- Trang chủ >>
- Sư phạm >>
- Sư phạm toán
Cung tham số, cung chính quy, cung song chính quy và ứng dụng
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (641.11 KB, 261 trang )
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN
===***===
TRẦN THANH HẢI
CUNG THAM SỐ, CUNG CHÍNH QUY, CUNG SONG CHÍNH
KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Hình học
Người hướng dẫn khoa học Th.S Trần Văn Nghị
HÀ NỘI - 2013
LỜI CẢM ƠN
Trong thời gian thực hiện đề tài khóa luận tốt nghiệp, dưới sự chỉ bảo tận
tình của thầy hướng dẫn và được phía nhà trường tạo điều kiện thuận lợi em
đã có một quá trình nghiên cứu, tìm hiểu và học tập nghiêm túc để hoàn thành
khóa luận. Kết quả thu được không chỉ do nỗ lực của bản thân mà còn có sự
giúp đỡ của quý thầy cô, gia đình và các bạn.
Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các thầy cô giáo đã giúp đỡ em.
Đặc biệt là thầy Trần Văn Nghị thầy đã hướng dẫn, hỗ trợ em hoàn thành tốt
đề tài về phương pháp, lý luận và nội dung trong suốt thời gian thực hiện khóa
luận tốt nghiệp.
Hà Nội, tháng 5 năm 2013
Sinh viên
Trần Thanh Hải
LỜI CAM ĐOAN
Khóa luận được hoàn thành dưới sự tìm hiểu, nghiên cứu của bản thân
và sự hướng dẫn tận tình của thầy giáo Trần Văn Nghị.
Trong khóa luận có tham khảo các kết quả nghiêm cứu của một nhà
khoa học. Em xin khẳng định kết quả của khóa luận này là không sao chép từ
bất kì đề tài nào. Em xin chịu hoàn toàn trách nhiệm về lời cam đoan của
mình.
Hà Nội, tháng 5 năm 2013
Sinh viên
Trần Thanh Hải
MỤC LỤC
MỞ ĐẦU..........................................................................................................1
Chương 0. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ.............................................................3
1.1. Không gian vectơ Euclide.......................................................................3
1.2. Một số hệ tọa độ thường dùng................................................................4
1.3. Giải tích vectơ........................................................................................6
Chương 1. CUNG THAM SỐ.......................................................................10
1.1. Định Nghĩa...........................................................................................10
1.2. Ví dụ.....................................................................................................10
1.3. Một số dạng bài tập...............................................................................11
Chương 2. CUNG CHÍNH QUY..................................................................24
2.1. Cung chính quy.....................................................................................24
2.2 Độ dài và tham số hóa tự nhiên của cung chính quy..............................25
2.3. Độ cong của cung chính quy và ý nghĩa hình học của độ cong............28
2.4. Một số dạng bài tập...............................................................................30
Chương 3. CUNG SONG CHÍNH QUY......................................................49
3.1. Định nghĩa............................................................................................49
3.1.1. Cung song chính quy.........................................................................49
3
3.2. Định lý cơ bản của lý thuyết đường trong ........................................51
3.3. Một số dạng bài tập...............................................................................52
KẾT LUẬN....................................................................................................68
TÀI LIỆU THAM KHẢO.............................................................................69
1. Lý do chọn đề tài
MỞ ĐẦU
Hình học là môn khoa học đi nghiên cứu về tính chất định tính và định
lượng của các hình. Tùy vào các phương pháp nghiên cứu khác nhau mà có
những ngành hình học khác nhau như Hình học Afin, Hình học Xạ ảnh, Hình
học Vi phân, Hình học Giải tích, Hình học Đại số, Tôpô… Hình học Vi phân
là ngành hình học ứng dựng phép tính vi phân vào giải quyết các bài toán
hình học. Ở đó các khái niệm về cung chính quy và cung song chính quy là
3
những khái niệm ban đầu để tiếp cận lý thuyết đường trong .
Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về các đối tượng nói trên và được sự
hướng dẫn của thầy hướng dẫn, tôi đã quyết định chọn đề tài này để trình bày
trong khóa luận tốt nghiệp đại học.
