07B CARL FRIEDRICH GAUSS

CARL FRIEDRICH GAUSS
(1777 - 1855)


CARL FRIEDRICH GAUSS
(1777 - 1855)
Carl Friedrich Gauss sinh ngày 30 tháng 4 năm 1777, mất ngày 23
tháng 2 năm 1855. Ông là một nhà toán học và nhà khoa học người Đức tài
năng, người đã có nhiều đóng góp lớn cho các lĩnh vực khoa học, như lý
thuyết số, giải tích, hình học vi phân, khoa trắc địa, từ học, thiên văn học và
quang học. Được mệnh danh là "hoàng tử của các nhà toán học", với ảnh
hưởng sâu sắc cho sự phát triển của toán học và khoa học, Gauss được xếp
ngang hàng cùng Leonhard Euler, Isaac Newton và Archimedes như là
những nhà toán học vĩ đại nhất của lịch sử.


Từ lúc nhỏ tuổi, Gauss đã thể hiện mình là một thần đồng, để lại nhiều
Giai thoại, trong đó có nhắc đến những phát kiến đột phá về toán học ngay ở
tuổi thiếu niên. Ông đã hoàn thành quyển Disquisitiones Arithmeticae, vào năm
24 tuổi. Công trình này đã tổng kết lý thuyết số và hình thành lĩnh vực nghiên
cứu này như một ngành toán học mà ta thấy ngày nay.


Gauss được sinh ra tại Braunschweig, thuộc Brunswick – Lüneburg
(nay là Hạ Saxony, Đức), là con trai duy nhất của một cặp vợ chồng thuộc tầng
lớp thấp trong xã hội. Theo giai thoại kể lại, tài năng bẩm sinh của Gauss được
phát hiện khi ông mới lên ba, qua việc ông sửa lại lỗi của cha trong tính toán
tài chính. Một câu chuyện khác kể rằng khi ông học tiểu học, thầy giáo yêu cầu
học sinh tính cộng các số nguyên từ 1 đến 100. Gauss đã trả lời đúng chỉ trong
vài giây bằng một cách giải nhanh và độc đáo. Ông nhận thấy việc cộng hai số
ở đầu và cuối dãy tạo ra kết quả trung gian giống nhau:

1 + 100 = 101, 2 + 99 = 101, 3 + 98 = 101, và kết quả tổng cộng là
50*101 = 5050. Câu chuyện này có nhiều khả năng là chuyện có thật, mặc
dù bài toán mà thầy giáo của Gauss đã ra có thể khó hơn như vậy.


Từ năm 1792 đến 1795, Gauss được nhận học bổng của Karl Wilhelm
Ferdinand (công tước trong vùng) để vào trường trung học Collegium
Carolinum. Từ năm 1795 đến 1798 ông học ở Đại học Göttingen. Trong trường
trung học, Gauss khám phá ra một số định lý toán học quan trọng một cách độc
lập; năm 1796, Gauss đã có đột phá toán học đầu tiên khi ông chứng minh rằng
mọi đa giác đều với số cạnh bằng số nguyên tố Fermat (và, do đó, mọi đa giác
đều với số cạnh bằng tích của các số nguyên tố Fermat khác nhau và lũy thừa
của 2) đều có thể dựng được bằng compa và thước kẻ. Đây là một khám phá
quan trọng trong ngành dựng hình, một bài toán đã làm đau đầu nhiều nhà toán
học từ thời Hy Lạp cổ đại. Gauss đã thích thú với kết quả này đến nỗi ông đã
yêu cầu khắc lên mộ mình sau này một hình thất thập giác đều. Tuy nhiên
người xây mộ đã từ chối, nói rằng khó khăn kỹ thuật sẽ làm cho hình với số
cạnh nhiều như vậy trông giống một hình tròn.


