Toán Tử Chiếu Và Áp Dụng Giải Bài Toán Cân Bằng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM
-------------------------

PHẠM HÙNG KHÁNH

TOÁN TỬ CHIẾU VÀ ÁP DỤNG GIẢI BÀI TOÁN
CÂN BẰNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên – 2013

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM
–––––––––––––––––––––

PHẠM HÙNG KHÁNH

TOÁN TỬ CHIẾU VÀ ÁP
DỤNG GIẢI BÀI TOÁN CÂN
BẰNG
Chuyên nghành: TOÁN GIẢI
TÍCH Mã số: 60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: GS.TSKH. LÊ DŨNG
MƢU


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các kết quả
trình bày trong luận văn là hoàn toàn trung thực, được các tác giả cho phép sử
dụng và luận văn hoàn toàn không trùng lặp với bất kì tài liệu nào khác.
Tác giả
Phạm Hùng Khánh


Mục Lục
Mục lục........................................................................................................... i
Lời cảm ơn..................................................................................................... ii
Mở đầu............................................................................................................1
Chƣơng 1. Tập lồi và hàm lồi trong không gian Hilbert...........................3
1.1. Không gian Hilbert...................................................................... 3
1.1.1. Không gian tiền Hilbert............................................................. 3
1.1.2. Không gian Hilbert.................................................................... 4
1.1.3. Các ví dụ....................................................................................4
1.1.4. Một số tính chất cơ bản............................................................. 5
1.2. Tập lồi và hàm lồi trong không gian Hilbert.................................10
1.2.1. Tập lồi........................................................................................10
1.2.2. Hàm lồi......................................................................................14
Chƣơng 2. Phép chiếu trong không gian Hibert.........................................19
2.1. Định nghĩa và ví dụ..........................................................................19
2.2. Các tính chất cơ bản........................................................................26
2.3. Một số trƣờng hợp cụ thể...............................................................28
Chƣơng 3. Áp dụng giải bài toán cân bằng.................................................32

3.1. Bài toán cân bằng............................................................................ 32
3.1.1. Phát biểu bài toán cân bằng....................................................... 32
3.1.2. Những trường hợp đặc biệt của bài toán cân bằng....................35
3.2. Phƣơng pháp chiếu giải bài toán cân bằng...................................48
Kết luận.......................................................................................................... 56
Tài liệu tham khảo.........................................................................................57


LỜI CẢM ƠN
Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, tác giả xin gửi lời cảm
ơn sâu sắc tới GS.TSKH. Lê Dũng Mưu người thầy đã luôn tận tình hướng dẫn,
chỉ bảo và giúp đỡ tác giả trong quá trình làm khóa luận để tác giả hoàn thành
được khóa luận này.
Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn trân thành và sâu sắc tới các thầy, cô
trong khoa Toán – Trường Đại Học Sư Phạm – Đại Học Thái Nguyên đã giảng
dạy và giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập tại trường.
Qua đây tác giả xin trân thành cảm ơn tới người thân trong gia đình đã
luôn động viên tạo điều kiện giúp đỡ tôi về mọi mặt trong suốt quá trình học
tập và thực hiện khóa luận tốt nghiệp này.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng, tuy nhiên luận văn khó tránh khỏi những
thiếu sót. Tác giả rất mong được sự đóng góp ý kiến của các quý thầy, cô để
luận văn được hoàn thiện hơn.
Xin trân trọng cảm ơn!
Thái Nguyên, tháng 03 năm 2013
Tác giả

