bi màu tím và 45 viên bi còn lại là viên bi màu vàng hoặc màu
trắng ( mỗi màu ít nhất 1 viên). Người ta lấy ra từ hộp 178 viên bi bất kì .Chứng minh rằng trong số các
viên bi lấy ra luôn có ít nhất 45 viên bi cùng màu .Nếu người ta chỉ lấy ra 177 viên bi bất kì thì kết quả
bài toán còn đúng không ?

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 THPT CHUYÊN ĐHSP HN 2009-2010 V1
Câu 1: Cho biểu thức

A  20a  92  a 4  16a 2  64

B=a4+20a3+102a2+40a+200

a-Rút gọn A b- Tìm a để A+B=0
Câu 2:Hai công nhân cùng làm một công việc 18 h xong.Nếu người thứ nhất làm 6h và người thứ 2 làm
12 h thì được 50% công việc.Hỏi nếu làm riêng mỗi người hoàn thành công việc trên bao lâu?
Câu 3: Cho Parabol y= x2 và đường thẳng (d) có phương trình y=mx+1
a- Chứng minh (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A;B với mọi m
b- Gọi A(x1;y1) và B(x2;y2) .Tìm giá trị lớn nhất của
M=(y1-1)(y2-1)

Câu 4:Cho tam giác ABC với AB 5; AC 3 5 ; BC 10 .Phân giác BK góc ABC cắt
9


10
đường cao AH;trung tuyến AM của tam giác ABC tại O và T (K  AC;H, M  BC)
a-Tính AH
b-Tính diện tích tam giác AOT
Câu 5: Các số thực x , y thoả mãn đẳng thức :

x 

1 x2

 y 

1 y2

 1

Chứng minh x+y=0

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 THPT CHUYÊN ĐHSP HN 2009-2010 V2
Câu 1 Các số thực x, y thoả mãn xy  2 và xy  2 . Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ
 23 2 xy
xy  3 2  2 xy
xy
.

thuộc vào x, y P  2 2 3 

3
3
3

 x y  4 2 xy  2 2  xy  2 xy  2
Câu 2
1) Cho phương trình x 2  bx  c 0 , trong đó cá tham số b và c thoả mãn
đẳng thức b + c = 4. Tìm các giá trị của b và c để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x 2 sao cho
x1  x 22  x 2
x y z
 3  12  4 1
Giả sử (x, y, z) là một nghiệm của hệ phương trình: 
Hãy tính giá trị của A = x + y + z
 x  y  z 1
 10 5 3
Câu 3
Ba số nguyên dương a, p, q thỏa mãn các điều kiện:
i)
ap + 1 chia hết cho q.
ii)
aq + 1 chia hết cho p.
pq
Chứng minh a 
2( p  q )
Câu 4
Cho đường tròn (O) đường kính AB và điểm C thuộc đường tròn (C không trùng với A, B và trung
điểm cung AB). Gọi H là hình chiếu vuông góc của C trên AB. Đường tròn (O1) đường kính AH cắt CA tại
E, đường tròn (O2) đường kính BH cắt CB tại F.
1) Chứng minh tứ giác AEFB là tứ giác nội tiếp.
2) Gọi (O3) là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEFB, D là điểm đối xứng của C qua O. Chứng

minh ba điểm H, O3, D thẳng hàng.
3) Gọi S là giao của các đường thẳng EF và AB, K là giao điểm thứ hai của SC với đường tròn (O).
Chứng minh KE vuông góc với KF.
Câu 5
Một hình vuông có độ dài bằng 1 được chia thành 100 hình chữ nhật có chu vi bằng nhau (hai hình
chữ nhật bất kỳ không có điểm chung). Kí hiệu P là chu vi của mỗi hình chữ nhật trong 100 hình chữ nhật
này.
1) Hãy chỉ ra một cách để chia P = 2,02.
2) Hãy tìm giá trị lớn nhất của P.

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 THPT CHUYÊN ĐHSP HN 2010-2011 V1
�3 � 4 x 4  1 �
� �x 2  29 x  78 �
�x 3  x (4 x  1)  4 �
Câu 1: A  �  �x  2 �
��� 2
� 7
�
�
6
�x  6 x  x  6 �
�2 � x  1 �
� �3 x  12 x  36 �
1. Rút gọn biểu thức A
2. Tìm tất các giá trị nguyên của x để biểu thức A có giá trị nguyên
Câu 2:
Cho hai đường thẳng (d1 ): y = (2m2 + 1 )x + 2m – 1 ,(d2): y = m2x + m – 2 Với m là tham số
1. Tìm toạ độ giao điểm I của d1 và d2 theo m
2. Khi m thay đổi, hãy chứng minh điểm I luôn thuộc đường thẳng cố định.
10

11

 x  1  y  z (1)

2
xy

z
 7 z  10 0( 2)

Câu 3 : Giả sử cho bộ ba số thực (x;y;z) thoả mãn hệ
1. Chứng minh x2 + y2 = -z2 + 12z – 19
2. Tìm tất cả bộ số x,y,z sao cho x2 + y2 = 17
Câu 4 :
Cho hình vuông ABCD có độ dài bằng cạnh a. Trong hình vuông đo lấy điểm K sao cho tam giác
ABK đều. Các đường thẳng BK và AD cắt nhau ở P.
1. Tính độ dài KC theo a
2. Trên AD lấy I sao cho DI 

a. 3
CI cắt BP ở H.
3

Chứng minh CHDP là nội tiếp.
3. Gọi M và L lần lượt là trung điểm CP và KD. Chứng minh LM =

a
2

Câu 5: Giải phương trình : (x2 -5x + 1)(x2 - 4) = 6(x-1)2

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 THPT CHUYÊN ĐHSP HN 2010-2011 V2
Câu 1:

