Ánh xạ Gauss và ứng dụng

LỜI NÓI ĐẦU
Khóa luận này trình bày về vấn đề ánh xạ Gauss và ứng dụng của nó.
Ứng dụng của ánh xạ này để nghiên cứu về độ cong của đa tạp hai chiều trong
3

E như độ cong chính, độ cong trung bình, độ cong Gauss, độ cong của các
đường đặc biệt trên đa tạp hai chiều.
Nội dung của khóa luận gồm:
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị
1. Không gian Euclit n chiều và một số định nghĩa
2. Đa tạp định hướng trong không gian E

n

Chương II: Ánh xạ Gauss và ứng dụng
1. Ánh xạ Gauss
2. Ánh xạ tiếp xúc với ánh xạ Gauss
3. Các vấn đề liên quan đến ánh xạ tiếp xúc của ánh xạ Gauss
4. Một số đường đặc biệt trên mặt
3

5. Mặt kẻ và mặt cực tiểu trong E
Kết luận

Em xin được bày tỏ lòng biết ơn công lao dạy dỗ của các thầy cô giáo, đặc
biệt là sự hướng dẫn tận tình của Thầy giáo- Phó giáo sư- Tiến sĩ Nguyễn
Năng Tâm đã giúp em hoàn thành khóa luận này.
Hà Nội, ngày

tháng

Sinh viên thực hiện

Hoàng Thị Thanh Hằng

1

năm


MỤC LỤC
Nội dung

Trang

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1

1. Không gian Ơclit n chiều và một số định nghĩa

1

1.1 Định nghĩa

1

1.2 Hệ tọa độ trực chuẩn trong không gian E

n

1

1.3 Tọa độ của vectơ, của điểm đối với hệ tọa độ trực chuẩn trong E
2. Đa tạp hai chiều định hướng trong không gian E

3

n

1
2

2.1 Đa tạp hai chiều

2

2.2 Dấu hiệu nhận biết đa tạp hai chiều trong E

3

2

2.3 Tiếp diện và pháp tuyến của đa tạp hai chiều tại điểm không kì dị 2
n

2.4 Trường vectơ tiếp xúc trên đa tạp hai chiều trong E
2.5 Hướng trên đa tạp hai chiều trong E

n

3

2.6 Tiêu chuẩn định hướng được
2.7 Ánh xạ khả vi giữa hai đa tạp hai chiều trong E

3
4

n

4

Chương 2 ÁNH XẠ GAUSS VÀ ỨNG DỤNG

5

1. Ánh xạ Gauss

5

1.1. Định nghĩa

5

1.2. Ảnh của một số đa tạp hai chiều qua ánh xạ Gauss

5

2. Ánh xạ tiếp xúc với ánh xạ Gauss

5

2.1. Định nghĩa

5

2.2 Tính chất

6

3. Ánh xạ tiếp xúc của ánh xạ Gauss và vấn đề độ cong địa phương
của đa tạp hai chiều trong E

3

3.1.Độ cong chính, phương chính của đa tạp hai chiều S tại p

6
6


3.2.Độ cong Gauss và độ cong trung bình của đa tạp hai chiều S

6

3.3.Các định nghĩa

7

3.4.Ví dụ

7

3.5. Định nghĩa

8

3.6. Dạng cơ bản thứ hai trên đa tạp hai chiều trong E

3

8

3.7. Định lí

10

3.8.Độ cong pháp dạng và công thức Ơle, công thức Meusnier

10

4. Một số đường đặc biệt trên mặt

12

4.1. Đường chính khúc

12

4.2. Đường tiệm cận

13

4.3. Cung trắc địa

14

4.4.Liên hệ giữa các đường đặc biệt trên của đa tạp hai chiều

16

5. Giới thiệu mặt kẻ và mặt cực tiểu trong E

3

16

5.1. Mặt kẻ

16

5.2. Mặt cực tiểu

18

Kết luận

19

Tài liệu tham khảo

20


CHƢƠNG 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trước khi tìm hiểu về ánh xạ Gauss và ứng dụng của nó, chúng ta cần
phải nắm được một số kiến thức cơ bản. Chương 1 này nhắc lại một số kiến
thức cơ bản đó.
1.

n

Không gian Ơclit n chiều E và một số định nghĩa

1.1.