Phạm Hùng Khánh


MỞ ĐẦU

Giải tích lồi là môn học cơ bản của giải tích hiện đại, nghiên cứu về tập
lồi, hàm lồi và các vấn đề liên quan. Bộ môn này có vai trò quan trọng trong
nhiều lĩnh vực khác của toán học ứng dụng, đặc biệt là trong tối ưu hóa, bất
đẳng thức biến phân, các bài toán cân bằng,..v.v..có thể nói giải tích lồi là một
trong những bộ môn quan trọng nhất làm cơ sở toán học của tối ưu hóa.
Sau các kết quả đầu tiên của H.Minkowski (1910) về tập lồi và hàm lồi, lý
thuyết giải tích lồi đã thu hút được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà toán
học, lý thuyết giải tích lồi được quan tâm nghiên cứu nhiều trong khoảng bốn
mươi năm trở lại đây bởi các công trình nổi tiếng của H.Minkowski,
C.Caratheodory, W.Fenchel, J.J.Moreau, R.T.Rockafellar, L.klee, A.Brondsted,
W.V.Jensen, G.Choquet và nhiều tác giả khác.
Trong không gian Hilbert, phép chiếu xuống một tập lồi đóng có nhiều
tính chất quan trọng. Việc tồn tại và tính duy nhất của hình chiếu xuống một
tập lồi đóng là cơ sở để chứng minh sự tồn tại và duy nhất của nhiều bài toán
khác nhau trong giải tích ứng dụng như lý thuyết xấp xỉ, tối ưu hóa, bất đẳng
thức biến phân và trong các vấn đề khác. Trong toán học tính toán rất nhiều
phương pháp giải dựa trên việc tìm hình chiếu của một điểm xuống một tập lồi.
Trong trường hợp tổng quát, đây là bài toán khó giải. Tuy nhiên khi tập lồi có
những cấu trúc riêng thì bài toán này có thể được giải một cách hiệu quả bởi
những chương trình phần mềm hiện nay đã có sẵn. Thậm chí trong trường hợp
đặc biệt, khi tập lồi là hình cầu, siêu hộp, đơn hình, nửa không gian..v.v...thì
hình chiếu xuống các tập này có thể tính theo công thức tường minh.
Mục đích của luận văn này là để nghiên cứu về toán tử chiếu trong không
gian Hilbert và việc giải bài toán cân bằng dựa vào các phương pháp chiếu.
Luận văn bao gồm phần mở đầu, ba chương, phần kết luận và danh mục tài liệu
tham khảo.


Chương 1: Trình bày các khái niệm và tính chất cơ bản về không gian Hilbert,
tập lồi và hàm lồi trong không gian Hilbert, định lí tách, tính liên tục, dưới vi

phân. Các kiến thức này sẽ được sử dụng trong các chương sau.
Chương 2: Xét phép chiếu trong không gian Hilbert về định nghĩa, ví dụ, các
tính chất cơ bản và một số trường hợp cụ thể.
Chương 3: Giới thiệu bài toán cân bằng và một số vấn đề liên quan đến bài toán
này như: Các trường hợp riêng quan trọng; sự tồn tại nghiệm; các dạng tương
đương;..v...v....Cuối cùng là trình bày một thuật toán chiếu dưới gradient xấp xỉ
để giải một lớp bài toán cân bằng.


Chƣơng 1
TẬP LỒI VÀ HÀM LỒI TRONG KHÔNG GIAN HILBERT
Trong chương này, ta sẽ trình bày lại một số kết quả sẽ được dùng cho các
chương sau. Đó là các kiến thức cơ bản về không gian Hilbert và giải tích lồi.
Nội dung trong chương được trích dẫn chủ yếu từ tài liệu tham khảo
1;2 ; 3
và 4.

1.1.

Không gian Hilbert

1.1.1. Không gian tiền Hilbert
Định nghĩa 1.1. Cho H là không gian trên trường  . Tích vô hướng xác định
trên H là một ánh xạ xác định như sau:
.,.: H H , thỏa mãn các điều kiện sau đây:
K
( x, y )

a, x, y


 x, y

y,
x

với
mọi

x, y H .

b, x y, zx, zy, x, y, z H .
z với mọi
c, x, yx, y x, y H ; K.
với mọi
d, x, x0 với mọi x và x, x0 khi và
H
chỉ khi

x 0 .

Số x, y được gọi là tích vô hướng của hai vectơ x và y. Cặp  H

được

,.,. 
gọi là không gian tiền Hilbert ( Hay còn gọi là không gian Unita ).
Từ định nghĩa ta thấy rằng tích vô hướng

.,. chính là một dạng song tuyến

tính xác định dương trên H. Khi đó H được gọi là không gian tiền Hilbert thực.


Định lí 1.1. Cho H là không gian tiền Hilbert với

x, y H , ta luôn có bất
đẳng
2
x, y x, xy, y.

thức sau

Chú ý 1.1. Bất đẳng thức ở định lí 1.1 được gọi là bất đẳng thức Schwarz,
trong bất đẳng thức Schwarz dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x, y phụ thuộc
tuyến tính.
Định lí 1.2. Cho H là không gian tiền Hilbert. Khi đó x x, x1/2 ,
x H
định một chuẩn trên H.

