Không gian định chuẩn lồi đều

LèI

CÃM ƠN

Trưóc tiên em xin bày tó lòng biet ơn chân thành và sâu sac nhat
cúa mình tói thay giáo hưóng dan- Th.S Hoàng Ngoc Tuan, ngưòi
đã hưóng dan t¾n tình và thưòng xuyên đ®ng viên em trong quá trình
hoàn thành khóa lu¾n này.
Em xin chân thành cám ơn các thay cô giáo trong to Giái tích,
khoa Toán đã tao đieu ki¾n và đóng góp ý kien đe em hoàn thành
khóa lu¾n tot nghi¾p.
Do thòi gian và khuôn kho cho phép cúa đe tài còn han che nên chac
chan không tránh khói nhung thieu sót. Em rat mong nh¾n đưoc sn
đóng góp ý kien và tiep tnc xây dnng đe tài cúa quý thay cô và các ban
đe khóa lu¾n cúa em đưoc hoàn thi¾n hơn.
Em xin chân thành cám ơn!
Hà N®i, tháng 05 năm 2013
Sinh viên

Tran Th% Hà


LèI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan khóa lu¾n là ket cúa nghiên cúu cúa riêng tôi và có
sn hưóng dan t¾n tình cúa Th.S Hoàng Ngoc Tuan.
Khóa lu¾n vói đe tài: “Không gian đ%nh chuan loi đeu” chưa
tùng đưoc công bo trong bat kỳ công trình nghiên cúu nào khác.
Hà N®i, tháng 05 năm 2013
Sinh viên

Tran Th% Hà


Mnc lnc
Mé đau......................................................................................................1
Chương 1. Kien thNc chuan b%..................................................3
1.1. Không gian đ%nh chuan...............................................................3
1.2. Không gian Hilbert......................................................................12
Chương 2. Không gian đ%nh chuan
loi đeu....................................................................................................14
2.1. Modul loi trong không gian đ%nh chuan..................................14
2.2. Sn bieu dien huu han trong không gian đ%nh chuan...............23
Ket lu¾n...............................................................................................44
Tài li¾u tham kháo........................................................................45


Me ĐAU
1.Lý do chon đe tài
Năm 1936 Clarkson đã đ¾t nen móng cho m®t hưóng nghiên cúu rat
quan trong trong Giái tích toán hoc đó là “ Hình hoc các không gian
Banach”. Đây là công cn quan trong đe giái quyet nhieu van đe trong
khoa hoc ky thu¾t.
Năm 1948 các khái ni¾m modul loi (moduls of convexity), đ¾c trưng
loi (Characteristic of convexity) đưoc xuat hi¾n, đã thu hút nhieu nhà
toán hoc nghiên cúu ve quan h¾ giua modul loi, đ¾c trưng loi và không
gian đ%nh chuan loi đeu như: Bynum, Day, James, Goebel,. . .
Vói mong muon đưoc tìm hieu sâu hơn ve moi quan h¾ giua modul
loi, đ¾c trưng loi, không gian đ%nh chuan loi đeu và sn bieu dien huu
han trong không gian đ%nh chuan loi đeu, vói sn giúp đõ và hưóng dan
t¾n tình cúa Th.S Hoàng Ngoc Tuan tôi manh dan chon đe tài

nghiên cúu:
“Không gian đ%nh chuan loi đeu”.
2.Mnc đích nghiên cNu
Mnc đích nghiên cúu cúa đe tài là xây dnng m®t bài tong quan ve
modul loi, không gian đ%nh chuan loi đeu và sn bieu dien huu han trong
không gian đ%nh chuan loi đeu.
3.Nhi¾m vn nghiên cNu
Vói mnc đích nghiên cúu ó trên, nhi¾m vn nghiên cúu là :
- Nghiên cúu moi quan h¾ giua modul và đ¾c trưng loi trong không
gian đ%nh chuan. Nghiên cúu các đ¾c trưng cúa không gian đ%nh chuan
loi đeu.
1


- Nghiên cúu sn bieu dien huu han trong không gian đ%nh chuan loi
đeu.

