Tìm hiểu sự liên hệ giữa đồ thị có hướng và ma trận

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
2 KHOA TOÁN

NGÔ THỊ HỒNG DIỄM

TÌM HIỂU SỰ LIÊN HỆ GIỮA
ĐỒ THỊ CÓ HƯỚNG VÀ MA
TRẬN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI
HỌC
Chuyên ngành: Toán ứng dụng

Người hướng dẫn khoa
học
TS. TRẦN MINH TƯỚC

HÀ NỘI - 2013


Lời cảm ơn
Trước tiên em xin gửi lời cám ơn chân thành sâu sắc tới các
thầy cô giáo trong trường Đại học Sư Phạm Hà Nội 2 nói chung và
các thầy cô giáo trong khoa Toán, bộ môn Ứng Dụng nói riêng đã tận
tình giảng dạy, truyền đạt cho em những kiến thức, kinh nghiệm
quý báu trong suốt thời gian qua.
Đặc biệt em xin gửi lời cảm ơn đến thầy giáo TS. Trần Minh
Tước,
thầy đã tận tình giúp đỡ, trực tiếp chỉ bảo, hướng dẫn em trong
suốt quá trình làm khóa luận tốt nghiệp. Trong thời gian làm việc
với thầy, em không ngừng tiếp thu thêm nhiều kiến thức bổ ích mà

còn học tập được tinh thần làm việc, thái độ nghiên cứu khoa học
nghiêm túc, hiệu quả, đây là những điều rất cần thiết cho em trong
quá trình học tập và công tác sau này. Đồng thời, em xin cảm ơn
các bạn trong lớp K35 Cử Nhân Toán đã nhiệt tình giúp đỡ em trong
quá trình học tập tại lớp.
Hà Nội, tháng 05, năm 2013
Sinh viên
Ngô Thị Hồng Diễm


Lời cam đoan
Em xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng em. Các
số liệu, kết quả nêu trong khóa luận là trung thực và các thông tin
được trích dẫn trong khóa luận này đã được ghi rõ nguồn gốc.
Hà Nội, tháng 05, năm 2013
Sinh viên
Ngô Thị Hồng Diễm


Mục lục
Mở đầu.................................................................................................. 1
Chương 1: Nhắc lại về lý thuyết về đồ thị và ma trận

3

1.1 Đồ thị..............................................................................................3
1.1.1 Đồ thị có hướng...............................................................3
1.1.2 Bậc của đỉnh trong đồ thị có hướng.............................4
1.1.3 Sự liên thông.....................................................................5
1.2 Đường đi, chu trình, tính liên thông trong đồ thị có hướng 5

1.2.1 Đường đi, chu trình..........................................................5
1.2.2 Đồ thị có trọng số.........................................................12
1.3 Ma trận........................................................................................13
Chương 2: Liên hệ giữa đồ thị có hướng và ma trận

15

2.1 Biểu diễn đồ thị có hướng bằng ma trận kề . . . . . . . 15
.2.1.1 Tính liên thông trong đồ thị có hướng . . . . . . . 16
2.1.2
Bài toán đường đi ngắn nhất (Thuật toán Floyd) . 18
Chương 3: Một vài lớp đồ thị đặc biệt

31

3.1 Đồ thị Euler.................................................................................31
3.2 Đồ thị vòng có hướng..................................................................40
Tài liệu tham khảo................................................................... 44


Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Trong toán học và tin học, lý thuyết đồ thị nghiên cứu các
tính chất của đồ thị. Một cách phi hình thức, đồ thị gồm một
tập các đối tượng được gọi là các đỉnh (hoặc nút) nối với nhau
bởi các cạnh (hoặc cung). Đồ thị có thể được vẽ dưới dạng một
tập các đỉnh nối với nhau bằng các đoạn thẳng (các cạnh).
Khi sử dụng đồ thị trong các bài toán của tin học có nhiều
cách khác nhau để lưu trữ các đồ thị trong máy tính. Sử dụng
cấu trúc dữ liệu nào thì tùy theo cấu trúc của đồ thị và thuật