1.Giả sử a và b là hai số dương khác nhau và thoả mãn a  b  1  b 2 
Chứng minh rằng
a 2  b 2 1

1 a2

2.Chứng minh rằng số 2009 2  2009 2.2010 2  2010 2 là số nguyên dương
Câu 2:
Giả sử 4 số thực a , b, c, c, d đôi 1 khác nhau và thoả mãn hai điều kiện sau
i)
Phương trình x 2  2cx  5d 0 có 2 nghiêm a và b
ii)
Phương trình x 2  2ax  5b 0 có 2 nghiêm c và d
Chứng minh rằng:
1. a – c = c – b = d - a
2. a + b + c + d = 30
Câu 3 Giả sử m và n là những số nguyên dương với n>1 .Đặt S m 2 n 2  4m  4n
Chứng minh rằng:
1. Nếu m>n thì

mn

2



2

 2  n2S  m2n4

2. Nếu S là số chính phương thì m=n
Câu 4 Cho tam gíac ABC với AB>AC ,AB >BC.Trên cạnh AB của tam giác lấy
các điểm M và N sao cho BC=BM và AC=AN
1.Chứng minh điểm N thuộc đoạn thẳng BM
2.Qua M và N ta kẻ đường thẳng MP song song với BC và NQ song song
với CA ( P  CA; Q  CB ) .Chứng minh CP=CQ.
3.Cho góc ACB = 900 , góc CAB = 300 và AB = a .
Tính diện tích tam giác MCN theo a.
Câu 5 Trên bảng đen viết ba số

2 ;2;

1
2

.Ta bắt đầu thực hiện trò chơi như sau :

Mỗi lần chơi ta xoá hai số nào đó trong ba số trên bảng ,giả sử là a và b rồi viết vào 2 vị trí vừa xoá hai
a b
a b
số mới
và
đồng thời giữ nguyên số còn lại .Như vậy sau mỗi lần chơi trên bảng luôn có ba
2

2
số .Chứng minh rằng dù ta có chơi bao nhiêu lần đi chăng nữa thì trên bảng không đồng thời có ba số
1
; 2 ;1  2 .
2 2

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 THPT CHUYÊN ĐHNN - ĐHQG HN 2009-2010
11


12

Cõu 1: (2im)Cho biu thc
A

3
2
3


2 x 3 x 2 x
:
3
2 3 x
2 3 x
x

8 x

3 x2 4

.
( x 8; x 8; x 0)
2 3 x 2 23 x

Chng minh A khụng ph thuc bin s
Cõu 2 : ( 2 im)
Cho phng trỡnh bc 2 : x2-2(m+1)x+4m-m2 =0 ( tham s m)
1-Chng minh PT cú 2 nghim phõn bit vi mi m
2-Gi x1;x2 l 2 nghim ca phng trỡnh .Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc
M x1 x 2

Cõu 3: ( 2 im)
Gii h phng trỡnh

x 2 y 2 2( x y xy ) 0
2
x y 2 4 x 2 y 4 0

Cõu 4:(3 im)
Trờn (O;R) ly 2 im A;B tu ý ;C thuc on AB (C khỏc A;B). K ng kớnh AD Cỏt
tuyn i qua C vuụng gúc vi AD ti H,ct (O) ti M; N. .ng thng i Qua Mv D ct AB ti
E.K EG vuụng gúc vi AD ti G
a- Chng minh t giỏc BDHC,AMEG ni tip.
b- Chng minh AM2=AC.AB
c- Chng minh AE.AB+DE.DM=4R2
Cõu 5: ( 1 im)
Vi x,y l s thc tho món: x + y + xy = 8
Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc: P = x2 + y2

ấ THI TUYấN SINH VAO 10 THPT CHUYấN AI HOC NGOAI NG HQG

HA NễI 2011-2012
Câu 1: (2điểm)

Cho biểu thức

1
x3 y x x y y3
1
2
1
1

A



. :
y x y
x
y
x
xy 3 x 3 y

1) Rút gọn A

2) Tìm x ; y biết xy

1
; A 5
36

Câu 2 : ( 2 điểm)

x 2 4 y 2 5
1) Giải hệ phơng trình :
x 2 y 5 4 xy 27
2) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
y x 3 6 x
Câu 3: ( 2 điểm)
Cho phơng trình bậc 2 :
x2 - 2(m+1)x + 2m+10 =0 ( m là hằng
số)
1)Tìm m để phơng trình có nghiệm .
2) Giả sử phơng trình có 2 nghiệm x1; x2 .Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức
P x12 x 22 8 x1 x 2
Câu 4:(3 điểm)
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đờng tròn (O). Cho P là điểm bất kì
trên đoạn BC sao cho đờng tròn ngoại tiếp tam giác OBP cắt đoạn AB tại N
khác B và đờng tròn ngoại tiếp tam giác OCP cắt đoạn AC tại M khác C.
12


1) Chứng minh rằng OMP= OAC
2) Chứng minh rằng MPN= BAC và OBC+ BAC=900
3) Chứng minh rằng O là trực tâm tam giác PMN

13

3

3
2

4
x

4 x 2
2
2
x
x
ấ THI TUYấN SINH VAO 10 THPT CHUYấN HNN - HQG HN 2010-2011
Câu 5: ( 1 điểm)

Giải phơng trình:

12

Cõu 1 ( 2,0 im )
x

2x x 1

2

:

.
Cho biu thc P

3 x 9 x

x

x 3 x

1) Tỡm iu kin ca x P cú ngha v rỳt gn P.

