Dạng tổng quát của phiếm hàm tuyến tính liên tục trong các không gian định chuẩn Rn, ℓ p (p≥1), C0

Luận Văn Tốt Nghiệp

Nguyễn Thị Khánh Ly

Lời cảm ơn
Trước sự bỡ ngỡ và gặp nhiều khó khăn khi bước đầu tập dượt nghiên
cứu đề tài khoa học, em đã nhận được sự giúp đỡ, động viên của các thầy cô
giáo và các bạn trong khoa.
Em xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc tới thầy giáo PGS. TS.
GVCC Nguyễn Phụ Hy người đã trực tiếp hưỡng dẫn chỉ bảo tận tình để em
có thể hoàn thành bản khoá luận này.
Đồng thời em cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong tổ giải
tích, ban chủ nhiệm khoa Toán – Trường ĐHSP Hà Nội2, các cô chú trong
thư viện nhà trường đã tạo điều kiện thuận lợi để em có cơ hội để hoàn thành
công việc của mình.
Ngày

tháng 5 năm 2007
Sinh viên

Nguyễn Thị Khánh Ly

Trường ĐHSP Hà Nội 2

1

K29E – Toán


Lời nói đầu
Giải tích hàm là một ngành toán học được xây dựng vào khoảng nửa

đầu thế kỷ XX, hiện nay đã được xem là ngành toán học trọng điển. Nội dung
của nó là sự hợp nhất của những lý thuyết tổng quát xuất phát từ việc mở rộng
một số khái niệm và kết quả của giải tích, đại số, phương trình vi phân…
Trong quá trình phát triển từ đó đến nay, giải tích hàm đã tích luỹ được
một nội dung hết sức phong phú, bao gồm:
- Lý thuyết các không gian trừu tượng ( không gian metric, không gian
định chuẩn, không gian tôpô và toán tử tôpô).
- Lý thuyết và toán tử tuyến tính.
- Lý thuyết các bài toán cực trị, giải tích hàm phi tuyến, giải gần đúng
phương trình toán tử.
- Lý thuyết nội suy toán tử, giải tích hàm ngẫu nhiên.
Những phương pháp, kết quả rất mẫu mực và tổng quát của giải tích
hàm đã xâm nhập vào tất cả các ngành toán học có liên quan và có sử dụng
đến những công cụ giải thích và không gian vec tơ. Ngoài ra nó còn ứng dụng
trong vật lý lý thuyết và trong một số lĩnh vực kỹ thuật.
Với mong muốn được nghiên cứu và tìm hiểu sâu hơn về bộ môn này
và bước đầu tiếp cận với công việc nghiên cứu khoa học em đã chọn đề tài:“
Dạng tổng quát của phiến hàm tuyến tính liên tục trong các không gian định
chuẩn ¡ n ,l (p 1),c ”. Nghiên cứu đề tài này em có cơ hội tìm hiểu sâu hơn về
³
n
p
0
¡ ,l (p
.Từ đó
³
1),c
không gian vô hạn chiều mà cụ thể ở đây là không gian
p

0

có thêm kiến thức về các vấn đề của giải tích,sự khác nhau của chúng trên các
không gian khác nhau, xét ở khía cạnh khác nhau.
Nội dung của khoá luận gồm 3 chương:


Chương 1: Dạng tổng quát của phiến hàm tuyến tính liên tục trên
không gian định chuẩn ¡ n .
.
Chương 2: Dạng tổng quát của phiến hàm tuyến tính liên tục trên
không gian định chuẩn lp (p 1) .
³

Chương 3: Dạng tổng quát của phiến hàm tuyến tính liên tục trên
không gian định chuẩn c0.
Do thời gian nghiên cứu và năng lực có hạn nên một số vấn đề đặt ra
trong khoá luận còn chưa được giải quyết triệt để. Em rất mong được sự giúp
đỡ và đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn để khoá luận này được
hoàn thiện hơn.
Ngày

tháng 5 năm 2007.
Sinh viên
Nguyễn Thị Khánh Ly


Chương 1: Dạng tổng quát của phiến hàm tuyến tính liên tục
trên khôn
gian

1.1.