toán dùng để thao tác trên đồ thị đó.
Trong đề tài này em đặt vấn đề nghiên cứu về cấu trúc ma
trận của đồ thị có hướng. Cấu trúc ma trận của đồ thị có
hướng chứa thông tin về quan hệ kề (có cung nối hay không)
giữa các đỉnh của đồ thị đó. Ngoài ra nó còn là một công cụ hữu
ích cho việc xem xét các tính chất của đồ thị có hướng với
những thế mạnh của đại số tuyến tính.
Từ những nhận thức trên em xin mạnh dạn nghiên cứu đề
tài “Tìm hiểu sự liên hệ giữa đồ thị có hướng và ma trận” đây
không chỉ là nhiệm vụ em phải thực hiện trong khoá luận tốt
nghiệp mà thực sự đây là đề tài em đang quan tâm và nghiên
cứu.
Các thuật ngữ trong khóa luận được sử dụng trong các cuốn:
Norman Biggs (1974), Algebraic Graph Theory Cambridge Tracts
in Mathematics, VOL. 67. Nguyễn Đức Nghĩa (2003), Nguyễn Tô
Thành,
1

Ngô Thị Hồng Diễm - K35-CN Toán


Mở đầu

Toán rời rạc, NXB Giáo dục. Ngô Đắc Tân (2004), Lý thuyết tổ
hợp và đồ thị, NXB ĐHQG Hà Nội. Nguyễn Hữu Việt Hưng
(2001), Đại số tuyến tính, NXB Quốc Gia Hà Nội.
2. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
-Đối tượng: Đồ thị và ma trận.
-Phạm vi nghiên cứu: Đồ thị có hướng và ma trận kề của nó.
3. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

Tìm hiểu về mối liên hệ giữa đồ thị có hướng và ma trận dựa
trên sự thể hiện một số tính chất của đồ thị trên ma trận kề
tương ứng
4. Phương pháp nghiên cứu
Thu thập, nghiên cứu tài liệu, xin ý kiến chuyên gia.
5. Cấu trúc khóa luận
Ngoài phần mở đầu và kết luận khóa luận gồm 3
chương: Chương 1: Nhắc lại về lý thuyết về đồ thị và
ma trận Chương 2: Liên hệ giữa đồ thị có hướng và ma
trận Chương 3: Một vài lớp đồ thị đặc biệt


Chương 1

Nhắc lại về lý thuyết về đồ thị
và ma trận
1.1

Đồ thị

1.1.1 Đồ thị có hướng

Một đồ thị có hướng G là một cặp có thứ tự G = (V, E), ở đây V
là một tập hữu hạn, còn E là một tập nào đó có các cặp sắp thứ tự
(u, v) với u, v ∈ V và u ƒ= v, tức là E là một quan hệ hai ngôi
không phản xạ trên V .
Các phần tử của V = {v1, v2, ..., vn} được gọi là các đỉnh, còn các
phần tử của E = {(u, v)|u, v ∈ V, u ƒ= v} được gọi là các cung
của đồ thị có hướng G. Nếu e = (u, v) ∈ E thì ta nói e có đỉnh đầu
là u, đỉnh cuối là v và có hướng từ u tới v. Khi không gây ra sự

nhầm lẫn ta còn có thể
kí hiệu cung e = uv (hoặc e = −u→v).
Ví dụ 1.1.1. Cho đồ thị có hướng G = (V, E), với V = {a, b, c},
E =
{(a, b), (b, c), (c, a)}. Đồ thị có hướng G được biểu diễn trên hình
vẽ như
sau:


CHƯƠNG 1. NHẮC LẠI VỀ LÝ THUYẾT VỀ ĐỒ THỊ VÀ MA
TRẬN
a

b

c

Hình 1.1: Đồ thị có hướng

Giả sử G = (V, E) là một đồ thị có hướng. Nếu (a, b) ∈ E thì
các đỉnh a, b được gọi là kề nhau. Hai cung bất kỳ của G được gọi là
kề nhau nếu chúng có đỉnh chung.
1.1.2 Bậc của đỉnh trong đồ thị có hướng

• Bậc vào
Định nghĩa 1.1.2. Cho G là đồ thị có hướng, bậc vào của đỉnh
v
ký hiệu là deg−(v) = {x ∈ V (x, v) ∈ E}.
• Bậc ra
Định nghĩa 1.1.3. Cho G là đồ thị có hướng, bậc ra của v ký

hiệu là deg+(v) = {y ∈ V (v, y) ∈ E}.
Định lý 1.1.4. [8] Cho G = (V, E) là một đồ thị có hướng.
Tổng bậc vào của các đỉnh bằng tổng bậc ra và bằng số cung
của đồ thị. Nghĩa là ta có:
.
.
m=
deg−(v) =
deg+(v)

