Tôpô yếu trong không gian Banach

TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I 2
KHOA TOÁN

LÊ TH± THU HIEN

TÔPÔ YEU TRONG
KHÔNG GIAN
BANACH

KHÓA LU¾N T6T NGHIfiP ĐAI
H6C
Chuyên ngành: Giái tích

Ngưèi hưéng dan khoa
hoc Th.S HOÀNG NGOC
TUAN


Hà N®i - 2013


LèI CÃM ƠN
Em xin bày tó lòng biet ơn sâu sac tói Th.S Hoàng Ngoc Tuan - Ngưòi
thay đã trnc tiep t¾n tình hưóng dan và giúp đõ em hoàn thành bài khoá
lu¾n cúa mình. Đong thòi em xin chân thành cám ơn các thay cô trong
to Giái tích và các thay cô trong khoa Toán - Trưòng Đai hoc Sư pham
Hà N®i 2, Ban chú nhi¾m khoa Toán đã tao đieu ki¾n cho em hoàn
thành tot bài khoá lu¾n này.
Do thòi gian và kien thúc có han và cũng là lan đau nghiên cúu khoa
hoc cho nên không tránh khói nhung han che, thieu sót nhat đ%nh. Vì
v¾y, em rat mong nh¾n đưoc nhung ý kien đóng góp cúa các thay cô và

các ban sinh viên.
Em xin chân thành cám ơn !
Hà N®i, tháng 05 năm
2013
Sinh viên

Lê Th% Thu Hien


LèI CAM ĐOAN
Qua quá trình nghiên cúu khóa lu¾n: “ Tôpô yeu trong không gian Banach” đã giúp em tìm hieu sâu hơn ve b® môn Giái tích. Qua đó cũng
giúp em bưóc đau làm quen vói phương pháp nghiên cúu khoa hoc..

Trong khi nghiên cúu hoàn thành bán khoá lu¾n này em đã tham
kháo m®t so tài li¾u đã ghi trong phan tài li¾u tham kháo.

Em xin cam đoan khóa lu¾n đưoc hoàn thành do sn co gang, no lnc
tìm hieu, nghiên cúu cúa bán thân em cùng vói sn hưóng dan chí báo cúa
thay giáo - Th.S Hoàng Ngoc Tuan. Ket quá cúa đe tài “ Tô pô yeu trong
không gian Banach” không có sn trùng l¾p vói ket quá cúa các đe tài
khác..

Hà N®i, tháng 05 năm
2013
Sinh viên

Lê Th% Thu Hien


Mnc lnc

Mé đau....................................................................................................1
Chương 1. Kien thNc chuan b%..................................................................3
1.1. Không gian tôpô.............................................................................3
1.1.1. Kien thúc mó đau ve không gian tôpô............................................3
1.1.2. Không gian compact........................................................................5

1.2. Không gian đ%nh chuan...............................................................6
1.2.1. Kien thúc mó đau ve không gian đ%nh chuan...............................6
1.2.2. Toán tú tuyen tính b% ch¾n.................................................................8
1.2.3. Nguyên lí b% ch¾n đeu Banach - Steinhaus........................................9
1.2.4. Không gian liên hop......................................................................10

Chương 2. Tôpô yeu trong không gian Banach..................................12
2.1. Tôpô yeu và tôpô yeu*................................................................12
2.2. Cau trúc cnc biên.........................................................................31
Ket lu¾n................................................................................................45
Tài li¾u tham kháo...............................................................................46


