Một số bài toán cơ bản của lý tuyết chuỗi trong giải tích toán học

Khóa luận tốt

LỜI CẢM ƠN
Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo ThS. Phùng Đức
Thắng đã tận tình hướng dẫn để em có thể hoàn thành khóa luận này.
Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy
cô giáo trong khoa Toán Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã dạy bảo tận
tình trong suốt quá trình học tập tại khoa. Qua đây em cũng xin gửi lời
cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã ở bên, động viên, giúp đỡ em
trong suốt quá trình học tập & thực hiện khóa luận này.
Em xin chân thành cảm ơn !
Hà Nội, tháng 5 năm 2013
Sinh viên

TỪ THỊ YẾN

Từ Thị

K35B – Toán


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan dưới sự hướng dẫn của ThS. Phùng Đức
Thắng khóa luận “Một số bài toán cơ bản của lý thuyết chuỗi trong giải
tích toán học” được hoàn thành không trùng với bất kỳ công trình khoa học
nào khác.
Trong khi thực hiện khóa luận tôi đã sử dụng và tham khảo các thành
tựu của các nhà khoa học với lòng biết ơn trân trọng.
Hà Nội, tháng 5 năm 2013
Sinh viên

TỪ THỊ YẾN


MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN
LỜI CAM
ĐOAN
MỞ ĐẦU...................................................................................................1
Chương 1. CHUỖI SỐ..................................................................................3

1.1. Các khái niệm và tính chất cơ bản...................................................... 3
1.2. Bài toán xét sự hội tụ của chuỗi số.....................................................4
1.3. Bài toán tính tổng chuỗi số.................................................................. 16
Chương 2. CHUỖI HÀM.............................................................................. 20
2.1. Định nghĩa..........................................................................................20
2.2. Bài toán tìm miền hội tụ của chuỗi hàm............................................ 20
2.3. Bài toán xét sự hội tụ đều của chuỗi hàm........................................21
2.4. Bài toán tính tổng chuỗi hàm............................................................... 28
KẾT LUẬN.................................................................................................36
TÀI LIỆU THAM KHẢO.............................................................................. 37


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề
tài.
Trong toán học, giải tích chiếm một vị trí rất quan trọng. Các kết
quả được nghiên cứu trong giải tích có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực
khác của Toán học và nhiều ngành khoa học khác như: Vật lý, Thiên văn,
Địa lý…
Quá trình học môn Giải tích toán học ở trường Đại học, lý thuyết về

chuỗi rất được quan tâm. Nó gồm 2 phần :
1. Chuỗi số.
2. Chuỗi hàm.
Trong toán học một chuỗi là một tổng của một dãy các biểu thức toán
học. Trong đa số các trường hợp sử dụng, các biểu thức trong chuỗi có
thể được xây dựng bằng các công thức hay thuật toán hay thậm chí bằng số
ngẫu nhiên. Chuỗi có thể hữu hạn, có số các biểu thức là hữu hạn, hay vô
hạn, có số lượng các biểu thức dài vô hạn. Chuỗi hữu hạn có thể được xử
lý bằng các phép tính đại sơ cấp. Trong khi đó, các chuỗi vô hạn cần các
công cụ giải tích trong các ứng dụng toán học.
Mặt khác, trong giải tích các kết quả nghiên cứu về lý thuyết chuỗi
có ý nghĩa rất lớn cả về mặt lý thuyết lẫn thực hành. Để tìm hiểu về lý
thuyết chuỗi và được sự định hướng của người hướng dẫn, tôi chọn đề
tài “Một số bài toán cơ bản của lý thuyết chuỗi trong giải tích toán học”
để thực hiện khóa luận tốt nghiệp Đại học chuyên ngành Sư phạm Toán
của mình.
2. Mục đích nghiên cứu
Đề tài nhằm hệ thống lại những bài toán cơ bản của lý thuyết
chuỗi trong giải tích toán học.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Từ Thị

4

K35B – Toán


Các bài toán cơ bản của chuỗi số.
Các bài toán cơ bản của chuỗi hàm.

Từ Thị

5

K35B – Toán


4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu: Chuỗi số, chuỗi
hàm. Phạm vi nghiên cứu: Giải tích cổ
điển.
5. Phương pháp nghiên cứu
- Phân tích, tổng hợp, đánh giá, so sánh.


