Tra loi ban nho thay co giai giup bai tim GTNN logarit

Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn log 3
thức T =

2x  y 1
 x  2 y . Tính GTNN của biểu
x y

1 2

.
x
y

Giải

2x  y 1
 x  2 y   log 3 (2 x  y  1)  log 3 ( x  y ) x  2 y
x y
 log 3 (2 x  y  1)  2 x  y  1 log 3 ( x  y )  3 x  3 y  1
 log3 (2 x  y  1)  2 x  y  1 log3 (3x  3 y )  (3x  3 y )
(1)
* Xét hàm số f (t ) log 3 t  t , t  1 (vì x, y > 0 nên 2x + y + 1 > 1 => t > 1)
1
f ' (t ) 
 1  0 , suy ra f(t) đồng biến trên (1;)
t ln 3
Nên (1)  2 x  y  1 3x  3 y  x 1  2 y
(2)

1


2
y

0

0

y

1
/
2
* Từ (2)
1 2
1
2


* Lúc này ta có: T = 
1 2y
x
y
y
1
1
2
 g (t )
Đặt t = t  y , 0  t 
, ta được T 
2

2
t
1  2t
 1 
1
2

 , t   0;
* Xét hàm g (t ) 
2
1  2t
t
2

4t
2
 2
Ta có: g ' (t )  2
2
(2t  1)
t
 1
g ' (t ) 0  4t 4  2t 3  4t 2  1 0   t   4t 3  4t  2 0
 2
t 1 / 2
 3
(3)
 4t  4t  2 0
 1 
  4t 3  4t  2  0 => (3) vô nghiệm.

* Vì t   0;
2

* Lập BBT => min g (t ) g (1 / 2) 6 khi t = 1/2.
Vậy min T 6 khi x = 1/2 và y = 1/4.
* Ta có: log 3