LèI Me ĐAU
1. Lí do chon đe tài
Giái tích hàm là m®t ngành toán hoc đưoc xây dnng vào khoáng núa
đau the kí XX nhưng hi¾n nay hau như đưoc xem như là m®t ngành
toán hoc co đien. N®i dung cúa nó là sn hop nhat cúa nhung lí thuyet
tong quát xuat phát tù vi¾c mó r®ng m®t so khái ni¾m và ket quá cúa
Giái tích, Đai so, Phương trình vi phân. . .
Trong quá trình phát trien tù đó đen nay, Giái tích hàm đã tích lũy
đưoc m®t n®i dung het súc phong phú. Nhung phương pháp và ket quá
rat mau mnc cúa giái tích hàm đã xâm nh¾p vào tat cá các ngành toán
hoc có liên quan và có sú dnng đen nhung công cn cúa Giái tích. Ngoài

ra, nó còn có nhung úng dnng trong v¾t lí lí thuyet và trong m®t so lĩnh
vnc khoa hoc khác.
Sn xâm nh¾p ay m®t m¾t mó ra nhung chân tròi r®ng lón cho các
ngành toán hoc nói trên, m¾t khác nó còn đòi hói ngành Giái tích hàm
phái đúc ket nhung ket quá cúa nhung ngành toán hoc riêng re đe trong
chùng mnc nào đó đe ra nhung mau toán hoc tong quát và trìu tưong.
Vói mong muon đưoc nghiên cúu và tìm hieu sâu hơn ve b® môn
giái tích hàm em đã chon đe tài: “Tôpô yeu trong không gian Banach”.
Nghiên cúu đe tài này chúng ta có cơ h®i tìm hieu sâu hơn ve tôpô, m®t
n®i dung khá quen thu®c và bao hàm nhieu tính chat đ¾c trưng và
tong quát cúa giái tích hàm.
2. Mnc đích nghiên cNu
Nghiên cúu lí thuyet ve tô pô yeu trong không gian Banach đe thay
đưoc
1


các tính chat cúa nó.
3. Đoi tưeng và nhi¾m vn nghiên cNu
Các kien thúc liên quan đen tô pô yeu và tô pô yeu*.
4.Phương pháp nghiên cNu
Sú dnng ket hop các phương pháp nghiên cúu: nghiên cúu lí lu¾n,
nghiên cúu tài li¾u tham kháo, phân tích, tong hop, so sánh,. . .
5. Pham vi nghiên cNu
Nghiên cúu các kien thúc liên quan đen tô pô yeu trong không gian
Banach.
6. Cau trúc khóa lu¾n
Ngoài mnc lnc, phan mó đau, ket lu¾n và tài li¾u tham kháo, khóa
lu¾n gom hai chương:
Chương 1: Kien thúc chuan b%.

Chương 2: Tôpô yeu trong không gian banach.


Chương 1

Kien thNc chuan b%
1.1. Không gian tôpô
1.1.1. Kien thNc mé đau ve không gian tôpô
Đ%nh nghĩa 1.1. Cho X là m®t t¾p bat kỳ. Ta nói m®t ho τ nhung t¾p
con cúa X là m®t tôpô (hay xác đ%nh m®t cau trúc tôpô) trên X neu:
(i) Hai t¾p φ và X đeu thu®c ho τ.
(ii) τ kín đoi vói phép giao huu han, túc là: giao cúa m®t so huu han t¾p
thu®c ho τ thì cũng thu®c ho đó.
(iii) τ kín đoi vói phép hop bat kỳ, túc là: hop cúa m®t so bat kỳ (huu
han hay vô han) t¾p thu®c ho τ thì cũng thu®c ho đó.
M®t t¾p X , cùng vói m®t tôpô τ trên X , goi là không gian tôpô (X,
τ)(hay đơn gián không gian tôpô X ).


Đ%nh nghĩa 1.2. Cho X là m®t không gian tôpô và x ∈ X. T¾p con V cúa
X
đưoc goi là m®t lân c¾n cúa điem x neu ton tai t¾p mó G sao cho x ∈ G
⊂ V.
Neu lân c¾n V cúa x là t¾p mó thì V đưoc goi là lân c¾n cúa x.
Moi lân c¾n cúa X đeu chúa m®t lân c¾n mó.
Đ%nh nghĩa 1.3. Cho không gian tôpô X t¾p con A và điem x ∈ X.
• Điem x goi là điem trong cúa A neu có m®t lân c¾n V sao cho V ⊂
A.
• Điem x goi là điem ngoài cúa A neu có m®t lân c¾n V sao cho
V ∩A = ∅.