2


4.Đoi tưeng nghiên cNu
Đoi tưong nghiên cúu là modul loi, không gian đ%nh chuan loi đeu
và sn bieu dien huu han trong không gian đ%nh chuan loi đeu.
5.Phương pháp nghiên cNu
- D%ch, đoc, nghiên cúu tài li¾u.
- Phân tích, tong hop kien thúc, v¾n dnng cho mnc đích nghiên cúu
6.Đóng góp méi
Đây là bài tong quan ve không gian đ%nh chuan loi đeu và sn bieu
dien huu han trong không gian đ%nh chuan. Giúp ngưòi đoc hieu đưoc khái
ni¾m ve không gian đ%nh chuan loi đeu, các tính chat, đ¾c trưng cúa

không gian loi đeu và sn bieu dien huu han trong không gian đ%nh
chuan loi đeu.
7.Cau trúc cúa khóa lu¾n
Ngoài phan mó đau, ket lu¾n, tài li¾u tham kháo, n®i dung khóa
lu¾n đưoc trien khai theo 2 chương:
Chương 1: Kien thúc mó đau.
Chương 2: Không gian đ%nh chuan loi đeu.


Chương 1

Kien thNc chuan b%
Trong chương này chúng ta se trình bày m®t so khái ni¾m cơ bán
ve không gian đ%nh chuan, không gian Banach, không gian Hilbert, m®t so
tính chat quan trong và ví dn minh hoa ve các không gian này.

1.1. Không gian đ%nh chuan
Đ%nh nghĩa 1.1. Cho X là không gian vectơ trên trưòng K (K= R
ho¾c K= C), ánh xa "." : X → R đưoc goi là m®t chuan trên X neu:
(i) "x" ≥ 0 vói moi x ∈ X;
(ii) "x" = 0 ⇔ x = θ (ký hi¾u phan tú không là θ );
(iii) "λ x" = |λ | "x" vói moi x ∈ X và vói moi vô hưóng λ ∈ K;
(iv) "x + y" ≤ "x" + "y" vói moi x, y ∈ X (bat đang thúc tam giác).
M®t không gian vectơ cùng vói m®t chuan (X, ".") đưoc goi là m®t


không gian tuyen tính đ%nh chuan (hay đơn gián là không gian đ%nh
chuan).
Đ%nh nghĩa 1.2. Dãy điem {xn} cúa không gian đ%nh chuan X goi
là h®i tn tói điem x ∈ X, neu lim "xn − x" = 0. Ký hi¾u lim xn = x

hay xn → x
(n →

n→∞

n→∞

∞).
Đ%nh nghĩa 1.3. Dãy điem {xn} cúa không gian đ%nh chuan X goi
là dãy cơ
bán (hay dãy Cauchy), neu lim

m,n→∞ "xm − xn "

= 0.

Đ%nh nghĩa 1.4. Không gian đ%nh chuan X đưoc goi là không
gian Banach neu moi dãy cơ bán trong X đeu h®i tn.
Ví dn 1.1. C [0, 1], không gian các so giá tr% thnc liên tnc trên đoan
[0, 1]
là m®t không gian Banach vói chuan
" f "∞ = sup {| f (t)| : t ∈ [0, 1]} = max {| f (t) : t ∈ [0, 1]|} .
Th¾t v¾y, de kiem tra đưoc C [0, 1] là m®t không gian đ%nh chuan.
Xét m®t dãy cơ bán { fn}

∞

trong C [0, 1]. Vì | fk (t) − fl (t)| ≤ " fk −

fl",

∞
nên dãy { fn (t)}n= là m®t dãy cơ bán vói moi t. Đ¾t f (t) = lim ( fn
(t)).
1
n→∞

Khi đó f là liên tnc và fn h®i tn đeu đen f . Cho ε > 0, có n0 sao cho
| fn (t) − fm (t)| ≤ ε vói moi t ∈ [0, 1] và moi n, m ≥ n0. Co đ%nh n ≥
n0 và cho m → ∞, ta đưoc | fn (t) − f (t)| ≤ ε vói moi n ≥ n0 và moi t
.
∈ [0, 1]. Lay t0 ∈ [0, 1] và ε > 0 co đ%nh. Chon δ > 0 đe fn0 (t) − fn0
.
(t0) < ε khi


.

.

|t − t0 | < δ . The thì

.
.
.
.
.
| f (t). − f (t0)| ≤ f (t) − fn0 (t) + fn0 (t) − fn0 (t0) + fn0 (t0) −
f (t0)
.
. .

