Làm đầy một không gian định chuẩn

Khoá luận tốt nghiệp

Lời cảm ơn
Bản khoá luận tốt nghiệp này là bước đầu tiên để em làm quen với việc
nghiên cứu khoa học.Trứơc sự bỡ ngỡ và gặp nhiều khó khăn khi mới bắt
đầu làm quen với công việc nghiên cứu khoa học,em đã nhận được sự giúp
đỡ động viên của các thầy cô giáo và các bạn sinh viên khoa Toán. Đặc biệt
em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến PGS.TS. GVCC. Nguyễn Phụ Hy, đã
giúp đỡ em hoàn thành bài khoá luận này.
Em cũng xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán đã tạo điều
kiện để em có cơ hội tập dược với việc nghiên cứu khoa học.
Xuân Hoà, tháng 5 năm 2007
Sinh viên

Đồng Thị Chinh

Đồng Thị
Chinh

10

K29B- Toán


lời cam đoan
Tôi xin cam đoan kết quả đề tài :"Làm đầy một không gian định
chuẩn"đảm bảo tính chính xác, khách quan, khoa học, không trùng với kết
quả của tác giả khác.
Nếu sai tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm.

Xuân Hoà, tháng 5 năm 2007

Sinh viên

Đồng Thị Chinh


Lời mở đầu
Giải tích hàm là một ngành toán học được xây dựng vào nửa đầu thế kỉ
XX, đây là ngành giải tích Toán học. Nội dung của nó là sự hợp nhất của lí
thuyết tổng quát xuất phát từ việc mở rộng một số khái niệm và kết quả của
giải tích và đại số. Trong đó điều đáng chú ý nhất là tác giả của các đối tượng
đang được khảo sát giống như không gian thực tại trong các mối quan hệ này
hay các mối quan hệ khác. Đến nay giải tích hàm đã đạt được một số nội
dung hết sức quan trọng:
- Lý thuyết về các không gian trừu tượng
- Lý thuyết về toán tử tuyến tính
- Lý thuyết về nội suy toán tử
- Lý thuyết về giải tích hàm suy tuyến, giải gần đúng phương trình
tuyến tính
Phương pháp của giải tích hàm là tiên đề hoá những tính chất đặc
trưng của tập số thực thành các không gian tương ứng và mở rộng các vấn đề
cơ bản của giải tích cổ điển vào những không gian đó.
Giải tích hàm có ý nghĩa quan trọng bởi sự ứng dụng của nó trong vật
lí lí thuyết hiện đại, đặc biệt trong cơ học lượng tử.
Với mong muốn được nghiên cứu và tìm hiểu sâu hơn về môn này và
là bước đầu tiếp cận với nghiên cứu khoa học, em đã chọn đề tài: “Làm đây
không gian định chuẩn”.
Trong khoá luận này em đã trình bày nội dung sau:
L

Chương 1. Không gian định chuẩn C [a,b]

Chương 2. Làm đầy không gian định chuẩn
Để hoàn thành bản khoá luận này, mặc dù em đã hết sức cố gắng song
do còn hạn chế về thời gian và kiến thức nên khoá luận không tránh khỏi


những thiếu sót. Em rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của thầy cô và
bạn bè.
l

CHƢƠNG 1 : KHÔNG GIAN địNH CHUẩN C a, b


l

Không gian tuyến tính định chuẩn C a, b



Định nghĩa 1.1.1: (Không gian tuyến tính )

Giả sử P là trường số thực R hay trường số phức  .Tập
X  cùng với hai ánh xạ ( gọi là phép cộng và phép
nhân vô hướng ).
 Phép cộng:
(x,y)

X X X


x+y

( x,yX )

 Phép nhân vô hướng : P X 
( .x)

X

 .x ( 

P, x X) Gọi là một không gian tuyến tính ,nếu
0
( x,y X) : x+y=y+x
1 : mãn:
các tiên đề sau thoả
0
2 : ( x,y,z X): (x+y)+z =x+
0
(y+z);
3 : ( X )( x X)
x+ =x