• Điem x goi là điem biên cúa A neu moi lân c¾n V cúa x đeu có
V ∩A ƒ= ∅ và V ∩ (X\A) ƒ= ∅.
T¾p tat cá các điem biên cúa A goi là biên cúa A. Kí hi¾u: ∂ A.
• Ta goi phan trong cúa A là hop tat cá các t¾p mó chúa trong A. Kí
hi¾u: Ao.
Tù đ%nh nghĩa ta có: Ao là t¾p mó lón nhat chúa trong A. A ⊂ B thì
Ao ⊂ Bo và A khi và chí khi A = Ao.
• Ta goi bao đóng cúa A là giao cúa tat cá các t¾p đóng chúa A. Kí
hi¾u: A.
Tù đ%nh nghĩa ta có: A là t¾p đóng nhó nhat chúa A. A ⊂ B thì A ⊂
B
và A là đóng khi và chí khi A = A.
Đ%nh nghĩa 1.4. M®t t¾p con M cúa không gian tôpô X đưoc goi là trù
m¾t trong X neu M = X.


Đ%nh nghĩa 1.5. Không gian tôpô X goi là tách đưoc neu ton tai t¾p hop
M ⊂ X đem đưoc và trù m¾t trong X.
Đ%nh nghĩa 1.6. Cho X là không gian tôpô thóa mãn vói moi c¾p các
điem khác nhau x1, x2 ∈ X đeu có hai lân c¾n V1,V2 cúa x1, x2 sao cho V1
∩V2 = ∅. Khi đó, X đưoc goi là không gian tách (hay không gian
Hausdorff), và tôpô cúa nó cũng goi là tôpô tách (hay tôpô Hausdorff).

1.1.2. Không gian compact
Đ%nh nghĩa 1.7. (T¾p compact)
Cho X là m®t không gian tôpô. T¾p con A ⊆ X goi là compact( trong
X) neu vói moi phú mó cúa A đeu có m®t phú con huu han. Đieu này có
nghĩa là neu Di là các t¾p con mó cúa X vói moi i ∈ I và A ⊆
m®t t¾p hop
huu han I0 ⊆ I sao cho

S
i∈I0

S

Di có

i∈I

Di ⊇ A.

Chú ý: Ãnh cúa m®t t¾p compact qua ánh xa liên tnc là m®t t¾p compact.
Đ%nh nghĩa 1.8. (Không gian compact)
Không gian X đưoc goi là không gian compact neu X là m®t t¾p
compact trong X. Túc là neu Di là mó trong X vói moi i ∈ I và
thì có m®t
t¾p huu han I0 ⊆ I sao cho

S

i∈I0

S

Di = X

i∈I

Di = X.

Đ%nh lý 1.1. (Tychonoff)
Tích Descartes ∏ Xi cúa m®t ho các không gian tôpô không rong {Xi, i ∈
I}
i∈I

là không gian compact khi và chí khi Xi là không gian compact vói moi
i∈I.


1.2. Không gian đ%nh chuan
1.2.1. Kien thNc mé đau ve không gian đ%nh chuan
Đ%nh nghĩa 1.9. Cho X là không gian vectơ trên trưòng K ( K = R ho¾c
K = C ). Ánh xa "·" : X → R đưoc goi là chuan trên X neu:
(i) "x" ≥ 0 vói moi x ∈ X;
(ii) "x" = 0 khi và chí khi x = 0;
(iii) "λ x" = |λ | "x" vói moi x ∈ Xvà λ ∈ K;
(iv) "x + y" ≤ "x" + "y"vói moi x, y ∈ X( bat đang thúc tam giác).
Không gian vectơ vói chuan (X, ".") đưoc goi là không gian tuyen
tính đ%nh chuan (ho¾c đơn gián là không gian đ%nh chuan).
Ví dn: Không gian C[0,1] bieu th% không gian vectơ cúa tat cá các hàm
vô hưóng có giá tr% liên tnc trên [0, 1], cho bói chuan
" f "∞ = sup {| f (t)| ; t ∈ [0, 1]} = max {| f (t)| ; t ∈ [0, 1]}
Chúng ta de dàng kiem tra đưoc C [0, 1] là không gian đ%nh chuan.
Đ%nh nghĩa 1.10. Không gian đ%nh chuan X goi là không gian Banach,
neu moi dãy cơ bán trong X đeu h®i tn.
M¾nh đe 1.1. Cho X là không gian đ%nh chuan. Ta đ¾t
d(x, y) = "x − y", ∀x, y ∈ X (∗)
Khi đó d là m®t metric trên X
Nh¾n xét: Nhò M¾nh đe 1.1, moi không gian đ%nh chuan đeu có the