xác

1.1.2. Không gian Hilbert
Một không gian tiền Hilbert, xem như không gian định chuẩn, có thể đầy
đủ hoặc không đầy đủ.
Định nghĩa 1.2. Nếu H là một không gian tiền Hilbert và đầy đủ đối với chuẩn
cảm sinh từ tích vô hướng thì được gọi là không gian Hilbert.
Cũng tương tự như trường hợp không gian tiền Hibert, với trường  thì ta
có không gian Hilbert thực.
1.1.3. Các ví dụ


n

1) 

n

là không gian Hilbert thực với tích vô hướng x, y


trong đó:

x x1, x2 , y y1, y2
,..., x
,..., y
n

2) Xét không gian:
2



n

i

.

n




K
x

l  x
 (x )

 

i

1

i

xy,


2

n n

n

.

n1

Ta đã biết l2 là không gian Banach với chuẩn x


.

(1.1)




 xn
Với x  ) , y
(x
( y )
n n

2

n1
2

l , nhờ bất đẳng thức Buniakowski ta có:
n
n


2



xn
yn

2

x

2

y .



n1

Dễ kiểm tra rằng:



x, y
xn yn

xác định một tích vô hướng trong l 2 và nó

n1

cảm sinh (1.1). Vậy l là một không gian Hilbert.
2
3) Cho ( X , A, ) là một không gian độ đo và E A. Xét không gian

L (E, )
2







f:E

d 

E

f


ta đã biết L2 (E,
)



2

là một không gian Banach với chuẩn:
1



f 

2

.

f d 

E

2

Hơn nữa, với f , g L2 (E, ) , từ bất đẳng thức Holder về tích phân,
ta có:

 fg d 
 
E



1

1

g d 

2

f d

E



2

 
2



2

.

E

Ta dễ dàng kiểm tra được
f , g  fgd ,


xác định một tích vô hướng
trong

2

L (E,
)

E

2

và L (E,
)

là không gian Hilbert thực.


1.1.4. Một số tính chất cơ bản
.,.: H H
Định lí 1.3: Cho H là một không gian Hilbert. Khi đó:   là một
hàm liên tục.
Chứng minh: Cho

là hai dãy trong không gian tiền Hilbert H lần

x n , y n

lượt hội tụ về x0 , y0 . Khi đó, ta có:
xn , yn x0 , y0 xn , yn xn , y0
xn , y0  x0 , y0 

(1.2)

xn , yn y0 xn x0 , y0 
xn y 
n
y0



xn 
x0

y0 .

Theo giả thiết (xn ) hội tụ trong H nên nó bị chặn, nghĩa là tồn tại số M>0 sao
cho: xn  với mọi n  .
M
Vì vậy, ta có:
xn , yn x0 , y0
M yn y0
Cho n , theo giả
thiết ta có:



xn 
x0

y0 .

hay limxn , yn x0 , y0 .
n

lim xn , yn x0 ,
y0  0
n

Suy ra tích vô hướng là một hàm liên tục.




Định lí 1.4: Với mọi x, y thuộc không gian tiền Hilbert H ta luôn có đẳng thức
hình bình hành sau đây:
2

2

x y  x

y

2
( x

2

2

 y) .

(1.3)

Chứng minh: Với x, y H , ta có:
x y

x y

2

2

2

x y, x
 yx

2

x y, x
 yx

2

x,
yy, x
y

2

x,
yy, x
y

,

(1.4)

.

(1.5)

Cộng (1.4) và (1.5) ta thu được đẳng thức (1.3). Suy ra điều phải chứng minh.
Hệ quả 1.1: Giả sử H là một không gian tiền Hilbert và
có đẳng thức Apollonius:
2( x y

2

yz
 x
) x
2
 4

z
2



x, y, z H . Khi
đó ta

2

2

y z

.

Chứng minh. Áp dụng đẳng thức hình bình hành cho hai vectơ x – y và x – z ta
có điều phải chứng minh.
Định lí 1.5. Giả sử (H ,
)

là một không gian định chuẩn trên trường  trong

đó đẳng thức hình bình hành nghiệm đúng với
mọi
2

x y

x, y H :
2

2

 x y2

x

2

y

.



Khi đó, với trường  ta đặt
1

x, yp(x, y) 

x y
4
2


thì .,. là một tích vô hướng trên H và ta có
2

x

y

2

,


x, x x ,x H.
Định lí 1.6. Với mọi không gian tiền Hilbert H đều tồn tại một không gian
Hilbert H chứa H sao cho H là một không gian con trù mật trong H .
Định nghĩa 1.3.
Cho

D 0và y là một vec tơ bất kì, đặt:
dD ( y) :inf x  y .
xD

Ta nói dD (
y)
dD ( y)
:

y




là khoảng cách từ y tới D. Nếu tồn tại
 D

sao cho

, thì ta nói  là hình chiếu (khoảng cách) của y trên D và
kí

hiệu PD ( y).
Định lí 1.7. Cho M là một tập lồi, đóng và khác rỗng trong không gian Hilbert
H. Khi đó mỗi x
H
x

y

tồn tại duy nhất một phần tử y thuộc M sao cho

d(x, M ) .

