Biến đổi Fourier và một số ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

TRẦN THỊ HỒNG

BIẾN ĐỔI FOURIER VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2014


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

TRẦN THỊ HỒNG

BIẾN ĐỔI FOURIER VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: Tiến sĩ Bùi Kiên Cường

Hà Nội - 2014


LỜI CẢM ƠN
Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2
dưới sự hướng dẫn của Tiến sĩ Bùi Kiên Cường. Trong suốt quá trình

học tập, nghiên cứu và thực hiện luận văn, được sự hướng dẫn tận tình
của thầy, tác giả đã hoàn thiện hơn rất nhiều về mặt kiến thức cũng như
phương pháp nghiên cứu khoa học. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn, sự
kính trọng sâu sắc nhất đối với thầy.
Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Đại học Sư
phạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học, các thầy cô giáo trong và ngoài nhà
trường giảng dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích đã giúp đỡ, tạo
điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên
cứu.
Tác giả xin trân trọng cảm ơn Sở GD-ĐT Ninh Bình, Ban Giám hiệu
và các thầy cô giáo Trường THPT Hoa Lư A, tỉnh Ninh Bình cùng gia
đình, bạn bè đã luôn động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi để
tác giả hoàn thành khóa học Thạc sĩ và luận văn tốt nghiệp.

Hà Nội, ngày 10 tháng 06 năm 2014
Tác giả

Trần Thị Hồng

i


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của Tiến sĩ Bùi Kiên Cường,
luận văn thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “Biến đổi
Fourier và một số ứng dụng” được hoàn thành bởi tác giả, không
sao chép từ các đề tài khác.
Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa
những thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn sâu
sắc.

Hà Nội, ngày 10 tháng 06 năm 2014
Tác giả

Trần Thị Hồng


Mục lục

Lời cảm ơn

i

Lời cam đoan

ii

Ký hiệu sử dụng trong luận văn

v

Mở đầu

1

1 Kiến thức chuẩn bị

5

1.1

Một số không gian hàm

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1.1

Không gian Lp (Rn ) (1 ≤ p ≤ ∞) . . . . . . . . .

5

1.1.2

Không gian các hàm giảm nhanh S (Rn ) . . . . .

6

1.1.3

Không gian các hàm suy rộng tăng chậm S (Rn )

8

1.1.4

Không gian Sobolev

. . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.2

Tích chập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.3

Một số công thức liên quan . . . . . . . . . . . . . . . .

11

2 Biến đổi Fourier

12

2.1

Biến đổi Fourier trong không gian L1 (Rn ) . . . . . . . .

12

2.2

Biến đổi Fourier trong không gian S (Rn ) . . . . . . . . .

24

2.3

Biến đổi Fourier trong không gian L2 (Rn ) . . . . . . . .

37

iii


2.4

Biến đổi Fourier trong không gian S (Rn ) . . . . . . . .

41

2.5

Một số biểu diễn khác của biến đổi Fourier . . . . . . . .

49

2.6

Mối liên hệ với biến đổi Laplace . . . . . . . . . . . . . .

50

Kết luận chương 2
3 Một số ứng dụng của biến đổi Fourier

3.1

54

Ứng dụng biến đổi Fourier vào giải phương trình vi, tích
phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

54

3.1.1

Giải phương trình vi phân thường . . . . . . . . .

54

3.1.2

Giải phương trình đạo hàm riêng . . . . . . . . .

58

3.1.3

Giải phương trình tích phân . . . . . . . . . . . .

64

3.2

Định lý lấy mẫu Shannon . . . . . . . . . . . . . . . . .

68

3.3

Ứng dụng trong xác suất thống kê . . . . . . . . . . . . .

71

3.4

Một số ứng dụng trong lý thuyết giả vi phân, lý thuyết
giải tích thời gian - tần số . . . . . . . . . . . . . . . . .

73

3.4.1

Ứng dụng trong lý thuyết giả vi phân . . . . . . .

73

3.4.2

Ứng dụng trong lý thuyết giải tích thời gian – tần
số

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

79

Kết luận chương 3
Tài liệu tham khảo

91

iv


KÝ HIỆU SỬ DỤNG TRONG LUẬN VĂN
• α = (α1 , α2 , . . . , αn ) ∈ Nn : đa chỉ số
α! = α1 !α2 ! . . . αn !
|α| = α1 + α2 + · · · + αn : cấp (độ dài) của đa chỉ số α.
• Cho α, β ∈ Nn , α ≤ β ⇔ αj ≤ βj ; ∀j = 1, n. Với α ≤ β, ký hiệu
β
α

=

β1
α1

βj
αj

= Cβjj =

β2
βn
···

α2
αn

trong đó
α

βj !
.
αj ! (βj − αj )!

