Toán tử Fredholm và Parametrix của toán tử

Trường Đại học sư phạm hà nội 2 Khoa toán
****************

Nguyễn đình tú

toán tử Fredholm
và parametrix của toán tử

Khoá luận tốt nghiệp đại học

Chuyên ngành: Giải tích

Người hướng dẫn khoa học Tiến sĩ Bùi kiên cường

Hà nội - 2007


Khoá luận tốt nghiệp

Nguyễn Đình Tú

Lời cảm ơn
+Để hoàn thành khoá luận này, trước hết em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu
sắc đến các thầy cô giáo trong tổ Giải tích, khoa Toán Trường Đại Học sư
phạm Hà Nội 2 đã động viên giúp đỡ em trong suốt quá trình làm khoá luận.
Đặc biệt em xin chân thành cảm ơn thầy giáo hướng dẫn - Tiến sĩ Bùi
Kiên Cường đã tạo điều kiện tốt nhất và chỉ bảo tận tình để em có thể hoàn
thành khoá luận tốt nghiệp này.
Do thời gian và kiến thức có hạn nên những vấn đề trình bày trong khoá
luận không tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy, em rất mong nhận được những

ý kiến đóng góp của các thầy cô và các bạn sinh viên.
Một lần nữa em xin chân thành cảm ơn!
Sinh viên
Nguyễn Đình Tú

1


Các kí hiệu viết tắt
.  Kết thúc mỗi chứng minh.
. K Trường số thực hoặc trường số phức.
. L( X ,Y Tập tất cả các tuyến tính bị chặn từ không gian định chuẩn X vào
)
không gian định chuẩn Y.
. L(X , K)  Tập các phiếm hàm tuyến tính liên tục từ X vào K . X gọi

X
là
không gian liên hợp của không gian định chuẩn X.
. R(A) A(X )   Ax :x X  ảnh của toán tử A.
. W (A)  x X : Ax 0 hạt nhân của toán tử A.
. dist(x0 , L) x  khoảng cách từ điểm x0 đến tập L.
inf x0
xL
. dimX : số chiều của không gian X.
. codimX : số đối chiều của không gian X.
. indA hay index A : chỉ số của toán tử tuyến tính A.
. X : Bao đóng của tập hợp X.
. S 0,C  - Hình cầu đóng tâm O, bán kính C (C > 0).
. phần tử không đối với cấu trúc nhóm.

phần mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Lý thuyết hàm và Giải tích hàm có tầm quan trọng đặc biệt đối với Toán
học cơ bản và có ứng dụng vào các chuyên ngành khác như giải tích phức, lý
thuyết xấp xỉ, phương trình đạo hàm riêng… Có thể nói Giải tích hàm là cơ sở
của hầu hết các môn học. Vì vậy việc học và nắm vững môn học này là điều
rất cần thiết đối với mỗi sinh viên khoa Toán.
Nội dung của Giải tích hàm rất phong phú, đa dạng. Kiến thức trên lớp
với lượng thời gian eo hẹp khó có thể đi sâu nghiên cứu một cách hoàn chỉnh
một vấn đề nào đó của bộ môn này.
Vì những lý do trên em đã chọn đề tài: ‘Toán tử Fredholm và
Parametrix của toán tử’ để làm khoá luận tốt nghiệp.
2. Mục đích nghiên cứu
Bước đầu làm quen với công việc nghiên cứu khoa học và tìm hiểu sâu
hơn về Giải tích hàm đặc biệt là không gian Banach.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu các tính chất, các điều kiện tương đương của toán tử
Fredholm không gian Banach và không gian Hilbert, cùng với toán tử
Fredholm thay phiên nhờ cặp đối ngẫu.
4. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu lý luận, phân tích, tổng hợp và đánh giá.
5. Cấu trúc của khoá luận
Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo, khoá luận
gồm 3 chương.
Chương 1. Cơ sở lý thuyết.
Chương 2. Toán tử Fredholm.
Chương 3. Parametrix của toán tử.

Chương 1. Cơ sở lý thuyết
1.1. Không gian định chuẩn
1.1.1. Không gian định chuẩn
Giả sử X là một không gian tuyến tính trên trường K .
Hàm  : X  gọi là một chuẩn trên X nếu
x x
(i)

x 0, x X .

