07A phương pháp khử gauss

Bài 2. Phương pháp khử ẩn liên tiếp (Khử Gauss)

I.

Hai loại hệ phương trình tuyến tính đơn giản (tam giác, hình thang)

II.

Phương pháp khử ẩn liên tiếp (khử Gauss)


I.

Hai loại hệ phương trình tuyến tính đơn giản
HỆ TAM GIÁC
ĐN:
Hệ phương trình tuyến tính dạng tam giác của n ẩn số x1 , x 2 ,K , x n
là hệ có dạng:

�a11x1  a12 x 2  L
�
a 22 x 2  L
�
�
L
L
�
�
�
trong đó a ii �0, i  1, 2,K , n.

 a1n x n
 a 2n x n
L
a nn x n

 b1
 b2
L
 bn

Đặc điểm của hệ tam giác:
• Số phương trình bằng số ẩn;
• Từ trên xuống dưới các ẩn mất dần;
• Phương trình cuối cùng có 1 ẩn. (Rút ra từ 2 đặc điểm trên)
Cách giải: Thế từ dưới lên trên, ta tìm được nghiệm duy nhất.
NX:

Hệ phương trình tuyến tính dạng tam giác có nghiệm duy nhất.


I.

Hai loại hệ phương trình tuyến tính đơn giản
HỆ TAM GIÁC
VD:

Giải hệ tam giác:

2x  y  3z  4
�

�
3y  2z  9
�
�
2z  6
�
Từ phương trình cuối cùng tính được:

z3

Thế z  3 vào phương trình thứ 2 ta được:

y 1

Thế y  1, z  2 vào phương trình thứ 2 ta được: x  2
Vậy nghiệm của hệ là:

 x  2, y  1, z  3


I.

Hai loại hệ phương trình tuyến tính đơn giản
HỆ HÌNH THANG
Hệ phương trình tuyến tính dạng hình thang của n ẩn số x1 , x 2 ,K , x n
ĐN:
là hệ có dạng:

�a11x1  a12 x 2  L
�

a 22 x 2  L
�
�
L
�
�
�
trong đó a ii �0,

 a1m x m

 L

 a1n x n

 b1

 a 2m x m

 L

 a 2n x n

 b2

L
L
 L  a mn x n

L

 bm

L
a mm x m

i  1,2,K ,m.

Đặc điểm của hệ hình thang:
• Số phương trình nhỏ hơn số ẩn (m < n);
• Từ trên xuống dưới các ẩn mất dần;
• Phương trình cuối cùng có nhiều hơn 1 ẩn.


I.

Hai loại hệ phương trình tuyến tính đơn giản
HỆ HÌNH THANG
Cách giải: Xét hệ hình thang:

a11x1
�
�
�
�
�
�
�

 a12 x 2
a 22 x 2

L

 L
 L
L




a1m x m
a 2m x m
L
a mm x m

 L
 L
L
 L

 a1n x n
 a 2n x n
L
 a mn x n

Trong hệ hình thang trên:
Các ẩn x1 , x 2 ,K , x m được gọi là các ẩn chính;
Các ẩn x m 1 , x m  2 ,K , x n được gọi là các ẩn tự do.
Bước 1: Gán cho ẩn tự do giá trị thực bất kỳ;
Bước 2: Chuyển hệ thành hệ tam giác với các ẩn chính, giải hệ
tam giác này.




b1
b2
L
 bm


I.

Hai loại hệ phương trình tuyến tính đơn giản
HỆ HÌNH THANG
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình:

�x  2y  3z  t  3
�
y  2z  3t  1
�
Bước 1: Đặt z  , t  ;

,  ��; Đưa hệ về dạng tam giác:

�x  2y  3    3
�
y  2  3  1
�
Bước 2: Giải hệ tam giác này ta được nghiệm:

�x  7  7  1
�
�y  2  3  1
Vậy nghiệm của hệ hình thang trên là:

 x  7  7  1, y  2  3  1, z  , t    ;
NX:

,  ��

Hệ phương trình tuyến tính dạng hình thang có vô số nghiệm.


II.

Phương pháp khử ẩn liên tiếp (khử Gauss)
CC: Biến đổi sơ cấp

Hệ Bất kỳ

PP: Khử Gauss

Hệ TG/ HT

Xét hệ phương trình:

�a11x1
�a x
� 21 1
�

�L
�
a m1x1
�




a12 x 2
a 22 x 2
L
 a m2x2

 L
 L
L
 L







a1n x n
a 2n x n
L
 a mn x n

b1

b2
L
 bm

a
Khử a i1 bằng cách nào? Lấy pt(i) cộng vào nó  i1 lần pt(1), i = 2,…,n.
Trong quá trình khử trên nếu xuất hiện PT:

0.x1  0.x 2  L  0.x n  b
a11x1
�
�
�
�
�
�
�



a12 x 2
a�
22 x 2
L
a�
m2 x 2

 L
 L
L

 L




a11

Nếu b = 0 thì loại khỏi hệ;
Nếu b ≠ 0 thì PT Vô nghiệm.

a1n x n
a�
2n x n
L
 a�
mn x n




b1
b�
2

L
 b�
m


II.

