Phương pháp hình học tổng hợp và phương pháp đại số với các đường conic trong chương trình toán ở TH

Khoa Toán

Luận văn tốt nghiệp đại học

LỜI CẢM ƠN
Để thực hiện hoàn thành khóa luận “Phương pháp hình học tổng hợp và
phương pháp đại số với các đường conic trong chương trình Toán ở trung học
phổ thông ” em đã nhận được sự giúp đỡ nhiệt tình của các thầy, cô và bạn bè
trong lớp.
Truớc hết, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo hướng
dẫn: Thạc sĩ Phan Hồng Trường, người đã giúp em xác định đề tài nghiên
cứu, tận tình hướng dẫn, giúp đỡ em trong suốt quá trình thực hiện khóa luận
này!
Em cũng xin bày tỏ lòng cảm ơn đến các thầy, cô đã giảng dạy em trong
suốt bốn năm hoc. Em xin cảm ơn các thầy cô giáo trong tổ Hình học đã đóng
góp nhiều ý kiến quý báu cho khóa luận của em!
Cuối cùng, em xin gửi đến gia đình, bạn bè, những người thân đã dành
cho em những tình cảm tốt đẹp, đã giúp đỡ, động viên em trong suốt khóa học
lòng biết ơn chân thành nhất!
Mặc dù đã cố gắng hoàn thành luận văn với tất cả những nỗ lực của bản
thân, nhưng luận văn chắc chắn không thể tránh khỏi những hạn chế, những
thiếu sót. Kính mong nhận được những ý kiến đóng góp của quý Thầy, Cô giáo,
các bạn sinh viên và những ai quan tâm đến nội dung đề cập trong luận văn này.
Xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày 20/05/2007
Người thực hiện

Phạm Văn Gia

Trang 1

Khoa Toán

Luận văn tốt nghiệp đại học

Phạm Văn Gia

Phạm Văn Gia

Trang 2


Mục lục
Phần mở đầu
1. Lời cảm ơn........................................................................................01
2. Mục lục..............................................................................................02
3. Lời nói đầu........................................................................................04
Phần nội dung
Chương 1: một số kiến thức chuẩn bị

1 .Phương pháp đại số..........................................................................06
1.1.Đường Elip.................................................................06
1.2.Đường Hypebol.......................................................... 07
1.3.Đường Parabol...........................................................09
2 .Phương pháp hình học tổng hợp..................................................... 10
2.1.Đường Elip.................................................................10
2.2.Đường Hypebol.......................................................... 12
2.3.Đường Parabol...........................................................13
Chương 2
phương pháp đại số và phương pháp hình học tổng hợp

với một số bài toán về các đường conic

1.Phương pháp đại số...........................................................................15
1.1. Tiếp tuyến của 3 đường conic....................................15
1.2. Các bài toán thiết lập các đường conic.....................20
1.3. Một số bài toán giải tích khác...................................23
2.Phương pháp hình học tổng hợp......................................................25
2.1. Tiếp tuyến của 3 đường conic....................................26
2.2. Đường thẳng tiếp xúc với 1 conic cố định.................33


PHụ LụC : tổ chức ngoại khóa cho học sinh
về xây dựng định nghĩa các đường cônic

1 .Mục đích............................................................................................ 40
2 .Nội dung............................................................................................ 40
3 .Chuẩn bị............................................................................................ 40
4 .Các bước tiến hành........................................................................... 41
5 .Tổng kết.............................................................................................43
Phần kết luận
1.Kết luận...............................................................................................44
2.Tài liệu tham khảo..............................................................................46


Lời nói đầu
Hình học là một phần rất quan trọng của toán học. Trong hình
học, phương pháp đại số được nghiên cứu và sử dụng rộng rãi,nó tỏ ra
đặc biệt có hiệu quả khi đã đại số hóa hình học, đem các yếu tố của
hình học chuyển sang đại số. Đây cũng là một xu thế phát triển giáo
dục trên toàn thế giới.