Định nghĩa
n

Không gian Ơclit n chiều E là không gian afin liên kết với không gian

n
vectơ Ơclit n chiều Ε .
n

Hệ tọa độ trực chuẩn trong không gian Ơclit E


  

n
Trong E ,tích vô hướng giữa hai phần tử x, y  kí hiệu là x.y
Εn

 


được tính theo công thức x = x.x
hoặc x, y. Chuẩn của phần x

tử

En
n
n
Trong không gian E , chọn điểm O bất kì. Trong không gian Ε , chọn
  
  0 khi i j 
hệ vectơ trực chuẩn {e1 , e2 ,..,en } tức ei .ej 
và ei =1 với
là
1 khi i=j
1.2.

n

  
i=1, n . Khi đó, tập {Ο, e1 ,e 2 ,...,en } gọi là hệ tọa độ trực chuẩn trong E .

Đặc
biệt, khi n =2, n=3 thì tọa độ này còn gọi là hệ tọa độ Đềcác vuông góc và
được viết là Oxy hoặc Oxyz.
n

Tọa độ của vectơ, của điểm đối với hệ tọa độ trực chuẩn trong E
  
n
Trong E , cho hệ tọa độ trực chuẩn {Ο, e1 ,e 2 ,...,en }
 
1.3.1
Vớ x Ε n , tồn tại bộ số (x1, x2, (xi  ,
sao cho
i=1,n)
i
…,xn)
n



x  x i .ei , khi đó bộ số (x1, x2,…,xn) được gọi là trong hệ tọa
tọa độ của x

1.3.

i=1



độ trực chuẩn đã chọn. Viết là 

x=(x1 , x2 ,...,xn hoặc x(x1 , x2 ,...,xn ) .
)


1.3.2

 
n
n
ΟΡΕ . Trong hệ tọa độ trực chuẩn của E đã

n

Với Ρ Ε ,
khi đó

chọn giả sử 
ΟΡ=(x1 , x 2 ,...,xn ) . Khi này, ta gọi bộ số (x1, x2,…,xn) là tọa độ


của điểm P, viết là P(x1, x2,…,xn) hoặc P=(x1, x2,…,xn).
1

2

n

1

2

n

n

Với Μ,ΝΕ , Μ(x ,x ,..,y ), Ν(y , y ,..,y ) , khi đó tọa độ của MN là




1

1

2

2

n

n

ΜΝ=(y  x , y x ,. x )
., y
và
2.
2.1.

n

(yi x i )

i=1

2

3

Đa tạp hai chiều định hƣớng trong không gian E
Đa tạp hai chiều trong E

3

n

Trong E , cho tập S  . Tập S được gọi là đa tạp hai chiều
n
trong E (đơn
giản có thể gọi là mặt) nếu với mỗi
pS

n

có lân cận mở V của p trong E sao

cho V S là một mảnh hình học. Mỗi tham số hoá của mảnh hình học
này được gọi là tham số hóa địa phương của S.
2.2.

Dấu hiệu nhận biết đa tạp hai chiều trong E

2.2.1

3

1

2

3
n

Trong E , cho hệ tọa độ afin (x , x ,…,x ), tập S  . Tập
n

S là đa tạp hai chiều trong E khi và chỉ khi với mỗi pS có lân cận V
của p trong E

3

và một hàm số khả vi


hạng

 φ 1

2

3

(x , x , x );
x
y



1
2
3
φ :V R, (x , x , x ) sao cho
1 2
3
x V
 φ(x ,x ,x )
bằng 1 và nếu đặt
φ
φ
1

2

3

(x , x , x );

