11 hệ vecto độc lập phụ thuộc tuyến tính

Bài 2. Các mối liên hệ tuyến tính trong không gian vectơ

I.

II.

Tổ hợp tuyến tính và phép biểu diễn tuyến tính
1.

Tổ hợp tuyến tính

2.

Phép biểu diễn tuyến tính

Sự phụ thuộc – độc lập tuyến tính
1.

Khái niệm sự phụ thuộc – độc lập tuyến tính

2.

Xét sự phụ thuộc – độc lập tuyến tính của một hệ vectơ

3.

Một số ví dụ


I.

Tổ hợp tuyến tính và phép biểu diễn tuyến tính
1.

Tổ hợp tuyến tính

Trong không gian �n cho m vectơ

X1 , X 2 ,K , X m
và m số thực bất kỳ

1 ,  2 ,K ,  m
1X1   2 X 2 L   m X m ��n

ĐN:

( )

*

, trong đó 1 ,  2 ,K ,  m là các số thực cho trước
( )
*
được gọi là một tổ hợp tuyến tính của các vectơ X1 , X 2 ,K , X m
Mỗi tổng

Các số 1 ,  2 ,K ,  m được gọi là hệ số của tổ hợp tuyến tính đó.
Định lý: Tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính của các vectơ n chiều

X1 , X 2 ,K , X m cho trước là một không gian con của không gian �n

I.

Tổ hợp tuyến tính và phép biểu diễn tuyến tính
2.

Phép biểu diễn tuyến tính

ĐN:

Ta nói rằng vectơ X biểu diễn tuyến tính qua các vectơ X1 , X 2 ,K , X m
nếu vectơ là một tổ hợp tuyến tính nào đó của hệ vectơ này

Nói cách khác, vectơ X biểu diễn tuyến tính qua hệ vectơ X1 , X 2 ,K , X m
Nếu tồn tại bộ m số 1 ,  2 ,K ,  m sao cho:

X  1X1   2 X 2  K   m X m
Ví dụ 1: Cho các vectơ

X1   2, 4 
X 2   3,5 
X   5,1

�
�
� � X  1.X1  1.X 2
�
�
Vectơ X có biểu diễn tuyến tính qua hệ vectơ  X1 , X 2  hay không?
Trả lời: Biểu diễn được

Ví dụ 2: Cho các vectơ

X1   3, 1,0,5 
X 2   4, 2,0,3
X 3   7, 1,0, 4 
X   2, 4,7, 3
Vectơ X có biểu diễn tuyến tính qua hệ vectơ  X1 , X 2 , X 3  hay không?
Trả lời: Không biểu diễn được

1 ,  2 ,  3
NX:

X 1.X1   2 .X 2   3 .X3

Vectơ không luôn biểu diễn tuyến tính qua mọi hệ vectơ cùng chiều:

0n  0.X1  0.X 2  L  0.X n
Biểu diễn này được gọi là biểu diễn tầm thường.


II.

Sự phụ thuộc – độc lập tuyến tính
1.

Khái niệm phụ thuộc – độc lập tuyến tính

ĐN:

Ta nói rằng hệ vectơ X1 , X 2 ,K , X m phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ
khi tồn tại m số thực 1 ,  2 ,K ,  m , trong đó có ít nhất một số khác 0,
sao cho:

1X1   2 X 2  L   m X m  0n

( )

*

Ngược lại, nếu đẳng thức

chỉ thỏa mãn khi tất cả các hệ số ở vế trái bằng
( )
*
0  1   2  L   m  0  thì ta nói hệ vectơ độc lập tuyến tính.
Xem xét hệ thức

( )

*

dưới dạng biểu diễn vectơ 0n qua hệ X1 , X 2 ,K , X m
Có  i �0 � Phụ thuộc tuyến tính

0n  1X1   2 X 2  L   m X m
1   2  L   m  0 � Độc lập tuyến tính

II.

