Các định lý giá trị trung bình và áp dụng

Lài cám ơn

Em xin chân thành cám ơn sn giúp đõ cna các thay giáo, cô giáo to Giái
tích trong khoa Toán và các ban sinh viên. Đ¾c bi¾t, em xin bày tó lòng
biet ơn sâu sac cna mình tói TS. Nguyen Văn Hào đã t¾n tình giúp đõ
em trong quá trình hoàn thành khóa lu¾n tot nghi¾p.
Lan đau đưoc thnc hi¾n công tác nghiên cúu khoa hoc nên khoá lu¾n
không tránh khói nhung han che và thieu sót. Tác giá xin chân thành cám
ơn nhung ý kien đóng góp cna các thay giáo, cô giáo và các ban sinh viên.

Hà N®i, tháng 5 năm 2010
Tác giá

Tran Th% Mây


Lài cam đoan

Tôi xin cam đoan, dưói sn hưóng dan cna TS. Nguyen Văn Hào, khóa
lu¾n tot nghi¾p “Các đ%nh lý giá tr% trung bình và áp dnng” đưoc
hoàn thành, không trùng vói bat kỳ khóa lu¾n nào khác.
Trong quá trình làm khóa lu¾n, tôi đã ke thùa nhung thành tnu cna các
nhà khoa hoc vói sn trân trong và biet ơn.

Hà N®i, tháng 5 năm 2010
Tác giá

Tran Th% Mây


Mnc lnc

Má đau

1

Chương1. M®T SO KIEN THÚC CHUAN B±

3

1.1. Khái ni¾m hàm khá vi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2. Quan h¾ giua đao hàm và tính liên tuc cna hàm so

. . . .

4

1.3. Các phép tính cơ bán ve đao hàm . . . . . . . . . . . . . .

5

1.4. Các đ%nh lý cơ bán ve đao hàm . . . . . . . . . . . . . . .

6

Chương2. M®T SO ÚNG DUNG CÚA бNH LÝ GIÁ TR±
TRUNG BÌNH

9

2.1. Đ%nh lý Rolle vói các hàm so sơ cap đơn gián . . . . . . . .

10

2.2. M®t so cách xây dnng bài toán giói han cna dãy so tù Đ%nh
lý giá tr% trung bình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

Chương3. бNH LÝ GIÁ TR± TRUNG BÌNH VéI M®T SO
TOÁN TÚ TÍCH PHÂN TUYEN TÍNH

21

3.1. M®t so Bo đe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

3.2. M®t so đ%nh lý giá tr% trung bình đoi vói m®t so toán tú tích
phân tuyen tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

Ket lu¾n

35

Tài li¾u tham kháo

36


Má đau

1. Lý do chon đe tài
Lý thuyet giói han là phép tính cơ só cna Giái tích Toán hoc. Nhò nó,
mà ngưòi ta có the xây dnng và nghiên cúu m®t cách tưòng minh các khái
ni¾m ve hàm so: liên tuc, khá vi, khá tích. Ngay khi khái ni¾m đao hàm
đưoc hình thành, m®t cách khá đơn gián ngưòi ta đã chí ra: hàm hang có
đao hàm bang 0. Tuy nhiên, van đe ngưoc lai thì không han đơn gián. Đen
khi lý thuyet đao hàm cna hàm so m®t bien so đưoc xây dnng xem như
hoàn chính, ngưòi ta mói khang đ%nh đưoc đieu tưóng như tam thưòng đó.
Các đ%nh lý ve giá tr% trung bình đóng m®t vai trò quan trong đoi vói
phép tính vi phân, tích phân cna các hàm trong Giái tích Toán hoc. Đen
nay, ý nghĩa cna các ket quá này van thu hút đưoc sn quan tâm cna nhieu
lĩnh vnc cna Toán hoc cũng như nhieu ngành khoa hoc khác. Nhung ket
quá nghiên cúu mói đem lai nhieu úng dung trong vi¾c nghiên cúu các bài
toán ve sn ton tai nghi¾m cna phương trình, van đe cnc tr% cna hàm so, lý
thuyet giái tích so,. . . . Trong Toán hoc, m®t hưóng nghiên cúu đã và đang
đưoc quan tâm là sn mó r®ng các ket quá cna nó tói lóp các hàm, các toán
tú khác nhau.
Bói tam quan trong cũng như tính thòi sn cna các đ%nh lý ve giá tr%
trung bình và đưoc sn hưóng dan cna TS. Nguyen Văn Hào, em đã chon đe
tài: “Các đ%nh lý giá tr% trung bình và áp dnng” đe hoàn thành khóa
lu¾n tot nghi¾p h¾ đào tao cú nhân chuyên ngành Sư pham Toán hoc. Cau
trúc cna đe tài đưoc bo cuc thành ba chương:
Chương 1. Tác giá trình bày các kien thúc căn bán ve khái ni¾m khá
vi cna hàm m®t bien và m®t so ket quá quan trong cna phép tính vi phân