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích chính của khóa luận này là hệ thống và phân dạng các dạng bài
tập một cách chi tiết nhất về cung tham số, cung chính quy và cung song
chính quy.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
a) Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu là cung tham số, cung chính quy và cung song
chính quy.
b) Phạm vi nghiêm cứu.
Phạm vi nghiên cứu là lý thuyết và bài tập về cung tham số, cung chính
quy và cung song chính quy.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nhiệm vụ nghiên cứu là phân loại, hệ thống các dạng bài tập về cung
tham số, cung chính quy và cung song chính quy.
5
5. Phương pháp nghiên cứu
Phân tích và tổng hợp kiến thức.
6. Cấu trúc khóa luận
Khóa luận gồm 4 chương:
Chương 0: Kiến thức chuẩn bị.
Chương 1: Cung tham số.
Chương 2: Cung chính quy.
Chương 3: Cung song chính quy.
Chương 0. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Không gian vectơ Euclide
n
là không gian Euclide n chiều. Tích vô hướng của hai vectơ a và b
2 2
n
được kí hiệu là a.b , chuẩn của được kí hiệu là a ,
a.a a . là
a
a
không gian Euclide n chiều, tức là không gian afin liên kết với không gian
vectơ Euclide n chiều n
n
. Khoảng cách giữa hai điểm M , N thuộc là
MN .
là họ ( O , e1 , e2 ,…, ), O n là gốc tọa độ,
n
en
Mục tiêu afin trong
n
n
1
2
n
( e1 , e2 ,…, en ) là một cơ sở của . Điểm M có tọa độ ( x , x ,…, x ) đối
n
i
với mục tiêu trên có nghĩa là OM
i1
i
x .e . Các hàm
số
1
2
x , x ,…,
n
x
trên
n
gọi là các hàm tọa độ. Cũng kí hiệu mục tiêu (hệ tọa độ) afin trên là
1 2
n
Ox x ...x .
Khi cơ sở ( e1 , e2 ,…, en ) là trực chuẩn, tức là
e .e
i
j
ij
ij
0
nếu i j
1
( i , j = 1, 2, …,n) thì ta được hệ Descartes vuông góc. Khi đó, nếu M có
1
2
n
1
2
n
tọa độ ( x , x ,…, x ), N có tọa độ ( y , y ,…, y ) thì khoảng cách M , N là
n
i1
2
yi x i
.
Sau khi chọn một hệ tọa độ Descartes vuông góc trong
n
ta có thể đồng
nhất
n
với □ với công thức tính khoảng cách trên.
n
1.2. Một số hệ tọa độ thường dùng
1.2.1. Hệ tọa độ Descartes
Một hệ tọa độ Descartes Oxy xác định vị trí một điểm trên mặt phẳng
cho trước bằng một cặp số
x, y . Trong đó
x và y là giá trị được xác định
bởi 2 đường thẳng có hướng vuông góc với nhau (cùng đơn vị đo). Hai đường
thẳng đó gọi là trục tọa độ (hay đơn giản là trục). Trục nằm ngang gọi là trục
hoành, trục nằm dọc gọi là trục tung, điểm giao nhau của hai trục gọi là gốc
tọa độ và có giá trị là 0, 0 .
1.2.2. Hệ tọa độ cực trong mặt phẳng
Trong mặt phẳng □
2
cho hệ tọa độ Descartes vuông góc Oxy . Xét
P □ \ O . Giả sử M là điểm của P , có tọa độ Descartes M x, y có thể
2
đặt tương ứng M với cặp số mới (r, )
theo cách sau đây:
Đặt r OM (như thế r 0 ). Do M nên OM 0 .
P
y0
y0.
Ta đặt Ox,OM nếu
và đặt 2 Ox,OM
nếu
M
r
O
Cặp số r,
M r, hoặc
x
được gọi là các tọa độ cực của điểm M đã cho. Kí hiệu
M r, . Số r gọi là bán kính cực của M , còn gọi là góc
cực của M . Từ định nghĩa suy ra rằng 0 2 .
Rõ ràng ta có:
r
x2 y 2
x r cos
y r sin.
Công thức trên gọi là công thức đổi tọa độ giữa tọa độ Descartes và tọa
độ cực.