• Cho α = (α1 , α2 , . . . , αn ) ∈ Nn , x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn , ký hiệu
xα = xα1 1 xα2 2 . . . xαnn .
∂
∂xj : đạo hàm riêng theo biến
|α|
∂ α = ∂1α1 ∂2α2 . . . ∂nαn = ∂xα1 ∂x∂α2 ...∂xαnn
1
2
|α| α
1 |α| α
α
D = i ∂ = (−i) ∂ , (−D)α

• ∂j =

thứ j, Dj = 1i ∂j = −i∂j
= (−1)|α| Dα .

• Với x, ξ ∈ Rn , ký hiệu
x, ξ ≡ xξ = x1 ξ1 + x2 ξ2 + · · · + xn ξn

|x| = x, x

1
2

=
2

x = 1 + |x|

1
2

x21 + x22 + · · · + x2n

λs ≡ λs (ξ) = ξ s , s ∈ R.
• Với ϕ ∈ S (Rn ), ký hiệu ϕ (x) = ϕ (−x) với x ∈ Rn .
• H(x) =

1

nếu x > 0

0

nếu x < 0

: hàm bước nhảy đơn vị Heaviside.

• C ∞ (Rn ): không gian tất cả các hàm f : Rn → C khả vi vô hạn trên

Rn .


• C0∞ (Rn ): không gian tất cả các hàm f : Rn → C khả vi vô hạn
trên Rn và có suppf là tập compact trong Rn , trong đó suppf =
{x ∈ Rn |f (x) = 0} gọi là giá của hàm f .

vi


Mở đầu

1. Lý do chọn đề tài
Trong gần hai thế kỷ qua, các biến đổi tích phân trong đó có biến đổi
Fourier đã được sử dụng một cách hiệu quả để giải quyết rất nhiều bài
toán của toán học ứng dụng, vật lý và khoa học kỹ thuật. Về mặt lịch sử,
nguồn gốc của biến đổi Fourier có thể được tìm thấy trong luận án của
Joseph Fourier (1768-1830) xuất bản năm 1822, Théorie analytique de
la chaleur. Trong luận án, Fourier đã cung cấp lý thuyết toán học hiện
đại của sự truyền nhiệt, chuỗi Fourier và tích phân Fourier cùng các ứng
dụng, ông đã trình bày một kết quả quan trọng đó là định lý tích phân
Fourier, đồng thời đưa ra một số ví dụ trước khi phát biểu rằng một
hàm tùy ý xác định trên một đoạn hữu hạn có thể được khai triển thành
một chuỗi lượng giác gọi là chuỗi Fourier. Trong sự cố gắng mở rộng ý
tưởng mới của mình đối với các hàm xác định trên một khoảng vô hạn,
Fourier đã khám phá ra một biến đổi tích phân và công thức biến đổi
ngược của nó mà ngày nay gọi là biến đổi Fourier và biến đổi Fourier
ngược.
Biến đổi Fourier rất hữu dụng trong việc giải phương trình tích phân
và phương trình đạo hàm bởi các lý do sau: Thứ nhất, với việc thực hiện

phép biến đổi Fourier, các phương trình này sẽ được thay thế bởi các
phương trình đại số hoặc phương trình vi phân đơn giản, khi đó nghiệm


của phương trình đã cho theo biến ban đầu chính là nghịch đảo của
nghiệm biến đổi. Thứ hai, nghiệm biến đổi kết hợp với định lý tích chập
cho ta công thức biểu diễn nghiệm cần tìm. Vì thế, rất nhiều bài toán
biên và bài toán ban đầu tuyến tính trong toán học ứng dụng, toán lý
và khoa học kĩ thuật có thể được giải quyết hiệu quả bằng cách sử dụng
biến đổi Fourier.
Biến đổi Fourier cũng là một công cụ quan trọng trong lý thuyết giả
vi phân bởi một trong các tính chất rất tiện lợi của nó, đó là biến đổi
Fourier thay thế phép lấy đạo hàm bằng phép nhân với một đa thức.
Nhờ tính chất này mà toán tử đạo hàm P (D) (với hệ số hằng) được
chuyển thành toán tử nhân Mp : f → pf với p (ξ) là đa thức, p (ξ) được
gọi là biểu trưng của P (D) (xem [5], công thức (5.41)-(5.44)). Người ta
có thể mở rộng ý tưởng này để xây dựng lớp các biểu trưng (phụ thuộc
vào cả hai biến x, ξ) và lớp các toán tử tổng quát hơn gọi là toán tử giả
vi phân.
Bên cạnh đó, biến đổi Fourier cổ điển
e−2πitω f (x) dx; x, ω ∈ Rn