(ii)

x 0 x (phần tử không).

(iii)

x
x , x X , K .


(iv)

x y  y ,x, y X .
x 

Số x được gọi là chuẩn của x và không gian ( X  ) được gọi là một
,
không gian định chuẩn. Trong đó, X là một không gian tuyến tính,

 là một

chuẩn trên X.
1.1.2. Không gian con
Nếu X0 là một không gian tuyến tính con của X và chuẩn xác định trên X0
là chuẩn xác định trên X thì X0 được gọi là không gian định chuẩn con của
không gian định chuẩn X.
1.1.3. Liên hệ giữa không gian định chuẩn và không gian metric
Giả sử X là không gian định chuẩn, x, y X .
Đặt d (x, y) x


y

,

(*)

Ta có ngay được d là một Metric trên X và gọi là Metric cảm sinh bởi


 . Do đó, mọi không gian định chuẩn đều là không gian Metric.
1.1.4. Không gian Banach


Không gian định chuẩn
,

X



 gọi là đầy đủ nếu (X, d) là không gian

Metric đầy đủ, trong đó d là Metric (*).

Một không gian định chuẩn

 đầy

đủ còn gọi là không gian

X ,
Banach. Không gian định chuẩn X gọi là không gian phản xạ nếu X X

**

.

1.1.5. Sự hội tụ trong không gian định chuẩn
a) Lân cận yếu. Cho tập X là không gian định chuẩn, x X .
Tập

U  y
X :

f ( y) f (x)
 , 0

cho trước f X 

 gọi là

lân cận

yếu của điểm x.
b) Hội tụ yếu. Cho X là không gian định chuẩn. Dãy (xn ) X gọi
là hội tụ yếu tới phần tử x X nếu với mọi lân cận yếu U của x,
tìm được số nguyên

yÕ
u

dương n0 sao cho n thì xn U . Kí
n0
hiệu
c) Hội tụ mạnh. Dãy (xn )
X

xn 
x  n   .

gọi là hội tụ hay hội tụ mạnh tới x0 trong

không gian định chuẩn X, nếu 
0, n0 



:n

n0 :

xn  .
x0

1.2. Toán tử tuyến tính liên tục
1.2.1. Các định nghĩa
ánh xạ A giữa hai không gian định chuẩn X và Y trên cùng một trường K
gọi là tuyến tính, nếu ánh xạ A thoả mãn:
(i)

(ii)


A(x
A(x)  Ax, x X , K .
y)
Ax
Ay,
x,
y
X
.
Ta thường gọi ánh xạ tuyến tính giữa hai không gian định chuẩn X và Y
là một toán tử tuyến tính hay một toán tử. Khi Y K thì toán tử A thường
gọi là phiếm hàm tuyến tính.
Toán tử A giữa hai không gian định chuẩn X và Y gọi là giới nội (bị chặn)
nếu tồn tại hằng số dương C, sao cho Ax
, x X .
C x

Giả sử toán tử tuyến tính giới nội A từ không gian định chuẩn X vào không
gian định chuẩn Y.
Số A inf

C :x

C x gọi là chuẩn của toán tử A.

X , Ax
Toán tử tuyến tính liên tục A ánh xạ không gian định chuẩn X lên không
-1

gian định chuẩn Y có toán tử tử ngựơc A liên tục. Khi đó, toán tử A gọi là
phép đồng phôi tuyến tính từ không gian X lên không gian Y.
Hai không gian định chuẩn gọi là đồng phôi tuyến tính nếu tồn tại phép
đồng phôi tuyến tính từ không gian này lên không gian kia.
1.2.2. Tính chất
Định lý 1.2.1. Cho toán tử tuyến tính A từ không gian định chuẩn X
vào không gian định chuẩn Y. Ba mệnh đề sau tương đương.
(+) A liên tục.
(+) A liên tục tại một

x0 nào đó thuộc X.

điểm (+) A bị chặn.
1.3. Toán tử liên hợp
*

*

1.3.1. Định nghĩa. Cho X và Y là hai không gian định chuẩn, X , Y là
hai không gian liên hợp của X và Y tương ứng. Giả sử A là một toán tử tuyến
tính
giới nội từ X vào Y. Khi đó, toán tử A: X








A y y A, với y Y






Y



thoả mãn:

 

.Tức là ( A y )(x) 



y (Ax), x X . Toán tử A được gọi là toán tử liên
hợp của toán tử A.