Không gian tuyến tính ¡

n
¡ (n 1) .
³

n

Cho tập hợp ¡ n = {x = (x1, x2,….xn)/xi Î ¡ ,i = 1, n }.
n

Với 2 phần tử tuỳ ý x = (xi)

Î

i =1

n

n

¡ ,y= (y)
Î
i i=

¡

n

và a Î P (P= ¡ hoặc

1

C).Ta định nghĩa hai phép toán như sau:
Ta gọi tổng của 2 phần tử x và y và kí hiệu là x + y là phần tử
n

x + y = (xi + yi )i=1
và tích của 2 phần tử x và a ,kí hiệu là a x là phần tử
n

a x = (a xi )i= .

Định lý 1.1.1
¡ đóng kín với hai phép toán cộng và nhân xác định ở trên.
n

Chứng minh:
n

+) " x = (xi i=) " y = (y )n Î ¡ n ,ta có:
i i=
n

" i = 1, n , xi Î ¡ , yi Î ¡ Þ xi + yi Î ¡ , " i= 1, n Þ (xi + yi) i= Î ¡
n

Þ x + y = (xi+ yi) i=

n

+) " x = (xi) i= Î ¡ n , a Î P. Ta có:
n

a xi Î ¡ ,i= 1, n Þ a x = ( a xi) i= Î ¡ .
n

Vậy ¡ n đóng kín với 2 phép toán cộng và nhân xác định ở trên
Định lý 1.1.2.
¡ cùng với hai phép toán cộng và nhân xác định ở trên lập thành một
n

không gian tuyến tính.
Chứng minh:


Ta chỉ ra 2 phép toán định nghĩa ở trên thoả mãn 8 tiên đề của không
gian tuyến tính


n

1. " x = (xi )i= " y = (y )n Î ¡ n ,ta có:
i i=
xi+ yi = yi + xi, " i = 1, n Þ x + y = y + x ( tiên đề 1 thoả mãn).
n

2. " x = (xi )i= , " y = (y )n , z = (zi) n Î ¡ n , ta có:
i i=

i=
(xi +yi)+zi= xi + (yi+zi), " i = 1, n
Þ (x + y) +z = x + (y +z)

(Tiên đề 2 thoả mãn).

3. Xét phần tử q = (0, 0,…,0) Î ¡ n , " x = (x ) i=n Î ¡ n , ta có:
i
0 +xi = xi " i = 1, n
Þ q+x=x, " x Î ¡

( Tiên đề 3 thoả mãn).

n

4. " x = (x1, x2,…. xn) Î ¡
n

Ta có:

, tồn tại phần tử – x = (-x1,- x2….- xn) Î ¡

xi + (-xi) = 0, " i = 1, n

Þ x + ( - x)= q , " x Î ¡

( Tiên đề 4 thoả mãn).

n

5.

" x = (xi)
n

n
i=

Î ¡

, " a , b Î ¡ ta có:

a ( b xi) = ( a b )xi, " i = 1, n
Þ a ( b x) = ( a b )x
6. " x = (xi)

n
i=

( Tiên đề 5 thoả mãn).

Î ¡ n , " a , b Î ¡ ,ta có:

( a + b )xi= a xi + b xi , " i = 1, n
Þ ( a + b )x = a x + b x
7. " x = (xi)

n
i=

Î ¡ n , " y = (yi)

(Tiên đề 6 thoả mãn).
n
i=

Î ¡ , " a , b Î ¡ ,ta có:
n

a (xi+ yi) = a xi + b xi, " i = 1, n
Þ a (x + y) = a x + a y

(Tiên đề 7 thoả mãn)

n


8. " x = (xi)

n
i=

Î ¡ n , ta luôn có :

1. xi =xi ( 1 là đơn vị của ¡ ) , " i = 1, n
Þ 1. x = x , " x Î ¡
n

(Tiên đề 8 thoả mãn).

Vậy ¡ n là một không gian tuyến tính thực với hai phép toán cộng và
nhân xác định ở trên.


Bổ đề1.1.1.
Nếu a,b là hai số không âm; p,q là cặp số mũ liên hợp
1 1
( tức là
=
p< ¥ thì
+
1),1<
p q
p
q
ab £ a + a

p

q

p

q

Dấu “=” sảy ra Û a = b
Chứng minh:

Nếu ab = 0 thì bất đẳng thức trên hiển nhiên đúng.
Nếu a > 0 , b > 0 ta xét hàm số:

j (t) = t p t- q
+
với t > 0
p
q

Ta có:
j ' (t) = t

p-1

-t

-q-1

=t

-q-1 p+q

(t

-1).