1

2

3

(x , x , x )

z



1
φ(p) = a
1
2
3
V S = φ (a) . Điểm pS , p(x , x , x ) làm cho
thì
φ 1 2 3 φ 1 2 3
φ 1
(x , x , x )=
(x , x , x ) 
(x , được gọi là điểm kì dị của

x2 , x 3 ) 0
x
y

z

S.
2.2.2

3

1

2

3

Trong E , cho tập S  , tọa độ afin (x , x , x ). Tập S
được gọi là
3

đa tạp hai chiều trong E khi và chỉ khi với mỗi
pS

có lân cận mở của nó

trong S là một mảnh hình học với tham số hóa kiểu đồ thị, nếu cần có thể đổi


chỉ số các tọa độ afin để tham số hóa đó có dạng
1

2

1

2

1

2

3

1

2

n

1

2

(x , x )  r(x , x )= (x , x ,φ (x , x ),...,φ (x , x )) .
2.3.

Tiếp diện và pháp tuyến của đa tạp hai chiều tại điểm không kì dị
3

Trong E , cho đa tạp hai chiều S. Tại pS , chọn tham số hóa địa
phương
 
của S là r: U S, (u,v)  r(u,v) . ru' , rv' và chúng độc lập
Khi đó, tồn tại
tuyến tính. Tiếp diện của đa tạp S tại p=r(u,v) là 2-phẳng đi qua r(u,v) và có
 
'
'
không gian vectơ chỉ phương là ru , rv .

3

Đặc biệt, trong E tiếp diện này là mặt phẳng tiếp xúc; đường thẳng đi
qua r(u,v) và vuông góc với mặt phẳng tiếp xúc tại r(u, v) được gọi là pháp
tuyến của S tại p.
2.4.

Trƣờng vectơ tiếp xúc trên đa tạp hai chiều trong E

n

  
n
đặt Tp E {(p,α); αΕ }
và

n

n

Trong E cho đa tạp hai chiều S, tại
pS
n

gọi là không gian vectơ tiếp xúc của E tại p.
 
Với mỗi pS TpS {(p, α); α không gian vectơ chỉ phương
, đặt
của tiếp
diện của S tại p}, TpS được gọi là không gian vectơ tiếp xúc của S tại p. Ánh

n

xạ Χ: S T
E , p X(p)
T S được gọi là trường vectơ tiếp
p
p
xúc của S tại p.
Khi X  p  thì ta gọi ánh xạ X là trường vectơ pháp tuyến của S, lúc này
T pS

nếu Χ(p) 1 thì X được gọi là trường vectơ pháp tuyến đơn vị của S.
3
Đặc biệt khi trong E , S có tham số hóa địa phương là 


p

u


v

r: U S, (u,v) 


r(u,v) , p = r(u, v),

'

'

T S {(p,α) | αr (u, v), r (u,
v)},

thì vectơ pháp tuyến đơn vị trên S tương thích với tham số hóa r tại p được


xác định là n(p) = (n  r)(u, v)
 r(u, v);




' '

r ×r

  (u, v) . Lúc này ta nhận
u v được 
'

'

ru ×rv




ánh xạ khả vi n: S T En , p  n(p), ta gọi ánh xạ này là trường
vectơ pháp
p
tuyến đơn vị của S
2.5.

Hƣớng trên đa tạp hai chiều trong E

n

n

Cho đa tạp hai chiều S trong E . Giả sử trên mỗi không gian vectơ tiếp
xúc TpS của S có thể lấy một cơ sở (ap, bp) sao cho tồn tại một tham số hóa địa
tại p thỏa mãn: với mọi u,vV, p =
r (u, v)

phương r: U
S
'

hai cơ sở

'

{ru , rv} và {a p , b p} cùng hướng. Khi đó ta nói S định hướng được. Kí hiệu Dp
là hướng của TpS xác định bởi cơ sở (ap, bp). Khi S định hướng được ta gọi
họ D={Dp} là một hướng của S. Tham số hóa địa phương của S ở trên r: U
S gọi là tham số hóa tương thích với hướng D.
2.6.