Toán tử liên hợp của toán tử A gọi là toán tử liên hợp thứ hai của A và được
kí hiệu

A ,

A


A

:X



 

( A ) .



Y



, xác định bởi:


Ax xA,xX
1.3.2. Tính chất



.




Định lý 1.3.1 . Toán tử liên hợp A của toán tử A là một toán tử tuyến
tính và
giới nội. Hơn
nữa

*

A A .

Định lí 1.3.2 . Giả sử X, Y, Z là những không gian định chuẩn
A, BL( X ,Y ), C
 L( X , Z )
Khi đó:

.A ,

và K .



(A) 






( A B) A B ,






(CA) A C .
Định lý 1.3.3. Thu hẹp của A
X và
A







lên X, tức là A x



Ax , với x

 A .

Định lí 1.3.4. Giả sử X và Y là hai không gian định chuẩn trên cùng một
trường K
và

AL( X ,Y ) . Nếu A có toán tử ngược bị chặn A-1 thì


A cũng có
toán tử ngược bị chặn
và

* 1

(A)

1 

( A ) .

1.4. Toán tử Compact
Toán tử compact. Giả sử X, Y là hai không gian định chuẩn
Toán tử tuyến tính

A : X Y gọi là toán tử compact nếu A ánh
xạ một tập

bị chặn trong X thành tập compact tương đối trong Y.
Như vậy, tính compact của một toán tử tuyến tính là mạnh hơn tính liên
tục. Do đó, người ta còn gọi một toán tử compact là một toán tử hoàn toàn
liên tục.


1.4.2. Ví dụ
a) Toán tử tuyến tính liên tục hữu hạn chiều là toán tử compact.
Thật vậy, giả sử

A : X Y là toán tử tuyến tính liên tục hữu
hạn chiều và

S là tập bị chặn trong X. Do A liên tục nên A(S) là tập bị chặn trong A(X). Vì
A(X) hữu hạn chiều nên A(S) là tập compact tương đối. Vậy toán tử A là toán
tử compact.


b) Toán tử đồng nhất I trong không gian định chuẩn X là toán tử compact
khi và chỉ khi X có số chiều hữu hạn. Điều này suy ra từ tính chất, hình cầu
đơn vị trong không gian định chuẩn X là compact tương đối khi và chỉ khi X
có số chiều hữu hạn.
c) Giả sử A :C
a ,bCa,blà ánh xạ được xác định bởi
b

Ax  s K s,t x t  dt,

a

trong đó x Ca,b, K s,t  , là một hàm số thực liên tục trên hình
vuông

a,ba,b.

Khi đó A là một toán tử compact.

Thật vậy, trước hết ta chứng minh rằng x C
a,b, Ax là một
hàm số liên
tục trên a,b. Hàm
số

K  s,t liên tục trên tập hợp compact
a,ba,b

nên



bị chặn và liên tục đều trên tập này. Do đó, M 0 sao cho
K s,t

 M ,

 s,t   a,b  a,b ,

và với ε 0 cho trước bất δ 0 sao cho

kỳ,

  s

1

,t1 , s2 ,t2   a,b   a,b   ,

s1 s2 δ, t  δ K  s ,t K s ,t ε.
1
1 1
2 2

t
2
Từ đó suy ra
b
Ax  s1 Ax  s2 b
K s1 ,t x t dt K s2 ,t x t dt
 
a
a
b

K  s1 ,t

K  s2 ,t 

a

x t dt
b

K  s1 ,t

K s2 ,t 

x t  dt

a

ε b 
a x ,




với t
1

t2

δ. Vậy Ax là một hàm số liên tục (đều) trên  a,b  . Dễ dàng
thấy

rằng A là một toán tử tuyến tính. Gọi B là hình cầu đóng đơn vị trong không
gian C
a ,b. Ta sẽ áp dụng định lý Arzela - Ascoli (định lý 1.4.8) để chứng
minh A(B) là một tập hợp compact tương đối trong không gian C

a ,b.
• A(B) là một tập hợp bị chặn trong Ca ,b. Thật vậy, với mọi x
B , ta có

b

b

a

a

Ax  s  K s,t x t K

dt
 s,t 

x  t dt

M b  M b a
a x
Do đó Ax 
sup

, s

 a,b  .