Năm 1796 có lẽ là năm chứng kiến nhiều phát kiến của Gauss nhất,
chủ yếu cho ngành lý thuyết số. Vào 30 tháng 3 năm đó, ông tìm thấy cách
dựng hình thất thập giác. Ông đã tìm ra số học modula, một khám phá giúp cho
việc giải toán trong lý thuyết số được đơn giản hóa đi nhiều. Công thức nghịch
đảo toàn phương của ông được tìm thấy ngày 8 tháng 4. Định luật khá tổng
quát này cho phép các nhà toán học xác định khả năng giải được cho các
phương trình bậc hai trong số học modula. Định lý số nguyên tố được Gauss
phát biểu ngày 31 tháng 5, cho một cách hiểu thấu đáo về cách số nguyên tố
được phân bố trong dãy số nguyên. Ngày 10 tháng 7, Gauss đã tìm thấy rằng
bất cứ số nguyên nào cũng có thể được biểu diễn bằng tổng của tối đa là ba số

tam giác; Ông đã sung sướng viết trong sổ tay của mình
"Heureka! Num = Δ + Δ + Δ". Ngày 1 tháng 10, ông cho xuất bản một kết quả về
các nghiệm của các đa thức với hệ số trong trường vô hạn, một kết quả đã dẫn
đến phát biểu Weil 150 năm sau.


Trong luận văn của ông năm 1799, Gauss đã trở thành người đầu tiên
chứng minh định lý cơ bản của đại số. Định lý này nói rằng bất cứ một đa thức
trên trường số phức nào cũng đều có ít nhất một nghiệm. Các nhà toán học
trước Gauss mới chỉ giả thiết rằng định lý đó là đúng. Gauss đã chứng sự đúng
đắn của định lý này một cách chặt chẽ. Trong cuộc đời của mình, ông đã viết ra
tới bốn cách chứng minh hoàn toàn khác nhau cho định lý trên, làm sáng tỏ ý
nghĩa của số phức.


Năm 1801, Gauss tiếp tục có nhiều cống hiến trong lý thuyết số, tổng
kết lại trong quyển Disquisitiones Arithmeticae, một công trình chứa đựng miêu
tả gọn gàng về số học modula và cách chứng minh thứ nhất của công thức
nghịch đảo toàn phương. Cùng năm này, nhà thiên văn Ý Giuseppe Piazzi tìm
thấy thiên thể Ceres, nhưng chỉ kịp thấy nó trong vài tháng. Gauss đã tiên đoán
chính xác vị trí mà thiên thể này sẽ được tìm lại, và tiên đoán này được khẳng
định bởi quan sát của Franz Xaver von Zach ở thị trấn Gotha vào ngày 31 tháng
12, 1801, và bởi Heinrich Wilhelm Matthäus Olbers ở Bremen một ngày sau đó.
Zach đã ghi lại "nếu không có công trình trí tuệ và tính toán của tiến sĩ Gauss
chúng ta đã có thể không tìm lại Ceres được nữa". Vào thời điểm này Gauss
tuy vẫn nhận lương của Công tước, ông bắt đầu cảm thấy ngành toán học cơ
bản có thể không đảm bảo đủ thu nhập. Ông đã tìm việc trong ngành thiên văn
học, và vào năm 1807 được giữ cương vị Giáo sư Thiên văn và Giám đốc đài
thiên văn ở Göttingen. Ông đã làm việc với chức vị này trong suốt phần còn lại
của cuộc đời.

Sự khám phá ra Ceres của Giuseppe Piazzi ngày 1 tháng 1 năm 1801
đã giúp Gauss chuyển hướng nghiên cứu sang lý thuyết về chuyển động của
các tiểu hành tinh, bị nhiễu loạn bởi các hành tinh lớn hơn. Các công trình của
ông trong lĩnh vực này đã được xuất bản năm 1809 dưới tên "Theoria motus
corporum coelestium in sectionibus conicis solem ambientum" (lý thuyết về
chuyển động của các thiên thể trong quỹ đạo mặt cắt hình nón quanh Mặt Trời).
Piazzi chỉ quan sát được Ceres trong vài tháng, khi thiên thể này di chuyển
khoảng vài độ trên bầu trời. Sau đó thiên thể này chói lòa bởi ánh sáng Mặt
Trời. Vài tháng sau, khi Ceres đã ló ra khỏi vùng ảnh hưởng của ánh sáng Mặt
Trời, Piazzi đã không tìm thấy nó: các công cụ toán học thời đó không đủ chính
xác để giúp ông tiên đoán trước vị trí thiên thể này từ các dữ liệu ít ỏi đã quan
sát được - 1% của toàn bộ quỹ đạo.