2) Tỡm giỏ tr ca x P

4
3

Cõu 2 ( 2,0 im )
1) Tỡm cỏc s nguyờn x, y tha món x2 + 4x + 1 = y4.
x 2 xy y 2 3
2) Gii h phng trỡnh: 3
.
x 3(y x) 1

Cõu 3 ( 2,0 im )
Cho phng trỡnh n x: (m-10)x2 + 2(m-10)x + 2 =0
1) Tỡm m phng trỡnh trờn cú hai nghim x1; x2.
3
3
2
2
2) Chng minh rng khi ú ta cú: x1 x 2 x1 x 2 x1 x 2 4
Cõu 4 ( 3,0 im )
Cho tam giỏc ABC cú ba gúc nhn v AB

ca tam giỏc ABC (D, O BC) V ng trũn tõm O tim xỳc vi AB, AC ln lt ti M v N.
1) Chng minh rng D, O, M, N, A cựng thuc mt ng trũn.


2) Chng minh BDM
CDN
3) ng thng qua O vuụng gúc vi BC ct MN ti I. ng thng AI cỏt BC ti K. Chng
minh K l trung im ca BC.
Cõu 5 ( 1,0 im )
Cho a, b, c l cỏc s dng tha món iu kin a+b+c+ab+bc+ca=6. Chng minh rng:
a 3 b3 c3
a 2 b 2 c 2 3
b c a

ấ THI TUYấN SINH VAO 10 THPT CHUYấN Lấ HễNG PHONG TP HCM
2012-2013

Cõu 2: Cho a thc f(x) = ax3 + bx2 + cx + d. vi a l s nguyờn dng, bit: f(5) f(4) = 2012 . Chng minh: f(7) - f(2) l hp s.
Cõu 4:Cho t giỏc ABCD ni tip (O; R) cú AC vuụng gúc BD ti H. Trờn cnh AB ly im
M sao cho: AM = 1/3 AB. Trờn cnh HC ly trung im N. Chng minh MH vuụng gúc vi
DN.
Cõu 5: Cho ng trũn tõm O v ng trũn tõm I ct nhau ti hai im A v B(O v I khỏc
phớa i vi A v B). IB ct (O) ti E: OB ct (I) ti F. Qua B v MN // EF( M thuc (O) v N
thuc (I).
13


14

a) Chng minh: T giỏc OAIE ni tip.

b) Chng minh: AE + AF = MN
Cõu 6: Trờn mt phng cho 2013 im tựy ý sao cho khi 3 im bt k thỡ tn ti 2 im m
khong cỏch
gia 2 im ú luụn bộ hn 1. Chng minh rng tn ti mt ng trũn cú bỏn kớnh bng 1
cha ớt nht 1007 im( k c biờn). .
.

ấ THI TUYấN SINH VAO 10 THPT CHUYấN TINH HNG YấN 2011-2012
Bài 1: (2,0 điểm) Cho phơng trình x 2 m 1 x m 2 0
2

2

(1)

(ẩn x)

a) Tìm các nghiệm của phơng trình (1) khi m là số tự nhiên
b) Tìm các giá trị của m để phơng trình (1) có hai nghiệm mà hiệu của
chúng bằng 2.
Bài 2: (2,0 điểm)


2 x 2 y 2 xy y 5 x 2 0

a) Giải hệ phơng trình 2
2
x y x y 4 0
1 2
b) Cho Parabol (P) y x và điểm M 1; 2 . Tìm phơng trình đờng

4
thẳng đi qua M và cắt (P) tại một điểm duy nhất.
Bài 3: (2,0 điểm)
a) Tìm số nguyên tố p và q sao cho các số 7p + q và pq + 11 cũng là các
số nguyên tố.
b) Cho x, y là các số thực không âm. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P 2 x y 2 xy 2 y 2011
Bài 4: (3,0 điểm) Cho tam giác đều ABC nội tiếp đờng tròn tâm O. Trên
cung nhỏ AB của đờng tròn (O) lấy điểm E sao cho E khác A và B. Đờng thẳng
AE cắt các tiếp tuyến tại B, C của đờng tròn (O) lần lợt tại M và N. Gọi F là giao
điểm của MC và BN. Chứng minh:
a) Hai tam giác CAN, tam giác MBA đồng dạng với nhau và BM. CN = BC2.
b) BC là tiếp tuyến của đờng tròn ngoại tiếp tam giác MBF.
c) EF luôn đi qua một điểm cố định khi E thay đổi trên cung nhỏ AB của
(O) (E khác A và B)
Bài 5: (1,0 điểm) Trên mặt phẳng cho 2011 điểm sao cho không có 3
điểm nào thẳng hàng. Xét tất cả các đoạn thẳng nối các cặp điểm trong
2011 điểm này. Vẽ đờng thẳng d không đi qua điểm nào trong số 2011
điểm nói trên. Chứng minh rằng nếu đờng thẳng d cắt một số đoạn thẳng
xét ở trên thì số đoạn thẳng bị đờng thẳng d cắt là một số chẵn.

ấ THI TUYấN SINH VAO 10 THPT CHUYấN TINH BC NINH 2011-2012
14


Bài 1. (2,0 điểm)

Cho phương trình: x  2  m  2  x  6m  1  0 với x là ẩn, m là tham số.