Chương 1. CHUỖI SỐ
Trong chương này, phần đầu chúng tôi trình bày lý thuyết cơ bản
của chuỗi số, phần tiếp theo chúng tôi trình bày hai bài toán cơ bản của
chuỗi số là: xét sự hội tụ của chuỗi số và tính tổng chuỗi số.
1.1. Các khái niệm và tính chất cơ bản.
a1, a2 ,..., an ,...
Định nghĩa 1.1. Cho dãy .Đặt
số


n

An a1 a2 ... an ∑a k
k 1

n

Ký hiệu A ∑ ak lim An lim ∑ ak
:
n

k 1

n

k 1



và gọi

∑a
k 1

k

là một chuỗi số.

Định nghĩa 1.2. Nếu dãy  An  hội tụ và lim An A thì ta nói
chuỗi



∑a
k 1

n

k

hội

tụ và có tổng bằng A .


Nếu dãy  An  không có giới hạn hữu hạn thì ta nói chuỗi số

k 1

∑a

k

phân kỳ.

Ta gọi an là số hạng của chuỗi
số,

An ∑a k là tổng riêng thứ n , còn dãy

 An là dãy tổng riêng của chuỗi số

.

n

k 1

hội tụ về A thì với mọi n nguyên
a
∑ k dương


Định nghĩa 1.3. Nếu chuỗi
số

k 1

hiệu AA được gọi là phần dư thứ n của chuỗi. Kí hiệu: rn
n


Dễ thấy rn  ∑ ak .
k n1


Từ các định nghĩa trên, dễ dàng suy ra được định lý sau


hội tụ là
a
∑ chuỗi


Định lý 1.1. Điều kiện cần và đủ để
chuỗi

hội



∑
a

n
n 1

k
k n1

tụ.
Từ tiêu chuẩn Cauchy về sự hội tụ dãy số ta có tiêu chuẩn
Cauchy về sự hội tụ của chuỗi số như sau:
Định lí 1.2. (Tiêu chuẩn Cauchy) Chuỗi

n0 n0 () N sao cho n n0 p



∑a

n

 0

hội tụ khi và chỉ

khi
n 1

N

ta đều có

an1 an2  ...
anp


Hệ quả. Nếu chuỗi
số

∑a
n 1

n

.

hội tụ thì lim an 0 .
n



Định lí 1.3. (Tính chất tuyến tính) Giả sử các
chuỗi

∑an
n1



và
∑bn

hội tụ
và

n1

có tổng lần lượt là A và B,  và  là các hằng số thực. Khi đó


∑ ( .a
n1

n

.bn ) cũng là chuỗi hội tụ và có tổng bằng S A B .

Định lí 1.4. (Tính chất kết hợp) Nếu các số hạng của chuỗi hội tụ được
gộp lại thành từng nhóm (nhưng không làm thay đổi thứ tự của chúng) thì
chuỗi mới thu được cũng hội tụ và có tổng bằng tổng của chuỗi đã cho.
Sau đây chúng tôi trình bày bài toán cơ bản thứ nhất:
1.2. Bài toán xét sự hội tụ của chuỗi số.
Phần này chúng tôi đưa ra những công cụ cho phép chúng ta xét sự
hội tụ được của một chuỗi số, công cụ này cho phép chúng ta nhận biết

được khi nào một chuỗi là hội tụ hoặc phân kỳ và đưa ra một số ví dụ
cụ thể minh họa.


1.2.1.

Các dấu hiệu hội tụ

Định lí 1.5. (Dirichlet) Giả sử rằng:


i)
Ch ∑an có dãy tổng riêng bị chặn, tức là tồn tại một số M >
uỗi số 0
n 1

sao cho |An| = |a1 + a2 + ... + an|  M với mọi n.
ii) {bn} là dãy đơn điệu giảm và lim bn 0 .
n

hội tụ.