đoi vói hàm so m®t bien so.
4


Chương 2. Chương này dành cho vi¾c trình bày m®t so phương pháp
xây dnng m®t so ket quá mói đoi vói phép tính vi phân cna hàm so m®t
bien so nhò Đ%nh lý giá tr% trung bình. Bang vi¾c sú dung nhung tính chat
đ¾c trưng cna các hàm sơ cap và ky thu¾t tao dnng hàm phu, chúng tôi
đưa ra m®t so bài toán đi sâu vào vi¾c nghiên cúu đoi vói hàm khá vi.
Thêm nua, chúng ta cũng thay đưoc m®t phương pháp v¾n dung ket hop
giua giói han cơ bán vói Đ%nh lý giá tr% trung bình đe có đưoc m®t lóp các
bài toán giói han ve dãy so khá đ¾c sac.
Chương 3. Chúng tôi trình bày m®t so ket quá cna đ%nh lý giá tr%
trung bình trên lóp các toán tú tích phân tuyen tính trên không gian C 1
([0, 1]) các hàm liên tuc nh¾n giá tr% thnc xác đ%nh trên đoan [0, 1] .
2. Mnc đích, nhi¾m vn và ket quá nghiên cNu
Nghiên cúu ve úng dung cna Đ%nh lý giá tr% trung bình đoi vói các bài
toán cna hàm khá vi, các bài toán ve giói han cna dãy so đưoc khai thác
nhò Đ%nh lý giá tr% trung bình.
Mó r®ng ket quá cna Đ%nh lý giá tr% trung bình tói lóp toán tú tích phân
tuyen tính.
3. Đoi tưang nghiên cNu
Úng dung cna Đ%nh lý giá tr% trung bình và van đe mó r®ng các ket quá
cna nó tói lóp toán tú tích phân tuyen tính.
4. Phương pháp nghiên cNu
Đoc tài li¾u, phân tích, so sánh, tong hop.


Chương 1
M®T SO KIEN THÚC CHUAN B±

1.1.

Khái ni¾m hàm khá vi

Đ%nh nghĩa 1.1.1. Cho hàm so y = f (x) xác đ%nh trên khoáng (a,
b) , x0 ∈ (a, b) . Cho x0 m®t so gia ∆x sao cho x0 + ∆x ∈ (a, b) .
Chúng ta goi bieu thúc
∆y = f (x0 + ∆x) − f (x0)
là so gia cna hàm so úng vói so gia ∆x cna đoi so. Neu ton tai và huu han
giói han
lim ∆y

f (x0 + ∆x) − f (x0)

=
lim

,

∆x→0
∆x
∆x
thì giói han đó đưoc goi là đao hàm cna hàm so f (x) tai điem x0, ký
hi¾u là f r(x0). Như v¾y
∆x→0

f r(x0) =
lim
∆x→0

∆y

f (x0 + ∆x) − f .
(x0)
∆x→0
∆x

(1)

=
lim

∆x

Đ¾t x = x0 + ∆x thì ta có the viet công thúc (1) dưói dang
f (x) − f (x0)
f r(x0) = lim
.
x→x0
x−

(2)

x0
Ví dn 1.1.2. Neu hàm f (x) = C, vói C là hang so thì f r(x) = 0.
Th¾t
v¾y, vói moi x ∈ R chúng ta có
f r(x) =
lim

∆y

=
lim

=
f (x + ∆x) − f lim

C−

( x)

C

= 0.