tró


thành không gian metric vói metric (*). Do đó moi khái ni¾m, m¾nh đe
đã đúng trong không gian metric đeu đúng trong không gian đ%nh chuan.
Nguyên lý pham trù Baire đã đưoc phát bieu trong không gian
metric, sau đây ta se phát bieu lai trong không gian đ%nh chuan.
Đ%nh nghĩa 1.11. Cho không gian đ%nh chuan X. T¾p E ⊂ X goi là
không đâu trù m¾t trong không gian X, neu hình cau bat kỳ B ⊂ X đeu
chúa m®t hình cau B1 sao cho B1 ∩E = ∅.
Đ%nh nghĩa 1.12. Cho không gian đ%nh chuan X . T¾p F ⊂ X goi là
t¾p pham trù thú nhat, neu t¾p F là hop đem đưoc nhung t¾p không
đâu trù m¾t trong không gian X . T¾p con cúa X không là t¾p pham trù
thú nhat thì goi là t¾p pham trù thú hai.
M¾nh đe 1.2. Moi không gian Banach là t¾p pham trù thú hai.
Đ%nh nghĩa 1.13. T¾p Y ƒ= ∅ goi là không gian đ%nh chuan con cúa
không gian đ%nh chuan X, neu Y là không gian tuyen tính con cúa không
gian Xvà chuan xác đ%nh trên Y là chuan xác đ%nh trên X. Neu Y đong
thòi là t¾p đóng trong không gian X, thì Y goi là không gian đ%nh chuan
con đóng cúa không gian X.
M¾nh đe 1.3. (Riesz)
Cho X là không gian đ%nh chuan. Neu Y là m®t không gian con đóng
thnc sn cúa X, thì vói moi ε > 0 ton tai x ∈ SX sao cho
dist(x,Y ) = inf {"x − y" : y ∈ Y} ≥ 1 −ε
.


Đ%nh nghĩa 1.14. Cho X = (X, ".") là m®t không gian Banach, M ⊂ X .
Khi đó:
• BX = {x ∈ X : "x" ≤ 1 kí hi¾u hình cau đơn v% đóng cúa X.

• SX = {x ∈ X : "x" = 1} kí hi¾u hình cau đơn v% cúa X.
• Bao tuyen tính ( ho¾c khoáng) cúa M đưoc kí hi¾u bói span
(M); nghĩa là giao cúa tat cá các không gian con tuyen tính cúa X
chúa M. Tương đương, khoáng (M) là không gian con nhó nhat (
theo nghĩa bao hàm) cúa X chúa M. Tương tn, span (M) là viet
tat cho bao loi đóng tuyen tính cúa M.
• Bao loi cúa Mđưoc kí hi¾u bói conv (M); nghĩa là giao cúa tat cá
các t¾p loi chúa M và conv (M) là kí hi¾u bao loi đóng cúa M.
Đ%nh nghĩa 1.15. Cho X là không gian Banach. T¾p A ⊂ X đưoc goi là
loi neu:
∀x, y ∈ A, ∀λ ∈ R : 0 ≤ λ ≤ 1 ⇒ λx + (1 −λ )y ∈ A
Đ%nh nghĩa 1.16. Cho X là không gian Banach, t¾p A ⊂ X. Đoan noi x, y
đưoc đ%nh nghĩa như sau:
[x,y] = {z ∈ A : z = λx + (1 −λ )y, 0 ≤ λ ≤ 1}