Gauss, lúc đó ở tuổi 23, đã được nghe về bài toán này và lập tức giải
quyết nó. Sau ba tháng làm việc miệt mài, ông đã tiên đoán vị trí của Ceres vào
tháng 12 năm 1801 - khoảng 1 năm sau khi thiên thể này được nhìn thấy lần
đầu - và tính toán này đã được kiểm chứng lại cho thấy sai số nhỏ hơn nửa độ.
Các công trình của ông đã trở thành công cụ tính toán quan trọng cho thiên văn
học thời này. Ông đã giới thiệu hằng số hấp dẫn Gauss và hoàn chỉnh phương
pháp bình phương tối thiểu, một phương pháp dùng cho hầu như một ngành
khoa học ngày nay khi giảm thiểu sai số đo. Gauss đã chứng minh chặt chẽ giả
định về sai số theo phân bố Gauss. Phương pháp này đã được Adrien – Marie
Legendre dùng vào năm 1805, nhưng Gauss nói ông đã dùng nó từ năm
1795.


Cuối thập niên 1810, Gauss được mời thực hiện các nghiện cứu trắc

địa cho bang Hannover để liên kết với mạng lưới Đan Mạch. Gauss vui lòng
chấp nhận và tham gia, đo đạc vào ban ngày và xử lý kết quả vào ban đêm, sử
dụng khả năng tính toán phi thường của ông. Ông thường viết cho Heinrich
Christian Schumacher, Heinrich Wilhelm Matthäus Olbers và Friedrich
Bessel, nói về tiến trình đo đạc và các vấn đề. Trong cuộc điều tra trắc địa này,
Gauss đã phát minh máy heliotrope sử dụng hệ thống gương để phản chiếu
ánh sáng Mặt Trời vào kính viễn vọng phục vụ đo đạc chính xác.


Gauss cũng đã tuyên bố khám phá ra hình học phi Euclide nhưng ông
chưa bao giờ xuất bản các công trình về vấn đề này. Khám phá này đã là một
cuộc cách mạng trong tư duy toán học đương thời, giải phóng các nhà toán học
khỏi giả thuyết rằng các tiên đề Euclide là cách duy nhất để xây dựng hình học
không tự mâu thuẫn. Các nghiên cứu về hình học này, cùng với các ý tưởng
khác, đã dẫn đến lý thuyết tương đối rộng của Albert Einstein, miêu tả vũ trụ
trong hình học phi Euclide. Farkas Bolyai, một bạn của Gauss, người mà Gauss
đã thề làm "anh em kết nghĩa" khi còn là sinh viên, đã thử chứng minh định đề
song song từ các tiên đề Euclide mà không thành công. Con trai của Bolyai,
János Bolyai, khám phá ra hình học phi Euclide năm 1829 và xuất bản công
trình này năm 1832. Sau khi nhìn thấy xuất bản của János Bolyai, Gauss đã viết
cho Farkas Bolyai: "Nếu khen công trình này thì tức là tự khen tôi. Toàn bộ nó
... trùng hoàn toàn với những gì tôi nghĩ trong suốt ba mươi đến ba mươi nhăm
năm qua". Câu nói khó kiểm chứng này đã gây căng thẳng trong quan hệ với
János Bolyai (người đã nghĩ rằng Gauss đã "ăn cắp" ý tưởng của ông).


Cuộc thăm dò địa trắc ở Hannover đã dẫn Gauss đến khám phá ra
phân bố Gaussian dùng trong miêu tả sai số phép đo. Nó cũng dẫn ông đến
một lĩnh vực mới là hình học vi phân, một phân ngành toán học làm việc với các
đường cong và bề mặt. Ông đã tìm thấy một định lý quan trọng cho ngành này,

theorema egregrium xây dựng một tính chất quan trọng cho khái niệm về độ
cong. Một cách nôm na, định lý nói rằng độ cong của một bề mặt có thể được
đo hoàn toàn bởi góc và khong cách trên bề mặt đó; nghĩa là, độ cong hoàn
toàn không phụ thuộc vào việc bề mặt trông như thế nào trong không gian (ba
chiều) bao quanh.