Ax  s M b a , x B.

s
a ,b

• Các hàm số thuộc A(B) là đồng liên tục đều trên  a,b. Thật vậy, từ
bất đẳng thức

,

x B,s
a,bs s
suy ra

1

1

,s2

δ ,

2

Ax  s1 Axs 2 ε b a  .
Vậy A là một toán tử compact.
1.4.3. Tính chất
Định lý 1.4.1.
Nếu

A : X Y là một toán tử compact của không
gian định

chuẩn X vào không gian định chuẩn Y thì A ánh xạ mọi dãy hội tụ yếu trong X
thành một dãy hội tụ mạnh trong Y.
Định lý 1.4.2. Giả sử X, Y là 2 không gian định chuẩn, A, B là những
toán tử compact từ X vào Y. Khi đó với mọi số ,

toán tử (A

B) là compact.
Định lí 1.4.3. Giả sử X, Y, Z, V là 4 không gian định chuẩn,
B: Z X ,
A: X Y

và C: Y
V

, là những toán tử tuyến tính liên

tục. Ngoài ra, A là một toán tử compact, thế thì toán tử CAB : Z
V
một toán tử compact.

, là


Hệ quả. Giả sử X là một không gian định chuẩn . Toán
tử
toán tử compact, với

AL( X ) là
một

B L( X ) . Khi đó các toán tử BA và AB là
những

mọi toán tử compact.
Định lí 1.4.4. Giả sử X là một không gian Banach phản xạ (
tức Y là một không gian định chuẩn tuỳ ý. Nếu toán tử tuyến

X X
và

**

)

tính
A : X Y
ánh xạ mọi dãy hội tụ yếu trong X thành một dãy hội tụ (mạnh) trong Y, thì A
là một toán tử compact.
Định lí 1.4.5. Nếu (An) là dãy các toán tử compact ánh xạ không gian
định chuẩn X vào không gian Banach Y hội tụ tới toán tử A trong không
gian L( X ,Y ) , thì A là toán tử compact.
Định lí 1.4.6. Nếu A là một toán tử compact ánh xạ không gian định chuẩn X
vào không gian định chuẩn Y thì bao đóng R( A của miền giá trị R(A) của
)
toán tử A là một không gian con đóng khả ly của Y.
Định lí 1.4.7
a) Giả sử X, Y là hai không gian định chuẩn và toán tử

A : X Y
là một toán tử compact thì toán tử liên hợp


A :Y



X



cũng là compact.


b) Ngược lại nếu toán tử A là compact và giả thiết thêm rằng Y là
một không gian Banach thì toán tử A là một toán tử compact.
Giả sử S là một không gian compact, P là một tập hợp con của không
gian C(S)_ tập các hàm số liên tục trên S. Tập hợp P được gọi là đồng liên tục
đều trên S nếu với một số

ε0


cho trước bất kỳ, tồn tại
các tập hợp mở


Vn1 ,...,

sao cho

n

S
Vi ,
và i

x

P.


1

x s

sx
'



ε, s ,

V
n

s

''

'

i 1,...,
và

''
i

Định lý 1.4.8(Arzela – Ascoli). Nếu S là một không gian compact thì
P
là một tập hợp compact tương đối khi và chỉ khi P là một tập hợp
C

S 
con bị chặn của C  S  và P là đồng liên tục đều trên S.
1.5.Không gian Hilbert
1.5.1. Các định nghĩa
Tích vô hướng. Cho không gian tuyến tính X trên trường K . Ta gọi là tích
vô hướng trên không gian X mọi ánh xạ từ tích Descartes X X vào K ,
ký hiệu

.


. thoả mãn các tiên đề :

(i) (x, y X ) ( y | x) x | y

,

(ii) (x, y, z X ) (x y | z)  x | z y | z  ,
(iii) (x, y X , K) (x | y) (x |
y) ,
(iv) (x X ) (x | x) nếu x 
0
, nếu
(x | x) 0
x
.