Định nghĩa 1.4. Hai phần tử x, y trong không gian tiền Hilbert H được gọi là
trực giao
nếu

x, y0 , kí hiệu x y .

Định lí 1.8. Giả sử M là một không gian con đóng của không gian Hilbert
H. Khi đó mỗi phần tử x H được biểu diễn một cách duy nhất
dưới dạng
x y trong đó y
M
z

và z
M

được gọi là hình chiếu trực giao của x



lên M.
Định nghĩa 1.5. Ánh
xạ

P : xác định bởi P(x) =

y trong biểu diễn của

Định lí 1.8 được gọi là phép chiếu trực giao từ H lên M.


Định lí 1.9. Phép chiếu trực giao P của không gian Hilbert H lên không gian
con
đóng

M

là một toán tử tuyến tính liên tục và
 0 có

P 1.


Chứng minh. Với mọi x1, x2 H theo Định lí 1.8 ta có
,K,
x1 Px1 z1, x2 Px2 z2 ,
trong đó

z1, z2 M
.

Vì vậy
x1 x2 Px1 Px2 z1 z2 ,
trong đó
Px1 Px2 M , z1 
z2 M .

Từ tính duy nhất của sự biểu diễn trong Định lí 1.8 suy ra
P(x1 x2 ) Px1 Px2 .
Tương tự, ta có

P(x1 ) P(x1 ) .

Vậy P tuyến tính.
Mặt khác, với x H
, ta có
2

Hơn nữa, với x M ,
ta có

2

x Px 
z

2

2

Px.

Px x .
Vì vậy: P 1. Vậy định lí được chứng minh.
Định nghĩa 1.6. Một tập
hợp

S x
 i

iT



trong không gian tiền Hilbert H được


gọi là hệ trực giao nếu các phần tử thuộc S trực giao với nhau từng đôi một.
Nếu mọi phần tử của S có chuẩn bằng 1 thì S được gọi là hệ trực chuẩn.
Định lí 1.10. Nếu S là một hệ các phần tử trực giao trong không gian Hilbert H
thì S là độc lập tuyến tính.
Định lí 1.11. (Đẳng thức Pythagore) Nếu
xn

x1, x2 ,...,

là một hệ trực giao

trong H thì
2

2

n

x

n



i

i1

xi .


i1

Định lí 1.12. Giả sử e1,e2 ,...,enlà một hệ gồm n phần tử trực chuẩn trong
H.
Khi đó mỗi phần tử x
H
bởi hệ

có hình chiếu trực giao lên không gian con H sinh

e1,e2

n

y  x,ei ei .

,...,en  là

i1

Chứng minh. Vì M là không gian con hữu hạn chiều nên M đóng trong H.
Theo Định lí 1.8, với mỗi x
H

được biểu diễn dưới dạng x = y + z, trong đó

y M , z
M



. Do

y M , ta

có :
n

y

Với mỗi j = 1,2,...,n ta có :

 e
i

.

i
i1

n

Vậy:


x,

y z,e j 

j .

iei j e j

ej

i1

n

y  x,ei ei .



i1

Định lí 1.13. Giả sử x

n

là hệ trực giao trong không gian Hilbert H. Khi đó





hội tụ khi và chỉ khi

chuỗ
chuỗi
x
i
n


xn

n1

2



hội tụ
và

2

xn .


2

xn





n1

n1


n

1

Chú ý. Nếu e

 n

là hệ trực chuẩn ta có




2

 ne



 n
2

.