Trong chương trình toán trung học phổ thông, việc đưa một số yếu
tố hình học giải tích vào trong chương trình THPT là một trong những
điều phù hợp với quan điểm sử dụng rộng rãi phương pháp đại số để
nghiên cứu hình học. Nó đã tạo cơ hội tốt để học sinh có thêm công cụ
mới để diễn đạt, suy luận, để làm toán, thoát ly được những ảnh hưởng
không có lợi cho trực giác.
ở trung học phổ thông, các đường conic đã được nghiên cứu bởi
phương pháp tọa độ quen thuộc. Tuy nhiên, nếu ta chỉ nghiên cứu các
đường conic dưới góc độ hình học giải tích thì học sinh sẽ gặp nhiều
khiếm khuyết về hình ảnh trực quan của các đường conic vốn là mô
hình thường gặp trong hình học tổng hợp.
Do vậy, để bổ khuyết cho những nhược điểm ở học sinh THPT, thì
mặt ngôn ngữ trừu tượng của phương pháp đại số và hình ảnh trực
quan thường gặp trong hình học tổng hợp cần được đặt ra một cách
đầy đủ hơn. Giải quyết được vấn đề này sẽ có nhiều ý nghĩa trong lí
luận và thực tiễn dạy họcở các trường THPT hiện nay. Với những lí do
ấy, em quyết định chọn đề tài nghiên cứu là: ” Phương pháp hình học


tổng hợp và phương pháp đại số với các đường conic trong chương trình
Toán ở trung học phổ thông”.

Khóa luận này trình bày về việc sử dụng 2 phương pháp :đại số và
hình học tổng hợp để nghiên cứu về định nghĩa và các tính chất của ba
đường conic. Nội dung của khóa luận bao gồm 2 chương và 1 phụ lục:
Chương 1 :Phần một số kiến thức chuẩn bị về conic được
trình bày bằng phương pháp đại số và được bổ sung cho các định
nghĩa, tính chất bằng phương pháp hình học tổng hợp.
Chương 2: Trình bày 1 số bài toán bằng 2 phương pháp đại
số và hình học tổng hợp đối với các đường conic.

Phụ lục :Trình bày dự kiến tổ chức buổi học ngoại khóa về các
đường cônic cho học sinh lớp 10.

Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới thầy Phan
Hồng Trường, người đã giúp em xác định đề tài nghiên cứu, tận tình
hướng dẫn, giúp đỡ , động viên em trong suốt quá trình thực hiện khóa
luận này! Đồng thời em cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo
trong tổ Hình học đã đóng góp nhiều ý kiến quý báu cho khóa luận của
em!

Hà Nội, tháng 5 năm 2007
Sinh viên thực hiện

Phạm Văn Gia


Chương 1

1.Phương pháp đại số

Một số kiến thức chuẩn
bị

1.1.Đường ELIP
1.1.1.Định nghĩa
Cho hai điểm cố định F 1 và F 2 ,với F 1 F 2 =2c (c>0).
Đường elip là tập hợp các điểm M sao cho MF 1 + MF 2 =2a trong đó a là
1số cho trước lớn hơn c.
Hai điểm F 1 và F 2 gọi là các tiêu điểm của elip.
Khoảng cách 2c được gọi là tiêu cự của elip.

y

A’

F1

B

O

M(x;y)

F2

A

x

B’

AA’=2a là trục lớn, BB’=2b là trục nhỏ.Khi đó

a 2 =b 2 +c 2

1.1.2.Phương trình chính tắc của elip
Cho elip(E) như trong định nghĩa trên.Ta chọn hệ trục toạ độ Oxy có gốc là
trung điểm của F 1 F 2 .Trục Oy là đường trung trực của F 1 F 2 và F 1 ,F 2 nằm
trên trục Ox.
Xét điểm M(x;y) trên elip(E) . Khi đó phương trình chính tắc của (E) là:
x 2 y 2 1

a 2 b2

trong đó a 2 =b 2 +c
2


1.1.3.Trục đối xứng ,tâm đối xứng của elip
Elip (E) nhận các đường AA’ và BB’ làm trục đối xứng
Elip (E) nhận O làm tâm đối xứng.
1.1.4.Tiếp tuyến của elip
+ Xét điểm M( x 0 ;y 0 ) thuộc (E). Khi đó phương trình tiếp tuyến của (E)
tại điểm M là :
xo .x
a