1.2.2. Toán tN tuyen tính b% ch¾n
Đ%nh nghĩa 1.17. Cho hai không gian tuyen tính X và Y trên trưòng
P(P = R ho¾c P = C). Ánh xa A tù không gian X vào không gian Y
goi là tuyen tính, neu ánh xa A thóa mãn các đieu ki¾n:


(i) (∀x, xr ∈ X ) A(x + xr) = Ax + Ax;
(ii) (∀x ∈ X ) (∀α ∈ P) Aαx = αAx.
Ta thưòng goi ánh xa tuyen tính là toán tú tuyen tính và khi Y = P
thì toán tú tuyen tính goi là phiem hàm tuyen tính.
Đ%nh nghĩa 1.18. Cho hai không gian đ%nh chuan X và Y . Toán tú tuyen
tính A tù không gian X vào không gian Y goi là b% ch¾n, neu ton tai hang
so C > 0 sao cho:
"Ax" ≤ C "x", ∀x ∈ X
Ta kí hi¾u B(X,Y ) là t¾p hop tat cá các toán tú tuyen tính b% ch¾n

tù không gian đ%nh chuan X vào không gian đ%nh chuan Y . Neu X = Y
,đ¾t B(X ) = B(X, X ).
Đ%nh lý 1.2. Cho A là toán tú tuyen tính tù không gian đ%nh chuan X
vào không gian đ%nh chuan Y . Khi đó, ba m¾nh đe sau tương đương:
(i) A liên tnc;
(ii) A liên tnc tai điem x0 nào đó thu®c X;
(iii) A b% ch¾n.
Đ%nh lý 1.3. Cho hai không gian đ%nh chuan X và Y . Neu Y là không
gian Banach, thì B(X,Y ) là không gian Banach.

1.2.3. Nguyên lí b% ch¾n đeu Banach - Steinhaus
Đ%nh nghĩa 1.19. Cho ho (At )t∈T gom các toán tú tuyen tính At tù không
gian đ%nh chuan X vào không gian đ%nh chuan Y , trong đó T là t¾p chí
so có lnc lưong nào đay. Ho (At )t∈T goi là b% ch¾n tùng điem, neu vói
moi x ∈ X


t¾p (At x)t∈T b% ch¾n. Ho (At )t∈T goi là b% ch¾n đeu, neu t¾p ("At ")t∈T
b%
ch¾n.
Đ%nh lý 1.4. (Nguyên lí b% ch¾n đeu Banach- Steinhaus)
Neu ho (At )t∈T các toán tú tuyen tính liên tnc tù không gian Banach
X
vào không gian đ%nh chuan Y b% ch¾n tùng điem, thì ho đó b% ch¾n đeu.

1.2.4. Không gian liên hep
Đ%nh nghĩa 1.20. Cho không gian đ%nh chuan X trên trưòng K (K = R
ho¾c K = C). Ta goi không gian I(X, K) các phiem hàm tuyen tính liên
tnc trên không gian X là không gian liên hop (hay không gian đoi ngau)
cúa không gian X và kí hi¾u là X ∗ .

Như v¾y, không gian liên hop X ∗ cúa không gian đ%nh chuan X là
không gian Banach.
Không gian liên hop cúa không gian X ∗ goi là không gian liên hop thú
hai cúa không gian đ%nh chuan X , kí hi¾u là X ∗∗ , các không gian liên
hop thú ba X∗∗∗ không gian liên hop thú tư X ∗∗∗∗ ,. . . cúa không gian
đ%nh chuan X đưoc đ%nh nghĩa tương tn.
Đ%nh lý 1.5. ( Hahn, Banach)
Cho C là m®t t¾p loi đóng trong không gian Banach X. Neu x0 ∈/ C
thì ton tai f ∈ X ∗ sao cho Re( f (x0)) > sup {Re( f (x)) : x ∈ C}.
H¾ quá 1.1. Cho X là m®t không gian Banach thnc .
(i) Cho C là m®t t¾p loi mó trong X. Neu x0 ∈/ C thì ton tai f ∈ X ∗ và λ
∈R


sao cho f (x0) = λ và f (x) < λ vói moi x
∈ C.