Sự phụ thuộc – độc lập tuyến tính
2.
BT:

Xét sự phụ thuộc – độc lập tuyến tính của một hệ vectơ
Xét xem hệ vectơ X1 , X 2 ,K , X m độc lập hay phụ thuộc tuyến tính

1X1   2 X 2  L   m X m  0n

Xét hệ thức:
Viết lại

( )

*

( )

*

dưới dạng đẳng thức vectơ dưới dạng cột:

0
�a11 � �a12 �
�a1m � ��
�
� �a �
�

� ��
a
a
0
1 �21 �  2 � 22 � L   m �2m � ��
�M� �M �
�M � ��
M
� � � �
� � ��
a
a
a
0
�
�
{
{n1 � �
{n 2 �
{nm � ��
X1

X2

0n

Xm

Có  i �0 � PT

1   2  L   m  0 � ĐL

Đưa hệ vectơ này về hệ thuần nhất:

�a111
�
a 211
�
�
�L
�
a n11
�
X1



a12  2

 L



a1m  n



 a 22  2
L
 a n 2 2

 L
L
 L

 a 2m  n
L
 a nm  n



X2

Xm

0

0
L
 0
0n

Hệ TN có ma trận hệ số:

�a11 a12
�
a 21 a 22
�
A
�L

L
�
a n1 a n 2
�

L
L
L
L

  X1X 2 L X m 

a1n �
a 2n �
�
L �
�
a nm �
n�m


II.

Sự phụ thuộc – độc lập tuyến tính
2.

Xét sự phụ thuộc – độc lập tuyến tính của một hệ vectơ

Thuật toán xét hệ vectơ X1 , X 2 ,K , X m độc lập – phụ thuộc tuyến tính:
Bước 1: Lập ma trận A, với các cột là các vectơ X1 , X 2 ,K , X m

Bước 2: Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp, đưa A về một trong 2 dạng (tam
giác hoặc hình thang), nếu A đưa được về tam giác (có nghiệm duy
nhất là nghiệm 0) thì hệ độc lập; Ngược lại, nếu A đưa được về dạng
hình thang (vô số nghiệm), thì hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính.


II.

Sự phụ thuộc – độc lập tuyến tính
3.

Một số ví dụ

Ví dụ 1: Xét hệ vectơ trong không gian vectơ �n

E1   1,0,0,K ,0 

E 2   0,1,0,K ,0 
LLLLLLL
E n   0,0,0,K ,1
Lời giải:
Lập ma trận A:

�1
�0
A�
�
L
�
�0

E1

0
1
L

L
L
L

0 L
E2

Hệ vectơ trên độc lập tuyến tính.

0�
0�
�
L �
�
1�
En


II.

Sự phụ thuộc – độc lập tuyến tính
3.

Một số ví dụ

Ví dụ 2: Xét hệ vectơ trong không gian vectơ �3
Lời giải:

X1   2, 1,6  , X 2   3, 2, 5  , X 3   2,6, 3 

Lập ma trận A:

�2 3 2 �
�
A�

1
2
6
�
�
�6 5 3 �
�
�
Biến đổi sơ cấp trên A ta được:

�2 3 2 � �1 �(3)
��2
��
�
A�

1
2

6
�
�
�6 5 3 ��1
�
�
��
�

2 3 2�
�
�
�
0
7
14
�
�
�
�
0
0
19
�
�

�

2 3
2�

�
�
� �2
0
7
14
�
�
�
0 14 9 �
�
��1

��
�

Hệ vectơ đã cho độc lập tuyến tính


II.

Sự phụ thuộc – độc lập tuyến tính
3.

Một số ví dụ

Ví dụ 3: Xét hệ vectơ trong không gian vectơ �3
Lời giải:

X1   4, 2,3 , X 2   1,5,3 , X 3   2, 4, 1

Lập ma trận A:

�4 1 2 �
�
A�

2
5

4
�
�
�3 3 1 �
�
�
Biến đổi sơ cấp trên A ta được:

�4 1 2 � �1 �(3)
��2
��
�
A�

2
5

4
�
�

�3 3 1 ��4
�
�
��
�

�4 1 2 �
�
�
0
9

6
�
�
�
0 0 0�
�
�

�

4 1 2 �
�
�
� �(5) ��
�
0
9


6
�
�
�
0 15 10 �
�
��3

Hệ vectơ đã cho phụ thuộc tuyến tính