2

yo . y
b2

1

+Điều kiện cần và đủ để đường thẳng Ax+By+C=0 tiếp xúc với ( E) là:
A a B b C
2

2

2

2

2

1.1.5.Tâm sai và đường chuẩn của elip
-Số e=

c

<1 được gọi là tâm sai của elip

a

-Các đường thẳng (d):x=

a
e và (d’):x=-

a được gọi là các đường chuẩn của
e

elip tương ứng với các tiêu điểm F 1 và F 2
1.2.Đường HYPEBOL
1.2.1.Định nghĩa
Cho hai điểm cố định F 1 và F 2 ,với F 1 F 2 =2c(c>0). Đường hypebol là
tập hợp các điểm M sao cho MF1 

=2a ,trong đó a là 1số dương cho

MF2

trước nhỏ hơn c.
Hai điểm F 1 và F 2 gọi là các tiêu điểm của elip.
Khoảng cách 2c được gọi là tiêu cự của elip.
Hypebol bao gồm 2 nhánh và 2 nhánh này không có điểm chung.


y
b

A

B

M
-a

F1

a

O

D

F2

x

C

-b

Ox là trục thực ;Oy là trục ảo
1.2.2.Phương trình chính tắc của Hypebol
Cho Hypebol(H) như trong định nghĩa trên. Ta chọn hệ trục toạ độ Oxy có
gốc là trung điểm của F 1 F 2 . Trục Oy là đường trung trực của F 1 F 2 và F 1 ,F 2
nằm trên trục Ox.
Xét điểm M(x;y) trên Hypebol(H). Khi đó phương trình chính tắc của (H)
là:

x2 y2 1
a2

ở đây AB=2a, BC=2b

b2

và

2

2

a b c

2

1.2.3.Trục đối xứng và tâm đối xứng của Hypebol

Các đường thẳng chứa trục thực và trục ảo là các trục đối xứng của (H).
O là tâm đối xứng của (H).
1.2.4.Tiếp tuyến của Hypebol
+ Xét điểm M( x 0 ;y 0 ) thuộc (H). Khi đó phương trinh tiếp tuyến của (H)
tại điểm M là :
xo .x
a2

y .y
 o 1
b2

+Điều kiện cần và đủ để đường thẳng Ax+By+C=0 tiếp xúc với ( E) là:


A a B b C
2

2

2

2

2

1.2.5. Tâm sai và đường chuẩn của Hypebol
-Số e=

c

>1 được gọi là tâm sai của Hypebol

a

-Các đương thẳng (d): x=

a
e và (d’): x=-

a được gọi là các đường chuẩn
e

của elip tương ứng với các tiêu điểm F 1 và F 2
1.2.6. Tiệm cận của Hypebol
Các đường thẳng y=

b
a

b

x và y=- x là 2 đường tiệm cận của Hypebol
a

x2 y21
a2

b2

1.3.Đường PARABOL
1.3.1.Định nghĩa
Cho một điểm F cố định và một đường thẳng cố định không đi
qua F . Tập hợp tất cả các điểm M cách đều F và được gọi là đường
Parabol (hay Parabol)
Điểm F gọi là tiêu điểm của Parabol.
Đường thẳng gọi là đường chuẩn của parabol
Khoảng cách từ F đến được gọi là tham số tiêu của parabol.


y

M

P

O

F

x



1.3.2.Phương trình chính tắc của parabol
p

Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho parabol (P) có tiêu điểm F( ;0) và
p

2

đường chuẩn  có phương trình: x=- . Khi đó phương trình chính tắc của
2

(P) là: y =2px (p>0).
1.3.3.Tâm sai và đường chuẩn của parabol
2

-Tâm sai của parabol là: e=1
p

-Đường chuẩn của parabol :x=- .
2

1.3.4.Tiếp tuyến của parabol(P)
+ Xét điểm M( x 0 ;y 0 ) thuộc (P). Khi đó phương trinh tiếp tuyến của (P)
tại điểm M là : y0 .y=p(x 0 +x)
+Điều kiện cần và đủ để đường thẳng Ax+By+C=0 tiếp xúc với ( P) là:
2

pB 2AC

2.Phương pháp Hình học tổng hợp.
Từ những định nghĩa được nêu ra theo phương pháp giải tích, ta có thể bổ
sung định nghĩa và tính chất của các đường conic theo phương pháp hình học
tổng hợp như sau:


2.1.Đường Elip

2.1.1Định nghĩa:

I
M

F1

F2

F2

-Elip là tập hợp những tâm M của những đường tròn (M) tiếp xúc với 1
đường tròn cố định
tâm

F1 bán kính 2a, đồng thời (M) đi qua 1 điểm cố định

F2 nằm ở trong đường tròn ( F1 ).

-Giả sử I là tiếp điểm của 2 đường tròn nói trên.Khi đó:
M F1 +M F2 = M F1 +MI
(Vì

F2 (M))

= F2 I=2a
Theo định nghĩa nói trên thì M nằm trên elip có tiêu điểm là F1 và F2
2.1.2Định lí
Cho elip (E) có 2 tiêu
điểm

F1

và

F2 , M là 1 điểm nằm trên (E). Khi đó

tiếp tuyến (d) tại M là đường phân giác ngoài của góc F1MF
.
2
Chứng minh
Xét điểm M( x 0 ;y 0 ) thuộc (E). Khi đó phương trinh tiếp tuyến (d) của


(E) tại điểm M là :
xo .x

yo .y



1 2

a2
b

(1)


+Nếu x 0 =0 thì (d) 

cân tại M.

Ox

  F1 MF2

Khi đó kết luận của bài toán trong trường hợp này hiển nhiên đúng.
y

M

t
d

A’

O

F1

F2

A

E

x

+Nếu x 0 0 :

Giả sử tiếp tuyến (d)  Ox=E.Từ (1), ta
có:

2
xE OE a
x0

a2

a2

Ta có: EF2   xE c  EF1 xF xE c 
x0
,
x
2

1

x0

F

Như vậy EF2
a
EF1

2

c.x0

2

0

a(a ex0 )



a c.x a(a
ex )

0

MF2



MF1

Do đó ME là đường phân giác ngoài của góc F1MF
2 . Đpcm.
2.2.Đường HYPEBOL
2.2.1 Định nghĩa
Hypebol là tập hợp tất cả những tâm M của những đường tròn (M) tiếp
xúc với 1 đường tròn cố định (F 1 )(có tâm F 1 bán kính 2a), đồng thời (M) đi


qua 1 điểm cố
định

F2 nằm ở ngoài (F 1 )


F

1

I

M

F
Ta thấy rằng : MF2 
MF1

2

MF2 (MI IF1 ) IF1 =2a

Theo định nghĩa của phương pháp giải tích: M nằm trên hypebol có 2 tiêu
điểm là F 1 và F 2
Như vậy định nghĩa theo 2 phương pháp là tương đương nhau.
2.2.2Định lí
Cho Hypebol (H) có 2 tiêu điểm F 1 và F 2 . Khi đó tiếp tuyến (d) của (H) tại
1 điểm M nằm trên nó là đường phân giác trong của góc F1MF
2
(Chứng minh tương tự như đối với elip)

2.3.Đường PARABOL

2.3.1.Định nghĩa
Cho đường tròn (F) tiếp xúc với đường thẳng (d). Khi đó Parabol là tập hợp
tất cả các tâm đường tròn tiếp xúc với đường tròn (F) và đường thẳng (d) tại hai
điểm phân biệt.


M

H

K
Q

P

F

O

d’

d

Hai định nghĩa theo 2 phương pháp trên tương đương nhau
Thật vậy:
Gọi O là tiếp điểm của d và (F), Q là tiếp điểm của (M) và (F)
K là tiếp điểm của (M) và d, d’là ảnh của d qua phép vị tự tâm F tỉ
số 2 H=MH d’.
Nhận thấy MF=MQ+QF
=MK+OF=MK+HK

=MH=d(M,d’)
M nằm trên elip có tiêu điểm F.