1.2.3. Hệ tọa độ trụ trong không gian
Cho hệ tọa độ Descartes vuông góc Oxyz trong . Xét U \ Oz .
3
Có thể cho ứng mỗi điểm
3
M x, y, z U với một bộ ba số mới r, , theo
cách sau đây: lấy hình chiếu M của M trên mặt phẳng tọa độ Oxy và đặt
1
nếu
y
0
và
đặt
2
Ox,OM
nếu
r OM1 . Ta đặt Ox,OM1
y 0 còn z .
Bây giờ mỗi điểm M tương ứng với một bộ số r, , theo xác định
như trên. Bộ ba số r, ,
Descartes Oxyz và viết
gọi là tọa độ trụ của M đối với hệ tọa độ
M r, ,
hay M r, , .
Ta thấy r 0 và 0 2 .
Công thức đổi tọa độ giữa tọa độ Descartes và tọa độ trụ:
x r cos
y r sin
z .
1.2.4. Hệ tọa độ cầu trong không gian
Cho hệ tọa độ Descartes vuông góc Oxyz trong 3 . Xét U \ Oz .
3
Có thể cho ứng mỗi điểm
M x, y, z U với một bộ ba số mới r, , theo
cách sau: đặt r OM
và lấy hình chiếu
M1 của M trên mặt phẳng tọa độ
nên
Oxy . Vì M Oz
M1 O , do đó OM1 0 .
Khi đó, ta đặt:
Ox,OM1
y0
nếu
2 Ox,OM1
OM
1 ,OM
2 OM ,OM
và
y0
z0
nếu
z 0.
1
Bộ số r, , được xác định như trên gọi là tọa độ cầu của M đối với
hệ tọa độ Descartes vuông góc Oxyz và viết
(trong tọa độ cầu). Rõ ràng r 0 , 0 2 ,
M r, ,
hay M r, ,
.
2
2
1.3. Giải tích vectơ
1.3.1. Hàm
vectơ
Cho tập mở U □
vectơ trên U . Ở đây □
m
m
m 1 . Mỗi ánh xạ :U n
còn gọi là một hàm
n
được xét với tôpô thường và là không gian vectơ
Euclide n - chiều.
n
Nếu trong cho cơ sở
e ,e ,...,e thì với p U , vectơ p có các
1
2
n
các tọa độ phụ thuộc p, kí hiệu là p 1 p ,..., n p .
Ta gọi i :U □ , p i p là hàm tọa độ thứ i của . Vì p có m
tọa
độ trong □
m
nên là một hàm số m biến t ,...,t
, p t ,...,t .
i
i
1
m
1
m
1.3.2. Một số phép toán đại số về hàm vectơ
n
Cho , :U , f :U □ thì có các hàm vectơ và các hàm số sau
đây:
n
:U , p p p ,
n
f :U , p f p . p ,
, :U □ , p p , p
là tích vô hướng của hai vectơ
p và p (còn viết , là . ), :U □ , p p .
3
3
Khi n 3 ta lấy một hướng của và có phép tích có hướng trong .
Khi đóm, có thể xác định thêm hàm vectơ
3
:U ,
p p p
ở đây p p là tích có hướng của hai vectơ p và p .
Tên của mỗi hàm vectơ hay mỗi hàm số được xác lập như trên gọi tương
tự như tên của quy tắc xác định nó.
1.3.3. Giới hạn của hàm vectơ
n
n
v là giới hạn
Cho hàm vectơ :U , p U . Nói rằng vectơ
của khi x tiến đến p trên U nếu có 0 để khi d x, p thì
x v , kí hiệu: lim x v .
Nếu lim x p
x p
x p
xU
thì liên tục tại p . Nếu
thì liên tục trên U .
Nếu cho một hệ tọa độ trong
liên tục tại mọi p U
thì với
v v ,..., v
n
1
n
tồn tại
lim x v tương đương với limi x vi , (i 1, 2,...n) . Do đó,
x p
x p
liên tục
tại p tương đương với i liên tục tại p .