(ii)

Cho A, B là các t¾p loi ròi nhau trong X. Neu A là mó, thì ton tai f ∈
X∗
và λ ∈ R sao cho f (a) < λ vói moi a ∈ A và f (b) ≥ λ vói moi b

∈ B.
Đ%nh lý 1.6. Cho X là không gian tuyen tính đ%nh chuan. Ta nói rang X là
tách đưoc neu ton tai m®t dãy {x}i

∞

trong X mà trù m¾t trong X.

M¾nh đe 1.4. Cho X là m®t không gian Banach. Neu X ∗ là tách đưoc, thì
X là tách đưoc.
M¾nh đe 1.5. Ta có:
(i) Neu p ∈ [0, ∞], thì không gian lp là tách đưoc.
(ii) Các không gian C và C0 là tách đưoc.
(iii) Không gian l∞ là không tách đưoc.
M¾nh đe 1.6. Không gian C∗ [ 0,1] là không tách đưoc.


Chương 2

Tôpô yeu trong không gian
Banach
Cho trưóc không gian đ%nh chuan (X, "·"), ta kí hi¾u không gian
X∗∗ là
∗
(X∗) vói chuan "F" = sup |F( f )|. Chúng ta thưòng đ%nh nghĩa cao
f ∈BX ∗

hơn
∗
bang phương pháp quy nap X ∗∗∗ = (X∗∗ ) , . . .

2.1. Tôpô yeu và tôpô yeu*
Đ%nh nghĩa 2.1. Cho X là không gian đ%nh chuan. Phép nhúng chính tac π
tù X vào X∗∗ đưoc đ%nh nghĩa vói x ∈ X theo công thúc
π(x) : f ›→ f (x)
.

Chú ý rang π là toán tú tuyen tính. Th¾t v¾y,
π (αx + βy)( f ) = f (αx + β y) = α f (x) + β f (y) = [απ(x) +
β π(y)] ( f )
Hơn nua, vói x ∈ X ta có "π(x)" = lim
| f (x)| ≤ " f " · "x" ≤ "x".
f∈BX ∗
lim
f∈BX ∗

Xét f0 ∈ SX∗ sao cho f0(x) = "x", ta có "π(x)" ≥ | f0(x)| = "x".
V¾y "π(x)" = "x".
Cách dùng kí hi¾u tn nhiên này, vói x ∈ X ta thưòng viet x ∈ X∗∗
thay vì viet π(x) ∈ X ∗∗ , và ta đong nhat X vói π(X ) ∈ X ∗∗ . Đ¾c
bi¾t, x( f ) = x( f ) vói x ∈ X và f ∈ X ∗ .
Tính chat 2.1. Vói moi không gian đ%nh chuan X, đeu ton tai không gian
đú X˜ cúa nó, túc là, m®t không gian Banach X˜ sao cho X là t¾p con
trù m¾t cúa X˜.
Chúng minh. Chúng ta có the sú dnng X˜ =
π(x)

X∗∗

.

