Phương Pháp Tính - Phương Trình Vi Phân Thường

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG
BÀI GIẢNG ĐIỆN TỬ

TS. Lê Xuân Đại
Trường Đại học Bách Khoa TP HCM
Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng

TP. HCM — 2016.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG

TP. HCM — 2016.

1 / 45


NỘI DUNG

1

BÀI TOÁN CAUCHY

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG

TP. HCM — 2016.

2 / 45

NỘI DUNG

1

BÀI TOÁN CAUCHY

2

HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG

TP. HCM — 2016.

2 / 45


NỘI DUNG

1

BÀI TOÁN CAUCHY

2

HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

3

BÀI TOÁN BIÊN TUYẾN TÍNH CẤP 2

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG

TP. HCM — 2016.

2 / 45


Bài toán Cauchy

Đặt vấn đề

Nhiều bài toán của khoa học kỹ thuật dẫn
đến việc giải phương trình vi phân. Bài toán
đơn giản nhất là bài toán Cauchy

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG

TP. HCM — 2016.

3 / 45

Bài toán Cauchy

Đặt vấn đề

Nhiều bài toán của khoa học kỹ thuật dẫn
đến việc giải phương trình vi phân. Bài toán
đơn giản nhất là bài toán Cauchy
y (x) = f (x, y(x)),
y(a) = y0

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

a

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG

x

b,

TP. HCM — 2016.

(1)

3 / 45


Bài toán Cauchy

Đặt vấn đề

Nhiều bài toán của khoa học kỹ thuật dẫn
đến việc giải phương trình vi phân. Bài toán
đơn giản nhất là bài toán Cauchy
y (x) = f (x, y(x)),
y(a) = y0

a

x

b,

(1)

với y = y(x) là hàm cần tìm, khả vi trên đoạn
[a, b], y0 là giá trị ban đầu cho trước của y(x)
tại x = a.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG

TP. HCM — 2016.

3 / 45


Bài toán Cauchy

Đặt vấn đề

Đối với bài toán Cauchy (1) ta chỉ có thể tìm
được nghiệm đúng của một số phương
trình đơn giản, còn đối với trường hợp f (x, y)
có dạng bất kỳ thì nói chung không có
phương pháp giải.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG

TP. HCM — 2016.

4 / 45


Bài toán Cauchy

Đặt vấn đề

Đối với bài toán Cauchy (1) ta chỉ có thể tìm
được nghiệm đúng của một số phương
trình đơn giản, còn đối với trường hợp f (x, y)
có dạng bất kỳ thì nói chung không có
phương pháp giải.
Ngoài ra, trong những trường hợp có thể
tìm ra nghiệm đúng của bài toán Cauchy (1)
quá phức tạp thì người ta cũng ít dùng.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG

TP. HCM — 2016.

4 / 45


Bài toán Cauchy

Đặt vấn đề

Đối với bài toán Cauchy (1) ta chỉ có thể tìm
được nghiệm đúng của một số phương
trình đơn giản, còn đối với trường hợp f (x, y)
có dạng bất kỳ thì nói chung không có
phương pháp giải.
Ngoài ra, trong những trường hợp có thể
tìm ra nghiệm đúng của bài toán Cauchy (1)
quá phức tạp thì người ta cũng ít dùng.
Vì vậy, việc tìm những phương pháp giải
gần đúng bài toán Cauchy có vai trò rất
quan trọng trong thực tế.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG

TP. HCM — 2016.

4 / 45

Bài toán Cauchy

Công thức Euler

Để tìm nghiệm gần đúng của bài toán (1) ta
chia đoạn [a, b] thành n đoạn nhỏ bằng
b−a
. Khi đó các điểm chia là
n
x0 = a, xk = x0 + kh, k = 0, 1, 2, . . . , n, xn = b. Giá trị
gần đúng cần tìm của hàm tại điểm xk được
ký hiệu là yk và ta có yk ≈ y(xk )

nhau với h =

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG

TP. HCM — 2016.