Chứng minh. Khi lấy tổng tất cả các bán bậc ra hay bán bậc
vào, mỗi cung (u, v) bất kỳ sẽ được tính đúng 1 lần trong
deg+(u) và cũng được tính đúng 1 lần trong deg−(v). Từ đó suy
ra kết quả.


b

a

e

c

d

Hình 1.2: Đồ thị có hướng

Ví dụ 1.1.5. Xét đồ thị cho trong hình trên ta có:
deg−(a) = 1, deg−(b) = 2, deg−(c) = 2, deg−(d) = 2, deg−(e)

= 2.
deg+(a) = 3, deg+(b) = 1, deg+(c) = 1, deg+(d) = 2, deg+
(e) = 2.
Rất nhiều tính chất của đồ thị có hướng không phụ thuộc
vào hướng trên các cung của nó. Vì vậy, trong nhiều trường hợp sẽ
thuận tiện hơn nếu ta bỏ qua hướng trên các cung của đồ thị.
Đồ thị vô hướng thu được bằng cách bỏ qua hướng trên các cung
được gọi là đồ thị vô hướng nền của đồ thị có hướng đã cho.
1.1.3 Sự liên thông

1.2

Đường đi, chu trình, tính liên thông trong đồ
thị có hướng

1.2.1 Đường đi, chu trình

Đường đi có độ dài n từ v0 đến vn với n là một số nguyên
dương, trong một đồ thị có hướng G = (V, E) là một dãy các
cung liên tiếp v0v1, v1v2, ..., vn−1vn trong đó vi ƒ= vj, ∀i ƒ= j.
Đỉnh v0 được gọi là đỉnh đầu, đỉnh vn được gọi là đỉnh cuối. Đường
đi này thường được viết gọn: v0v1v2...vn−1vn.
Khi chỉ cần nêu ra đỉnh đầu vo và đỉnh cuối vn của đường đi, ta
viết: đường đi vo − vn.


Đường đi có đỉnh đầu trùng với đỉnh cuối (tức là u = v) được gọi là
chu trình.
Một hành trình có hướng trong đồ thị có hướng là một dãy các
định dạng v0v1...vn. Trong đó vi ∈ V sao cho vi−1vi ∈ E ; i = 1,

2, ...n. Với v0 là đỉnh đầu và vn là đỉnh cuối.
Một hành trình có hướng gọi là vết nếu các cung vi−1vi đôi một
khác nhau.
Một vết kín được gọi là mạch.
Một hành trình được gọi là đường nếu đi qua các đỉnh phân biệt.
Ví dụ 1.2.1. Cho đồ thị có hướng:
B

D

A

F

C

Hình 1.3

E

Một số đường đi từ đỉnh A đến đỉnh C là:
• Đường đi d1: (A, B), (B, C) (đường đi có độ dài là 2).
• Đường đi d2: (A, B), (B, D), (D, E), (E, C) (đường đi có độ
dài là 4).
• Đường đi d3: (A, B), (B, D), (D, F ), (F, E), (E, C) (đường đi
có độ dài là 5).
Đường đi d2 được biểu diễn bằng ma trận kề trong đồ thị trên
như sau:



A

A B C D

0 (1) 0 0


B 0 0 0 (1)
A = C

1 0 0 0


D 0 0 0 0

E 0 0 (1) 0
F
0 0 0 0

E
0
0
0
(1)
0
1

F 

0


0

0 

1


0
0

Đ
 ường đi d3 được biểu diễn bằng ma trận kề trong đồ
 thị trên như sau:
A B C D E F

 A 0 (1) 0 0 0 0 





B 0 0 0 (1) 0 0
A = C


1 0 0 0 0 0 





 D 0 0 0 0 1 (1) 


E 0 0 (1) 0 0 0
F 0 0 0 0 (1) 0 
Trong đó mỗi cạnh mà d2, d3 đi qua được kí hiệu là (1).
Vì các cạnh của đường đi d2, d3 là đôi một khác nhau do đó đường
đir d2,r d3 được gọi là vết dr , dr . Như vậy vết
cũng được biểu diễn
d ,d
2

3

2

3

giống đường đi d1 trong ma trận kề của đồ thị.
Ta xét đường đi từ đỉnh A đến đỉnh A qua 5 đỉnh trung gian là B, C, D, E,
F:
Đường đi d4: (A, B), (B, D), (D, F ), (F, E), (E, C), (C, A) (đường đi
có
 độ dài là 6). Đường đi d4 được biểu diễn bằng ma trận
 kề như sau:
A B C D E F





0
(1)
0
0
0
0
A




B 0 0 0 (1) 0 0
A=
C



(1) 0 0 0 0 0 
 D 0 0 0 0 1 (1) 




E 0 0 (1) 0 0 0
F
0 0 0 0 (1) 0 

Trong đó mỗi cạnh mà d4 đi qua được kí hiệu là (1).