Cho trưóc các không gian đ%nh chuan X,Y và T ∈ B(X,Y ), ta đ%nh
nghĩa
∗

tương tn T ∗∗ = (T ∗ ) . Chú ý rang vói x ∈ X ta có T ∗∗ (π(x)) = π(T
(x)); đ¾c

bi¾t T ∗∗ (π(X )) ⊂ π(Y ). Ta có T ∗∗ (X ) ⊂ Y và T ∗∗ |X =

T.
Đ%nh nghĩa 2.2. Cho X là m®t không gian đ%nh chuan.
Tôpô yeu (w-) trên X là tôpô sinh bói m®t cơ só gom các t¾p
O = {x ∈ X : | fi(x − x0 )| < ε, i = 1, 2, ..., n}
Vói moi x0 ∈ X, f1, ..., fn và ε > 0.
Tương tn, tôpô yeu* (w∗-) trên không gian liên hop X ∗ cúa không
gian


X đưoc sinh bói m®t cơ só gom các t¾p
O∗ = { f ∈ X ∗ : |( f − f0)(xi)| < ε, i = 1, 2, ..., n}


Vói moi f0 ∈ X ∗ , x1, ..., xn ∈ X và ε > 0.
Trong trưòng hop phúc, ta có the đ%nh nghĩa tương đương tôpô yeu
trên X chí dùng các hàm tù XR. Tôpô yeu* trên không gian X ∗ cũng có the
đưoc đ%nh nghĩa tương đương dùng |Re( f − f0)(xi)| trong sn mô tá
cơ só cúa chúng.
Cho X là m®t không gian Banach thnc. Kí hi¾u núa không gian cúa X
là t¾p mó yeu có dang {x ∈ X : f (x) < α} vói f ∈ X ∗ \{0} và α ∈ R
nào đó. Giao huu han cúa các núa không gian tao thành m®t cơ só cúa
tôpô yeu.
Chú ý rang tôpô yeu* và tôpô yeu là Hausdorff. Th¾t v¾y, cho
trưóc f ƒ= g trong không gian X ∗ ton tai x ∈ X và m®t vô hưóng α
sao cho f (x) > α > g(x). Các t¾p mó yeu* {h ∈ X ∗ : h(x) >

α} và
{h(x) ∈ X ∗ : h(x) < α} tách f và g. Chúng minh tương tn cho trưòng
hop
tôpô yeu, trong đó có sú dnng đ%nh lí Hahn-Banach. Cũng chú ý rang
neu t¾p A ⊂ X là mó yeu (tương úng A ⊂ X ∗ là mó yeu*) thì t¾p x + A
là t¾p mó yeu (tương úng mó yeu*) vói moi x ∈ X (tương úng x ∈ X ∗ ).
Hien nhiên moi t¾p mó yeu thì cũng mó theo chuan, vì v¾y tôpô
chuan thì manh hơn tôpô yeu. Vì các t¾p hop xác đ%nh tôpô yeu* trên
X* là trong so các t¾p xác đ%nh tôpô yeu trên X*, nên tôpô yeu manh
hơn tôpô yeu* trên X*. Hơn nua, A ⊂ X là compact yeu khi và chí khi
π(A) là compact yeu* trong X**.
w

w

Ta se kí hi¾u M và M ∗ là bao đóng trong các tôpô yeu tương úng.
Ta cũng se kí hi¾u convσ (M) là bao loi đóng σ cúa M.
Các tính chat cúa không gian tôpô tong quát không the lúc nào cũng
đưoc dien tá qua các dãy. Ta se dien tá ó đây nhung đ%nh nghĩa can phái
có và m®t vài van đe đơn gián ve lưói.


Đ%nh nghĩa 2.3. Kí hi¾u t¾p chí so I là m®t t¾p sap thú tn b® ph¾n
bat kì, nghĩa là, t¾p I vói m®t quan h¾ hai ngôi ≤ trên I thóa mãn vói
moi α, β, γ ∈ I:
(1) α ≤ α;
(2) Neu α ≤ β và β ≤ γ thì α ≤ γ;
(3) Neu α ≤ β và β ≤ α thì α = β.
Chú ý rang ta không giá sú hai phan tú tùy ý cúa I là có quan h¾.
Đ%nh nghĩa 2.4. M®t lưói trong t¾p X khác rong là m®t ánh xa N tù t¾p

chí so I vào X. Thay vì viet N(α), ta thưòng viet xα và kí hi¾u lưói là {xα
}α∈I. Cho {xα }α∈I là m®t lưói. Cho J là m®t t¾p chí so và S : J → I là
m®t ánh xa vói tính chat sau: cho trưóc α0 ∈ I, ton tai β0 ∈ J sao cho α0
≤ S(β ) vói

.