15

2

a/ Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.
b/ Tìm điều kiện của m để phương trình trên có hai nghiệm phân biệt lớn hơn 2.
Bài 2. (3,0 điểm)a/ Cho a, b là hai số thực dương thỏa mãn a  ab  6b  0 .
Tính giá trị của biểu thức: P 

ab
.
a  ab  b

�x 2  3y  2
�
b/ Giải hệ phương trình: � 2
9y  8x  8
�
Bài 3. (1,5 điểm)
2

1  ab �
�
a/ Cho các số thực a, b thỏa mãn a  b �0 . Chứng minh rằng: a  b  �
��2 .
�a  b �
2

2

b/ Cho các số thực a, b, c dương thỏa mãn a  b  c  1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

M  a 2  abc  b 2  abc  c2  abc  9 abc.
Bài 4. (3,0 điểm)
Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A và B. Vẽ đường thẳng (d) qua A cắt
(O) tại C và cắt (O’) tại D sao cho A nằm giữa C và D. Tiếp tuyến của (O) tại C và tiếp tuyến của
(O’) tại D cắt nhau tại E.
a/ Chứng minh rằng tứ giác BDEC nội tiếp.
b/ Chứng minh rằng BE.DC  CB.ED  BD.CE.
Bài 5. (0,5 điểm) Cho tam giác ABC, trên tia BA lấy điểm M, trên tia đối của tia CA lấy điểm
N sao BM  CN . Chứng minh rằng đường trung trực của MN luôn đi qua một điểm cố định.

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 THPT CHUYÊN TỈNH HÒA BÌNH 2011-2012
THPT CHUYÊN HOÀNG VĂN THU
Bài 1 (2 điểm).
3
1) Cho a  2  3 

1
3

2 3

. Chứng minh a là nghiệm của phương trình a 3  3a  4  0.

2) Tìm các số tự nhiên n để n3  4n2  2n  15 là số nguyên tố.
Bài 2 (2 điểm). 1) Giải phương trình

x  10  x  4.

2
2
�
�x  2 y  xy  2 y  x  0
.
2) Giải hệ phương trình � 2
2
�x  y  6 x  12  0

Bài 3 (3 điểm).
1) Cho tam giác ABC cân tại A, hai đường cao AH và BK có độ dài lần lượt là 10(cm) và 12(cm). Tính
độ dài các cạnh của tam giác ABC.
15


16
2) Tỡm cỏc s nguyờn x, y tha món 2 x 2 xy 3x 2 y 5 0 .
2
3) Chng minh rng: x

5 6
5 0, x 0
x2 x

Bi 4 (2 im).
Cho ng trũn (O) cú ng kớnh CD; dõy cung AB vuụng gúc vi CD ti im I. Ly im E thuc
cung nh BC, ni EI ct ng trũn ti F ( F E ). Gi M, N ln lt l giao im ca AB vi CF v ED.
Chng minh rng: DI.DC = DN.DE.
Bi 5 (1 im).

IM = IN.

Cho cỏc s t nhiờn a, b, c tha món a 2 b 2 c 2 2051. Chng minh rng tớch abc

chia ht cho 3 nhng khụng chia ht cho 12.

ấ THI TUYấN SINH VAO 10 THPT CHUYấN LAM SN- THANH HOA 2011-2012
Câu1 (2 điểm) Cho biểu thức A

15 x 11 3 x 2 2 x 3


x 2 x 3 1 x
x 3

1.Rút gọn biểu thức A (với x 0 ,x 1 )

2. Chứng minh rằng A

2
3

Câu 2(2 điểm)
1
2

Cho parabol (P): y x 2 và đờng thẳng (d): y= mx m +2 (với m là tham số)
1. Tìm m để (d) cắt (P ) tại điểm có hoành độ x=4
2. Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, (d) luôn cắt (P) tại hai điểm
phân biệt

Câu 3 : (2 điểm)
2 3
x y 12
1. Giải hệ phơng trình :
5 2 19
x y
3x
6 2
2. Giải phơng trình x 2
x 9

Câu 4: (3 điểm) Gọi C là một điểm nằm trên đoạn thẳng AB ( C A, C B ).
Trên nửa mặt phẳng có bờ là đờng thẳng AB, kẻ tia Ax, By cùng vuông góc với
AB. Trên tia Ax lấy điểm I (I A). Đờng thẳng vuông góc với CI tại C cắt tia By
tại K ; đờng tròn đờng kính IC cắt IK tại P.
1.Chứng minh rằng:
a) Tứ giác CPKB nội tiếp đợc trong đờng tròn. Xác định tâm của đờng tròn
đó.
b)Tam giác ABP là tam giác vuông.
2. Cho A, I, B cố định. Tìm vị trí của điểm C trên đoạn thẳng AB sao cho
tứ giác ABKI có diện tích lớn nhất.
Câu 5: (1 điểm)Cho a, b, c là ba số thực dơng thỏa mãn a+b+c = 2. Tính
giá trị lớn nhất của biểu thức: P=

ab
bc
ca


ab 2c

bc 2a
ca 2b
16


17

ấ THI TUYấN SINH VAO 10 THPT CHUYấN HUNG VNG- PHU THO 20112012
Cõu 1 (2,0 im)Cho biu thc: P
1) Tỡm x P cú ngha

2 x 9



x 3

x 5 x 6
x 2
Rỳt gn P



2 x 1
3 x
Tỡm x P<0

x2
x
2

x 1
x 1
2
1
9

x 1 y 1 4

2)Gii h phng trỡnh
1 3 3
x 1 y 1 4

Cõu 2 (2,0 im)1)Gii phng trỡnh :

Cõu 3 (2,0 im)
Cho hm s y=-2x2 cú th (P)
1) Vit phng trỡnh ng thng i qua 2 im M ,N bit M,N thuc P cú honh ln
lt l -1 v 2
2) Lp phng trỡnh ng thng d song song vi MN ct P ti 2 im cú honh x 1 ; x2
tha món x1 x2 5
Cõu 4 (3,0 im)
Trờn ng trũn (O) ng kớnh AB ly im M (khỏc A v B).Gi H l trung im MB .
E,F l chớnh gia cung nh AM v BM ca ng trũn (O).Tip tuyn ca (O) ti F ct AM ti P
1) Chng minh t giỏc HFPM l hỡnh ch nht
2) Chng minh gúc EFH=450
3) Qua A k ng thng (d) song song vi PH .ng thng 9d) ct ng trũn (O) ti
ti D ( D khỏc A) .Chng minh D, O, H thng hng
Cõu 5 (1,0 im) Cho cỏc s thc dng a, b tha món a+b=4ab .Chng minh rng

a

1
4b 2 1 4a 2 1 2
ấ THI TUYấN SINH VAO 10 THPT CHUYấN NGUYấN TRAI- HAI DNG 20112012
1 1 1
1) Cho ba số a, b, c 0 ; a b c 2 và 2 . Chứng minh rằng trong
a b c
ba số a, b, c có ít nhất một số bằng 2.


b



2) Tính giá trị biểu thức S 1

1 1
1 1
1
1


1



...