;
;

(gọi là phần tử không của
0

X) 4 :
( xX) (  -xX) x+

(-x)= 

;

( -x gọi là phần tử đối của x )
0
5 : ( x,y X)( P) .(x+y )= 
x+y
;


0
6 : ( xX)( , P) (  + ).x
=  x + x
;
0
7 : ( xX) ( , P) : (.
).x= .( x)
;
0

8 : ( xX)

1.x=x ;

Nếu P= R thì X gọi là không gian tuyến tính
thực Nếu P=  thì X gọi là không gian tuyến
tính phức

l

 Xây dựng không gian tuyến tính C a, b
l

C  a, = x= x(t): x(t) là các hàm liên tục trên đoạn [a,b]
b




Đưa vào tập
hai phép toán :
l
C a, b
x=x(t)  ,
l

C a, b

l

y=y(t)  , R :

C a, b

Ta gọi tổng của 2 phần tử x và y ,kí hiệu x+y
x+ y=x(t)+y(t)
Ta gọi tích của phần tử x với số ,kí hiệu .x

.x = .x(t)
l

b) Các phép toán trên đóng kín trong C a, b .
Thật vậy: x=x(t) 
l

C a, b

, y=y(t) 

,

R .
Khi đó theo tính chất các hàm số liên tục ta có

x(t)+y(t);

.x(t) đều là các hàm liên tục trên đoạn [a,b].
l

l

Do đó x+y C a, b; .x C a, b
l

Suy ra các phép toán xây dựng trên đómg kín trong C a, b
l

c) C a,

b

tuyến tính.
Thật vậy:

l

C a, b

cùng với hai phép toán trên là một không gian




0

Kiểm tra tiên đề 1

x=x(t) 

l

, y=y(t) C a, b.Ta có

l

C a, b
Với mỗi t [a,b] ,thì x(t), y(t) R nên
x(t)+y(t) =y(t)+x(t).
Suy ra x+y=y+x

0

Vậy tiên đề 1 được thoả mãn .
0

Kiểm tra tiên đề 2



x=x(t)

l

, y=y(t) C a, b,

l

C  a, b

l

z=z(t)C a, b 

Với mỗi t[a,b] thì

x(t), y(t), z(t)

 R nên ( x(t)+y(t) )+ z(t) =

x(t)+(y(t) + z(t))
( x+y) +z
=x+( y+z ). Vậy tiên đề 2

0

được thoả mãn .


0

Kiểm tra tiên đề 3 :
Xét= (t)=0 , t[a,b]

Hiển nhiên 
l

C a, b

, x=x(t)  , ta có:
l

C a, b

Với mỗi t [a,b] thì x(t) R nên :
x(t) +0 =0+ x(t)= x(t)
x+=+x=x .
Vậy tiên đề 3 được thoả mãn , và phần tử  được gọi
0

l

là phần tử không của C a, b.


0

Kiểm tra tiên đề 4 :

x=x(t) 
l

C a, b

l

,đặt y=-x(t) . Rõ ràng y C  a, b

Với mỗi t[a,b] thì x(t) R và -x(t) R ,nên
x(t)+ (-x(t)) =

x(t)-x(t) =0


x(t)+( -x(t))=x(t)-x(t) =0 , t[a,b] .
x+y =.
Phần tử y được gọi là phần tử đối của x , kí hiệu –x
0

Vậy tiên đề 4 được thoả mãn



0

Kiểm tra tiên đề 5 :
x=x(t) 
l

C a, b

l

, y=y(t) C a, b,
 R ta


có :

Với mỗi t [a,b] thì x(t) ,y(t) R , nên :
.( x(t)+y(t) )= .x(t)+ .y(t).
0

Vậy tiên đề 5 được thoả mãn


0

Kiểm tra tiên đề 6 :
l

x=x(t) C a,
b, , R , ta có :

Với mỗi t[a,b] thì x(t) R
nên :
( + ).x(t) = .x(t)+ .x(t)
( +

).x= .x+ .x .