Tiêu chuẩn định hƣớng đƣợc
n

2.6.1. Trong E , đa tạp hai chiều định hướng được S khi và chỉ khi có họ
tham số hóa địa phương {
ri

: Ui S } của S sao cho và nếu
S
r(Ui
)

i

ri (Ui ) rj (Uj ) thì tại những điểm chung của giao đó
hai tham số hóa địa phương ri và rj tương đương bảo tồn hướng.
3

2.6.2. Đa tạp hai chiều S trong E định hướng được khi và chỉ khi trên S có



một trường vectơ pháp tuyến n : S
liên tục và n(p) tại mọi p thuộc
 0
S.
En
2.7.

Ánh xạ khả vi giữa hai đa tạp hai chiều trong E

n

2.7.1. Định nghĩa
h:
n
Trong E , cho hai đa tạp hai chiều S1 và S2 và ánh xạ S

S .
Ánh xạ h
1

khả vi nếu h liên tục và với mọi tham số hóa địa phương

2


r1 : U1 S1 và
r2: U2
mà h(r1 (U1 ))
 r (U )
2
2
S2

thì ánh xạ

-

 h  r1: U1 U2
khả vi.
r
2

2.7.2. Ánh xạ tiếp xúc của ánh xạ khả vi giữa hai đa tạp hai chiều


Với ánh xạ khả vi h được cho ở trên, tại p S1 , mỗi
phương
tồn tại cung tham số của S1 là ρ : J
S1 , t  ρ(t)

α TpS1
đều

sao choρ(t 0 )= p , ρ'(t0 )=α .

Khi đó h  ρ(t) : J
là một cung tham số của S2 đi qua q = h(ρ(t0 )) và
S2

phép lấy đạo hàm (h  ρ)'(t0 không phụ thuộc vào cách chọn cung ρ.
)
Khi đó ánh xạ tiếp xúc với h là Tp h : TpS1
được định nghĩa là
Th(p)S2

Tp h(α) = (h  ρ)'(t0 )=((h  ρ(t0 ); (h  ρ)'(t0 )) .
Trên đây là những kiến thức cần nắm được trước khi nghiên cứu ánh xạ

Gauss và ứng dụng của nó.


ÁNH XẠ GAUSS VÀ ỨNG DỤNG

CHƢƠNG 2

Chương 2 này chúng ta làm quen với định nghĩa ánh xạ Gauss và sẽ xét ứng
dụng của nó trong vấn đề tốc độ biến thiên của mặt phẳng tiếp xúc tại lân cận
3

một điểm trên đa tạp hai chiều trong E , một cách tương đương là tốc độ biến
thiên của trường vectơ pháp tuyến đơn vị trong lân cận của điểm đó.
1.

Ánh xạ Gauss

1.1. Định nghĩa
3

Trong E , cho đa tạp hai chiều (có thể gọi là mặt) S được định hướng bởi
trường vectơ pháp tuyến đơn vị khả vi n, lúc này xác định một ánh xạ từ S
2

vào mặt cầu đơn vị S (mặt cầu tâm O, bán kính 1) là
2

g: S S

, p  g(p) = n(p) . Ánh xạ này được gọi là ánh xạ Gauss

của mặt định hướng S.
Rõ ràng theo định nghĩa thì ánh xạ Gauss là một ánh xạ khả vi.
3