1.3.4. Đạo hàm của hàm vectơ một biến
Kí hiệu J là khoảng, đoạn, nửa khoảng của □ (kể cả trường hợp J có
mút hay ) và được gọi là khoảng tổng quát của □ . Xét hàm vectơ
: J n cho t0
thì gới hạn này gọi
t t0
v
J . Nếu tồn tại lim
v
tt0
t t0
d
hay
t 0 . Thường viết
dt
là đạo hàm của tại t0 và kí hiệu là ' t
0
t t t0
và giới hạn trên được viết thành lim t0 t t0
t0
n
Nếu trong hệ tọa độ thì ' t0 (nếu tồn tại) là
v.
t
' t ' t ,..., ' t .
0
1 0
n 0
Một cách tổng quát có thể định nghĩa đạo hàm cấp cao theo quy nạp: giả
sử
k
xác định tại lân cận t thì
k
0
là một hàm vectơ tại lân cận đó và giả
sử hàm này có đạo hàm tại t0 , kí hiệu là
Ta nói khả vi lớp C
lân cận của t0 và
k
k
k 1
t0
k 1
thì
t0
k
' t0 .
tại t0 nếu tồn tại các đạo hàm cấp 1, 2 ,..., k tại
liên tục tại t0 .
1.3.5. Nguyên hàm và tích phân của hàm vectơ một biến
n
n
sao cho
Cho hàm vectơ : J . Nếu hàm vectơ khả vi : J
' tại mọi t J thì gọi là nguyên hàm của . Rõ ràng rằng nếu là
là hàm vectơ hằng cũng là nguyên hàm
nguyên hàm của thì C vơi C
của . Họ các nguyên hàm của kí hệu là:
t dt C
và C
là hàm vectơ hằng. Nếu lấy một hệ tọa độ trong
Trong đó '
En
thì:
t dt
t d t ,..., t d t
1
n
n
Giả sử : J có nguyên hàm và F (t) là một nguyên hàm của nó.
Ta lấy a,b J , a b . Ta gọi vectơ hiệu
F b F a
là tích phân của hàm vectơ trên đoạn a,b và kí hiệu là
b
t dt F
t
tb
ta
.
a
n
Khi đã trang bị hệ tọa độ, ta có
b
b
b
t dt 1 t dt,..., n t dt .
a
a
a
1.3.6. Công thức Taylor đối với hàm vectơ một biến
n
Cho hàm vectơ : J khả vi đến cấp k 1 tại t0 , ta có
2
t0 t t0
t ' t t ''t ...
0
0
1!
2!
k
tk 1 k 1
(k )
t
t0 t0 , t
t0
1!
k!
k
Trong đó t0 , t là một hàm vectơ liên tục của t và
lim t0 , t 0 .
t0
Chương 1. CUNG THAM SỐ
1.1. Định Nghĩa
Cho J là một khoảng trong □ . Mỗi ánh xạ
: J n gọi là một cung
n
tham số trong . Tập điểm J
gọi là ảnh của cung đó và J được gọi là
miền tham số của .
n
Lấy điểm O cố định trong , ta gọi hàm vectơ
n
: J , t t O t
là hàm bán kính vectơ của ứng với gốc O .
1.2. Ví dụ
1) Cung
hằng:
t M 0 , ở đây M 0 là một điểm cố định của n .
n
2) Cung thẳng: t M 0 tv ( M là điểm cố định của và v 0 là
0
n
một vectơ không đổi của ).
3) Cung tròn
t O r
1
2
( r là hằng số dương và
O,e , e là một mục tiêu trực chuẩn của , cung Elip
O,e1 , e2
4)
coste sin te
2
là một mục tiêu trực chuẩn của ).
1
2
2
t O a cost e1 bsin t , a,b 0 .
5) Cung hypebol: r t O achte bshte
1
2 ( a,b 0 ,
mục tiêu trực chuẩn của 2 . Tùy theo a
0
17
2
a2
b2
t
2
O,e , e
1
2
là một
hay a 0 mà ảnh của nó là
2
nhánh phải hay nhánh trái của hypebol x y
1).
6) Cung parabol: t O te
1
e2 , ( 0 ,
O,e , e
1
là một mục
2
2
tiêu trực chuẩn của ).