0

Vậy tiên đề 6 thoả mãn .


0

Kiểm tra tiên đề 7 :
l

x=x(t) C a, b,
, R , ta có : Với

mỗi t[a,b] thì x(t) R
nên :

( .x( t ) )=( . ). x(t)
( x)
=( . .)x , Vậy tiên
0

đề 7 được thoả mãn.


0

Kiểm tra tiên đề 8 :
l

x=x(t) C a, b, ta có:

Với mỗi t[a,b] thì x(t) R nên :


1.x(t) =x(t) ,
1.x =x.
0

Vậy tiên đề 8 được thoả mãn.
l

Vậy C a,

cùng với hai phép toán trên lập thảnh một

b

không gian tuyến tính trên trường số thực R .

l

 Không Gian Định Chuẩn C a, b
1.2.1 Định nghĩa 1.2.1 (Không gian định chuẩn ).
Ta gọi không gian định chuẩn (hay không gian tuyến tính đ
cùng với một ánh xạ từ tập X vào tập R ,kí hiệu
là

.  và đọc là

chuẩn, thoả mãn các tiên đề sau:
o

1 : (
x  X) :

 x  0

x  =0 x=(ký hiệu phần tử

□

không của X là ) 2 :

( x X) (

P): .x  =

.  x ;

0

0

 x y  x y

3 : (
x,yX)

;

Số  x  đọc là chuẩn của vectơ x
0

0

0

Các tiên đê 1 ,2 , 3 gọi là hệ tiên đề chuẩn
Kí hiệu không gian định chuẩn : X hay (X, . );
l

 Xây dựng không gian định chuẩn C a, b
l

a) Ta đưa vào không gian tuyến tính C a, bchuẩn của
l

phẩn tử x=x(t) C a, b, kí hiệu  x  xác định
b

□

x =

x(t)dt
a

(1)


l

Dễ thấy quy tắc cho bởi (1) là một ánh xạ từ C a,

vào R

b
l

 Chứng minh ánh xạ từ C a,

vào R xác định bởi (1)

b

thoả mãn hệ tiên đề chuẩn
Thật vậy:
L
xt C

  

a,b




L
x t C


x


a,b






 Kiểm

o

tra tiên đề 1 :

x=x(t) 

x(t) 0 t[a,b]. nên

l

C a, bdo

b

Bây giờ ta chỉ ra

x(t)dt =0

x(t) 0 , t[a,b].


a

Thật vậy ,chiều ngược lại là hiển nhiên.
sao cho

b

Nếu

x(t)dt =0 (*) và giả sử t

0

  a.b 
a

x(t0) 0.Khi đó , c, d  , t
0
a,b

c, d

sao cho



x(t ) 0, t  c, d .Từ đó và từ:
b

d

x(t)dt x(t) dt 0 ( mâu thuẫn với (*)

x(t) 0, t  a,b 

). Vậy
a

x(t) 0, t  a,b  .
x(t) ,
Từ đó và từ tính liên tục của hàm

c

b

Vậy

x(t)dt =0

x(t) 0 , t[a,b].


a

Hay

x(t) 0 x(t) 0,t a,b


0

Vậy tiên đề 1 thoả mãn.


0

Kiểm tra tiên đề 2 :
l

x=x(t) C a, b, R ,Ta có :

.x= .x(t);
b

.x  =

dt = 

b

.x(t)

a


 .x  =

a

b

.
x(t)dt = 
x(t) dt =

 x .



0

Vậy tiên đề 2 thoả mãn


0

Kiểm tra tiên đề 3 :

a

□x 


x=x(t) 
l

C a, b

l

, y=y(t) C a, b,
l

x+y=x(t)+y(t) C a, b,
b

b



 x y = x(t) y(t) dt


 x(t) 

y(t) dt =

y

a

a

b

b

x(t)dt + y(t) dt = x +
a

a

x y x y
0

Vậy tiên đề 3 thoả mãn
l

Kết luận : (C a, b, . ) là không gian định chuẩn.