∆x→0

∆x→0

∆x

∆x→0

∆x

∆x

Ví dn 1.1.3. Tìm đao hàm cna hàm y = ln x; vói (x > 0) . Theo đ
%nh nghĩa, chúng ta có
r

.

.
ln 1 ∆x..
1
+
= lim
∆x→0 ∆x
∆x→0 ∆x
x

f (x) =
lim

∆y


= lim

. 1

∆x→0

x

.

ln 1
+

∆x

.

x
∆x

x
1.2.

.

1
= .
x

Quan h¾ giÑa đao hàm
và tính liên tnc cúa hàm
so

Đ%nh lý 1.2.1. Hàm so f (x) có
đao hàm tai điem x0 thì liên tnc
tai đó.
ChNng minh. Giá sú hàm so có
đao hàm tai x0. Theo đ%nh nghĩa
chúng ta có the viet
∆y

= f r(x0) + α(∆x),

∆x
trong đó α(∆x) là vô cùng bé khi
∆x → 0. Tù đó, suy ra
∆y = f
r
(x0).∆x
+
θ(∆x),
vói θ(∆x) = ∆x.α(∆x) là vô
cùng bé b¾c cao hơn ∆x khi
∆x → 0. Tính liên tuc cna hàm
so f (x) nh¾n đưoc tù vi¾c
chuyen qua giói han cna so gia
hàm so khi so gia cna đoi so ∆x
→0
lim ∆y
(f r (x0 ).∆x +
lim θ(∆x)) = 0.

∆x→0 =

∆
x
→
0


Chú ý 1.2.2.

Đieu ngưoc lai không đúng.
Chang han, xét hàm so f (x)
= |x| tai điem
x0 = 0. Ta có
∆f = f (0 + ∆x) − f (0)
= |0 + ∆x| − |0| = |∆x| .
D

∆f
=
lim

|∆x| = 0.

∆
→
0

Tù đó suy ra hàm so f (x) =
|x| liên tuc tai điem x0 = 0.
Tuy nhiên, khi
cho so gia cna đoi so ∆x dan
đen 0 tù bên trái và bên phái
ta nh¾n đưoc
∆f
giói han lan lưot là -1 và 1 .
cna tý Đieu đó chúng tó
so
∆x hàm so đã cho
không có đao hàm tai điem x0

= 0.


1.3.

Các phép tính cơ bán ve đao hàm

Bang vi¾c trnc tiep sú dung đ%nh nghĩa cna đao hàm chúng ta de dàng
chúng minh đưoc các ket quá ve phép tính đoi vói đao hàm dưói đây
Đ%nh lý 1.3.1. Neu các hàm so f (x) và g(x) có đao hàm tai điem
x
f (x)
(g(x) ƒ= 0) cũng có đao hàm
thì các hàm f (x) ± g(x), f
tai
(x).g(x),
g(x)
đó và ta có các công thúc sau
r

(i). (f (x) ± g(x)) = f r(x)
± gr(x)
r

(ii). (f (x).g(x))
= f r(x).g(x) + f (x).gr(x)
.
f
f r(x).g(x) − f
(iii) (x).r

(x).gr(x)
.
=
2
g(x)
(g(x))
Đ%nh lý 1.3.2. Cho hàm so y = f (x) có đao hàm tai x0, hàm z =
g(y)
xác đ%nh trong m®t khoáng chúa y0 = f (x0) và có đao hàm tai y0. Khi
r

đó hàm g ◦ f (x) có đao hàm tai x0 và ta có (g ◦ f ) (x0) =
g r (y0 ).f r (x0 ).
ChNng minh. Cho x0 m®t so gia ∆x. Khi đó ta có các so gia ∆y
= f (x0 + ∆x) − f (x0) và ∆z = g(y0 + ∆y) − g(y0) tương úng.
Tù sn ton tai đao hàm cna các hàm f (x) và g(y) ta có
∆y
∆z
r
= f (x0) +
= gr(y0) + θ2(∆y).
∆x
∆y
θ1(∆x) và
trong đó θ1(∆x) và θ2(∆y) là các vô cùng bé khi ∆x → 0 và ∆y →
0,
tương úng. Nhân hai đang thúc trên ve vói ve ta đưoc
∆z

= (f r (x0 ) + θ1(∆x)) . (gr(y0) + θ2(∆y))

∆x
Cho ∆x → 0 thì ∆y = f (x0 + ∆x) − f (x0) → 0 (do tính liên tuc
cna hàm
f (x)). Tù đó ta đưoc
zr(x0) = g r (y0 ).f r (x0 ).