1

12 22
22 32
20112 20122

Câu 2: (2 điểm)
1) Giải phơng trình:

x 2 4 x 3 3x 6
x 2 xy y 2 1
2
2
2) Giải hệ phơng trình: y yz z 4
z 2 zx x 2 7

Câu 3: (2 điểm)

17


18

a b

2

ab
là
ab
một số nguyên. Gọi d là một ớc số chung bất kì của a và b . Chứng minh

rằng d
a b
(Kí hiệu x là số nguyên lớn nhất không vợt quá x ).
2) Cho x và y là các số hữu tỉ và thoả mãn đẳng thức
3
x y xy 3x 3 y 2 . Chứng minh rằng 1 xy là một số hữu tỉ.
Câu 4: (3 điểm)
Từ một điểm D nằm ngoài đờng tròn tâm O kẻ hai tiếp tuyến DA
và DB đến đờng tròn (A và B là các tiếp điểm). Tia Dx nằm giữa hai
tia DA và DO; Dx cắt đờng tròn tại hai điểm C và E (E nằm giữa C và
D), đoạn thẳng OD cắt đoạn thẳng AB tại M.
Chứng minh rằng:
1) Tứ giác OMEC nội tiếp.


2) CMA=EMA
2
MB DE
3) =
MC DC
Câu 5: (1 điểm)
Giả sử a, b, c là các số dơng thoả mãn abc 1 . Tìm giá trị lớn nhất
a
b
c
2
2
của biểu thức M 2
2

2
b c a c a b a b2 c
ấ THI TUYấN SINH VAO 10 THPT CHUYấN TINH KHANH HOA 2011 2012
Bi 1(2)
1. Khụng dựng mỏy tớnh cm tay, tớnh giỏ tr biu thc
1) Giả sử a và b là các số nguyên dơng sao cho

A 2 3. 2 2 3 . 2 2 2 3 . 2 2 2 3

2. Cho x, y l cỏc s khỏc 0 v tha món x + y = 1. Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc :
1
P 3
x y 3 xy
Bi 2 (2)
2
2
1. Gii phng trỡnh x 3 x 4 x x 6 24

x y y z 187

y z z x 154
2. Vi x, y, z l cỏc s dng, gii h phng trỡnh

z x x y 238

Bi 3. (2)
1. Cho ba s a, b, c tha món 1 a, b, c 2, a b c 0 .
Chng minh: ab bc ca 3 .

18

19

2. Cho a, b là các số nguyên dương sao cho

a 1 b 1

là 1 số nguyên. Gọi d là ước
b
a

của số a và b.
Chứng minh d � a  b
Bài 4.(3đ) Trên nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R (R là độ dài cho trước) lấy hai
điểm M. N (M. N khác A và B) sao cho M thuộc cung �
AN và tổng các khoảng cách từ A, B
đến đường thẳng MN bằng R 3 .
1. Tính độ dài đoạn thẳng MN theo R.
2. Gọi I là giao điểm của AN và BM, K là giao điểm của AM và BN. Chứng minh bốn
điểm M, N, I, K cùng nằm trên một đường tròn. Tính bán kính của đường tròn đó
theo R.
3. Tìm GTLN của diện tich tam giác KAB theo R khi M, N thay đổi trên nửa đường
tròn (O) nhưng vẫn thỏa mãn giả thiết bài toán.
�  1200 . Tia Ax tạo với tia AB một góc BAx
�  150 và
Bài 5. (1đ) Cho hình thoi ABCD có BAD
cắt cạnh BC tại M, cắt đường thẳng CD tại N. Tính giá trị của biểu thức
1 �
�1

T  AB 2 � 2 
�
AN 2 �
�AM
ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU – NGHỆ AN
2012 – 2013
Câu Câu 1 (7,0 điểm).a) Giải phương trình: ( x  1  1)(5  x)  2 x.

�x 2  2 xy  x  2 y  3  0
b) Giải hệ phương trình: � 2
2
�y  x  2 xy  2 x  2  0.
Câu 2 (3,0 điểm).Tìm các số tự nhiên x và y thoả mãn 2 x  1  y 2 .
Câu 3 (2,0 điểm).Cho ba số dương x, y, z thoả mãn

1 1 1
   1. Chứng minh rằng:
x y z

x  yz  y  zx  z  xy � xyz  x  y  z .
Câu 4 (6,0 điểm).Cho đường tròn tâm O, đường kính AB. Trên đường tròn lấy điểm D khác A và
�  600. Trên đường kính AB lấy điểm C (C khác A, B) và kẻ CH vuông góc với AD tại H. Phân
DAB
giác trong của góc DAB cắt đường tròn tại E và cắt CH tại F. Đường thẳng DF cắt đường tròn tại điểm thứ
hai N. a) Chứng minh tứ giác AFCN nội tiếp đường tròn và ba điểm N, C, E thẳng hàng.
b) Cho AD = BC, chứng minh DN đi qua trung điểm của AC.
Câu 5 (2,0 điểm). Một tứ giác lồi có độ dài bốn cạnh đều là số tự nhiên sao cho tổng ba số bất kì trong
chúng chia hết cho số còn lại. Chứng minh rằng tứ giác đó có ít nhất hai cạnh bằng nhau.