7) Cung đinh ốc nón: t a cost,t sin t,t a 0
(tọa độ ở đây là tọa
3
độ Descartes vuông góc trong ). Ảnh của cung nằm trên mặt nón tròn xoay
2
2
2
x y z 0.
1.3. Một số dạng bài tập
Dạng 1. Tìm ảnh của cung trong hệ tọa độ Descartes
2
Bài 1. Trong , cho hệ tọa độ Descartes vuông góc Oxy . Xác định ảnh của
cung tham số : J , t x t , y t cho bởi công thức:
a 1
b 1
a) x t
t , y t t , trong đó a 0, b 0, J □
2
t
2
t
2
b) x t a
1t
2
,
2
yt b
1t
2
1t
2t
, trong đó a 0, b 0, J
\ 0 ,
\ 1;1 ,
□
1t
2
2t
c) x t a
d) x t
1t
2
y t
t2
1t
, yt b
,
2
1
t
t 1 t
1t
2
, trong đó a 0, b 0, J □ ,
.
Giải
2
2x 2 2 1
2y 2 2 1
t 2,
t 2.
t2
t2
a
b
nằm trên hypebol (H).
2
2
J
Suy ra x y 1 (H).
Vậy
a) Khử tham số t như sau:
18
a2
b2
x
y
0 , vì
a b
Ngược lại, nếu điểm M x, y H thì
x yx y
. 1.
a b a
Ta chứng minh rằng tồn tại t □
a
t
2
1
y
t
b
2
t
1
t
1 2y
1
,
t muốn vậy lấy t x y thì t 0 .
a
t b
t
a b
x yx y
1 x y
Vì
.
1 nên .
a b a
t a b
x
Do đó, từ: t y 1 x y suy ra: x a t 1 , y a t 1 nghĩa
,
2
t
2
t
a b t a
tức là để
2x
\ 0 để x
,
t
là (H) J .
Vậy
J là hypebol (H).
b) Khử tham số t như sau: x
Vậy J
y
1t
x
,
y 1t
. Suy
x2 y2 1.
ra
a b tt a b t
a2 b2
2
t
1t
nằm trên hypebol (H). Để ý rằng x t a
a nên điểm
1t
2
a,0 J .
Ngược lại, nếu điểm
M x, y H ,
M a,0
thì
x
a
nên có t sao cho
x2
y2
y 1t
, t 1.
x
a b t
y
t
19
x
1t
y
0 và 1
b
Từ
a
2
1
b
2
a
t
b
nên ta có: x t a
1
1t
1t
2
2
, y t b
2t
1t
2
nghĩa là H \ a,0 J .
Vậy
J H \ a,0 .
. Khi đó x
c) Khử tham số t như sau: t tan
2
2
2
cos sin 1 ta được
x
a
2
a
y
cos , b
sin . Từ
2
2
J nằm trên Elíp (E). Để ý
y
1.
2 Vậy
b
x
1 2 1 nên điểm a,0 J .
rằng
2
a 1t
Ngược lại cho điểm
y
sin
và lấy t tan
M x, y E ,
thì
M a, 0
thì có để
x
a
cos ,
(công thức lượng giác của
x
1t
,
y
2t
2
a 1t b 1t
2 2
1t
2t
cung chia đôi) hay x t a
.
yt b
2,
2
1t
1t
b
2
Suy ra J . Vậy
J \ a,0 .
d) Khử tham số t như sau: Với t 0
t
x
xy
, xy
t
1t
2
ta đặt
xy
. Do đó, 2x 2 2xy y2 x 0
2
20
1
y 1
2,
t
x t
1t
hay là
đây là phương trình
của một Elíp (E), với t 0 thì x y 0 và điểm O 0, 0
cũng thuộc vào (E).
Do đó
J E .
Ngược lại, nếu điểm M x, y E
x
Nếu x y 0 ta lấy t
x
1t
2
,y
1t
2
(*).
. Sử dụng (*) dễ dàng thử nghiệm thấy rằng
x
y
t 1 t
t2
thì cho điểm x x y 2 x
. Nếu x y 0 thì từ (*) suy ra x 0 hoặc x 1.
2
+) Nếu x 0 thì y
0
t 1 t
y
2 , x y t 0 .