. .
.
< 3ε

khi |t − t0 | < δ .

Bói v¾y, f ∈ C [0, 1] và { fn} h®i tn đeu (theo chuan ".") tói f . Do đó C
[0, 1]
là không gian Banach.


Không gian C (K) các hàm vô hưóng liên tnc trên không gian compact
K, cho bói chuan supremum, l¾p thành m®t không gian Banach .
Đ%nh nghĩa 1.5. Hai chuan "."1 và "."2 trên không gian tuyen tính X
goi là tương đương neu ton tai hai so dương α, β sao cho:
α"x"1 ≤ "x"2 ≤ β "x"1 , ∀x ∈ X.
Đ%nh nghĩa 1.6. Cho không gian đ%nh chuan X và dãy điem {xn}
⊂ X. Ta goi chuoi là bieu thúc dang:
x1 + x2 + ... + xn + ....
Chuoi (∗) thưòng viet
là
k

(∗)

∞

∑ xn.
n=1

∑ xn,, (k = 1, 2...) là tong riêng thú k cúa chuoi.
Bieu thúc sk
n=
=
1
Neu ton tai lim sk = s thì chuoi ( ∗) đưoc goi là h®i tn và s là tong cúa
k→ ∞
∞

∑ xn).
chuoi (ta viet s
n=
=
1
Chuoi (∗) đưoc goi là h®i tn tuy¾t đoi, neu chuoi sau h®i tn:
"x1" + "x2" + ... + "xn" + ...
Đ%nh lý 1.1. Không gian đ%nh chuan X là không gian Banach khi và
chí khi trong không gian X moi chuoi h®i tn tuy¾t đoi đeu h®i tn
Đ%nh nghĩa 1.7. M®t dãy {xn} trong không gian đ%nh chuan X
đưoc goi là b% ch¾n neu có hang so C sao cho "xn" ≤ C vói moi n ∈ N.
M¾nh đe 1.1. Cho X là không gian đ%nh chuan. Neu dãy
{xn}

∞

dãy Cauchy, thì b% ch¾n trong X

n=
1

⊂ X là


Đ%nh nghĩa 1.8. T¾p các hàm so F đưoc goi là liên tnc đong b¾c
trên không gian đ%nh chuan X neu: ∀x0 ∈ X, ∀ε > 0, ∃δ > 0 sao cho ∀ f
∈ F, ∀x ∈ X, "x − x0 " < δ ⇒ " f (x) − f (x0)" < ε.
Đ%nh nghĩa 1.9. T¾p

goi là không gian đ%nh chuan con cúa không

X0 ƒ= 0/
gian đ%nh chuan X, neu X0 là không gian tuyen tính con cúa không gian X
và chuan xác đ%nh trên X0 là chuan xác đ%nh trên X.
Neu X0 đong thòi là t¾p đóng trong không gian X thì X0 đưoc goi
là không gian đ%nh chuan con đóng cúa không gian X.
Đ%nh nghĩa 1.10. Cho Y là không gian con đóng cúa không gian đ
%nh chuan X và t¾p xˆ = {z ∈ X : (x − z) ∈ Y } = {x + y ∈ Y }. Khi
,
đó không gian X Y =
{xˆ : x ∈ X} vói chuan "xˆ" = inf {"x" : x ∈ xˆ} đưoc goi là không gian
đ%nh chuan thương cúa X theo Y.
Cho X = (X, ".") là không gian đ%nh chuan. Ta có m®t so ký hi¾u
sau:
• T¾p BX = {x ∈ X : "x" ≤ 1} là hình cau đơn v% đóng cúa X.
• SX = {x ∈ X : "x" = 1} là m¾t cau đơn v% cúa X.
• conv (M) là bao loi cúa M, conv (M) là bao loi đóng cúa M.
• Cho t¾p M ⊂ X , span (M) là bao tuyen tính cúa M (túc là, giao cúa
tat cá các không gian con tuyen tính cúa X chúa M). span (M) là
bao loi đóng tuyen tính cúa M.
Đ%nh nghĩa 1.11. Cho X là không gian đ%nh chuan. X là huu han

chieu neu và chí neu hình cau đơn v% đóng BX cúa X là compact.
Đ%nh nghĩa 1.12. Không gian đ%nh chuan X đưoc goi là tách đưoc
(hay khá ly) neu trong không gian X ton tai m®t t¾p hop đem đưoc trù
m¾t khap nơi.