∑

Khi đó
chuỗi

anbn
n 1

Định lí 1.6. (Abel) Giả thiết:

hội tụ.
a
∑
i) Chuỗ
n
i
n 1

ii) Dãy {bn} đơn điệu và bị chặn.

hội tụ.
∑
Khi đó
anbn
chuỗi
n 1

Ở phần này chúng tôi đưa ra các dấu hiệu hội tụ của chuỗi số dương.
Định nghĩa 1.4
Chuỗi số



∑a

được gọi là chuỗi số dương nếu mọi số hạng an của
n

n 1

chuỗi đều dương.
Định lí 1.7. (Dấu hiệu so sánh thứ nhất) Giả
sử



∑a
và

n 1


n

∑b
n 1

n

là hai chuỗi số


dương thỏa mãn điều kiện: Tồn tại một số tự nhiên n0 và một hằng số C >
0

sao
cho

an
bn

với
mọi

n n0 .

Khi đó:

i.

Nếu chuỗi

∑b

n



hội tụ thì chuỗi

∑a
n 1

n

n 1

hội tụ.



ii.

Nếu chuỗi



∑a

n 1

∑b

phân kì thì chuỗi

n

phân kì.

n

n 1



Định lí 1.8. (Dấu hiệu so sánh thứ 2) Cho hai chuỗi số
dương

∑a
và


n

∑b
n 1

n

.

n 1

Giả sử tồn tại giới hạn hữu hạn hay vô hạn lim
n

Khi đó:

an
bn





a) Nếu 0 k  thì hai
chuỗi

k .

∑a n

∑b

n 1

n
n 1

và

cùng hội tụ hoặc cùng

phân kì.

b)

hội tụ
thì

Nếu k = 0 và

∑b

n

∑a
n
n 1

n 1


c)

Nếu k  và

∑b

n

hội tụ.





phân kỳ.

phân kỳ thì
n 1

∑a

n

n 1

∑

Ví dụ
1.
Dễ dàng kiểm tra được nếu các
chuỗi

a
2
n≥1

chuỗi

∑(a

n1

n

bn )2

,
,

∑
n1

anbn

∑

n1

an
n

∑

n

cũng hội tụ.

và

2
n≥1

n

b hội tụ thì các


Thực vậy, xét chuỗi

∑(a
n1

Do các
chuỗi

∑

2

an

và

n

bn )2

∑b
n≥1

. Ta có an bn


2
n

hội tụ nên
chuỗi

2



Tương
tự, với đánh
giá:

n1

n



2

n

bn

cũng hội



n1

∑ (a

2

2

∑ a

n≥1

tụ. Vì vậy theo dấu hiệu so sánh thứ nhất,
chuỗi

2

2 a n bn .

2

bn ) hội tụ.

1 2 1
1 2
2
 a
, a b   a b ta suy ra
an n 
 n n2 
2
n n
n
n
2



∑

các chuỗi
,

anbn

∑

an

n1

n

hội tụ.

n1

Ví dụ 2.
Xét sự hội tụ của các chuỗi sau


a)

∑

n
1
n2

n1


b) ∑

6 2(1)
n

n1

2n3
a)

T n 1
a có 

u

n


v

1
n 1

n

2

n
n
n2
1 phân kỳ nên theo dấu hiệu so sánh thì chuỗi đã cho phân kỳ.
Vì ∑ 
n1 n
n

n

b) n 1 ta có 4 6 2(1)
8
n

4  6 2(1)  8
2n3
Mà
1

∑


tụ.

n

2n3

2n3

nên
  1 n
 2 

hội tụ nên theo dấu hiệu so sánh thì
chuỗi



6
n
2(1)

∑

n3

Ví dụ 3.

hội


n1

2

n1

Xét sự hội tụ của chuỗi sau



1

∑
n1

n

∫
0

Ta có

4

1 x4

2


4

1 x 4 x ⇒

n

∫

4

0

Do đó

0
u

n

∫

0

Vì chuỗi
2

4

1 x

n 1

4

hội tụ nên theo dấu hiệu so sánh thì chuỗi đã cho hội tụ.

∑


n1

2

n2

1

 n

n

2
4
1 x dx ∫ xdx n
2
0

2

n

Nhận xét: Sử dụng dấu hiệu so sánh người ta thường so sánh với các
chuỗi trội hay dễ thấy sự hội tụ hay phân kì của chúng.


Định lí 1.9. (Dấu hiệu tích phân Cauchy) Cho chuỗi số
dương
f

x

∑a
n 1

là một hàm đơn điệu giảm và liên tục trên [1,
)

f  n an n 1, 2,...
Khi đó:

lim

x

1) Nếu tồn
tại



x

hữu hạn thì chuỗi
∑an

∫ f (t)
dt
1

lim

2) Nế
u

x

x

∫ f (t) dt

1

th
ì



∑

phân kì.

an

n 1

Ví dụ 4.