' (t) = 0 Û t = 1 ( với t > 0)
j

Bảng biến thiên :
1
0

0
+¥

+¥
+
+¥

1
Hình1.1 Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên của hàm j suy ra
min j (t) = j (1) = 1

0< t< ¥

1

- 1


q
p
Do đó j (t) ³ j (1) = 1 , " t Î (0;+ ¥ ). Chọn t = a b ta được


p

- 1

- 1

a q .b

+

p
Û

ap .b-

q

³ 1Û

q

a p- 1.b1

+

p

bp- 1.a- 1
q

³ 1

a p + bq ³
ab p q

Dấu đẳng thức sảy ra khi và chỉ khi

1

a q .b

1
- p

1

1

p

aq = b p
Û

=1
Û

a =b

q

1

Bổ đề 1.1.2. ( Bất đẳng thức Holder)
1

Nếu p,q là cặp số mũ liên hợp ( tức

n

x = (xi) i=n

"

å

i= 1

xi
yi

æn
£
p
ççç
åè öx÷ p
i=
i÷
1

q

ta có

1

n

p< +¥

+

p

, y = (yi) i=n Î ¡

= 1),1£

ø÷

1

æn
q
.ççç
y
è
å öi ÷÷q
i= 1
ø÷

Chứng minh:
æn
ç
Đặt A = ççå
è i= 1

1

p

x
ö÷ p
÷

æn
; B = çççå
è i= 1

i

÷÷ø

1

q

y÷÷
öq i
÷÷
ø

Nếu A.B = 0 thì bất đẳng thức hiển nhiên đúng.
Nếu A > 0, B > 0,theo bổ đề 1.1.1 ta có
q
xi yi £ xi p + yi
p
q
A.B P.A

q.B
n

å

xi yi

n

å
xi

p

n

å

yi

q


Þ

i= 1

p.A

n

n

i= 1

n
n

å

i= 1

xi

p

i= 1

q.B

å

n

i= 1

p(å

Þ

+

=

q

p

å
=

i= 1

£

A.B

xi yi
£

p
p

x )

1
p

=
1

n

q(å q xq ).qq

i

i= 1

æ
AB = ççå
xi

q

i= 1

+
.

xi

èç i= 1

1

+

1

p

i

1

1

ö p
q ö÷q
æ n÷
ç
yi ÷
ç
è
i= 1
ø
ø ÷
÷
p

÷

=1


Vậy

1

å

i=
1

1

p ön÷p
q ö÷q
æ
æ
ç
£ ççå ÷÷ ç yi ÷
ø è i= 1 ø ÷

n
n

xi
yi

xi
èç i= 1

Bổ đề 1.1.3.( Bất đẳng thức Mincovxki)
Với " x = (xi)

n

i= 1,

n

y = (yi)

Î ¡

i= 1

ta có

n

1
n
æ
ç
xi +
ç
è

p

p

çå
i= 1

Chứng minh:
Ta có:

p

æn
çç
å xy +
çç
è i= 1 i

1

æ
n

p

÷ö £ çç
yi ÷
÷
ø÷

çå
i= 1

1

æ
n

p

p< +¥

ö÷ + ç
ö÷
ç
è
p
p
xi ÷
y
÷
÷
i ÷
÷
ø÷ çå
ø
i= 1

ö÷ æ
n

ö

÷÷£
çç
å

xy +

p- 1

(1)

÷÷ x +
(

)

y

i

i

ø
çè ÷

,1£

ø÷

i

i

i
i= 1

Mặt khác, áp dụng bổ đề 1.1.2 ta có:

æn
n

çç
å x+
èç i= 1 i
yi

p- 1

÷ö æ
xi +
÷÷ £
ççç
å y
è i= i
÷ø
1
xi

æ

( p- n1).q

÷ö

1 q

xi

i= 1

1

p

yi

ö÷p
÷
ø ÷

÷÷
÷
çç
çå
ø

n
= çæ
çå xi
èç i= 1
+

1

p

1

ö÷q æ

çn
÷
ø÷ ç i= 1
çå
è

x

(2)

p

ö÷
i

÷

p

ø÷
æ n xi
èç çi= 1
+

p-

y
1 ö÷

÷

i

æn
ø÷ y
i
è
£
çç

å

1

1

i= 1

xi +


( p- 1)q
i

y

ửữq ổ
ỗ

ữỗ

n

y

i= 1

ử

p

ữ

ứ
ỗồ
ố
1
p ửữq ổ
ỗn
yi ữ
ứữ ỗ i= 1
ỗồ
ố

p

ữ

n

= ỗổ
ỗồ xi
ốỗ i= 1
+

ứữ

i

ữ

1
y

(3)

p

ửữ
iữ

p

ứữ

T (1) , (2) v (3) ta cú:

1

1

ổ

n

p

n

ỗ

p

ử

Ê

xi +

xi +
yi

ỗỗồ

yi

ố

ữ

q

p

1

ổn
ị ỗỗ
ố+
ỗồ
i= 1

xi

p

yi ữ
ữữ
ứ

xi
ữữ

ồ

ờở
ổ
n

ữử Ê ỗ ỗ

p

ữữ
ờỗỗ

ỗồ
i= 1

ửữp

p

ỗ

ửữp ỳ

n

+
ỗỗồ
ứữ ố

ờ
ố
ỗ

ứữi= 1

i= 1

ự

ộ

ờổ n

ồ

1

ổ

i= 1

1

ứữ ỳ

i= 1

ổ
n

p

ửữ + ỗ
ỗ
ố
p
xi ữ

ữ
ứữ ỗồ

i= 1

yi ữữ ỳ

1

ỳỷ

p ửữp
yi ữ
ứữ

ữ

nh lý 1.1.3
Trờn khụng gian tuyn tớnh
nh Ă sau

Ă

n

ta xột ba ỏnh x i t Ă

n

vo tp s thc

" x = (x )n
i i=
n
¡
1

Î

1). x =

ta đặt

n

n

å

1

xi .

i= 1

2). x = max xi .
2
1£ i< n

1
ö
÷
æn
p
÷
p , p >1.
3). x = çç å
÷÷ø
3
è ç
xi
i= 1

Các công thức 1) hoặc 2) hoặc 3) cho ta một chuẩn trên ¡

n

Chứng minh:
a.

Công thức 1) cho ta một chuẩn trên ¡

n

Kiểm tra 3 tiên đề về chuẩn
1. " x = (x
)n

Î ¡ , ta có:

n

i i= 1

n

xi

å

³ 0Þ

2

x ³ 0
1

i= 1

n

x = 0Û

å

1

2

xi

i= 1

2. " x = (x
)n

= 0 Û x = 0, " i = 1,
i
n

Î ¡ , " l Î

Û x= q

¡ ta có

n

i i= 1

n

lx =

l xi

å

1

2

n

= l

å

i= 1

3. " x = (x
)n
i i= 1

xi

2

= l .x

1

i= 1

Î ¡ , y = (y ) Î ¡
n

n

n

i i= 1

áp dụng bất đẳng thức Bunhiacovsky ta có
n

å

i= 1

å å
n

i

n

å

x i yi £

i= 1
n

i

i

xi

2

å

i n

n

å

.

i= 1
i

yi

å

2

n

å

n

i

å

n

i

å

n

i


2

Û

x +2

xy +

i= 1
n

Û

å
i= 1

i= 1

i= 1

ç+çy )2 £ æ
(x
i

i

y
£

çèç

n

å
i= 1

2

2

i= 1

x
+
i

2

2

x +2

n

i= 1

÷ö
y ÷
2

2

å
i= 1

i

÷÷
÷ø

2

x .

y +
i= 1

y

i= 1

2


n

Û

2

(xi + yi )

å

n

£

å

i= 1

xi

2

n

+

å

i= 1

xn+

Û x + y1
£

yi

2

i= 1

y , " x, y Î ¡

1

Vậy ¡ n cùng với chuẩn 1) là không gian định chuẩn.
b.

Công thức 2) xác định một chuẩn trên ¡ n .

Kiểm tra các tiên đề về chuẩn
1. " x = ( x1, x2,....xn) Î
xi
n

³

" =
0 , i 1,
=

x

n

Þ max
x
1£ i< n

³ 0 Þ

x ³ 0

i

2

Û max x
=0 Û n
x = 0, " i = 1, Û x = q .