1.2. Ảnh của một số đa tạp hai chiều trong E qua ánh xạ Gauss
3

2

Trong E cho hệ tọa độ trực chuẩn Oxyz và mặt cầu đơn vị S tâm O, bán
kính 1.
1.2.1 Tìm ảnh của mặt trụ tròn xoay S bán kính a > 0, quay quanh Oz qua
ánh xạ Gauss
Trong hệ tọa độ đã chọn, giả sử tham số hóa địa phương của S là

r: U S, (u,v)  r(u,v) = (a.cosv, a.sinv;u) r(u,v)
= (a.cosv, a.sinv, u) , từ
'
 '
đây suy r (u, v) = (0, 0, 1) , r (u,v) = ( a.sinv,a.cosv,0) , hai vectơ này
ra
độc
u

v

lập tuyến tính. Khi này, xác định một trường vectơ pháp tuyến đơn vị định
' '


r ×r
hướng trên S là (n  r)(u,v)   (u, v) ( cosv, sinv, 0) . Trong
  E3, gọi

u

v

'
u

'

r ×rv
tọa độ của g(p)=(x, y, z) thì ảnh của mặt S là đường tròn lớn trong mặt phẳng


2

3

z=0 của mặt cầu đơn vị S tức là đường tròn trong E có phương trình là
x 2 +y2 = 1

z = 0
1.2.2 Tìm ảnh của mặt xuyến S qua ánh xạ Gauss
3

Trong E , cho tham số hóa địa phương của S là
r : U S, (u,v)  ((a b.cosu).cosv, (a 

b.cosu).sinv,bsinu)


với (a >b > 0).

Từ đó r(u,v) ((a b.cosu).cosv, (a b.cosu).sinv,bsinu)
'
ru (u,v) (b.sinu.cosv, b.sinu.sinv,b.cosu)

'
rv (u,v) ((a b.cosu).sin v, (a b.cosu).cosv,0) . Khi này
trường vectơ pháp
tuyến đơn vị được xác định bởi
'

n(p) (n r)
(u,v) 

r r

'

(u,v) (cosu.cosv,
r v cosu.sinv,sinu)
r
u
'
u
'

v

Hơn nữa nhận thấy rằng
(u,v)U , p1 r(u,v) ((ab.cosu).cosv, (a 
b.cosu).sinv,bsinu)S và
(π u,v)U, p2 ((ab.cosu).cosv, (ab.cosu).sinv,
b.sinu)S thì n(p1)
= n(p2) = (cosu.cosv, cosu.sinv,sinu) . Nghĩa là mặt xuyến
có phương trình tham số đang xét có ảnh là mặt cầu đơn vị được lấy
hai lần.
1.2.3 Tìm ảnh của mặt paraboloit elliptic S qua ánh xạ Gauss.
Giả sử trong hệ trục tọa độ đã chọn, S có tham số hóa địa phương là
2
2
2
2


x

x
y
y 



r : U S,

 (x, y)   x, y, r (x, y) 
  x, y,

2p
2q

khi
đó
và


2p
2q
'
'



x
y
r (x,y) 1, 0, r (x,y) 0,
1,. Khi này trường vectơ pháp tuyến đơn
,
x

 y


p
q





vị được xác định bởi




n(p)

,
y


x2 y2 ,


x2 y2
q 1 2  2
 p 1
2

p q
p
 2
 q





1

x

2

2

y



Theo định nghĩa

1p q 
2
2





ánh xạ Gauss, g(p)=n(p) và trong hệ tọa độ đã chọn giả sử g(p)= x ,
y,z

theo



đó thì z 0 với mọi x, y tức là ảnh của mặt S được xác định bởi nửa mặt
cầu đơn vị có tọa độ z > 0.
1.2.4 Tìm ảnh của mặt Catenoid qua ánh xạ Gauss.

3

Trong hệ tọa độ đã chọn của E , giả sử tham số hóa địa phương của S là
u
u
(u,v)  r(u,v) (a.ch .cosv, a.ch .sinv, u)
a
a

u
u
r(u,v)
(a.ch
.cosv, a.ch
Theo đó
.sinv, u) và
a
a
'

u
u .cosv, sh
u .sinv,1) , ur ' (u,v)
r (u,v) (sh
(a.ch .sinv, a.ch
.cosv, 0) .
u
v
a
a

a
a
Khi đó trường vectơ pháp tuyến đơn vị được xác định như sau :
'

r r

'

cosv
sinv
u
(u,v) 
u, 
u, th a) . Nếu trong hệ tọa
r v (
ch
ch
r
a
a
là hàm tăng nghiêm
z(u)
độ trực chuẩn đã chọn, g(p)=(x, y, z) thì hàm
u
th
a
n(p) (n r)
(u,v) 

u
'
u
'

v


ngặt và có giá trị trong khoảng (-1, 1) và không có giá trị hữu hạn nào của
u để z(u)=1, z(u) 1. Như vậy, ảnh của mặt Catenoid qua ánh xạ
2