f (ω) =
Rn

có một thiếu sót cơ bản trong ứng dụng vào giải tích tín hiệu, đó là
thông tin kết nối thời gian tại đó tần số xuất hiện trong tín hiệu f (t) bị
ẩn đi. Tuy nhiên, biến đổi Fourier thời gian ngắn - một cải tiến của phép
biến đổi Fourier cổ điển bằng việc nhân hàm số dưới dấu tích phân với
một hàm có giá compact, gọi là hàm cửa sổ, đã giúp các nhà phân tích

tín hiệu xác định một cửa sổ soi tần số của tín hiệu theo thời gian thực,
gọi là cửa sổ thời gian - tần số. Phép biến đổi Fourier thời gian ngắn đã
góp phần quan trọng trong việc xây dựng những biểu diễn thời gian tần số, trở thành một công cụ xuất sắc của cuộc cách mạng số hóa hiện
nay.
Ngoài ra, lý thuyết biến đổi Fourier cũng xuất hiện trong các lĩnh
2


vực toán học khác như giải tích tín hiệu, xác suất thống kê.
Khi xét mối liên hệ của biến đổi Fourier với các biến đổi tích phân
khác, người ta thấy rằng, về bản chất biến đổi Laplace là trường hợp đặc
biệt của biến đổi Fourier cho một lớp các hàm xác định trên nửa trục
thực dương. Dựa vào biến đổi Fourier người ta xây dựng được công thức
biến đổi Laplace ngược kiểu Mellin, nhờ công thức này cùng tính chất
một tích phân theo chu tuyến phức có thể bị triệt tiêu (theo lý thuyết
thặng dư Cauchy) và sự biến dạng của chu tuyến trong mặt phẳng phức
cho phép khôi phục lại một hàm nếu biết biến đổi Laplace của nó.
Với mong muốn hiểu biết sâu hơn về biến đổi Fourier và những ứng
dụng của nó, được sự hướng dẫn của Tiến sĩ Bùi Kiên Cường, tác
giả đã chọn đề tài “Biến đổi Fourier và một số ứng dụng” để thực
hiện luận văn thạc sĩ của mình.

2. Mục đích nghiên cứu
Tìm hiểu về biến đổi Fourier.
Tìm hiểu một số ứng dụng của biến đổi Fourier.
Tìm hiểu mối quan hệ với một số biến đổi tích phân khác.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu về biến đổi Fourier.
Nghiên cứu về một số ứng dụng của biến đổi Fouier.

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu: Biến đổi Fourier và một số ứng dụng của nó.
Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu biến đổi Fourier và một số ứng dụng
3


của nó trong các không gian hàm L1 (Rn ), S (Rn ), L2 (Rn ), S (Rn ).

5. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu lý thuyết.
Phương pháp của giải tích hàm, giải tích điều hòa.

6. Những đóng góp của luận văn
Luận văn là báo cáo tổng quan về biến đổi Fourier cổ điển và hiện
đại, mối liên hệ giữa biến đổi Fourier với biến đổi Laplace, cùng ứng
dụng của biến đổi Fourier vào giải một số phương trình vi, tích phân;
định lý lấy mẫu, trong giải tích điều hòa và một số ứng dụng khác.

4


Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1
1.1.1

Một số không gian hàm
Không gian Lp (Rn ) (1 ≤ p ≤ ∞)

Định nghĩa 1.1. Cho 1 ≤ p < ∞. Ta gọi là không gian Lp (Rn ), không
gian định chuẩn tất cả các hàm số f (x) đo được theo nghĩa Lebesgue
|f (x)|p dx < ∞ với chuẩn xác định bởi

trên Rn sao cho
Rn

 p1


f

p

=

|f (x)|p dx , f ∈ Lp (Rn ) .