5 / 45


Bài toán Cauchy

Công thức Euler

Để tìm nghiệm gần đúng của bài toán (1) ta
chia đoạn [a, b] thành n đoạn nhỏ bằng
b−a
. Khi đó các điểm chia là
n
x0 = a, xk = x0 + kh, k = 0, 1, 2, . . . , n, xn = b. Giá trị
gần đúng cần tìm của hàm tại điểm xk được
ký hiệu là yk và ta có yk ≈ y(xk )
Giả sử y(x) là nghiệm duy nhất của bài toán

nhau với h =

(1), có đạo hàm đến cấp 2 liên tục trên đoạn
[a, b]. Với mỗi k = 0, 1, 2, . . . , n − 1 theo công
thức Taylor trên đoạn [xk , xk+1], ta có
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG

TP. HCM — 2016.

5 / 45


Bài toán Cauchy

Công thức Euler

y(xk+1 ) =

(xk+1 − xk )2
, với
y(xk ) + y (xk )(xk+1 − xk ) + y (ξk )
2
ξk ∈ (xk , xk+1 ).

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG

TP. HCM — 2016.

6 / 45


Bài toán Cauchy

Công thức Euler

y(xk+1 ) =

(xk+1 − xk )2
, với
y(xk ) + y (xk )(xk+1 − xk ) + y (ξk )
2
ξk ∈ (xk , xk+1 ). Vì y = y(x) là nghiệm của
phương trình (1) và h = xk+1 − xk nên ta có
h2
y(xk+1 ) = y(xk ) + h.f (xk , yk ) + y (ξk )
2

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG

TP. HCM — 2016.

6 / 45


Bài toán Cauchy

Công thức Euler

y(xk+1 ) =

(xk+1 − xk )2
, với
y(xk ) + y (xk )(xk+1 − xk ) + y (ξk )
2
ξk ∈ (xk , xk+1 ). Vì y = y(x) là nghiệm của
phương trình (1) và h = xk+1 − xk nên ta có
h2
y(xk+1 ) = y(xk ) + h.f (xk , yk ) + y (ξk )
2

Bỏ đi phần dư và thay các giá trị gần đúng
của hàm tại các điểm nút, ta được công
thức Euler
y(xk+1 ) ≈ yk+1 = yk +hf (xk , yk ), k = 0, 1, 2, . . . , n−1.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG

TP. HCM — 2016.

6 / 45


Bài toán Cauchy

Công thức Euler

Ý NGHĨA HÌNH HỌC CỦA PHƯƠNG PHÁP EULER

Ý nghĩa hình học của công thức Euler là từ điểm
(xk , yk ) thuộc đường cong y = y(x), kẻ tiếp tuyến với

đường cong. Đường tiếp tuyến sẽ cắt x = xk+1 tại yk+1
chính là giá trị gần đúng của hàm tại x = xk
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG

TP. HCM — 2016.

7 / 45


Bài toán Cauchy

Công thức Euler

VÍ DỤ 1.1
Sử dụng phương pháp Euler để xấp xỉ
nghiệm của bài toán Cauchy
y (x) = y − x2 + 1,
y(0) = 0.5

0

x

2,

với n = 10. Tại những điểm nút chia so sánh
giá trị gần đúng với giá trị chính xác, biết
nghiệm chính xác của bài toán là
y(x) = (x + 1)2 − 0.5ex .
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG

TP. HCM — 2016.

8 / 45


Bài toán Cauchy

Công thức Euler

Giải.
2−0
= 0.2, xk = 0.2k, y0 = 0.5.
Với n = 10 thì h =
10

Công thức tính nghiệm gần đúng là
yk+1 = yk + h(yk − xk2 + 1)

với k = 0, 1, . . . , 9.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG

TP. HCM — 2016.

9 / 45


Bài toán Cauchy

Công thức Euler

Giải.
2−0
= 0.2, xk = 0.2k, y0 = 0.5.
Với n = 10 thì h =

10

Công thức tính nghiệm gần đúng là
yk+1 = yk + h(yk − xk2 + 1)

với k = 0, 1, . . . , 9.
Bấm máy. Y = Y + 0.2(Y − X 2 + 1) : X = X + 0.2
CALC Y = 0.5 =, X = 0 =
1

2

Y =, X = 0.2 =

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG

TP. HCM — 2016.