Vì các cạnh củar đường đi d4 là đôi một khác nhau do đó đường đi d4
đượ
c gọi là vết d . Như vậy vết cũng được biểu diễn giống đường đi
dr
4

4

d4 trong ma trận kề của đồ thị.
Vì vết 4 là một vết kín nên vết 4 được gọi là mạch l4. Như vậy mạch
dr
dr
l4 cũng được biểu diễn giống đường đi d4 trong ma trận kề của đồ thị.
Ta thấy d4 là một đường đi có đỉnh đầu trùng với đỉnh cuối. Người
ta nói d4 là một chu trình.
Nhận xét:
-Để xác định 1 đường đi trên ma trận kề của đồ thị có hướng ta
chỉ việc làm như sau:
Từ dòng i của điểm đầu của đường đi ta gióng sang cột có giá trị
bằng 1 đầu tiên, giả sử đó là cột j.
Tiếp tục từ dòng j ta lại gióng sang một cột có giá trị bằng
1. Cứ tiếp tục như vậy cho tới dòng của điểm cuối của
đường đi. Đánh dấu các số 1 được gióng sang trong dấu ()
trên ma trận.
Khi đó mỗi cạnh mà đường đi đi qua được kí hiệu là (1) trên ma

trận. Để xác định 1 chu trình trên ma trận kề của đồ thị có hướng
ta cũng làm tương tự như vậy.
-Hình ảnh của đường đi trên ma trận là một đường gấp khúc
không khép kín hoặc khép kín. Không có 2 số (1) nào trên cùng một
cột. Trường hợp khép kín thì đường đi đó là một chu trình.
Ví dụ 1.2.2. Hình ảnh đường đi d2, d3 trong đồ thị hình 2.2 trên ma trận


A

B

C

E

D

F

(1)

A

(1)

B
C

(1)

D
(1)

E
F

A
A

B

C

D

E

F

(1)
(1)

B
C

(1)

D
E

(1)
(1)

F

d1

d2

Hình 1.4

-Hình ảnh của một chu trình trên ma trận theo thứ tự các đỉnh
của chu trình (tính trên hàng hoặc cột) tạo thành một chu trình.
Không có 2 vị trí chứa (1) nào trên cùng một cột.
1

2


4

Hình 1.5

3

Ví dụ 1.2.3. Một số hình ảnh chu trình với thứ tự đỉnh 1, 2, 3, 4
khác nhau của đồ thị hình 2.4 trên ma trận:

1
1

3

1

4

(1)

3

4

1

(1)

2

4

2

4

(1)

3

4

1

3

(1)

4

(1)

1
3

(1)

2

(1)

Hình
1.6

10
Ngô Thị Hồng Diễm - K35-CN Toán

2

3

(1)
(1)
(1)

2

(1)

2

(1)


2

3

4

(1)

2

(1)

3

2

1

4

(1)
(1)

4

(1)

3

21
(1)

4

(1)

2
1
3

2

(1)

1

(1)

4

3
3

(1)

4

1

1

(1)
(1)

Hình
1.7

Kết quả sau đây về số đường đi sẽ có ích khi xét tính liên thông
các đồ thị.
Mệnh đề 1.2.4. [9] Cho G là một đồ thị có hướng với ma trận
liền kề A theo thứ tự các đỉnh v1, v2, ..., vn. Khi đó số các đường đi
khác nhau độ dài r từ vi tới vj trong đó r là một số nguyên dương,
bằng giá trị của phần tử dòng i cột j của ma trận Ar.
Chứng minh. Ta chứng minh mệnh đề bằng quy nạp theo r. Số các
đường đi khác nhau độ dài 1 từ vi tới vj là số các cạnh (hoặc cung)