2.3.2Định lí
Cho parabol(H) có tiêu điểm F và đường chuẩn . Với mỗi điểm M
nằm trên (E), dựng H là hình chiếu của M trên , khi đó tiếp tuyến (d)
tại M là đường
phân giác trong của
góc

HMF

.

Chứng minh


y
M

H
E
O
d

F


Giả sử elip(E) có phương trình chính tắc: y 2 =2px (p>0)
Khi đó với M(x 0 ;y 0 ) ,phương trình tiếp tuyến (d): y 0 .y=p(x 0 +x).

Gọi E= d  Ox. Suy ra E(-x 0 ;0),
p

+ x 0 2x
0
EF =x F -x E =
p2 =
2

MF=

p

+ x (Công thức bán kính qua tiêu của elip).

2

0

Do đó MF= EF MEF cân tại F M EF = EMF
Lại có MH  Ox
nên

M
EF =

EMF = EMH
d là phân giác HMF .

của góc

Đpcm.

EMH

x


Khoa Toán

Luận văn tốt nghiệp đại học

Chương 2
phương pháp đại số và phương pháp hình học tổng hợp với một số bài
toán về các đường conic
1. Phương pháp đại số với một số bài toán về các đường conic
Những lời giải bằng phương pháp đại số thuần túy thể hiện sức mạnh nội
tại của môn Hình học giải tích và phương pháp tư duy kiểu hình học giải tích.
Trong phần này, ta sẽ xét các dạng bài toán mà sử dụng nhiều đến các tính
chất giải tích của 3 đường conic. Cụ thể là sử dụng đến các phương trình chính
tắc, cũng như các dạng giải tích của các tiếp tuyến của chúng, nó mang nặng
“màu sắc” hình học giải tích theo đúng nghĩa của nó. Sau đây là 1 số dạng toán:
1.1.Tiếp tuyến của các đường conic
Nhận xét: Những bài toán được giải bằng phương pháp đại số thể
hiện lối tư duy theo phương pháp hình học giải tích. Nếu chúng được
giải theo phương pháp hình học tổng hợp thì sẽ rất rắc rối trong việc
quan sát hình vẽ và bài toán đưa ra cũng không có nhiều dữ kiện để
phục vụ cho phương pháp hình hình học tổng hợp. Cho nên trong phần
này các bài toán được đưa ra giải bằng phương pháp đại số là một điều
hợp lí.
Bài1 : Cho elip (E):

x

2

y

a 2 b2

2

1 , trục lớn A A ' =2a ,hai tiêu điểm là F và F ' .

Vẽ 2 tiếp tuyến At và A ' t’với (E).  là 1 tiếp tuyến di động của (E), (  At và
A’t’).
Bài giải
Giả sử cắt At và A’t’ tương ứng tại M và M’. 1/CMR:Khi di động thì AM.A’M’=const
Trang 21
Phạm Văn
Gia
2/CMR:Tích
các khoảng
cách tử F và F’ tới cũng là hằng số.


M’

y


M
A’

O

F

F’

A

x

1/ Giả sử tiếp tuyến có phương trình Ax+By+C=0.
(1)

Do At và A’t’ nên
B 0.Ta có

A a B b C
2

2

2

2

2

Dễ thấy tung độ của M và M’ đươc xác định theo công thức:
C
 
y 




Aa

M

Do vậy

(2)

 
và yM ' C




Aa

B

B

AM.A’M’=
=

yM . yM ' =
2

2

C 

a
2
A

B2

(aAC
 )

(aA C )
B2

(3)

Thay (1) vào (3) suy ra AM.A’M’=b 2 =const
đpcm.

2/ Khoảng cách từ F(c;0) và F’(-c;0) tới là:
d(F, )= Ac 
CA

2

B

Phạm Văn Gia

2

; d(F’,  )= Ac
2

2 2

C A c

C
2
2
A B,

Trang 22


Từ đó suy ra d(F, ).d(F’,
)=

2

A 
2
B

Thay (1) vào (4) ta có
2

d(F, ).d(F’,
) =

Phạm Văn Gia

2

2

2

A B

A2a2 B2b2 A2 (a2 b2 )

2

A a B
b 
2 2
Ac
2

(4)

2

=

A 
2
B

=b 2 =const

Trang 23


đpcm.