.Định lí :Không gian định chuẩn
không đầy.
l

C a, b
1.3.1.

ác khái niệm cơ bản :

Định nghĩa 1.3.1:
Dãy điểm (xn) trong không gian định chuẩn X gọi là hội tụ tới điểm
xX nếu
lim
n x x =0 .Kí hiệu xn=x hay xn x ( n
lim
□ n
n  )

Định nghĩa 1.3.2 :
Dãy điểm (xn) của không gian định chuẩn X gọi là dãy cơ bản nếu
lim

n,m



xn  .=0.
xm
Định nghĩa 1.3.3:
Không gian định chuẩn X gọi là không gian Banach nếu mọi dãy cơ

bản trong X đều hội tụ .
1.3.2.

ng minh định lí:
10


như sau:
L
Thật vậy: Trong không gian C a,bta xét dãy (xn (t))


1



a b

với a t 
2

Đồng Thị Chinh

,

K29B- Toán

10


xn(t) =

1+(a+b)n-2nt

với

a

t
  b
2
2
a b

với a b

0


2

Ta chứng minh xn(t) C
a,b

a)

1

(n * )

2n

t b

.

1
2n

L



Thật vậy :
 Với t [a;
trên
[a;

a b

 Với t
(

) thì x (t) =1 nên x (t) liên tục

n

2

n

 Với t
(

 Tại
 b t=

1

n

n

n

2n

a

lim

ta có x (

n

2

a b

n

b )


a
(


Đồng Thị
Chinh



2

b

l
i
m

a
2

;1].
2n

)=1 ,

2

xn(t) = lim (1+(a+b)-2nt)=1 =xn(
)

)

2

;b
] thì
x (t) =0 nên x (t) liên tục trên (

b 1
+

a b

+
2

a b

) thì x (t) nên x (t)=1+(a+b)n-2nt liên tục trên

a b a
;
b 1

+
2n
2
2
a b a b 1
(

;
+ )
2
2n
2

t



1

)

b

t
2
(
a




xn(t)=
10

K29B- Toán

t (
2

a

)



1=1
=

lim
ab
t ( 2





lim

2

)

t
)



a
(

Vậy xn(t) liên tục tai t=

+
2

lim

,ta 1có x (
+

a b

 Tại t=

1

lim
t (
a  b 1 
 )
2 2n

Đồng Thị
Chinh

n

2n

(xn(t))=

a b

2

lim 0 =0=xn(

t
b
a


1

(
2 ) 2n

(xn(t)) = t lim
b

xn(t)

a
b
2.

b

t (
a 
1 
 )
2 2n

2

b

a


1 
(
2 ) 2n

)=0 , n * .

2n


a b

2

1
+

2n

);

1(ab)n2nt  =0=

10

1


a

x2n( 2

b

+

).

K29B- Toán


a

Vậy x (t) tại t=

+

b

1

.

2n
2
Do vậy xn(t) liên tục trên đoạn [a,b] .Suy ra xn(t)
 C
n

b) Dãy (x
 n
(t))

là dãy cơ bản trong C

L
[a,b]

L
[a,b]

n1

*
Thật vậy: m,n , giả sử m=n+p

, p 

*

ta có :

b
 xm xn  xn (t) xm(t) dt
a
xn (t) xm (t)
dt +

ab
2

ab
1

2
2n





=

a

11 dt
a



xn (t) xm (t) dt

2


2n

b

xn (t) xm (t)
dt +



0 0 dt

a b 1
2

2

ab 1

2 2n

=



a
b



a b 1

ab 1

2 2n

2

+

b

a b
2

ab

=

xn (t) xm (t)
dt +


2n

xn (t) xm (t) dt

ab
2

Vì xn(t) 
xm(t)
 xn
xm =

1 , t[a,b] nên
ab
1

2 2
n



ab

2

xn (t) xm (t) dt 


a

b

1

hay

2


2n



 xn xm  

1

dt =

1

ab
2

2

(n )