0

2

¡ , ta có:

i

1£ i< n

i

2. " x = ( x1, x2,....xn) Î
n
¡ , " l Î

max l
x i 1£ i< n

¡ ,ta có:

x i )= l max
x i 1£ i< n

=
max ( l
1£ i< n

Þ

lx = l x
2

3. " x = (x

)n

2

Î ¡ , y = (y ) Î ¡ n , ta có:
n

i i= 1

n

xi + yi
Þ

+
xi

£
yi

i i= 1

£

max
x
1£ i< n

Þ max x + y £

xi + yi

." i = 1, n

+ max y , " i = 1, n
i

max
x

1£ i< n

i

+ max y , " i = 1, n


i

1£ i< n

i

Þ x+
y

£
2

Vậy

¡

n

i

1£ i< n

x

1£ i< n

+ y
y
2

i
n

Î ¡

, " x,
2

cùng với chuẩn 2)là một không gian định chuẩn

Công thức 3) cho ta một chuẩn
trên
1. " x = (x )
n

Î ¡ , ta có :
n
c.

¡ , thật vậy:
n

i i= 1

1

xi ³
0 , " i = 1, n
Þ

n
æ
ç
xi
ö
èççi= 1
p ÷÷ p
³ 0 ø÷

hay

x

3

³ 0


xi = 0

1

x

ö
æ
÷÷ p =
= 0 Û ç
x
p
i
èççi= 1
0 Û ø÷
n

3

,

" i = 1, n

Û x = q

2. " x = (x
)n

Î ¡

, " l Î ¡ ,ta có:

n

i i= 1

1
ö
÷
l xi p p
÷
=÷ l

æ
x = çç
3
ç
è i= 1

n

3. " x = (x
)n

1

p öp

æ
n
÷ = l .x
x
ç
÷
. ç
i ÷
ç
çè i= 1 ÷ø
å

ø÷

Î ¡

n

i i= 1

, " y = (y
)n

Î ¡

3

n

i i= 1

áp dụng bất đẳng thức Mincovski ta có
1

æç n
èç
i= 1

Û

x+ y

Vậy ( ¡
,
1.2.

1
ö1
n
æ
y p ÷÷p , " p > 1
p ö÷ p
xi + yi p ö÷ p nç
ç
i
x
÷ +
÷
ø÷
£ èç æi

÷
ç
ç
ø
è
ø÷
çåi= 1
i= 1

£

x

3

2

+

,"x,yÎ ¡ .
n

y

3

3

. 3 ) là một không gian định chuẩn.

Không gian Banach ¡

n

Giả sử trên không gian tuyến tính

n
¡ cho một chuẩn nào đó, kí hiệu .

Định lý: 1.2.1
Không gian định chuẩn ¡

n

3

là một không gian Banach.

Chứng minh:
Theo định lý “ Mọi không gian định chuẩn n chiều đều đồng phôi
tuyến tính” nên chỉ cần chứng minh tính Banach của
(chẳng hạn

). Từ đó suy ra tính Banach của ¡

.

n

¡ theo một chuẩn

theo các chuẩn còn lại.

2

Giả sử: (x (k) )¥
k= 1 là một dãy cơ bản bất kỳ trong ¡
(k )

(

( k)

( k)

( k)

)

n

n

với


x

(" e> 0) , ($ k0 Î
¥

*

x (k)

i

i

k0 ) .Ta
có

³), (" m, k

(m)

max x
hay 1£ i< n

. Nghĩa là:

= x1 ,x2 ,...,xn

£ e
Û

x(m) - x (k) <
e,
i

i

x

(m)

- x

£

(k)
2

" i = 1, n

e


Suy ra với mỗi i cố định ( i = 1, n ) ,
dãy
(0)

đó tồn tại xj = lim x(k)
j

i

Đặt

(0)

1

(*)

()0

(0)

(x (i k) )¥k= là một dãy số cơ bản, do

(0)

n

= (x1 ,x2 ,...,xn ) Î ¡

x

Từ (*) ta có ( " e > 0) ,
( $k1
(k)

(0)

xi - xi

k1 ) ta luôn có

*
Î ¥ ) ( "k

³

< e Þ x

(k)

- x

(0)

Nghĩa
là dãy ( (x(k) )
¥

2


(0)

hội tụ tới x Î ¡ n
k= 1
n
¡ là một không gian Banach
Vậy không gian định chuẩn
Dạng tổng quát của phiến hàm tuyến tính liên tục xác định trên

1.3.

không gian

¡

n

*
¥ }

n
¡ = {x = ( x1, x2,...,xn) / xi Î ¡ ; n Î

Giả sử: trên ¡

n

đã xác định một chuẩn nào đó kí hiệu .