Đ%nh nghĩa 1.13. Cho hai không gian tuyen tính X và Y trên trưòng
K (K là trưòng so thnc ho¾c trưòng so phúc). Ánh xa T tù không gian X
vào không gian Y goi là tuyen tính, neu ánh xa T thóa mãn:
(i)

∀x, xr ∈ X : T (x + xr) = Tx + T xr .

(ii)

∀x ∈ X, ∀λ ∈ K : T λ x = λ T x.

Ta thưòng goi ánh xa tuyen tính là toán tú tuyen tính. Khi Y = K thì
toán tú T thưòng goi là phiem hàm tuyen tính.
Đ%nh nghĩa 1.14. Cho không gian đ%nh chuan X và Y. Toán tú tuyen
tính T tù không gian X vào không gian Y goi là b% ch¾n neu, ton tai hang
so C > 0 sao cho: "T x" ≤ C "x", ∀x ∈ X.

(**)

Đ%nh nghĩa 1.15. Cho T là toán tú tuyen tính b% ch¾n tù không
gian đ%nh chuan X vào không gian đ%nh chuan Y. Hang so C ≥ 0 nhó
nhat thóa mãn h¾ thúc (**) goi là chuan cúa toán tú T, ký hi¾u "T ",
đưoc xác đ%nh bói
"T " = sup {"T (x)"Y : x ∈ BX }.

Không gian B (X,Y ) bieu th% không gian vectơ cúa tat cá các toán tú
tuyen tính b% ch¾n tù X vào Y. Neu X = Y , ta viet B (X ) = B (X,Y ). De
chúng minh đưoc B (X,Y ) là m®t không gian đ%nh chuan.
M¾nh đe 1.2. Cho T là toán tú tuyen tính tù không gian đ%nh chuan
X vào không gian đ%nh chuan Y. ba m¾nh đe sau tương đương:
(i)

T là liên tnc;

(ii)

T liên tnc tai moi điem x0 nào đó thu®c X;

(iii) T b% ch¾n.
Tù đó, ta có B (X,Y ) là không gian vectơ tat cá các toán tú tuyen
tính liên tnc tù không gian đ%nh chuan X vào không gian đ%nh chuan Y


Đ%nh nghĩa 1.16. M®t toán tú T ∈ B (X,Y ) đưoc goi là m®t đang
cau tuyen
tính neu T là m®t song ánh và T −1 ∈ B (Y, X ).
Không gian đ%nh chuan X, Y là đang cau (đang cau tuyen tính) neu có
m®t đang cau tuyen tính T tù X lên Y.
Đ%nh nghĩa 1.17. M®t toán tú T ∈ B (X,Y ) đưoc goi là phép
đang cn tuyen tính neu "T (x)"Y = "x"X vói moi x ∈ X.
Không gian X, Y đưoc goi là đang cn neu ton tai m®t phép đang cn
tuyen tính T tù X lên Y.
Đ%nh nghĩa 1.18. Cho không gian đ%nh chuan X trên trưòng K. Ta
goi không gian I (X, P) các phiem hàm tuyen tính liên tnc trên không
gian X là không gian liên hop (hay không gian đoi ngau) cúa không gian X

và ký hi¾u X ∗ .
Ta có không gian liên hop X ∗ cúa không gian đ%nh chuan X là
không gian Banach.
Không gian liên hop cúa không gian X ∗ là không gian liên hop thú hai
cúa không gian đ%nh chuan X và ký hi¾u là X ∗∗ .
Đ%nh lý 1.2. Neu không gian liên hop X ∗ cúa không gian đ%nh
chuan X là tách đưoc thì không gian X tách đưoc.
Đ%nh nghĩa 1.19. Không gian đ%nh chuan X goi là không gian phán
xa, neu
X = X ∗∗ .
Đ%nh lý 1.3. Không gian phán xa là không gian Banach và không
gian con đóng cúa không gian phán xa là không gian phán xa.
Đ%nh nghĩa 1.20. Không
gian An
vô

hưóng

vói

chuan

∞

là không gian vect n chieu cúa tat cá n
b®

supremum

"."∞

đưoc

đ%nh

nghĩa

vói


x = (x1 , ..., xn) ∈ ∞ thì
An

= max {|xi| : i = 1, ..., n}.