từ vi tới vj , đó chính là phần tử dòng i cột j của ma trận A; nghĩa
là, mệnh đề đúng khi r = 1.
Giả sử mệnh đề đúng đến r; nghĩa là, phần tử dòng i cột j của Ar là
số các đường đi khác nhau độ dài r từ vi tới vj . Vì Ar+1=Ar.A nên
phần
11
Ngô Thị Hồng Diễm - K35-CN Toán


tử dòng i cột j của Ar+1 bằng: bi1a1j + bi2a2j + ... + binanj ,
trong đó bik là phần tử dòng i cột k của Ar. Theo giả thiết quy nạp bik
là số đường đi khác nhau độ dài r từ vi tới vk.
Đường đi độ dài r + 1 từ vi tới vj sẽ được tạo nên từ đường đi độ
dài r từ vi tới đỉnh trung gian vk nào đó và một cạnh (hoặc cung) từ
k tới vj . Theo quy tắc nhân số các đường đi như thế là tích của số
đường đi độ dài r từ vi tới vk, tức là bik, và số các cạnh (hoặc cung)
từ vk tới vj , tức là akj . Cộng các tích này lại theo tất cả các đỉnh
trung gian vk ta có mệnh đề đúng đến r + 1.

1

Hì

2

4

3

1.8: Đường đi trên đ thị

nh
ồ

Ví dụ 1.2.5. Ma trận kề của đồthị trong hình
 2.7 là:
0 1 0 0


0
0
1
1


A = 0 0 0 1


1 0 0 0
Tìm số đường đi khác nhau đi từ đỉnh 1 đến đỉnh 3 có độ dài là 2 ? Với
r = 2 ta có:
0 0 [1] 0


1
0
0
1


2


A = 
1
0
0
1


0 1 0 0
Như vậy A2 cho ta 1 đường đi có độ dài là 2 từ đỉnh 1 đến đỉnh 3 qua
2 đỉnh trung gian.


Định nghĩa 1.2.6. Đồ thị vô hướng được gọi là liên thông nếu luôn
tìm được đường đi giữa hai đỉnh bất kỳ của nó.
b

a

d

c

e

a
d

e

g

f

b

c
H

G

Hình 1.9: Đồ thị G là liên thông, còn đồ thị H là không liên thông.

Định nghĩa 1.2.7. Đồ thị có hướng G được gọi là liên thông mạnh
nếu với hai đỉnh phân biệt bất kỳ u và v của G đều có đường đi từ
u tới v và đường đi từ v tới u.

A

B

E

C

D

Hình 1.10: Đồ thị có hướng liên thông mạnh

Định nghĩa 1.2.8. Đồ thị có hướng G được gọi là liên thông yếu

nếu đồ thị vô hướng nền của nó là liên thông.
1.2.2 Đồ thị có trọng số

Định nghĩa 1.2.9. Đồ thị G = (V, E) gọi là đồ thị có trọng số
(hay chiều dài, trọng lượng) nếu mỗi cung e được gán với một số
thực w(e). Ta gọi w(e) là trọng lượng của e.


a
5
5

e

b
4

7

5
7
c
d

Hình 1.11: Đồ thị có hướng có trọng số

1.3

Ma trận

Ký hiệu ma trận thường được dùng để đơn giảm hóa các biểu
thức toán học phức tạp. Việc sử dụng ma trận làm cho việc lập và
giải các phương trình trở lên dễ dàng hơn.
Ma trận là một tập các phần tử trong một mảng chữ nhật hay
vuông. Với các ma trận ta có các định nghĩa sau đây:
Phần tử của ma trận - Khi ma trận được viết dưới dạng:


a11 a12 ... a1n


a21 a22 ... a2n
A=


... ... ... ...


am1 am2 ... amn
aij được định nghĩa như là một phần tử ở hàng thứ i và cột thứ j
của ma trận.
Cấp của ma trận - Cấp của một ma trận chỉ tổng số hàng và cột
của ma trận.Ví dụ, ma trận trên có ba hàng và ba cột được gọi là
ma trận 3 × 3. Một ma trận với m hàng và n cột được đặt là m ×
n.
Ma trận vuông - Một ma trận có số hàng và số cột bằng nhau được gọi
là ma trận vuông.