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 THPT CHUYÊN TP HÀ NỘI 2011-2012

Bài I (2điểm)Với a ≠ ±b giải phương trình: (a4 – b4)x2 – 2(a3 – b3)x + a2 – b2 = 0
�
�x - y - xy = 2 + 3 2

1) Giải hệ phương trình: � 2

2
�x + y = 6

Bài II(2,0điểm)
19


20

1) Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho n2 – 9n – 3 chia hết cho n – 11
2) Với ba số x, y, z không âm thỏa mãn x + y + z = 6. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của
biểu thức : A = x2 + y2 + z2
Bài III (3,5 điểm)
Trên đường tròn tâm O đường kính AB = 2R lấy điểm N sao cho AN = R nà M là một điểm
bất kì trên cung nhỏ BN( M không trùng với B, N). Gọi I là giao điểm của AM và BN. Đường
thẳng đi qua I và vuông góc với AB tại H, cắt tia AN tại điểm C.
1) Chứng minh ba điểm B, M, C thẳng hàng.
2) Xác định vị trí của điểm M để chu vi tứ giác ABMN lớn nhất.
3) Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNH luôn thuộc một đường thẳng cố
định khi M thay đổi trên cung nhỏ BN của đường trong (O; R).
4) Gọi P là điểm chình giữa của cung AB không chứa điểm N cảu đường tròn (O; R). Đường
thẳng MP cắt AB tại D. Chứng minh

MD MD


không đổi khi M thay đổi trên cung nhỏ
MA MB

BN của đường tròn (O; R).
Bài IV(1,5điểm)Tìm tất cả các bộ ba số nguyên dương (x; y; z) thỏa mãn: xyz = x 2 – 2z + 2
Bài V(1,0điểm)Chứng minh rằng từ 53 số tự nhiên bất kì luôn chọn được 27 số mà tổng của
chúng chia hết cho 27.

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 THPT CHUYÊN TỈNH VĨNH PHÚC 2011-2012
(Chuyên tin_)
Câu 1 (3,0 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đồ thị (P) của hàm số:
y  x 2  (2m 2  1) x  m  1 và đường thẳng (D): y  3 x 

m
; trong đó m là tham số.
2

a) Cho m  1 , tìm hoành độ các giao điểm của (P) và (D).
b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để (P) và (D) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt
có hoành độ không âm.
Câu 2 (3,0 điểm).
a) Giải phương trình:

5x
 5x  9  3 .
5x  4

b) Cho hai số x, y liên hệ với nhau bởi đẳng thức x 2  2 xy  7( x  y)  2 y 2  10  0 . Tìm giá
trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức S  x  y  1 .

Câu 3 (1,0 điểm). Tìm tất cả các số nguyên dương x1 , x2 ,K , xn , n thỏa mãn:
1 1
1
 L   1
x1 x2
xn
Câu 4 (2,0 điểm). Cho tam giác ABC có AB  AC. Trên các cạnh AB, AC lần lượt lấy các điểm
E , D sao cho DE  DC. Giả sử đường thẳng đi qua D và trung điểm của đoạn thẳng EB cắt
đường thẳng BC tại F .
a) Chứng minh rằng đường thẳng EF chia đôi góc �
AED.
�  CED
� .
b) Chứng minh rằng BFE

x1  x2  L  xn  5n  4 và

Câu 5 (1,0 điểm). Trong một hộp có 2010 viên sỏi. Có hai người tham gia trò chơi, mỗi người lần
lượt phải bốc ít nhất là 11 viên sỏi và nhiều nhất là 20 viên sỏi. Người nào bốc viên sỏi cuối cùng
sẽ thua cuộc. Hãy tìm thuật chơi để đảm bảo người bốc đầu tiên luôn là người thắng cuộc.

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 THPT CHUYÊN TỈNH VĨNH PHÚC 2011-2012
(Chuyên toán_)
Câu 1 (3,0 điểm). Cho phương trình : x 4  mx3  (m  1) x 2  m(m  1) x  (m  1) 2  0

(1)
20


21

(trong đó x là ẩn, m là tham số)
1. Giải phương trình (1) với m  2.
2. Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho phương trình (1) có bốn nghiệm đôi một phân
biệt.
Câu 2 (1,5 điểm). Tìm tất cả các cặp hai số nguyên ( x; y ) thỏa mãn x 4  x 3  1  y 2
Câu 3 (3,0 điểm). Cho tam giác ABC với BC  CA  AB nội tiếp trong đường tròn (O) . Trên cạnh
BC lấy điểm D và trên tia BA lấy điểm E sao cho BD  BE  CA. Đường tròn ngoại tiếp
tam giác BDE cắt cạnh AC tại điểm P, đường thẳng BP cắt đường tròn  O  tại điểm thứ
hai Q.
1. Chứng minh rằng tam giác AQC đồng dạng với tam giác EPD.
2. Chứng minh rằng BP  AQ  CQ.
Câu 4 (1,5 điểm). Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng
c  a b
2

2



2 2

a b c
2

2



2 2

b c a
2

2



2 2

�

 a  b  c

54  abc 
2

 ab 

4

3

  bc    ca 
4

4

�

Câu 5 (1,0 điểm). Cho đa giác lồi A1 A2 K A100 . Tại mỗi đỉnh Ak ( k  1, 2,...,100 ), người ta ghi một
số thực ak sao cho giá trị tuyệt đối của hiệu hai số trên hai đỉnh kề nhau chỉ bằng 2 hoặc 3.
Tìm giá trị lớn nhất có thể được của giá trị tuyệt đối của hiệu giữa hai số ghi trên mỗi cặp
đỉnh của đa giác đã cho, biết rằng các số ghi tại các đỉnh đã cho đôi một khác nhau.