Đ%nh lý 1.3.3. Cho hàm so y = f (x) liên tnc và đơn đi¾u nghiêm ng¾t
trên


khoáng (a, b) . Neu f (x) có đao hàm tai điem x0 ∈ (a, b) và f r(x0) ƒ=
0, thì
hàm ngưoc x = ϕ(y) xác đ%nh trên khoáng (c, d) = f [(a, b)] cũng có
đao
1
.
hàm tai y0 = f (x0) và
r
r
f (x0)
ϕ (y0) =
ChNng minh. Vì f (x) là hàm 1-1 nên ton tai hàm ngưoc cna nó
trong m®t khoáng chúa y0 = f (x0). Ta có
ϕ(y) −
ϕ(y0)
y − y0

=

x − x0

=

f (x) − f

1
.
f (x) − f0 (x )
x − x0

(x0)

Do ϕ(y) là hàm ngưoc cna hàm f (x) liên tuc đơn đi¾u ng¾t nên
ϕ(y) cũng liên tuc. Tù đó suy ra khi y → y0 thì x = ϕ(y) → x0 =
ϕ(y0). Cho y → y0, ta đưoc
ϕr (y0 ) =

1
f

1.4.

r(x

.
0)

Các đ%nh lý cơ bán ve đao hàm

Đ%nh nghĩa 1.4.1. Hàm y = f (x) xác đ%nh trên (a, b) . Điem x0 ∈
(a, b) đưoc goi là điem cnc đai (tương úng, cnc tieu) đ%a phương cna
hàm y = f (x) neu ton tai so δ > 0 sao cho B (x0; δ) = (x0 − δ, x0
+ δ ) ⊂ (a, b) đe vói moi x ∈ B (x0; δ) thì f (x) ≤ f (x0); (tương
úng, f (x) ≥ f (x0)).
Điem x0 mà tai đó hàm y = f (x) đat cnc đai ho¾c cnc tieu goi đưoc
goi chung là điem cnc tr%.
Đ%nh lý 1.4.2 (Đ%nh lý Fecmat). Neu hàm y = f (x) đat cnc tr% tai
x0
mà tai đó hàm so có đao hàm thì f r(x0) = 0.
ChNng minh. Giá sú hàm so đat cnc đai tai x0. Khi đó vói moi |∆x| < δ
thì
12


f (x0 + ∆x) − f (x0) ≤ 0.
Do đó

13


f (x0 + ∆x) − f (x0)
≤ 0 neu ∆x > 0,
∆x
f (x0 + ∆x) − f (x0)
≥ 0 neu ∆x < 0.

∆x
Tù đó, chúng ta suy ra

f

r

.

x

lim
f

r

.

−

.

=

f (x0 + ∆x) − f (x0)

0
∆x→0−

.
x+ =

≥

∆x
f (x0 + ∆x) − f (x0)

0;

0;

lim

≤
∆x
Bói vì, hàm so có đao hàm tai điem x0 nên f r(x0) = 0.
0

∆x→0+

Đ%nh lý 1.4.3 (Đ%nh lý Rolle). Cho hàm y = f (x) liên tnc trên [a,
b] , khá vi trên (a, b) và f (a) = f (b). Khi đó, ton tai ít nhat m®t so c
∈ (a, b) sao cho f r(c) = 0.
ChNng minh. Neu f (x) là hàm hang thì ket quá là hien nhiên. Trái
lai, theo đ%nh lý Weierstrass, ton tai điem c ∈ (a, b) sao cho f (c) =
m ho¾c f (c) = M, vói m, M lan lưot là giá tr% nhó nhat và giá tr%
lón nhat cna f (x) trên [a, b] . Theo giá thiet f (a) = f (b), nên có ít
nhat m®t điem cnc tr% cna hàm so c ∈ (a, b) . Tù đó, theo đ%nh lý
Fecmat thì f r(c) = 0.
Đ%nh lý 1.4.4 (Đ%nh lý Lagrange). Cho hàm f (x) liên tnc trên [a, b]
,
khá vi trên (a, b). Khi đó ton tai ít nhat m®t so c ∈ (a, b) sao cho
f (b) − f (a)
.

f (c)
b−
=
r

ChNng minh. Hàm

a

(3)


ϕ(x) = f (x) − f
(a) −

f (b) − f (a)−
(x
a)
b−a
thoá mãn các giá thiet cna đ%nh lý Rolle, nên ton tai c ∈ (a, b) sao cho
f r(c) = 0. Tù đó ta nh¾n đưoc ket quá cna đ%nh lý.


