Phương Pháp Tính - Hệ Phương Trình Tuyến Tính

HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
BÀI GIẢNG ĐIỆN TỬ

TS. Lê Xuân Đại
Trường Đại học Bách Khoa TP HCM
Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng

TP. HCM — 2016.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2016.

1 / 105


NỘI DUNG BÀI HỌC
1

ĐẶT VẤN ĐỀ

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2016.

2 / 105

NỘI DUNG BÀI HỌC
1

ĐẶT VẤN ĐỀ

2

PHƯƠNG PHÁP GAUSS

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2016.

2 / 105


NỘI DUNG BÀI HỌC
1

ĐẶT VẤN ĐỀ

2

PHƯƠNG PHÁP GAUSS

3

PHƯƠNG PHÁP NHÂN TỬ LU

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2016.

2 / 105


NỘI DUNG BÀI HỌC
1

ĐẶT VẤN ĐỀ

2

PHƯƠNG PHÁP GAUSS

3

PHƯƠNG PHÁP NHÂN TỬ LU

4

PHƯƠNG PHÁP CHOLESKI

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2016.

2 / 105


NỘI DUNG BÀI HỌC
1

ĐẶT VẤN ĐỀ

2

PHƯƠNG PHÁP GAUSS

3

PHƯƠNG PHÁP NHÂN TỬ LU

4

PHƯƠNG PHÁP CHOLESKI

5

CHUẨN CỦA VÉCTƠ, CHUẨN CỦA MA TRẬN

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2016.

2 / 105


NỘI DUNG BÀI HỌC
1

ĐẶT VẤN ĐỀ

2

PHƯƠNG PHÁP GAUSS

3

PHƯƠNG PHÁP NHÂN TỬ LU

4

PHƯƠNG PHÁP CHOLESKI

5

CHUẨN CỦA VÉCTƠ, CHUẨN CỦA MA TRẬN

6

NHỮNG PHƯƠNG PHÁP LẶP

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2016.

2 / 105


Đặt vấn đề

ĐẶT VẤN ĐỀ

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2016.

3 / 105


Đặt vấn đề

ĐẶT VẤN ĐỀ

Hệ phương trình đại số tuyến tính



a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1i xi + . . . + a1n xn





....................................

ai1 x1 + ai2 x2 + . . . + aii xi + . . . + ain xn



....................................



 a x +a x +...+a x +...+a x
n1 1
n2 2
ni i
nn n

=
...
=
...
=

b1
...

bi
...
bn

(1)
thường xuất hiện trong các bài toán kỹ
thuật.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2016.

3 / 105


Đặt vấn đề

1

Ta chỉ xét hệ gồm n phương trình và n ẩn
số, trong đó A = (aij ) ∈ Mn(K ) và detA = 0.
Do đó hệ sẽ có nghiệm duy nhất X = A−1B.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2016.

4 / 105


Đặt vấn đề

1

2

Ta chỉ xét hệ gồm n phương trình và n ẩn
số, trong đó A = (aij ) ∈ Mn(K ) và detA = 0.
Do đó hệ sẽ có nghiệm duy nhất X = A−1B.
Tuy nhiên, việc tìm ma trận nghịch đảo
A−1 đôi khi còn khó khăn gấp nhiều lần
so với việc giải trực tiếp hệ phương trình
(1). Do đó cần phải có phương pháp để
giải hệ (1) hiệu quả.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2016.

4 / 105


Phương pháp Gauss

Hệ phương trình tương đương

SỬ DỤNG PHÉP BIẾN ĐỔI SƠ CẤP TRÊN HÀNG ĐỂ GIẢI
HỆ

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2016.

5 / 105


Phương pháp Gauss

Hệ phương trình tương đương

SỬ DỤNG PHÉP BIẾN ĐỔI SƠ CẤP TRÊN HÀNG ĐỂ GIẢI
HỆ

Xét hệ phương trình tuyến tính gồm n
phương trình và n ẩn


a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1j xj + . . . + a1n xn






....................................

ai1 x1 + ai2 x2 + . . . + aij xj + . . . + ain xn



....................................



 a x +a x +...+a x +...+a x
n1 1
n2 2
nj j
nn n
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

=
...
=
...
=

b1
...
bi
...
bn

TP. HCM — 2016.

5 / 105


Phương pháp Gauss

Hệ phương trình tương đương

Nếu thực hiện các phép biến đổi sơ cấp sau
trên hệ (1):
Đổi chỗ các phương trình của hệ (hi ↔ hj )
hay ci ↔ cj có đánh số lại các ẩn.
1

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2016.