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 THPT CHUYÊN TỈNH HÀ TĨNH 2011-2012
Câu 1: a) Giải phương trình: x2+2x+3= 2 x 2 x  3
b) Giải hệ phương trình:

x( x  2)(2 x  y )  6
�
�
( x  3) 2  2 y  10
�

Câu 2: a) Cho a,b,c là các số thực khác 0, thoả mãn: ab+bc+ca=0
Tính tổng: T 

bc ca ab
 
a 2 b2 c 2

b) Tìm tất cả các số nguyên x,y,z thoả mãn: 3x2+6y2+z2+3y2z2-18x=6
Câu 3: a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức F 

1 4 x
2x
 2
2x  1 x  1

a 2  1 b2  1 1
.
 (ab  1)
b) Tìm các giá trị a, b sao cho:
a 1 b 1 2

Câu 4: Cho đường tròn tâm O đường kính BC cố định, A là một điểm thuộc tròn (A không trùng
B, C). H là hình chiếu của A trên BC. Đường tròn tâm I đường kính AH cắt AB, AC theo thứ tự tại
M, N.
a) Chưng minh MN là tiếp tuyến chung của đường tròn ngoại tiếp tam giác BHM và CHN.
21


22

b) Xỏc nh v trớ ca A bỏn kớnh ng trũn ngoi tip tam giỏc BMN ln nht.
Cõu 5: Ly 2011 im thuc min trong ca t giỏc cựng vi 4 nh ta c 2015 im, trong
ú khụng cú ba im no thng hng. Bit din tớch ca t giỏc ban u l 1cm 2. Chng minh rng
tn ti mt tam giỏc cú 3 nh ly t 2015 im ó cho cú din tớch khụng vt quỏ

1
cm2.
4024

ấ THI TUYấN SINH VAO 10 THPT CHUYấN TINH THAI BINH 2011-2012
Câu 1.(3điểm).
1). Giải hệ phơng trình:
2 ). Giải phơng trình:

1

1
x y

y
x

x3 2 y 1 0


3x 2 5 x 6 2 x x 2 x 3

Câu 2.(2điểm).
1). Cho phơng trình : x 2 2( m 2 1) x 2m 2 1 0 . ( m là tham số)
Tìm các giá trị nguyên của m để phơng trình có hai nghiệm dơng phân
biệt x1 , x2 và P

1 1

x1 x2 đạt giá trị nguyên.

2). Tìm các cặp số nguyên (x, y) thoả mãn phơng trình :

x x2 y 2 y 4 0
4

Câu 3.(3,5điểm).
Cho tam giác ABC có đỉnh A cố định, B và C thay đổi trên đờng thẳng d
cố định sao cho nếu gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên d thì B, C
nằm khác phía đối với H. Đờng tròn đờng kính AH cắt AB, AC lần lợt tại điểm
thứ hai là M và N. Gọi P, D lần lợt là giao điểm của AH với MN và đờng tròn

ngoại tiếp tam giác ABC,(D khác A).
1).Chứng minh rằng tứ giác MPDB nội tiếp đờng tròn.
CN BM

2).Tam giác ABC có đặc điểm gì nếu :
.
AB CA
3).Khi B, C thay đổi trên d sao cho các tiếp tuyến của đờng tròn ngoại
tiếp tam giác AMN tiếp điểm là M và N cắt nhau tại K và tớch HB.HC là không
đổi. Chứng minh rằng K thuộc đờng thẳng cố định.
Câu 4.(1điểm). Cho a, b, c là các số dơng thoả mãn abc = 1. Chứng minh
rằng:
a3
b3
c3
3



b(c a ) c( a b) a(b c) 2
Câu 5.(0,5điểm). Tại mỗi đỉnh của đa giác đều 100 cạnh ta đánh một số
bất kì trong các số tự nhiên liên tiếp sau 1, 2, 3, 4, 5,..., 49. Chứng minh rằng
tồn tại 4 đỉnh của đa giác (kí hiệu các đỉnh A, B, C, D với các số tơng ứng
a, b, c, d) sao cho tứ giác ABCD là hình chữ nhật và a + b = c + d.
22


23

ấ THI TUYấN SINH VAO 10 THPT CHUYấN HUNG VNG- PHU THO 20112012 ( Chuyờn Toan)

Câu 1. (3,0 im)
1) Cho a, b, c là các số thực thoả mãn : a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca.

a22 b6 c2011
Tính giá trị biểu thức: P = 22 + 6 + 2011
b
c a
3
6
;y =
.
2) Cho x = 3
3
3
4 - 2 +1
4+ 4 +3 16
Chứng minh rằng x + y là một số tự nhiên.
Câu 2. (2,0 điểm)
1) Giải phơng trình: x 3 8 x 11x x2 24 1.
2) Giải hệ phơng trình :

1
4

2x y 3x y 2


4x 12y 7 2x y 3x y

Câu 3. (1,0 điểm)

Tìm tất cả các số nguyên n sao cho A n 2010 n 2011 n 2012 là
một số
chính phơng.
Câu 4. (3,0 điểm)
Cho tam giác ABC nội tiếp trong đờng tròn (O). Gọi D là điểm thay
đổi trên cung
nhỏ AB của đờng tròn (O), (D không trùng với A, B).
1) Trong trờng hợp ACBD là tứ giác ngoại tiếp một đờng tròn, chứng minh
rằng
AC + BD = AD + BC.
2) Trong trờng hợp ABC là tam giác đều, chứng minh rằng DA + DB =
DC.
3) Trong trờng hợp tam giác ABC có AB là cạnh nhỏ nhất, trên cạnh AC và
BC lấy
các điểm M, N tơng ứng sao cho AM = BD và BN = AD. Chứng minh
rằng khi D
thay đổi trên cung nhỏ AB của đờng tròn (O) thì trung điểm I của
đoạn thẳng MN
luôn thuộc một đờng tròn cố định.
Câu 5. (1,0 điểm)
Cho a, b, c là số thực dơng, chứng minh rằng:

2ab
3bc
3ca
a 2b 3c



.