Gauss là mặt cầu S không kể hai điểm cực (0, 0, 1) và (0, 0, -1).
3

1.2.5 Tìm ảnh của mặt đinh ốc đứng trong E qua ánh xạ Gauss
Trong hệ tọa độ trực chuẩn đã chọn, cho mặt đinh ốc đứng tham số
hóa địa phương là (u,v)  r(u,v) (u.cosv, u.sinv, av) (a 0) ,
theo đó




r(u,v) (u.cosv, u.sinv, ru' (u,v) (cosv, sinv, 0) và
av) và

'
rv (u,v) (u.sinv, u.cosv, a) . Khi đó trường vectơ pháp tuyến đơn vị
được
xác định bởi:

(n r)(u,v)


'

r  (u,v)
'
ru v (
'
ru v
'
r

.
sinv,

a
2

a 
2
u

a .cosv,
a 
u

u
)2
a u

2

2
2

Nếu trong hệ tọa độ trực chuẩn đã chọn, g(p) = (x, y, z) thì nhận xét thấy rằng
hàm x(u, v) và y(u, v) không đồng thời bằng 0 với mọi giá trị của (u,v). Như
vậy ảnh của mặt đinh ốc đứng là mặt cầu đơn vị không kể hai điểm cực. Hơn
nữa, với mỗi đường đinh ốc tròn u=u0 thì các điểm
pk = (u0.cos(v+k2π), u0 (sinv+k2π), a(v+k2π)) (k
 )
cùng là điểm
g(p k ) =



a


 2 2
a +u
0

a
g(p ) = 
.sin v,

k

a

.sin (v+k2π),

2

cos(v+k2π),

a +u

 2 2
a +u
0


2

a +u

cosv,
2
0

o



u
2
2
a +u 

0 

2
0

a

thì ảnh của các pk


. Như vậy thì ảnh của
2
2
a +u 
0 
uo

2

mặt đinh ốc đứng là mặt cầu S không kể hai điểm cực được lấy vô số lần.
Sau đây, chúng ta đi tìm hiểu một ứng dụng của ánh xạ Gauss, đó là ánh xạ
tiếp xúc của nó. Ánh xạ này chính là ánh xạ đạo hàm của ánh xạ Gauss trong
lân cận của một điểm trên đa tạp hai chiều, đây chính là đặc trưng cho tốc độ


biến thiên của mặt phẳng tiếp xúc trong một lân cận của điểm trên đa tạp hai
3

chiều trong E

2.

Ánh xạ tiếp xúc với ánh xạ Gauss

2.1 Định nghĩa


3

Trong E , cho đa tạp hai chiều S được định hướng bởi trường vectơ
pháp tuyến đơn vị n, ánh xạ Gauss của S là g. Ánh xạ tiếp xúc của ánh xạ
Gauss là ánh xạ T g : T S T S2 , được định nghĩa theo quy tắc
sau:
mỗi
p
p
g(p)
phương α TpS, chọn cung tham số ρ:J
sao cho

S, t  ρ(t)
ρ(t0 ) = p; ρ'(t0 ) = α. Khi Tp g(α) = (g  ρ)'(t0 ) = ((g  ρ)(t0 ); (g  ρ)'(t0 )) .
đó
Mặt khác theo định nghĩa ánh xạ Gauss thì n(p)=g(p) tương đương




(n  ρ)(t0 ) = (g  ρ)(t0 ) (n  ρ)'(t0 )
= (g  ρ)'(t0 )

nên (n  ρ)'(t 0 ) TpS .