9 / 45


Bài toán Cauchy

k
0
1
2
3

4
5
6
7
8
9
10

xk
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
2.0

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

yk
0.5000000
0.8000000
1.1520000
1.5504000
1.9884800
2.4581760

2.9498112
3.4517734
3.9501281
4.4281538
4.8657845

Công thức Euler

y(xk )
0.5000000
0.8292986
1.2140877
1.6489406
2.1272295
2.6408591
3.1799415
3.7324000
4.2834838
4.8151763
5.3054720

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG

|y(xk ) − yk |
0.0000000
0.0292986
0.0620877
0.0985406
0.1387495
0.1826831

0.2301303
0.2806266
0.3333557
0.3870225
0.4396874
TP. HCM — 2016.

10 / 45


Bài toán Cauchy

Công thức Euler cải tiến

Trong công thức Euler, thay f (xk , yk ) bởi

f (xk , yk ) + f (xk+1 , yk+1 )
ta được công thức Euler
2

cải tiến
y(xk+1 ) ≈ yk+1 = yk + h

f (xk , yk ) + f (xk+1 , yk+1 )
,
2

k = 0, 1, 2, . . . , n − 1. Việc tính toán theo công

thức Euler cải tiến rất phức tạp vì cả 2 vế

đều chứa yk+1 là ẩn cần tìm. Để đơn giản ta
thay yk+1 ở vế phải bởi yk + hf (xk , yk ).
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG

TP. HCM — 2016.

11 / 45


Bài toán Cauchy

Công thức Euler cải tiến

Lúc này ta có công thức
y(xk+1 ) ≈ yk+1 =
f (xk , yk ) + f (xk+1 , yk + hf (xk , yk ))
,
2
k = 0, 1, 2, . . . , n − 1.
yk + h ·

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG

TP. HCM — 2016.

12 / 45

Bài toán Cauchy

Công thức Euler cải tiến

VÍ DỤ 1.2
Sử dụng phương pháp Euler cải tiến để xấp
xỉ nghiệm của bài toán Cauchy
y (x) = y − x2 + 1,
y(0) = 0.5

0

x

2,

với n = 10. Tại những điểm nút chia so sánh
giá trị gần đúng với giá trị chính xác, biết
nghiệm chính xác của bài toán là
y(x) = (x + 1)2 − 0.5ex .
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG

TP. HCM — 2016.

13 / 45

Bài toán Cauchy

Với n = 10 thì h =

Công thức Euler cải tiến

2−0
= 0.2, y0 = 0.5. Công
10

thức tính nghiệm gần đúng là
yk+1 = yk + h

f (xk , yk ) + f (xk+1 , yk + hf (xk , yk ))
2

với k = 0, 1, . . . , 9.
Bấm máy. Y = Y + 0.1 × (Y − X 2 + 1 + Y + 0.2(Y −
X 2 + 1) − (X + 0.2)2 + 1) : X = X + 0.2
1

CALC Y = 0.5 = X = 0 =

2

Y =, X = 0.2

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG

TP. HCM — 2016.

14 / 45


Bài toán Cauchy

k
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

xk
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2

1.4
1.6
1.8
2.0

yk
0.5
0.826
1.20692
1.6372424
2.110235728
2.617687588
3.149578858
3.693686206
4.235097172
4.755618549
5.23305463

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

Công thức Euler cải tiến

y(xk )
0.5000000
0.8292986
1.2140877
1.6489406
2.1272295
2.6408591
3.1799415

3.7324000
4.2834838
4.8151763
5.3054720

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG

|y(xk ) − yk |
0.0000000
0.0032986
0.0071677
0.0116982
0.0169938
0.0231715
0.0303627
0.0387138
0.0483866
0.0595577
0.0724173
TP. HCM — 2016.

15 / 45