0 2

n

Do đó dãy (xn (t))
là một dãy cơ bản
n 1
c. Dãy (xn)
L[a,b]
không hội tụ trong C
.Thật vậy :

Giả sử dãy (xn(t))
hội tụ tới một hàm x(t) nào đó
n
trong C

L
[a,b]

,tức là


(n
 xn x  
0  ) ,hay

ab
2



0

(n )

a

ab

Tích phân này có thể viết

xn (t) x(t) dt

2



xn (t) x(t)
dt +

b



xn (t)
a b x(t) dt

cho nên ta

2

a

ab

phải có:

2



xn (t) x(t) dt

b



xn (t)
ab x(t) dt

0 (n
) và

0 (n
)

2

a

hay lim xn (t) x(t) trong không
gian C

L
a
[a, 

b

n 

]

2

Và lim xn (t) 

trong không gian C

x(t)

n 

L[

a ,b]

b
2

ab

Nhưng rõ ràng

2



b

xn (t) 1 0
dt
(n

a



(n
a b 0 
 2
)
),

xn (t) 0 dt

L

Vậy lim xn (t) 1 trong không gian C
n 

Và lim xn (t)
0

L

trong không gian C

n 

10

[

[a,

a b


a b
2

2
,b]

]


Vậy x(t) và 1 cùng là giới hạn của dãy (xn(t)) trong không gian

C

L

a b
[a,
]

2

x(t) và 0 cùng là giới hạn của dãy (xn(t))
L
trong không gian C [ a b
Do tính duy nhất của giới hạn ,ta suy ra

,b]

2

với a t a b

1

2

x(t)=

Đồng Thị Chinh

10

K29B- Toán

0

với

a t b

b
2

Nhưng như thế x(t) không liên tục vì tại t=

a

b

thì x(t) bị gián đoạn

2

nên
x(t)  C

L
[a,b]

Do đón x (t) không thể có giới hạn trong

C

[a,b]

L

Kết luận : Vậy không gian C

L
[a,b]

không đầy

Trong chương sau chúng ta sẽ tìm cách làm đầy một không gian định
chuẩn chưa đầy thành không gian Banach .

Đồng Thị
Chinh

10

K29B- Toán


Chƣơng 2 : Làm đầy không gian định chuẩn không đầy thành
không gian Banach

*

Nhận xét : Từ định lý :” Cho không gian định chuẩn X .Đối với hai

vector bất kì

x, y X ,ta đặt
y 
(2.1.1)

d(x,y)= x

Khi đó d là một metric trên X .
Nhờ định lý trên mà mọi không gian định chuẩn đều có thể trở thành
không gian metric với metric (2.1.1) .Do đó một mẹnh đề đã đúng trong
không gian metric đều đúng trong không gian định chuẩn .
Vì vậy nhờ nguyên lí làm đầy không gian metric , và metric (2.1.1)
mọi không gian đinh chuẩn không là không gian Banach đều có thể làm đầy
thành không gian Banach .

* Quá trình làm đầy không gian định chuẩn X thực chất là : Mỗi dãy
cơ bản mà không hội tụ trong X thì coi như xác định một phần tử mới làm
giới hạn cho dãy đó
Sau khi thêm những phần tử mới này ,người ta có thể định nghĩa một
chuẩn thích hợp để không gian đã bổ sung là đủ trong chuẩn đó , và lúc này
X trở thành không gian con của không gian đã bổ sung .
2.1. Làm đầy không gian định chuẩn .
Cho không gian định chuẩn ( X, . )

( nói chung X là không

gian không đầy ). Khi đó tồn tại không gian Banach X sao cho :