Chú ý 1.4.5. Neu đ¾t a = x0, b = x0 + ∆x, b − a = ∆x thì công thúc
(3)
có the đưoc viet lai dưói dang
f (x0 + ∆x) − f (x0) = f r (x0 + θ.∆x) ∆x, vói 0 < θ < 1.
Công thúc trên đưoc goi là công thúc so gia giói n®i. Tù công thúc so gia
giói n®i, chúng ta thay rang neu hàm so f (x) có đao hàm f r (x) = 0,
vói moi x ∈ (a, b) thì hàm phái là hàm hang trên đó.

Đ%nh lý 1.4.6 (Đ%nh lý Cauchy).Cho các hàm f (x) và g(x) liên tnc
trên [a, b] , khá vi trên (a, b) ; gr(x) ƒ= 0 vói moi x ∈ (a, b) . Khi
đó ton tai ít nhat m®t so c ∈ (a, b) sao cho
f r(c) = f (b) − f (a)
.
g(b) − g(a)
ChNng minh. Bói vì gr(x) ƒ= 0, vói moi x ∈ (a, b) , nên theo đ%nh lý
Rolle
chúng ta có g(a) ƒ= g(b). M®t cách đơn gián, chúng ta có the kiem tra
hàm phu
ϕ(x) = f
(x) −

f (b) − f (a)
g(b) − g(a)

g (a))
(g(x)
−

thoá mãn các giá thiet cna đ%nh lý Rolle trên [a, b]. Do đó, ton tai ít nhat
m®t điem c ∈ (a, b) sao cho ϕr(c) = 0. Tù đó, chúng ta nh¾n đưoc
khang đ%nh cna đ%nh lý.
Chú ý 1.4.7.
1. Neu đ¾t g(x) = x trong đ%nh lý Cauchy thì ta nh¾n đưoc đ%nh lý
Lagrange.
2. Neu thêm giá thiet f (a) = f (b) trong đ%nh lý Lagrange thì ta nh¾n
đưoc đ%nh lý Rolle.

3. Theo cách chúng minh đã trình bày trên đây, chúng ta cũng có the xem đ
%nh lý Lagrange và đ%nh lý Cauchy như là h¾ quá cna đ%nh lý Rolle.


Chương 2
M®T SO ÚNG DUNG CÚA бNH LÝ GIÁ
TR± TRUNG BÌNH

Các đ%nh lý giá tr% trung bình đóng vai trò quan trong trong Toán hoc
cũng như nhieu lĩnh vnc khoa hoc khác. Trong Toán hoc, ngưòi ta có the ke
đen m®t so van đe như: bài toán ton tai nghi¾m cna các phương trình đai
so, ưóc lưong khoáng chúa nghi¾m cna các phương trình và toán tú trong
vi¾c giái gan đúng cna lý thuyet so, bài toán tìm cnc tr% cna hàm so,. . .
. Theo m®t khía canh, nhìn lai cách chúng minh cna Đ%nh lý Lagrange
và Đ%nh lý Cauchy, chúng ta thay hai đ%nh lý đó là h¾ quá cna Đ%nh lý
Rolle nhò vi¾c thiet l¾p hai hàm phu tương úng là
ϕ(x) = f (x) − f
(a) −
và
ϕ(x) = f
(x) −

f (b) − f (a)−
(x
a)
b−a

f (b) − f (a) −
(g(x)
g (a)) ,

g(b) − g(a)

vói hàm f (x) mà ó đây chúng ta goi nó là hàm “goc” ) liên tuc trên
đoan [a, b] và khá vi trên khoáng (a, b). Theo ý tưóng đó, chúng tôi sú
dung các tính chat riêng bi¾t cna m®t so hàm sơ cap ket hop vói hàm
goc f (x) đe có đưoc các bài toán mói. é đây, các hàm phu mói đưoc thiet
l¾p theo hai cách thúc sau
1. Ket hop hàm goc f (x) vói m®t so hàm sơ cap đơn gián dưói dang tong
và dang tích.
2. Tính chat cna hàm goc thoá mãn các giá thiet cna đ%nh lý giá tr% trung
bình đưoc chúng tôi gan ket vói các giói han cơ bán đe tao ra nhung bài
toán ve sn h®i tu cna dãy so.