3a 8b 6c 3b 6c a 9c 4a 4b
9
ấ THI TUYấN SINH VAO 10 THPT CHUYấN HUNG VNG- PHU THO 20112012 ( All Thi Sinh)
Cõu 1 (2,0 im)

Cho biu thc: P

2 x 9
x 5 x 6



x 3
x 2



2 x 1
3

x
23


24

2) Tìm x để P có nghĩa
Câu 2 (2,0 điểm)

Rút gọn P

Tìm x để P<0

x2
x
2 
x 1
x 1
2
1
9

 x  1  y 1  4

2)Giải hệ phương trình 
 1  3 7
 x  1 y  1 4

1)Giải phương trình :

Câu 3 (2,0 điểm)
Cho hàm số y=-2x2 có đồ thị (P)
3) Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm M ,N biết M,N thuộc P có hoành độ lần
lượt là -1 và 2
4) Lập phương trình đường thẳng d song song với MN cắt P tại 2 điểm có hoành độ x 1 ; x2
thỏa mãn x1  x2  5
Câu 4 (3,0 điểm)
Trên đường tròn (O) đường kính AB lấy điểm M (khác A và B).Gọi H là trung điểm MB .
E,F là chính giữa cung nhỏ AM và BM của đường tròn (O).Tiếp tuyến của (O) tại F cắt AM tại P
4) Chứng minh tứ giác HFPM là hình chữ nhật

5) Chứng minh góc EFH=450
6) Qua A kẻ đường thẳng (d) song song với PH .Đường thẳng (d) cắt đường tròn (O) tại
tại D ( D khác A) .Chứng minh D, O, H thẳng hàng
Câu 5 (1,0 điểm)
Cho các số thực dương a, b thỏa mãn a+b=4ab .Chứng minh rằng

a

1
4b  1 4a  1 2
ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 THPT CHUYÊN BÀ RỊA – VŨNG TÀU 2011-2012
2

b



2



Bài 1: (3.0 điểm)
1) Rút gọn biểu thức : P 

2 x
x 1



x

x1



x3 1
x 1

x  y  xy 1

2)Giải hệ phương trình: 2 x  y  xy 2
Bài 2: (2.5 điểm)
Cho phương trình x2 – 2x + m = 0 (1), với m là tham số.
1) Tìm tất cả giá trị nguyên của m để phương trình (1) có 2 nghiệm x1,x2 thoã x1 0 , x2 0 và
1  x1  1  x 2 = 1+ 3 .
2) Tìm tất cả các giá trị m để phương trình (1) có hai nghiệmx1,x2 sao cho N=(x12+x2)(x22+x1)
là một số chính phương.
Bài 3: (1.0 điểm)
Cho các số dương a,b,c thay đổi và thoã mãn 3a+4b+5c=12. tính giá trị lớn nhất của
biểu thức: S 

ab
2ac
3bc


.
ab  a  b ac  a  c bc  b  c

Bài 4: (2.5 điểm)
24

25

Cho hình vng ABCD. Trên cạnh CD lấy điểm M tuỳ ý khác hai điểm C,D. Đường thẳng d qua
m và vng góc AM; d cắt các đường thẳng AB,BC,DA lần lượt tại các điểm E,F,G.
1) Chứng minh rằng:  MAF MBC và tg MAF + tg  MBC =1.
2) đường tròn ngoại tiếp tam giác DEG còn cắt đường thẳng AB tại H khác điểm E. Chứng
minh rằng đường thẳng MH vng góc AB.
Bài 5: (1.0 đểm)
Cho tam giác ABC, điểm O cố định nằm trong tam giác ( O khơng thộc các cạnh của tam giác).
điểm M di động trên tia OA (M khác O và A) sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giácABM còn cắt
tia OB tại đểm N khác B và đường tròn ngoại tiếp tam giác ACM còn cắt tia OC tại điểm P khác
C.
1) Chứng minh rằng

ON
khơng đổi.
OP

2) Gọi I và J lần lượt là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và tam giác MNP.
Chứng minh rằng O,I,J thẳng hàng.

ĐỀ THI TỦN SINH VÀO 10 THPT CHUN Q́C HỌC H́ 2005-2006
Bài 1:(3 điểm)
a/ Cho a,b là các số thực không âm tùy ý.
Chứng tỏ rằng :

a  b  a + b  2(a  b) . Khi nào có

dấu đẳng thức ?
b/ Xét u, v, z, t là các số thực không âm thay đổiù có tổng
bằng 1.
Hãy tìm giá trò lớn nhất và giá trò nhỏ nhất của S = u + v
+

z+ t

Bài 2: (2 điểm)
Cho tam giác vuông DEH có độ dài hai cạnh góc vuông là DE
= 5cm và EH =12cm.
a/ Tính độ dài bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác vuông
DEH .
b/ Trong tam giác vuông DEH có hai đường tròn có cùng bán
kính r, tiếp xúc ngoài nhau
và tiếp xúc với các cạnh tam giác vuông DEH như hình dưới.
Tính độ dài của r .
D

r

H

r

E

Bài 3:(2 điểm)
a/ Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình : 2x + 9y =
2005 (*).

b/ Chứng minh rằng : x.y  55833
trong đó (x,y ) là nghiệm
nguyên bất kì của (*)
Bài 4: (2 điểm)
25