Xét sự hội tụ của chuỗi số dương
1

∑

p

n 1

hội tụ.

n

. Giả sử
sao cho


trong đó p là một tham số.
1
thì
Khi

p
0

n
p

n 1

n

0 khi n , nên chuỗi phân kỳ.

f x 

Khi p 0 , xét
hàm
vàn f 
 

1

x
x

1

p




dt

n . Mặt khác lim ∫ t 
p

1

∑



n 1

p

nÕu p 1

1
1
p






x
p

Vậy chuỗi số
1

là một hàm đơn diệu giảm trên 1,+

nÕu 0 < p 1

p 0 và phân kỳ
khi

hội tụ
khi

p 0.

n

Định lí 1.10. (Dấu hiệu Cauchy) Cho chuỗi số
dương



∑a

n

, giả sử tồn

tại
n 1

giới hạn hữu hạn hay vô hạn lim n
an

c .

n

Khi đó:
1. Nếu c 1 thì chuỗi đã cho hội tụ.

2. Nếu c 1 thì chuỗi đã cho phân kì.
Ví dụ 5.
Xét sự hội tụ của chuỗi số
2

2 2

n n 1

1 a ab a b a b ... a b

n n

a b ...

trong đó a, b là hai số dương khác nhau.
Kí hiệu số hạng tổng quát của chuỗi số đã
cho là
c2k 1

a

k 1 k

b

c n , ta có

k 1, 2,...

1

Xét giới hạn lim n cn

n


c2k

k k
a b
1

 k 1, 2,...


+
Với

n 2k 1 ta
có

+
Với

n
2k

lim 2k 1 ak 1bk 1


k 

ta có lim

k 

2k

k k 1

ab

 ab .

ab .


Như vậy tồn tại lim n
cn



. Theo dấu hiệu Cauchy, chuỗi hội tụ nếu
ab

n

ab 1và phân kì
nếu

ab 1.
Với

ab
1

chuỗi phân kì vì số hạng tổng quát

không dần đến 0 khi n .
Ví dụ 6.
Xét sự hội tụ của chuỗi


a) ∑ nln n
n

n2

(ln n)



b)∑

5 (1)
n

n1

4n1

a) Áp dụng dấu hiệu Cauchy ta có
ln
n

li
lim n an m
n

n

n

n

n

li
m

ln

ln
n

e

n

2

0 1

n

ln n

Do đó chuỗi đã cho hội tụ.
b) Ta có
lim

n

5 (1)

n

1

 lim
4 n

n

5 (1)

n



1

1

4
4
4n1
Theo dấu hiệu Cauchy thì chuỗi đã cho hội tụ.
n

Định lí 1.11. (Dấu hiệu D’Alembert) Cho chuối số
dương
Từ Thị
Yến

10

tại giới hạn
gữu hạn hay
K35B – Toán


vô hạn lim

an 1



d . Khi đó:

∑

an . Giả sử

tồn

Từ Thị
Yến

11

K35B – Toán


n 1
n

an

1) Nếu d < 1 thì chuỗi số đã cho hội tụ.
2) Nếu d > 1 thì chuỗi đã cho phân kì.

Từ Thị
Yến

12

K35B – Toán

Ví dụ 7.
Chứng minh rằng nếu

a
lim n 1
q,  a

n

a

n

0  q n
,

0 thì



a

n

trong đó

1

n

q1
q.

Từ giả thiết suy
ra

q 0 .
Với
an
bn 

an



∑

q1 q , ta xét
chuỗi

, trong

đó
n1

n. Ta có

q1n

1


q 0

b
lim

n

n1

b

lim
n

n

a

an
qn1
n1

.

1
n

an

1



∑

n

n

1

hội tụ. Do đó lim
0

n1

an 0 q1

.

1 an1 q
.
 1
n q
a
q

lim

q

Theo dấu hiệu D’Alembert, chuỗi



1

n

q1

n

Ví dụ 8.
Xét sự hội tụ của chuỗi số
sau
a)
n





c)


n!

n
x

an

n

q1

hay