2.1.

Đ%nh lý Rolle vái các hàm so sơ cap đơn gián

Như đã nói trên đây, trong các phan này chúng ta hieu “goc” là hàm
f (x) nào đó liên tuc trên đoan [a, b] và khá vi trên khoáng (a, b) trên
đưòng thang thnc.
2.1.1. M®t so hàm phn dưái dang tong
2.1.1.1. Hàm mũ. Xét hàm phu dưói dang tong cna hàm goc vói hàm mũ
h (x) = f (x) + t−x,
trong đó t là so thnc nào đó mà 0 < t ƒ= 1. Giá thiet cna Đ%nh lý Rolle
đoi vói hàm chí còn là sn thoá mãn thêm đieu ki¾n
f (a) + t−a = f (b) + t−b.
Tù đó, ton tai so c ∈ (a, b) sao cho đao hàm cna hàm h(x) tri¾t tiêu, túc
là f

r

(c) − t−c ln t = 0. Như v¾y, chúng ta nh¾n đưoc bài toán dưói

dang tong quát theo giá tr% cna cơ so trong hàm mũ t−x như sau
Bài toán 1. Cho hàm f (x) liên tuc trên [a, b] và khá vi trên (a, b)
thóa mãn đieu ki¾n f (a) + t−a = f (b) + t−b vói so thnc 0 < t ƒ= 1.
Chúng minh rang ton tai ít nhat m®t giá tr% c ∈ (a, b) sao cho f r (c) =
t−c ln t.
Bang vi¾c gán cho t các giá tr% cu the ta nh¾n đưoc m®t so bài toán sau
đây
Bài toán 1.1. Cho hàm so f (x) liên tuc trên [0, 1], khá vi trên (0,
1) và f (0) + 1 = f (1) + e−1. Chúng minh rang ton tai so c ∈ (0,
1) sao cho f r (c) = e−c.
Bài toán 1.2. Cho hàm so f (x) liên tuc trên [0, 1] , khá vi trên
(0, 1)


và thoá mãn đieu ki¾n f (0) + 1 = f (1) + 2010−1. Chúng minh
rang ton


tai so c ∈ (0, 1) sao

2010c .f r (c) = ln 2010.

cho

2.1.1.2. Hàm logarit. Ta xét hàm phu đưoc gan ket vói hàm logarit dưói
dang h (x) = f (x) − logα x vói so thnc α nào đó mà 0 < α ƒ=

1.
Đieu ki¾n bang nhau tai giá tr% hai đau mút cna hàm h(x) trên đoan
b
[a, b] tró thành f (b) − f (a) = logα . Bói vì, đao hàm cna hàm h(x)
a
là
−1

hr (x) = f r (x)(x ln α)
−1

nên ton tai so c (a, b) thoá mãn f r (c) =
.
c ln α
Tù đó, chúng ta nh¾n đưoc bài toán
Bài toán 2. Cho hàm so f (x) liên tuc trên [a, b] và khá vi trên (a,
b).
b
Giá sú rang f (b) − f (a) = logα
Chúng minh

vói ab > 0 và 0 < α ƒ= 1.

a

1

.
rang ton tai so c ∈ (0, 1) sao cho f
c ln α

(c) =
Thay the m®t so giá tr% cu the cna cơ so α cna hàm logarit, chúng ta
r

nh¾n đưoc m®t so bài toán
Bài toán 2.1. Cho hàm f (x) liên tuc trên [2009; 2009.e] , khá vi
trên (2009; 2009.e) và thoá mãn đieu ki¾n f (2009.e) = 1 + f
(2009) . Chúng minh rang ton tai so c ∈ (2009; 2009.e) sao cho f

r

(c) = c−1.
Bài toán 2.2. Giá sú hàm f (x) liên tuc trên [1; 2010] , khá vi trên
khoáng
(1; 2010) trù ra các điem nguyên trên đoan đó và
.