Không gian Hilbert. Ta gọi một tập H  gồm những phần tử x,
y, z,… nào đấy là không gian Hilbert, nếu tập H thoả mãn các điều kiện:
(i) H là không gian tuyến tính trên trường K .
(ii) H được trang bị một tích vô hướng . .  .
 H là không gian Banach với chuẩn x


x | x , x H.

Ta gọi mọi không gian tuyến tính con đóng của không gian Hilbert H là
không gian Hilbert con của không gian H.
Phần tử trực giao, tập con trực giao
Giả sử H là không gian Hilbert. Hai phần tử

x, y H gọi là trực giao,


ký hiệu x

y

nếu

x | y 0 .

Tập con khác rỗng A H . Phần tử
với tập A nếu
x y
(y 
A)

x H gọi là trực giao

và kí hiệu x A.

Phần bù trực giao. Cho không gian Hilbert H và không gian con E 
H.
Tập con F 
F   x H : x Egọi là phần bù trực giao
H,
của tập E trên
không gian H. Ký hiệu là E
có



và E



cũng là không gian con của H. Ta



được cách viết H E E .
Tổng trực tiếp
Khi đó, x H
x x1 x2

E
gọi là tổng trực giao.
 

E

với x1 E, x2 E .

Hệ trực chuẩn, cơ sở trực chuẩn
Hệ trực chuẩn. Cho không gian Hilbert H gồm hữu hạn hay đếm được các
phần tử

(en )n1
H

gọi là một hệ trực chuẩn, nếu

e , e 
i

j

0
ví i

ij
1 ví i

i
j
i
j

Cơ sở trực chuẩn. Hệ trực chuẩn en



n

1

i, j 1, 2,...

trong không gian Hilbert H gọi là


cơ sở trực chuẩn của không gian H, nếu trong không gian H không tồn tại
vectơ khác không nào trực giao với hệ đó.
1.5.2. Dạng tổng quát của phiếm hàm tuyến tính liên tục
Định lí F.Riesz. Mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục trong không gian Hilbert

H đều có thể biểu diễn dưới
dạng

f (x) (x | a) ,
x H

a H được xác định duy nhất bởi phiếm
hàm f và

trong đó phần tử

a .

f
1.5.3. Toán tử liên hợp (trong không gian Hilbert).
Định nghĩa. Cho toán tử A là toán tử A là toán tuyến tính bị chặn ánh
xạ không gian Y vào không gian X gọi là toán tử liên hợp với toán tử A nếu

Ax | y x | By, x


B thường kí hiệu là A .

X , y Y . Toán tử liên hợp


Định lí 1.5.1. Cho A là toán tử tuyến tính bị chặn ánh xạ không gian


Hilbert X vào không gian Hilbert Y. Khi đó, tồn tại toán tử A liên hợp với

toán tử A ánh xạ không gian Y vào không gian X.


Ngoài ra, toán tử liên hợp A cũng là toán tử tuyến tính bị chặn và


A A .
Toán tử tự liên hợp. Toán tử tuyến tính bị chặn A ánh xạ không gian
Hilbert vào chính nó gọi là tự liên hợp, nếu

Ax

| y  x | Ay,

x, y H . Toán tử tự liên hợp còn được gọi là toán tử đối
xứng.
Sự hội tụ yếu. Cho không gian Hilbert H. Dãy điểm xn H gọi là hội tụ
yếu
tới điểm x H ,
ký hiệu

x yÕux  n


 , nếu với mọi điểm y H
n

limxn | y x | y .
n

Định lý 1.5.2. (định lý Tonelli)
Giả sử (X,M ,m) và (Y ,N ,n ) là hai không gian có độ đo d - hữu hạn.
f
là hàm đo được không âm trên không gian tích X ´ Y . Khi đó:

( )

Với mỗi y Y , hàm x a f x, y là đo được với độ đo ,
Î
X , hàm y
f x, y là đo được với độ đo ,
Với mỗi x a
Î

( )

hàm x a

ò f (x, y)dn(y ) là đo được với độ đo

X,

Y

hàm y a

ò f (x, y )d m(x) là đo được với độ đo
X

Y,

và

ò dm(x )ò dn ( y )f (x,

y )=

X

Y

ò dn ( y )ò dm(x )f (x, y).
Y

X