"x"∞
Chú ý rang
An

là m®t trưòng hop đ¾c bi¾t cúa C (K), trong đó K =
1, ..., k.

∞

Đe đ%nh nghĩa lóp không gian A p vói p < ∞, ta can các bat đang thúc
sau.
Đ%nh nghĩa 1.21. (Bat đang thúc Holder)
Cho p, q > 1 sao
cho
k = 1, ..., n, ta có

1
p

+

1 = 1. The thì vói moi a , b ∈ K,
k k

q
.

n
n

∑ |a b |
k k
k=1
≤

.1
∑ |ak|p

p

.

k=
1

.

n

∑ |bk|q

k=
1

.1

q

.

Vói p = 2, q = 2, bat đang thúc trên là bat đang thúc Cauchy-Schwarz.
1 1
ap bq
+
vói
M¾nh đe 1.3. Cho p, q > 1
+ = 1. The thì ab
p
q
sao cho
p q
≤
moi a, b ≥ 0.
Chúng minh. Xét đo th% cúa các hàm y = xp−1, x ≥ 0 và các di¾n tích A1
cúa

mien b% ch¾n bói đưòng cong y = xp−1, y = 0, x = a và
A2 cúa mien b% ch¾n bói các đưòng cong y = xp−1, x = 0, y = b. Rõ
ràng,
¸a
A1 = 0 xp−1dx

=

ap
p

. Tù x = y
=

1
p−1

=y

q−1

q

¸b
b
q−1
dy = .
, ta đưoc A2 0 y

Tù đo th% cúa các hàm y = xp−1 ta đưoc ab ≤ A1 +

A2 =

q

a p + bq
p
q
.

Chúng minh. Đ%nh lý 1.5: Giá sú ai, bi ≥ 0 và không phái tat cá ai và bi
đeu bang 0. Vói k = 1, ..., n, kí hi¾u


Ak =

ak
.

n

p

bk

và Bk
1
. =

.

n

1

thì AkBk
≤

q

.

q

j=1

∑ Ap
k= =
k

n

.

∑ bj

p

∑ aj

Ta chú ý

rang

1

j=1

n

∑ Bq = 1. Tù m¾nh đe 1.3, ta có vói k = 1, ..., n
k=
1

k

1

1 q
p
A + B . C®ng các bat đang thúc vói k = 1, ..., n ta đưoc
p k q k
n

∑ Ak Bk
k=1
≤

1
n

p

∑

k=1

n

1

p

Ak +

q

1

∑ B
k
k=
=

p

1

1
+

q

= 1.

q

Đ%nh lý 1.4. (Bat đang thúc Minkowski)
Cho p ∈ [1, ∞). The thì vói moi ak, bk ∈ K, k = 1, ..., n, ta có
. 1 .
.
.1
.
.
p
p
n
1
n
n
p
≤ ∑
∑ |ak + bk | p
+
p
∑
|b
|
.
k
p
k=1

k= |ak|
k=
1

1

Đ%nh nghĩa 1.22. Cho p ∈ [1, ∞). Không
gian An
chieu Kn vói chuan xác đ%nh bói "x"p
=

.

p

là không gian vectơ n

1

n

∑ |xi| p.
i=1

p

.

Theo bat đang thúc Minkowski, "."p là chuan trên X.
Đ%nh nghĩa 1.23. Cho p ∈ [1, ∞). Không gian A p = A p (N) bieu th

% không gian vectơ cúa tat cá các dãy giá tr% vô hưóng}i=1
x = {xi
1

.
.
p
∑ |xi| < ∞ vói chuan "x" = ∑∞ |xi|p p.
p
Cho x =

∞
(xi)i=
1

i=1

∞

thóa mãn


là dãy vô hưóng. Ta đ
%nh nghĩa giá cúa x
là supp (x) =
{i : xi ƒ= 0}.
Đ%nh nghĩa 1.24. Không gian A∞ = A∞ (N) bieu th% không gian
vectơ cúa tat cá các dãy giá tr% vô hưóng b% ch¾n vói chuan xác đ%nh bói
"x"∞ = sup {xi : i ∈ N} .
Không gian c00 là không gian con cúa A∞ bao gom tat cá x = (xi)

sao cho supp(x) là huu han.
Không gian c = c (N) là không gian con cúa A∞ bao gom tat cá x =
(xi)
sao cho lim (xi) ton tai và là huu han.
i→∞