Như
Ta có (n  ρ)(t) =1(n  ρ)(t).(n 
ρ)'(t)= 0
2

vậy, ta có thể đồng nhất TpS với Tg(p)S .
Ta khẳng định quy tắc trên là một ánh xạ.
Quy tắc trên xác định với mọi α TpS. Thật vậy, tại p chọn tham
số
hóa địa phương của S là r : U
S,

(u,v)  r(u,v) , p = r(u0,v0),  u 0 , v0

 U .

'

'

Trong TpS, chọn cơ sở là {ru (u 0 , v0 ), rv (u0 , v0 )}.
Với

α TpS, tồn tại a,
b

sao cho α = (a.r ' +b.r ' )(u , v ) . Lấy cung ρ :J U, t
 ρ (t) = (at, bt)
u

v

0

với

0

(at0=u0 và bt0=v0.Đặt ρ = r  ρ : J S , khi đó
ρ'(t)= (r.ρ)'(t)=u r (at)'+r
(bt)' = a.r
+b.r
. Từ đó suy ra
v
u
v
'

'

'

'

'

'

ρ'(t 0 ) = a.ru (u0 , v0 )+b.rv (u0 , v0 )=α và ρ(t0 ) = r(u0 , v0 ) . như vậy quy tắc này


xác định với mọi α TpS.
Quy tắc này không phụ thuộc vào cách chọn cung ρ ở trên. Chẳng
hạn, có hai cung ρ, γ: J S mà ρ(t0 )= γ(t0 )= p, ρ'(t0 ) = γ '(t0 ) = α ,
với cung
ρ: J S , tồn tại duy nhất cung ρ : sao cho ρ= r  ρ . Đặt
J U, t  ρ (t)
ρ (t) = (u(t); v(t)); u(t 0 ) = u 0 ; v(t 0 ) = v0 . Khi đó
(n  ρ)'(t 0 )=(n  r  ρ )'(t 0 )=(n ' r)u (u 0 , v0 ).u'(t 0 )+(n'  r) v (u 0 , v0 ).v'(t 0 ) (1)


Với cung γ: J S, tồn tại duy nhất

sao cho γ = r  γ . Đặt

cung γ : J U γ (t) = (u* (t); v* (t));
u * (t 0 )= u 0 , v* (t0 )= v0 . Khi đó
'
'
(n  γ)'(t 0 )= (n  r  γ )'(t 0 )=(n  r) u (u 0 , v0 ).u *'(t 0 )+(n  r) v (u 0 , v0 ).v*'(t 0 )
(2)
Do giả thiết ρ'(t0 )= γ'(t0 ) = α nên (u'(t ); v'(t )) = (u' (t ); v' (t )) , điều này
0
0
* 0
* 0

kết hợp với (1) và (2), ta suy ra rằng (n  ρ)'(t0 ) = (n  γ)'(t0 ) .
Như vậy ta khẳng định quy tắc xác định ở trên là ánh xạ.
Nếu đặt

 D αn = 
Tp g(α)

Dαn = (n  ρ)'(t 0 và hp (α)
)
=

thì gọi ánh xạ

hp này là ánh xạ Weingarten.
2.2 Tính chất cơ bản
3

Trong E , cho đa tạp hai chiều S định hướng bởi trường vectơ pháp
tuyến đơn vị n. Tại p S , ánh xạ Weingarten của S tại p là hp. Ánh xạ hp
là tự đồng cấu tuyến tính đối xứng của TpS.
Tức là α,
β TpS thì

hp (α).β = α.hp (β) .