6 / 105


Phương pháp Gauss

Hệ phương trình tương đương

Nếu thực hiện các phép biến đổi sơ cấp sau

trên hệ (1):
Đổi chỗ các phương trình của hệ (hi ↔ hj )
hay ci ↔ cj có đánh số lại các ẩn.
Nhân vào một phương trình của hệ một
số λ = 0(hi → λhi ).
1

2

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2016.

6 / 105


Phương pháp Gauss

Hệ phương trình tương đương

Nếu thực hiện các phép biến đổi sơ cấp sau
trên hệ (1):
Đổi chỗ các phương trình của hệ (hi ↔ hj )
hay ci ↔ cj có đánh số lại các ẩn.
Nhân vào một phương trình của hệ một
số λ = 0(hi → λhi ).
Cộng vào một phương trình của hệ một
phương trình khác đã được nhân với một

số (hi → hi + λhj )
1

2

3

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2016.

6 / 105


Phương pháp Gauss

Hệ phương trình tương đương

Nếu thực hiện các phép biến đổi sơ cấp sau
trên hệ (1):
Đổi chỗ các phương trình của hệ (hi ↔ hj )
hay ci ↔ cj có đánh số lại các ẩn.
Nhân vào một phương trình của hệ một
số λ = 0(hi → λhi ).
Cộng vào một phương trình của hệ một
phương trình khác đã được nhân với một
số (hi → hi + λhj )
thì ta sẽ được một hệ phương trình mới

tương đương với hệ (1).
1

2

3

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2016.

6 / 105


Phương pháp Gauss












a11

a21
...
an1
c11
0
...
0

a12 . . . a1n
a22 . . . a2n
... ... ...
an2 . . . ann
c12 . . . c1n
c22 . . . c2n
... ... ...
0 . . . cnn

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

Hệ phương trình tương đương


b1
b2 
 BĐ sơ cấp trên hàng
 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−→
... 
bn

d1

d2 

 với cii = 0, i = 1, 2, . . . , n.
... 
dn

HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2016.

7 / 105


Phương pháp Gauss

Phương pháp Gauss

PHƯƠNG PHÁP GAUSS
1

Viết ma trận mở rộng AB = (A|B) của hệ
(1).

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2016.

8 / 105

Phương pháp Gauss

Phương pháp Gauss

PHƯƠNG PHÁP GAUSS
1

2

Viết ma trận mở rộng AB = (A|B) của hệ
(1).
Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên hàng
biến đổi ma trận mở rộng về ma trận bậc
thang.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2016.

8 / 105


Phương pháp Gauss

Phương pháp Gauss

PHƯƠNG PHÁP GAUSS
1

2

3

Viết ma trận mở rộng AB = (A|B) của hệ
(1).
Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên hàng
biến đổi ma trận mở rộng về ma trận bậc
thang.
Viết hệ phương trình tương ứng với ma
trận bậc thang.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2016.

8 / 105


Phương pháp Gauss

Phương pháp Gauss

PHƯƠNG PHÁP GAUSS
1

2

3

4

Viết ma trận mở rộng AB = (A|B) của hệ
(1).
Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên hàng
biến đổi ma trận mở rộng về ma trận bậc
thang.
Viết hệ phương trình tương ứng với ma
trận bậc thang.
Ta giải hệ phương trình ngược từ dưới
lên, tìm biến xn sau đó xn−1, . . . , x1 ta được
1 nghiệm duy nhất.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2016.

8 / 105


Phương pháp Gauss

Phương pháp Gauss

VÍ DỤ 2.1
Giải hệ phương trình


x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4


 2x + x + 2x + 3x
1
2
3
4

3x1 + 2x2 + x3 + 2x4



4x1 + 3x2 + 2x3 + x4

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

=
=
=
=

7

6
7
18

TP. HCM — 2016.

9 / 105


Phương pháp Gauss

Phương pháp Gauss

VÍ DỤ 2.1
Giải hệ phương trình



1
2

Giải. 
3
4



x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 =



 2x + x + 2x + 3x =
1
2
3
4

3x1 + 2x2 + x3 + 2x4 =



4x1 + 3x2 + 2x3 + x4 =

h2 →h2 −2h1
2 3 4 7
h3 →h3 −3h1

1 2 3 6  h4 →h4 −4h1
 −−−−−−−→
2 1 2 7 
3 2 1 18

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

7
6
7
18

TP. HCM — 2016.

9 / 105


Phương pháp Gauss







1
0
0
0

2
3
4
−3 −4 −5
−4 −8 −10
−5 −10 −15

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

7
−8
−14

−10

Phương pháp Gauss







HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2016.

10 / 105