Không gian c0 = c0 (N) là không gian con cúa A∞ bao gom tat cá x =
(xi)
sao cho lim (xi) = 0.
i→∞


Chú ý rang c0 là bao đóng cúa c00 trong A∞ . Hơn nua neu x = (xi)
thu®c
c0 ho¾c c00, thì "x" = max {|xi| : i ∈ N}.
Đ%nh nghĩa 1.25. Cho p ∈ [1, ∞). Không gian Lp = Lp [0, 1] bieu
th% không gian vectơ cúa lóp tat cá các hàm so vô hưóng f xác đ%nh
và khá tích Lebesgue trên [0,0 1] sao cho
.
" f "p = ¸
10

|f

¸1

p

p

| f (t)| dt < ∞, vói chuan
1
p

dt . .

(t)|
Đ%nh nghĩa 1.26. Không gian L∞ = L∞ [0, 1] bieu th% không gian
vectơ cúa tat cá các lóp hàm f khá tích và b% ch¾n hau khap nơi (túc là,
ess sup (| f |) <
∞), vói chuan " f "∞ = ess sup (| f |).
Cho không gian đo đưoc (Ω, µ) và p ∈ [1, ∞], không gian Lp (Ω, µ)
(hay
ký hi¾u là Lp (µ)) là t¾p tat cá các hàm x (t) đo đưoc theo đ® đo µ trên
t¾p
¸

p

Ω sao cho tích phân |x (t)| dµ h®i tn.
Ω

Đ%nh
nghĩa 1.27. Không gian
(∑ An )

∞ 2

bieu th% không gian vectơ cúa tat

cá các dãy giá tr% vô hưóng, vói chuan xác đ%nh bói: ∀x = (xi) ∈ (∑ An )
,
∀xi ∈ Ai (i = 1, 2, ...) , "x" .
∞
∑ x2i .
∞ =
i=1

∞ 2

M¾nh đe 1.4.
1. Neu p ∈ [1, ∞), thì không gian A p và không gian Lp là tách đưoc.
2. Không gian c và c0 là các không gian tách đưoc.


3. Không gian A∞ và không gian L∞ không tách đưoc.
4. Không gian C [0, 1] tách đưoc.
M¾nh đe 1.5.


1. Vói p ∈ [1, ∞], không gian A p là m®t không gian Banach.
2. Không gian c và c0 là không gian con đóng cúa A∞ và do đó chúng
là các không gian banach.
3. Không gian Lp , Lp (µ) là các không gian Banach vói p ∈ [1, ∞).
4. Không gian L∞ là không gian banach.
M¾nh đe 1.6. Cho X, Y là các không gian đ%nh chuan. Neu Y là
không gian Banach thì B (X,Y ) cũng là không gian banach.

1.2. Không gian Hilbert
Đ%nh nghĩa 1.28. M®t tích vô hưóng trên m®t không gian vectơ X

là m®t hàm giá tr% vô hưóng (·, ·) trên X × X sao cho:
(i) Vói moi y ∈ X, hàm x → (x, y) là tuyen tính;
(ii) (x, y) = (y, x), ∀x, y ∈ X;
(iii) (x, x) ≥ 0 vói moi x ∈ X;
(iv) (x, x) = 0 neu và chí neu x = 0.
Đ%nh lý 1.5. (Bat đang thúc Cauchy-Schwarz)
Cho (x, y) là m®t tích vô hưóng trên không gian vectơ X.
,
,(y, y).
(i) Vói x, y ∈ X, ta có |(x, y)| ≤ (x, x)
x, x) là m®t chuan trên X.
(ii) Hàm "x" = (
,

Chúng minh. (i): Neu (y, y) = 0, ta có y = 0 và bat đang thúc thóa mãn.
Giá sú (y, y) > 0. The thì
.
(x, y, x
0
x
y)
−
≤ −
(y,
y)

(x, y)
.
y
(y, y)

= (x, x)
−

2

|(x, y)|
(y, y)

,


và thóa mãn bat đang thúc trên.
(ii): Ta se kiem tra bat đang thúc tam giác. Vói x, y ∈ X , ta có
"x +
y"

2

= (x + y, x + y) = (x, x) + (y, y) + (x, y) + (y, x)
= (x, x) + (y, y) + 2Re (x, y) ≤ (x, x) + (y, y) + 2 |(x,
y)|
,
= (x, x) + (y, y) + 2 (x,( y, y)
,
x)
.