n1

n
n1

Định lí 1.14. Giả sử e

 n

là hệ trực chuẩn trong không gian Hilbert H. Khi


đó với mọi x
H

chuỗ
i






x,en en

hội tụ
và

n1





2

x,en 

2

, chuỗi

 x

n1

được gọi là chuỗi Fourier của x đối với hệ

e n

và bất đẳng

x,en en

n1

thức trên được gọi là bất đẳng thức Bessel.
Định nghĩa 1.7. Hệ trực chuẩn e

 n

trong không gian Hilbert H được gọi là

một cơ sở trực chuẩn nếu không gian con sinh bởi hệ này là trù mật trong H.
Định lí 1.15. (Định lí Riesz) Giả sử

e

 n

là một cơ sở trực chuẩn trong


không gian Hilbert H. Nếu dãy số
(n )

thỏa mãn điều
kiện



 
n

2

thì sẽ

n1

tồn tại duy nhất x
H

nhận

n

làm hệ số Fourier n x,en và




x  n en , x
n1

2



2

n .
n1

Định nghĩa 1.8. Cho H là một không gian Hilbert. Dãy

 xn 

trong H được gọi

là hội tụ yếu đến phần tử x trong H nếu với mọi y ta có limxn ,
H
yx, y.

n

Kí
hiệu:

w

xn

x.

Định lí 1.16. Giả sử H là không gian Hilbert

Nếu dãy
 xn 
dãy số



xn ,

yn

 Nếu dãy
 xn 

hội tụ yếu đến x
H

hội tụ

và dãy

hội tụ mạnh đến y
H

y n

thì

x, y.

đến
hội tụ yếu đến x
H

và dãy

x

n

hội tụ đến x thì dãy



xnhội tụ mạnh đến x H .
1.2. Tập lồi và hàm lồi trong không gian Hilbert
1.2.1. Tập lồi
Định nghĩa 1.9. Cho hai
điểm

a,b H .

i, Một đường thẳng đi qua a,b là tập hợp có dạng:

x

H : x a b,,

, 1.
ii, Đoạn thẳng nối hai điểm a,b trong H có dạng:




x H : x a

 b,0,

0,1.

Định nghĩa 1.10. Một tập D được gọi là tập affine nếu D chứa mọi đường
thẳng đi qua hai điểm bất
kì

x, y

D,

x, y 
D,


Mệnh đề 1.1.
Tập

tức là

x (1 ) y
D.

D 0 là tập affine khi và chỉ khi nó có dạng D = M +
a với

M là một không gian con của H và a H . Không gian M được xác
định duy nhất và được gọi là không gian con song song của D.
Định nghĩa 1.11. Thứ nguyên (hay chiều) của một tập affine D là thứ nguyên
của không gian con song song với D và được kí hiệu là dim D.


Định nghĩa 1.12. Siêu phẳng trong không gian H là một tập hợp các điểm có

dạng

x H : a
trong đó a
H

T

x 

,

là một vectơ khác 0 và  .

Định nghĩa 1.13. Cho a
H

là một vectơ khác 0 và 
 .

x : a

Tập

T

x

được gọi là nửa không gian đóng và tập x : a x gọi là nửa
không gian mở.

T

Định nghĩa 1.14. Một tập D được gọi là tập lồi nếu với mọi a,b
và mọi

0,1 , ta có:
D

a (1 )b D .
Ví dụ 1.1. Tập rỗng là tập lồi.
+ Toàn bộ không gian là tập lồi.
+ Các không gian con là các tập lồi.
+ Các tam giác, hình tròn trong mặt phẳng là các tập lồi.
+ Quả cầu C
1là tập lồi.
x x
Định lí 1.17. Tập lồi đóng với phép giao, phép cộng, phép nhân với một số
thực tức là, nếu C và D là hai tập lồi trong H thì C
D,C D

cũng là các

tập lồi.
Định nghĩa 1.15. Ta nói x là tổ hợp lồi của các điểm (vectơ) x1,...,
xk
k

k

j1

j1

nếu

x  j x j ,  j 0( j 1,..., k ),  j
1.


Mệnh đề 1.2. Tập hợp D là lồi khi và chỉ khi nó chứa mọi tổ hợp lồi của các
điểm của nó. Tức là D lồi khi và chỉ khi
k
k
k 
:


1,x
,...,
xk D
j
1
, 1 ,...,  k 
j x j D .
j1

j1

Mệnh đề 1.3. Nếu A, B, C là các tập lồi đóng trong H, thì các tập sau là lồi

A  B :x x A, x B;

A B :x x a b, a A,b
B,, 

;

A C :x H .H x (a,c) : a A,c
C .
Định nghĩa 1.16. Một tập được gọi là tập lồi đa diện nếu nó là giao của một số
hữu hạn các nửa không gian đóng.
Như vậy, theo định nghĩa tập lồi đa diện là tập hợp nghiệm của một hệ
hữu hạn các bất phương trình tuyến tính. Dạng tường minh của tập lồi đa diện
được cho như sau:
j

C:


x

a , xb
,j
j
I , I

.