Ma trận cột - Một ma trận có một cột và nhiều hơn một hàng thì

được gọi là ma trận cột. Ma trận cột còn được gọi là một vectơ cột
hay đơn


giản là m-vectơ nếu nó có m hàng và một cột.
Ma trận hàng - Ma trận hàng có một hàng và nhiều hơn một cột và
được cũng được coi là một vectơ hàng.
Ma trận đơn vị - Ma trận đơn vị có tất cả các phần tử trên đường
chéo chính (i = j) bằng 1. Ma trận đơn vị thường được biểu thị bởi I
hay U .
1
 0 0
Một ví dụ về ma trận đơn vị như sau I = 0 1 0
0 0 1
Ma trận đối xứng - Ma trận đối xứng là một ma trận vuông thỏa mãn
aij = aji với mọi i và j.
Phép nhân ma trận
Tích AB của ma trận A và ma trận B là ma trận C −(cik) ∈ M (m×p,
K)
với các phần tử được xác định như sau:
.n
cik = j= aijbjk, (1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ k ≤ p)
3 1
Ví dụ
1.3.1.



.1 0
× 2 1



2.
−1 3 1
1 0

. (1 × 3 + 0 × 2 + 2 × 1) (1 × 1 + 0 × 1 + .
=

2 × 0)

=

.5 1.

(−1 × 3 + 3 × 2 + 1 × 1) (−1 × 1 + 3 × 1 + 1 × 0)
2

4


Chương 2

Liên hệ giữa đồ thị có hướng
và ma trận
2.1

Biểu diễn đồ thị có hướng bằng ma trận kề

Cho đồ thị G = (V, E) trong đó V = {v1, v2, ..., vn}. Ma trận kề

biểu diễn đồ thị G là ma trận có kích thước n × n được xác định như
sau:
. 1 nếu vivj là một cung của G
aij =

0 nếu vivj không là một cung của G

Ví dụ 2.1.1. Tìm ma trận kề của đồ thị sau:
2

1

3

4

Hình 2.1: Đồ thị có hướng

Ma trận kề của đồ thị trên sẽ là:

15
Ngô Thị Hồng Diễm - K35-CN Toán


CHƯƠNG 2. LIÊN HỆ GIỮA ĐỒ THỊ CÓ HƯỚNG VÀ MA
TRẬN



0


1
A = 1

0

0 0 0

0 1 1

0 0 1
0 1 0

Nhận
xét:
- Nhìn vào ma trận ta biết được 2 đỉnh nào kề nhau.
- Biết được bậc của từng đỉnh nếu là đồ thị đơn.
Các tính chất của ma trận kề:
- Chúng ta có thể nhận thấy rằng, ma trận kề của đồ thị vô
hướng luôn luôn là mà trận đối xứng. Còn ma trận của đồ thị có
hướng thì có thể không có tính chất này.
- Đối với đồ thị có hướng, tổng các phần tử trên dòng i (tương
ứng, trên cột i) sẽ là bán bậc ra (bán bậc vào) của đỉnh vi của đồ thị.
Tức là: Tổng các số trên hàng i = Bán bậc ra của đỉnh vi = deg+
(vi)
Tổng các số trên cột i = Bán bậc vào của đỉnh vi = deg−(vi)

2.1.1 Tính liên thông trong đồ thị có hướng

Để kiểm tra tính liên thông yếu trong đồ thị có hướng ta chỉ việc

kiểm tra tính liên thông đồ thị vô hướng nền của nó.
Đồ thị vô hướng được gọi là liên thông nếu luôn tìm được đường
đi giữa hai đỉnh bất kỳ của nó. Như vậy để xét tính liên thông của
một đồ thị vô hướng dựa trên ma trận kề tương ứng của đồ thị đó thì
ta tìm số đường đi của hai đỉnh bất kì. Ta có tính chất của ma trận
kề ở trên các
phần tử của ma trận ij sẽ cho ta số đường đi khác nhau của hai đỉnh
p
A
p
bất kì.
ij là phần tử của ma trận A
Tức là
ij
p
a


CHƯƠNG 2.
TRẬN

LIÊN HỆ GIỮA ĐỒ THỊ CÓ HƯỚNG VÀ MA

sẽ cho ta số đường đi khác nhau

từ i đến j qua p − 1 đỉnh trung gian với x ≤ n − 1 (n là số đỉnh).
Với aij ƒ= 0 thì đồ thị là liên thông.
Để xét ij ta phải tính A1, A2, ..., Ak, ...,An−1 sẽ tồn tại Ax ij ƒ= 0
p
a

mà ax