Chứng minh
Trước hết ta chứng minh hp là tự đồng cấu tuyến tính của TpS.
Chọn tham số hóa địa phương của S tại p là r: U S,(u,v) 
r(u,v) , (u0 , v0 ) U
'

'

p = r(u0 , v0 ) . Trong TpS, chọn cơ sở là u{r (u
0 , 0v ),v r (u
0 , 0v )}. Với phương
α TpS, lấy cung ρ: mà ρ'(t0 ) = α (t0 J) , theo đó tồn tại duy
J S
nhất
cung tham số ρ : J U, t  ρ (t) = (u(t); v(t)) sao cho ρ = r  ρ .
Như vậy,


α = ρ'(t 0 ) = (r  ρ )'(t 0 ) =' ru (u 0 , v0 ).u'(t 0 ) +' rv (u 0 , v0
).v'(t 0 )
(u’(t0), v’(t0)) là tọa độ của α trong TpS.
Lại theo định nghĩa ánh xạ Weingarten, ta có:
h p (α)= (n  ρ)'(t 0 )= (n  r  ρ )'(t 0 )

từ đây ta thấy rằng


'

'

hp(α) = (n 
) (n
u r)0 (u0 ,v ).u'(t
0

v 
0 r)0 (u , v
0 ).v'(t ) . Nhận thấy rằng
'

'

(n  r)u (u0 ,
v0 );

(n  r)v (u0 , v0 ) là hai vectơ cố định thuộc TpS. Như vậy,

với α, β TpS , ta dễ dàng chứng minh được hp là một tự đồng cấu tuyến
tính
của TpS.
Hơn nữa, hp còn là một tự đồng cấu tuyến tính đối xứng. Trước hết, ta
chứng minh tính đối xứng của hp với cơ sở trong TpS, tức là :
'

'

'

'

h p (ru ).rv (u 0 , v0 ) = ru .hp (rv )(u0 , v0 )
'

'

'

'

Ta có ru (u0 , v0 )hp (rv (u0 , v0 )) = r
u
0 (u0 , v ).(nv  r)
0 (u
0 ,v ).

(1)

'

Từ (n  r)(u0 , v0 ).ru (u0 ,v0 ) = 0 , lấy đạo hàm hai vế của đẳng thức này theo v
ta được (n  r)' (u , v ).r' (u ,v )+(n  r)(u , v
'
).r
v

0

0

'

u

0

0

0

(u ,v ) = 0 , từ đây suy ra

0

'

uv

0

0

''

(n  vr) (u
,v
) = (n  r)(u
).r 0(u 0, v ) (2)
0 ,0 v u).r (u
0
0
0
0, v uv
'

'

'

'

Ta có h p (ru (u 0 , v0 ))rv (u0 , v0 ) = (n u r)0 (u0 ,vv ).r0 (u0 , v ) (3)
'

Từ (n  r)(u0 , v0 ).rv (u0 ,v0 ) = 0 , lấy đạo hàm hai vế theo u ta được
'

'

''

(n  r)u (u0 , v0 ).rv (u0 ,v0 )+(n  r)(u0 , v0 ).rvu (u0 ,v0 ) = 0 , từ đây suy ra
'

'

''

(n  ur) (u
(u
,0 v vu).r 0(u ,0 v ) (4)
0 ,0 v ).r
v
0 ,v
0 ) = (n  r)(u
0

Kết hợp (1), (2), (3), (4) và điều kiện r khả vi đến cấp cần thiết ta có
'

'

'

'

h p (ru ).rv = ru .h p (rv ) .
Với

α, β TpS thì đều biểu diễn được qua cơ sở

{ru' (u0 , v0 ); r'v (u0 , v0 )}, dễ dàng kiểm chứng tính chất đối xứng của hp.
3.

Ánh xạ tiếp xúc của ánh xạ Gauss và vấn đề độ cong địa phƣơng

của đa tạp hai chiều trong E
3

3
3

Trong E , cho đa tạp hai chiều S trong E được định hướng bởi trường


vectơ pháp tuyến đơn vị n. Tại pS , ánh xạ Weingarten của S tại p là
hp .

3.1

Độ cong chính, phƣơng chính của đa tạp hai chiều S tại p
Độ cong chính của đa tạp hai chiều S là giá trị riêng của hp, phương chính