Phương pháp khử ẩn liên tiếp (khử Gauss)
Quá trình cứ tiếp tục…, ta có 1 trong 3 khả năng sau sẽ xảy ra:
• Hệ nhận được vô nghiệm (ứng với b ≠ 0 ở trên);

0

• Hệ nhận được có dạng tam giác;

1

• Hệ nhận được có dạng hình thang.

�

Một hệ phương trình tuyến tính bất kỳ có khả năng có mấy nghiệm?
NX:

Một hệ phương trình tuyến tính hoặc vô nghiệm, hoặc có 1 nghiệm,
hoặc vô số nghiệm.

Chú ý: Thay vì thực hiện khử Gauss trực tiếp trên hệ, ta sẽ khử trên ma trận
mở rộng của nó. Việc thực hiện các phép biến đổi sơ cấp trên hệ sẽ
được thay bằng thực hiện các phép biến đổi sơ cấp tương ứng trên
ma trận mở rộng của hệ. Cụ thể:
Đổi chỗ 2 phương trình của hệ;

Đổi chỗ 2 dòng tương ứng của ma
trận;

Nhân một phương trình với số
α ≠ 0;

Nhân dòng tương ứng với số α;

Cộng vào phương trình (i) bội k
lần phương trình (j);

Cộng vào dòng (i) bội k lần dòng (j);


II.

Phương pháp khử ẩn liên tiếp (khử Gauss)
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình:

�x  3y  2z  1
�
�2x  y  3z  9
�
3x  y  z  2
�
Giải:

Ma trận mở rộng của hệ trên là:

�1 3 2 1 �
�
A�
2


1
3
9
�
�
�
3 1 1 2 �
�
�

Thực hiện khử Gauss bằng cách biến đổi trên ma trận mở rộng A ta được:

�1 3 2 1 ��(2) �3
�
�1
A�
2

1
3
9
�
�
�
3 1 1 2 �
�1
�
�

3 2 1 �
�1
�
��
� �0  7 7 7 ��17 ��
�
�
�0 10 5 5 ��15
�
�

1 3 2 1�
�
1 3 2 1 �
�
�
� �2 ��
� B
� �
0

1
1
1
0

1
1
1
�

�
�
�
�
�
�
0 2 1 1��1
0 0
1 3�
�
�
�

Ma trận B có
dạng tam giác
Giải hệ TG được
nghiệm là:

 x  1, y  2, z  3


II.

Phương pháp khử ẩn liên tiếp (khử Gauss)
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình:

�2x  y  3z  4t  3
�
3x  2y  7z  9t  7
�

�5x  2y  5z  7t  5
�
Giải:

Ma trận mở rộng của hệ trên là:

�2 1 3 4 3 �
�
A�

3
2

7
9

7
�
�
�5 2 5 7 5 �
�
�
Thực hiện khử Gauss bằng cách biến đổi trên ma trận mở rộng A ta được:

�2 1 3 4 3 � �3 �( 5)
��2
A�

3
2


7
9

7
��
�
�
�
�5 2 5 7 5 ��2
�
�

� 2 1 3 4 3 �
�
��(1)
0
1

5
6

5
�
�
�0 1 5 6 5 �
�1
�
�

Ma trận B có
Giải hệ HT được
2 1 3 4 3 �
�
dạng hình thang
nghiệm là:
�
�
0
1

5
6

5

B
�
�
 x      1, y  5  6  5, z  , t    ;
�
�
0
0
0
0
0
�
�
,  ��

trong đó:


II.

Phương pháp khử ẩn liên tiếp (khử Gauss)
Ví dụ 3: Giải hệ phương trình:

� x
�2x
�
�
�3x
�
4x
�

 3y  z  2t
 y  3z  t
 y  z  2t
 3y  z  5t






0
5
2

2

Giải: Thực hiện khử Gauss bằng cách biến đổi trên ma trận mở rộng A :

�1 3 1 2
�2 1 3 1
A�
�3 1 1 2
�
4 3 1 5
�
1
�
�0
��
��
�0
�
�0

3
5
0
0

0 � �2�3�(4)
�1
5�
�
��

�
�1
2�
�
�1
2�

1 3
�
�0 5
�
�0 10
�
�0 15

1 2 0 �
1
�
�0
1
3 5�
�
��
��
�0
4 2 8 � �2
�
�
8 4 17 �
�1

�0

Vậy hệ phương trình vô nghiệm.

3
5
0
0

1

0�
�(2) �3
1
3 5�
�
�1
2 8 2 �
�
�1
5 13 2 �
1
1
4
0

2

2
3

2
0

0�
5�
�
8 �
�
1