Nhận xét 1:Trong bài này ta đã sử dụng kiến thức về hình học giải
tích: điều kiện tiếp xúc của 1 đường thẳng với elip và khoảng cách từ 1
điểm tới 1 đường thẳng…Lời giải bằng phương pháp này rất gọn và dễ
hiểu và ta nên sử dụng phương pháp này để giải bài toán trên.
Nhận xét 2: Có những bài toán mà nếu ta sử dụng phương pháp
hình học tổng hợp thì việc quan sát và thu nhận kiến thức từ hình vẽ rất
khó khăn.Tuy nhiên để khắc phục những khiếm khuyết ấy thì trong
những trường hợp này, phương pháp đại số lại phát huy rất tốt vai trò
của mình. Sau đây là 2 ví dụ minh họa:
Bài 2: Cho elip
(E) :

x
1, và hypebol
2  2 (H):
y

x 2  y 2 1 trên cùng

a 2 b2
m2 n 2
một hệ trục tọa độ và a m . CMR: Điều kiện cần và đủ để (E)

và (H) trực giao với nhau là chúng có cùng 2 tiêu điểm.
Bài giải
1/Điều kiện
đủ:
Giả sử (E) và (H) có cùng 2 tiêu điểm F và F’. Vì F và F’ ở trong miền
giới hạn bởi 2 nhánh của (H) và cũng ở trong (E) nên hai đường cong này cắt
nhau tại 4 điểm.Giả sử M là 1 trong số 4 điểm đó (với các giao điểm khác ta
cũng lập luận tương tự).
Gọi là tiếp tuyến với(E) ,thì là phân giác
ngoài của

FMF ' . Gọi ’ là


tiếp tuyến với(H) ,thì ’ là phân giác trong

FMF ' . Do

' .

của định nghĩa,(E) và (H) trực giao với nhau.

vậy

Theo

Điều kiện đủ được chứng minh.
2/Điều kiện cần


Giả sử (E) và (H) trực giao với nhau, Gọi A (x0 ; y0 =(E)  (H).
)
x2
2
y1


2 2
 ab
Khi đó x0 và y 0 là nghiệm của hệ sau: 
2
x22 y 

m
1
n2
2 2
2 2
2
(m b a 0 n )x a 2 m2 (b2 n 2 )
Giải hệ này ta được(m
 2b2 a2n2 ) y2 b2n2 (a2 m2 ) (I)


0
x .x
y .y
Tiếp tuyến của (E) tại A là : o  o 1,

a 2  b 2
x y
vectơ pháp tuyến là: n ( 0 ; 0 )
1

xo .x

Tiếp tuyến của (H) tại A là :

a2 b2

y .y
 o 1,

m2  n2
x
y
vectơ pháp tuyến là: n ( 0 ;  0 ) .
2

hay n1.n2 =0


n1


n2
2

2



x0 0
a2m2

y0



(II)

b2n2

Từ (I) và (II) ta có:

2

2

2

2

2

1

2

1

2

(2 c2 là tiêu cự của

2

m n
2
c

,
c >0, c >0
mà nên

2

( 2c1 là tiêu cự của (E))

a b =
2
c
1

Trong hypebol (H) ta có

Do đó c22 =

2

a b m n

Trong elip (E) ta có

c

n2

 



Vì (E) và (H) trực giao với nhau nên

m2

2

(H))

c = c . Nghĩa là (E) và (H) có cùng hai
1

2

tiêu điểm.
Vậy điều kiện cần được chứng minh.
Bài 3 Cho hypebol (H) có 2 tiêu điểm F và F’ ,tâm là O.Giả sử N là
1 điểm động trên nhánh MF’-MF>0 của (H).Gọi là tiếp tuyến với
(H) tại N. Từ F kẻ FM (MON).
Tìm quỹ tích của M
Bài giải