.2
2

,
,
=
(x, x) + (y, y) = ("x" + "y") .

Đ%nh nghĩa 1.29. M®t không gian Banach H đưoc goi là không
,
gian Hilbert neu có m®t tích vô hưóng trên H sao cho "x" = (x, x) vói x
∈ H.
Đ%nh lý 1.6. Moi phiem hàm tuyen tính liên tnc trong không gian
Hilbert H đeu có the bieu dien duy nhat dưói dang
f (x) = (x, a) , x ∈ H
trong đó phan tú a ∈ H đưoc xác đ%nh duy nhat bói phiem hàm f và " f "
= a. Đ%nh nghĩa 1.30. Cho T là toán tú tuyen tính b% ch¾n ánh xa
không gian Hilbert X vào không gian Hilbert Y. Toán tú A ánh xa
không gian Y vào không gian X goi là toán tú liên hop vói toán tú T, neu:
(T x, y) = (x, Ay) , ∀x ∈ X, ∀y ∈ Y
. Toán tú liên hop A thưòng ký hi¾u là T ∗ .


Chương 2

Không gian đ%nh
chuan loi đeu
Trong chương này chúng ta se xét modul loi trong không gian đ
%nh chuan, sn bieu dien huu han trong không gian đ%nh chuan và m®t
so ví dn minh hoa.

2.1. Modul loi trong không gian đ%nh
chuan

Đ%nh nghĩa 2.1. Cho (X, ".") là m®t không gian Banach. Vói moi ε
∈ (0, 2], ta đ%nh nghĩa modul loi (ho¾c đ® tròn) cúa "." bói
δX (ε) =
inf

.

.
1 −x + y : x, y ∈ BX , "x − y" ≥ ε
2

.


Chuan "." đưoc goi là loi đeu (UC) (ho¾c tròn đeu (UR)) neu δX (ε) > 0
vói moi ε ∈ (0, 2]. Khi đó không gian (X, ".") đưoc goi là không gian loi đeu.
Chú ý rang δX (ε) = inf {δY (ε) : Y là không gian con hai chieu cúa X}.
Bo đe 2.1. Cho (X, ".") là không gian Banach và δ (ε) là modul loi
cúa
".". The thì
δ (ε) =
inf

.

.
x
y
+
1−

: x, y ∈ SX , "x − y" = ε

.

2

Chúng minh. [10] Trưóc tiên, chú ý rang neu x, y ∈ BX và "x − y" ≥ ε thì có
x+
xr +
y và "xr − yr " = ε. Do đó, ta xét
xr, yr trên đoan [x, y] sao
r
y
=
2
2
cho
x, y ∈ BX vói "xr − yr " = ε. Ta còn phái chúng minh rang
sup {"x + y" : x, y ∈ BX , "x − y" = ε} = sup {"x + y" : x, y ∈ SX , "x − y"
= ε}. Giá sú u0, v0 ∈ BX thóa mãn "u0 + v0" = sup {"x + y" : x, y ∈ BX
, "x − y" = ε}. Ta se chí ra rang u0, v0 ∈ SX . Ngưoc lai giá sú "v0" < 1.
Kí hi¾u A = {ω ∈ BX : "ω − u0 " = ε}. Cho x∗ ∈ SX∗ là hàm so sao
cho x∗ (u0 + v0) = "u0 + v0". The thì, vói ω ∈ A, ta có x∗ (u0 + ω) ≤
"u0 + ω" ≤ "u0 + v0" = x∗ (u0 + v0). Tù "v0" < 1, dan đen x∗ đat cnc
đai đ%a phương trên A tai v0. Bói v¾y, x∗ (v0 − u0 ) = "v0 − u0 " = ε.
Khi đó ta đưoc "u0" ≤
1
1
("u0 + v0" + "v0 − u0 ")