1t
khi đó ta lấy t 0 thì có thể viết x
t2 ,
2
1t
t2
+) Nếu x 1 thì rõ ràng không có t nào để 1
. Vậy mọi
1t
2
M x, y E mà
J .
x 1 đều nằm
trên
Suy ra
J là Elíp (E) bỏ điểm N 1 ; 1 .
3
Bài 2. Trong , cho các cung tham số : □ 3 có biểu thức tọa đô trực
chuẩn, xác định ảnh của
□
nằm trên những mặt bậc hai nào.
2 2
a) t at cost, at sin t, a t a const 0 ,
2
a
t a const 0 ,
a
b) t 1 cos t , sin t, a sin
2
2
2
c) t sin 2t,1 cos 2t, 2cos t .
a) Ta
có
:
21
x at cos t ,
G
i
ả
i
y at sin t
,
a2
t
z
2
.
2
22
Suy ra
2
2
2 2
x y at
Vậy ảnh □
x
b) Ta có:
a
x
cos t sin t a t
2
1 cost ,
a 2
2
2z .
a
2
4
a
2
a
1 cos t 2 sin t
4
2
2
2
2
x y z a
Vậy ảnh
y2 .
2
t
sin t z a sin ,
2
,2
(1) và
y
2
Suy ra
2
y a2
2
2
2 2
nằm trên mặt Paraboloit eliptic (tròn xoay) z
x
2
x y
2
2
2
1 cost a2 cos2
t
.
2
(2) .
□ nằm trên mặt trụ
(1) và mặt cầu (2) , tức là nằm trên giao
tuyến của hai mặt đó.
c) Ta có: x sin 2t y 1 cos
,
2t ,
z 2cost ,
x 1 y 2 1
2
1
y z 2 1 cos 2t cos2 t sin2 t cos2 t 1,
2 2
2
1 hay
yz 2 2 .
tức là y z 2
2 2
2
Mặt khác
x y z sin 2t 1 cos 2t 4cos t
2
2
2
2
2
2 1 cos 2t 4cos t
2
4 cos t sin t 4 ,
2
2
23
2
tức là x2 y 2 z2 4 .
Vậy ảnh □
3
nằm trên mặt trụ tròn xoay (1) , mặt trụ parabololic 2 và
mặt cầu 3 .
2
Bài 3. Cho hệ tọa độ afin (O , e1 , e2 ) trong mặt phẳng Euclide E . Hãy phác
họa ảnh của các cung tham số
2
E
, t t
:
□
2
a) t O te t e ,
1
xác định bởi:
2
b) t O cost e1 sin t ,
c) t O cht e1 sht .
Giải
a) Ta có: t O te t 2 , t t,t 2 . Suy ra
e
1
2
x x t t y x
2
y y t t
2
Vậy ảnh của cung tham số là parabol có phương trình
2
yx .
b) Ta có: t O coste1 sin te2 , t cost,sin t . Suy ra
2
2
x x t cost x y 1
y y t sin
t
Vậy ảnh của cung tham số là l đường ellip có phương trình
c) Ta có: t O cht
sht
e1
, t cht,sht . Suy ra
2
2
x x t cht x y 1
y y t sht
24
2
2
x y 1.
Vậy ảnh của cung tham số là nhánh bên phải của hypebol có phương
trình x2 y2 1.
Dạng 2. Tìm ảnh của cung trong hệ tọa độ cực
Bài 1. Trong E2 , cho hệ tọa độ cực r, , gốc O. Tìm ảnh của cung tham số
: J E2 ,
r ,
a) r( ) 2a cos
b) r
c) r
d) r
e) r
cho bởi công thức sau:
a 0 ,
a
cos
a 0 ,
b
sin
b 0 ,
16
5 3cos ,
2
1 cos
.
Giải
a)Đổi tọa độ cực sang tọa độ Descartes như sau:
x r cos
y r sin
2 2 2
r x y.
Khi đó phương trình của cung là
x2
2
2
2
2
2
x y 4a
x y 2ax
2
2
x y
Từ đó, suy ra ảnh
b)Đổi
r
a
cos
x a 2 y2 a2 .
J là đường tròn tâm I a,0 , bán kính a.
thành r cos a
hay sang tọa độ Descartes x a .
25