1

.


f (k + 1) − f (k) = ln

; k = 1, 2009.

1+
k
Chúng minh rang ton tai ck ∈ (k, k + 1) sao cho
.2009

c k f r (ck) = 2009.
k=1

2.1.1.3. Hàm đa thNc. Kí hi¾u Pn (x) = λ0 + λ1x + ... + λnxn, λn ƒ= 0 là


đa thúc b¾c n cna bien x. Hàm phu h (x) = f (x) − Pn (x) có đao hàm
là
n

hr (x) = f r (x) −

.

kλkxk−1.

k=1

Đieu ki¾n ve tính liên tuc và khá vi cna h(x) trên đoan [a, b] nh¾n
đưoc ngay tù giá thiet cna hàm goc f (x). Giá tr% bang nhau cna hàm
h(x) tai hai đau mút tró thành

n

f (a) − f (b) =

.

.
.

λ k bk − ak .

k=1

Tù đó, chúng ta nh¾n đưoc
Bài toán 3. Cho hàm f (x) liên tuc trên đoan [a, b], khá vi trên
khoáng
(a, b). Giá sú Pn (x) là đa thúc b¾c n thóa mãn đieu ki¾n
f (a) − Pn (a) = f (b) − Pn (b) ,
trù ra các điem nguyên trên đoan [a, b]. Chúng minh rang ton tai c ∈ (a,
b)
sao cho f r(c) = nP r (c).
Vói đa thúc P2 (x)
=

x2 chúng ta thu đưoc
2

Bài toán 3.1. Cho hàm f (x) liên tuc trên [1; 2010] , khá vi trên
(1; 2010)
và thóa mãn đieu ki¾n
f (k + 1) − f
(k) =

2k +
1
2

; vói moi k = 1, 2009.

Chúng minh rang ton tai ck ∈ (k; k + 1) sao cho
2009

. 1
k=1

f
(ck
ck

r

) = 2009.
23


Vói đa thúc P (x) = −(x − 1), chúng ta có đưoc
Bài toán 3.2. Cho hàm so f khá vi trên [0, 1] thóa mãn f (0) = 0, f
(1) = 1.
Chúng minh ton tai hai so phân bi¾t a, b ∈ (0, 1) sao cho f r (a).f r (b) =
1.

24


2.1.2. Hàm phn dưái dang tích
2.1.2.1. Hàm mũ. Hàm h (x) = f (x) . t−x vói 0 < t ƒ= 1 có đao
hàm
hr (x) = (f r (x) − f (x) ln
t) t−x.

Đieu ki¾n bang nhau tai hai đau mút cna đoan [a, b] có the viet dưói dang
f (a) tb = f (b) ta. Khi đó, chúng ta nh¾n đưoc bài toán
Bài toán 4. Cho hàm f (x) liên tuc trên [a, b], khá vi trên (a, b) và
thoá mãn đieu ki¾n f (a) tb = f (b) ta vói so thnc 0 < t ƒ= 1 nào đó.
Chúng minh rang ton tai c ∈ (a, b) sao cho
f r (c) = f (c) ln t.
Vói giá tr% t = e, chúng ta nh¾n đưoc
Bài toán 4.1. Cho hàm f (x) liên tuc trên [a0, an], khá vi trên (a0,
an) trù ra (n − 1) điem ai ∈ (a0, an) , i = 1, n − 1. Chúng minh rang
neu f (x) tri¾t tiêu tai các điem ai vói moi i = 0, n thì ton tai các so ci,
i = 0, n − 1 sao cho

.

n− r
1f

(ci)

= 1.

f (ci)

i=0

x
Trong bài toán này, chúng ta xét hàm h (x) = e −n f (x) , x ∈ R.
Tính
liên tuc và khá vi cna h (x) nh¾n đưoc tù hàm f (x) và de dàng thay
rang

h (ai) = 0, vói moi i = 0, n. Đao hàm cna h (x) là
1
hr (x) =
− e
n

−x

x
n f (x) + n f r (x) .
e−