n

Gọi ei = ( dij )

j = 1,

trong đó:

di j = 1nếu i ¹ j, di j =0 nếu i=j; " i = 1, n
là cơ sở của không gian ¡
Với " x= ( x )n

Î

i i=
1

n

¡

n

đều có hiểu diễn duy nhất dưới dạng

n

với x =

å

xi

i= 1

ei

Lấy một phiến hàm bất kỳ f Î (

n

¡

¡

¡ ) ta có
n

n

" x = (xi)
Î

i= 1

¡ ;
n

*

) (

n

*

) là không gian liên hợp của


n

f(x) = f (

å
Þ

n

xi ei ) =
i= 1

n

$ (f i )i=

Î ¡

å
i= 1

n

xi f (ei ) =

å

xi f i , fi = f (ei ) i = 1, n
i= 1

n

Ngược lại với mỗi vectơ cố định tuỳ ý f = (fi)
f (x) =

n

å

fi x i

Î ¡

, " x = ( x )i=
1
n
i

i= 1

n

n

i=1

Î

¡

n

ta có

Dễ dàng thấy f là một phiến hàm tuyến tính trên ¡ n , hơn nữa f liên tục
Thật vậy
1. Giả sử

x =

n

1

xi

å

, " x = (xi)

2

i= 1

n

å

f (x) =

Þ

n

å

£

x i fi

2

n

n

fi

å

å

i= 1

fi

xi = x 1 .

i= 1

Chọn x0 = ( x(0) )n
, " i = 1, n

, x(i 0)
=
fi
n

Þ

và

x0 Î ¡

å

fi

2

i= 1

n

x0 = 1
n

0

å

f (x ) =
i= 1

f2

n

i
n

å

f i2

=

å

fi

2

i= 1

i= 1

Suy ra
f = sup f (x )
³

n

f (x0 )
=

å

fi

2

(2 )

i= 1

Từ (1) và (2) ta nhận được f =
n

å

i= 1

f2

n

å

i= 1

(1)

2

i=

ta có

2

i= 1

i

n

1

i= 1

f £

Î ¡

n
i=

(3)

2

fi

n *

(¡ )

Bất đẳng thức (1) chứng tỏ f bị chặn. Do đó f Î (¡ n )* và chuẩn trên
xác định bởi hệ thức (3)
2. Giả sử x

= max x ,
2

" x=(x )
n

n

i i= 1

i

i

Î ¡

Khi đó ta có:
n

n

f (x)
=

x ifi £

å

å

i= 1

i= 1

(4)

n

Þ

f

£

x i . fi
£

å

i= 1

fi

æn ö
ç
x . ç fi ÷÷
÷
2
,f i
çèå ø÷
i= 1

= f (ei ), i = 1, n


n

n

Mặt khác chọn x0 = (sign (fi) i= Î ¡
n

Þ

n

x0 2 = 1 và f (x0 ) =

(sign(fi )fi =

å

i= 1

f = sup f (x)
³

Suy
ra

å

fi

i= 1
n

å

f (x0 ) =

fi

i= 1

(6)

n

Bất đẳng thức (4) và ( 5) cho ta f =

å

i= 1

fi

Từ (4) chứng tỏ f bị chặn, do đó f Î (¡ n ) và chuẩn trên
*
n *

(¡ ) xác định bởi hệ thức (6)
n

å

3

3. Giả sử x = (

i

1
p p

n
i= 1

x )

"x =
(xi)

i= 1

Khi đó " f
Î

n *

Î (¡ ) , P>1

n
(¡ ) ta có
*
n

n

f (x) =

å

xifi £
i= 1

å

xifi

i= 1

áp dụng bất đẳng thức Holder ta có:
ff (x) £

n
n

å

x
i i

Trong đó:

1

p

+

æ
£ çå x
i
çç

1

i= 1

è i=

ø è i=

1

1

1

q

=1

1

1

ö p
æn
ö÷p
q
æ n÷
öq ÷
q
÷ .çå f ÷ = x .ç fi ÷
3 çç
÷ çç i å
÷
÷

p

ø

è i= 1

ø


1

Þ f £
q

f
ç ö÷ q
n
÷
çèç i ø÷
i=
æ

1

Mặt
khác chọn x0 = (x (0) )
¥
i

n= 1

0

trongđó x i =

q- 1
i
1
n

f sign(f i )

qö p
æç
÷÷
ççå fi ÷
÷÷
èç j= 1
ø