H

Mệnh đề 1.4. Giao của một họ bất kì các tập lồi là một tập lồi.
Chứng minh:
Giả sử

 A I

là họ các tập lồi. Cần chứng minh

A

A

là một tập lồi.

I

+ Với mọi

x1, x2 A x1, x2 A(I ) .

+ Với mọi

I. Do A lồi nên 0;1ta có:
 x1 (1 )x2 A.

Theo định nghĩa

A

A

là một tập lồi.

I

Định nghĩa 1.17. Một tập C
H

được gọi là nón nếu

x C,0 x C.




Một nón được gọi là nón lồi nếu nó là nón và là một tập lồi.
Định nghĩa 1.18.
Cho

C H ,
x 0 C.

0
Nón pháp tuyến (ngoài) của tập C tại x

là tập hợp



0

0

NC (x ) : w : w, x x 0,x C

Định nghĩa 1.19. Cho D H Là một
tập lồi và Tập
0

0

x D .

wH : w, x x

ND (x ) :



.

0

0,x

D ,

được gọi là nón pháp tuyến ngoài của D tại x0 và
tập

 (x0 được gọi là
ND )

nón pháp tuyến trong của D tại x0 .
Tập


0

wH : w, x x

ND (x ) :



0

,x

D ,

được gọi là nón pháp tuyến của của D x0 .
tại
0
0
Hiển nhiên 0
(x ) và dùng định nghĩa ta có N (x là một nón lồi đóng.


)
ND
D

Trong chương 3 ta sẽ sử dụng các định lí tách tập lồi, đây cũng là những định lí
cơ bản nhất của giải tích lồi.
Định nghĩa 1.20. Cho hai tập C và D, ta nói rằng siêu phẳng
H : x : v, x.
(i) tách hai tập C và D nếu:
v, av,b,a C,b D.
(ii) tách chặt C và D nếu:
v, av,b,a C,b D.
(iii) tách mạnh C và D nếu:


supv, xinf v, y.
yD

xC

Định lí 1.18. (Định lí tách 1). Cho C và D là hai tập lồi khác rỗng trong H sao
cho C  D 0. Khi đó có một siêu phẳng tách C và D.
Định lí 1.19. (Định lí tách 2). Cho C và D là hai tập lồi đóng khác rỗng trong
H sao
cho

C  D 0. Giả sử có ít nhất một tập compăc. Khi đó hai tập C
và

D có thể tách mạnh được bởi một siêu phẳng.
Áp dụng Định lí tách cho H là  ta được hệ quả sau:
n
Hệ quả 1.2. (Bổ đề Farkas).
Cho
đó a, x
0

a

n


với mọi x thỏa mãn Ax
 0,

và A là ma trận thực cấp m n .
Khi
khi và chỉ khi tồn
tại

y 0 , và 
m

T
sao
a A y .
cho
Ý nghĩa hình học của bổ đề Farkas: Siêu phẳng đi qua gốc tọa độ a, x
0

để nón Ax  về một phía của nó khi và chỉ khi vectơ pháp tuyến a của siêu
0,
phẳng nằm trong nón sinh bởi các hàng của ma trận A.
1.2.2. Hàm lồi
Định nghĩa 1.21. Cho D là một tập lồi và f : D


  . Hàm
f được gọi

là lồi trên D nếu
f (x (1 ) y) f (x) (1 ) f (
y),x, y  D,0 1 ;

lồi chặt nếu


f (x (1 ) y) f (x) (1 ) f (
y),x, y  D,0 1.

Hàm f lõm (lõm chặt) nếu – f là lồi (lồi chặt).
Ví dụ 1.2.
1. Hàm a-phin. f (x) :aT x
, trong đó

a H , . Dễ dàng
kiểm tra được

f là một hàm vừa lồi vừa lõm trên toàn không gian. Khi

0 , thì
hàm này

được gọi là hàm tuyến tính.
Cho C 0là một tập lồi.
2. Hàm tựa. Hàm dưới đây được gọi là hàm tựa của C.
sC ( y) :sup y, x .
xC

3. Hàm khoảng cách. Cho C lồi đóng, hàm khoảng cách đến tập C được định
nghĩa bởi
dC (x) :min x y .
yC

4. Hàm chuẩn. Giả sử x (x1,......, xn ) .
f (x)
:

hoặc

x :max xi
,
1
i

2

2 1/2

f (x) : x : ...... xn ) .
(x1