(x∗ (u0 + v0) + x∗ (v0 − u0 )) = x∗ (v0) <

2
2
=
1.
1
Đieu này là không the. Th¾t v¾y, lay δ =
min (1 − "u0 ", 1 − "v0 ") > 0,
2

ta có ur = u0 + δ (u0 + v0) ∈ BX , vr = v0 + δ (u0 + v0) ∈ BX , "ur − vr " =
ε
và "ur + vr" = (1 + 2δ ) "u0 + v0" > "u0 + v0", mâu thuan vói giá thiet.
Lưu ý rang neu "x" = "y" = 1 và "x − y" = ε, thì
x+y

y−x

y−x

ε


= x+

≥ " x" −

≥1−

2
2
2
2
ε
và do đó ta có δ (ε)
vói moi ε∈ [0, 2].
≤
2
De thay A1k và A∞k không loi đeu. Do đó, c0, A1 và A∞ là không loi đeu.
M¾t khác, neu H là không gian Hilbert và "." là chuan Hilbert cúa H, thì "."
là loi đeu.
Th¾t v¾y, sú dnng đang thúc hình bình hành, ta có vói ε ∈ (0, 2],
.
.
1 − x + y : x, y ∈ SX , "x − y" = ε

δ (ε) =
inf

2


.

1
2
" x" +" y 2 −
2
"

= inf  −
1


x

y 2

−
2

: x, y ∈

 
, "x − y" = ε


SX

.
2

=1
−

1 ε
>0
−
4

Đ%nh lý 2.1. ([7]) Cho (Ω, µ) là không gian đo đưoc. Neu p ∈ (1, ∞),
thì
Lp (µ) là loi đeu.
Trong chúng minh, chúng ta se sú dnng các tính chat trong không gian
m®t chieu như sau.
Tính chat 2.1.1. Cho p ∈ (1, ∞) và ε > 0. Có δ˜ (ε) > 0 sao cho neu
các so
x, y ∈ R thóa mãn
. |x − y|.p≥ ε max {|x| , |y|},
. thì
p
p.
x+y
|x| + |y|
.
.
. < −˜
.
.
1 δ (ε).
.
2
. 2 .


..
.p .tính
. nhat,.p−1
Chúng minh.

Bói
đong
ta có the giá 1+y
sú rang x = 1 và 1−ε ≥ y ≥ 0.
r
1+y
p
1+y
.
p .r vói y
(0, 1). Do đó
=
Tap có
>
2

2

2
2

f (y) =

1+y
2

p

.1

1+y

2

yp−1 =

.p là hàm giám trên [0,

2

∈

1]. Bói v¾y f (y)
≥

f (1) = 0 vói y ∈ (0, 1 − ε), và ton tai δ˜ (ε) như trên.

f (1

− ε) >


1 −
Chúng minh. Đ%nh lý 2.1: Lay ε ∈ (0, 2] đã cho và δ = δ˜ .ε.4 p . tù

Tính
chat 2.1.1. Cho x, y ∈ Lp (µ) ,"x","y" ≤ 1 và "x − y" ≥ ε. Đ¾t
p

p

p

M = {ω : ε p (|x (ω)| + |y (ω)| ) ≤ 4|x (ω) −y (ω)| }.
.¸
.
¸
p
p
εp
|x| dµ, |y| dµ ≥ 1 .
Ta đ%nh rang
max
+1
M
M
2p
Giá sú nh¾n đ%nh trên là đúng, ta có the hoàn thành chúng minh như
sau.
p

Sú dnng tính loi.cúa hàm |x| , Tính chat. 2.1.1 và nh¾n đ%nh
. p .trên, ta có
¸
p
|x (ω)| + |y
x (ω ) + y (ω )
p
(ω)|
.

.
. d
− ..
.
2
2
µ
Ω .
.
.p .
¸
p
|x(ω)| + |y
x (ω ) + y (ω )
p
(ω)|
.
dµ
.
.
≥
−.
.
2
2
M

¸ . .

..

≥

p

|x (ω)| + |y (ω)|

δ

V¾y thì, .
¸

x (ω
.p ) +
y(ω
. )
.
.
2

dµ
≥

2

M

¸

δεp

p

p

1

2p

|x (ω)| + |y (ω)|

.
. dµ ≤
.

2

+1

p

dµ −δ

εp
1

2p

+2

≤ 1 −δ ε p

1

2p

+2

1

.
Do đó ta có 1
"x + y"
p
2
≤

2

1 −δ ε 1