.

moi β0 ≤ β. Khi đó lưói xS(β )β∈ đưoc goi là lưói con cúa lưói {xα }α∈I.
J

Giá sú rang X là m®t không gian tôpô. Ta se mô tá sn h®i tn cúa các
lưói vùa đ%nh nghĩa trong X .
Đ%nh nghĩa 2.5. Ta nói rang m®t lưói {xα }α∈I trong không gian tôpô X
h®i tn đen điem x ∈ X neu moi lân c¾n U (x) cúa x đeu ton tai α0 ∈ I
sao cho xα ∈ U (x) vói moi α0 ≤ α. Khi đó ta nói rang x là giói han cúa
{xα }α∈I và viet xi → x.
Ta nói rang x ∈ X là m®t điem tn cúa lưói {xα }α∈I neu vói moi lân
c¾n
U (x) cúa x và α0 ∈ I đeu ton tai α ∈ I sao cho α0 ≤ α và xα ∈ U (x).
Chú ý rang neu xα → x, thì moi lưói con cúa {xα } cũng h®i tn đen
x.
M®t lưói h®i tn đen x khi và chí khi moi lưói con có x là m®t điem tn.


Tôpô cúa m®t không gian tôpô X có the đưoc chí rõ bang vi¾c mô tá
sn h®i tn cúa các lưói. Do đó, tat cá các khái ni¾m thu®c tôpô có the đưoc
đ%nh

nghĩa bói thu¾t ngu lưói. Ví dn, cho trưóc m®t t¾p con A cúa không
gian tôpô X , bao đóng A cúa nó là bang vói t¾p tat cá các giói han cúa
các lưói trong A. Như v¾y, t¾p A là đóng khi và chí khi nó bao gom tat
cá các giói han cúa các lưói h®i tn vói các phan tú trong A.
Ta đưa vào m®t vài kí hi¾u thích hop cho sn h®i tn. xn → x (ho¾c
lim(xn) = x) nghĩa là sn h®i tn trong chuan trù khi bieu dien bang kí
hi¾u
khác. Ta cũng viet xn → x ( đôi khi w − lim(xn) = x) đe nói rang {xn}
w

−
h®i
tn đen x trong tôpô yeu cúa X ; vói các phiem hàm ta dùng fnw∗ f (đôi khi
−→
w∗ − lim( fn) = f ) đe nói rang fn h®i tn đen f trong tôpô yeu* cúa X ∗ .
Quy
ưóc tương tn áp dnng cho sn h®i tn cúa các lưói.
w

Chú ý rang xn → x kéo theo xn→− x. Tương tn, trong không gian
liên hop X ∗ tan có
→ f f kéo theon f
−→
đơn gián như sau:

w

∗

f . Sn h®i tn yeu cúa các dãy là

M¾nh đe 2.1. Cho X là m®t không gian đ%nh chuan.
w

(i) Cho f , f , f , ...,∈ X ∗ . Khi đó f −→
∗ f khi và chí khi lim ( f (x)) = f
1 2
n
n
(x)
n→∞

vói moi x ∈ X.
(ii) Cho x, x1 , x2 , ..., ∈ X. Khi đó xn→−
f (x)
∗

w

x khi và chí khi lim ( f (xn )) =
∞

n

→

vói moi f ∈ X .
Trong trưòng hop mô tá ó (i), ta nói rang fn h®i tn theo tùng điem
đen f trên X . Hơn nua nói chung, cho các ánh xa F, Fn : X → Y và m®t

t¾p con G ⊂ X , ta nói rang Fn → F theo tùng điem trên G neu Fn (x) →
F(x) (h®i tn trong Y ) vói moi x ∈ G.
Chúng minh. (i): Giá sú rang fn → f theo tùng điem trên X Neu O là m®t