Rn

Định nghĩa 1.2. Ta gọi là không gian L∞ (Rn ), không gian định chuẩn
tất cả các hàm số f (x) đo được theo nghĩa Lebesgue trên Rn và thỏa
mãn điều kiện tồn tại C > 0 sao cho |f (x)| ≤ C hầu khắp nơi trên Rn
với chuẩn xác định bởi
f

∞

= inf C : |f (x)| ≤ C h.k.n trên Rn , f ∈ L∞ (Rn ) .

Định lý 1.3. Với 1 ≤ p ≤ ∞, Lp (Rn ) là không gian Banach với chuẩn
· p.
Mệnh đề 1.4. L2 (Rn ) là không gian Hilbert với tích vô hướng xác định
5


bởi
f (x) g (x)dx.

(f, g) =
Rn

Định lý 1.5. (Bất đẳng thức H¨
older) Cho 1 < p, q < ∞ và p1 + 1q = 1.
Khi đó, nếu f ∈ Lp (Rn ), g ∈ Lq (Rn ) thì f g ∈ L1 (Rn ) và f g
f

p

1

≤

g q.

Định lý 1.6. (Định lý Fubini) Giả sử Ω1 , Ω2 là các tập mở trong Rn ,
đặt Ω = Ω1 × Ω2 . Nếu f là hàm khả tích trên Ω thì
i) Hàm F (x) =

f (x, y) dy xác định hầu khắp nơi trên Ω1 , F khả

Ω2

tích trên Ω1 .
ii) Hàm G (y) =

f (x, y) dx xác định hầu khắp nơi trên Ω2 , G khả
Ω1

tích trên Ω2 .
f (x, y) dxdy =

Hơn nữa
Ω

dx
Ω1

f (x, y) dy =
Ω2

dy
Ω2

f (x, y) dx.
Ω1

Định lý 1.7. (Định lý hội tụ trội Lebesgue) Cho một dãy các hàm
khả tích {fk }∞
k=1 thỏa mãn các điều kiện sau
i) {fk }∞

k=1 hội tụ hầu khắp nơi tới hàm f ,
ii) Tồn tại hàm khả tích g sao cho |fn (x)| ≤ g (x) h.k.n trên Rn , với
mọi k ∈ N.
fn (x) dx =

Khi đó f là hàm khả tích và lim

n→∞

Rn

f (x) dx.
Rn

Mệnh đề 1.8. C0∞ (Rn ) trù mật trong Lp (Rn ) với 1 ≤ p < ∞.
Không gian các hàm giảm nhanh S (Rn )

1.1.2

Định nghĩa 1.9. Ta gọi là không gian các hàm giảm nhanh hay không
gian Schwartz, ký hiệu S (Rn ) hoặc S, không gian Fréchet tất cả các
hàm số ϕ (x) khả vi vô hạn trên Rn sao cho xα Dβ ϕ (x) bị chặn với mọi
đa chỉ số α, β ∈ Nn với tôpô xác định bởi họ đếm được chuẩn
ϕ

α,β

= sup

xα Dβ ϕ (x) x ∈ Rn , ϕ ∈ S (Rn ) , α, β ∈ Nn .

6


Chú ý 1.10. Với m ∈ N ta có
x

2m

= 1 + x21 + x22 + · · · + x2n

m

Cm,α x2α ,

=
|α|≤m

trong đó
Cm,α =

m!
.
α! (m − |α|)!

Bởi vậy
x2α ≤ x

2m

x2α với Cm = max Cm,α .

≤ Cm

|α|≤m

|α|≤m

|α|≤m

Do đó, tôpô trên S (Rn ) tương đương với tôpô xác định bởi họ nửa chuẩn
pM (ϕ) = sup{ x

M

|Dα ϕ(x)| x ∈ Rn , |α| ≤ M }, M ∈ N.
2

Ví dụ 1.11. Cho a > 0, khi đó f (x) = e−a|x| với x ∈ Rn là hàm giảm
nhanh.
n
n
Mệnh đề 1.12. Dãy hàm {ϕk }∞
k=1 ⊂ S (R ) hội tụ tới hàm ϕ ∈ S (R )

trong S (Rn ) khi và chỉ khi với mọi đa chỉ số α, β ta có
sup xα Dβ (ϕk − ϕ) (x) → 0 khi k → ∞.
x∈Rn

Định nghĩa 1.13. Tập hợp tất cả các hàm số p (x) ∈ C ∞ (Rn ) thỏa
mãn với mọi đa chỉ số α ∈ Nn , tồn tại c > 0 và a ∈ R (c, a phụ thuộc

vào p và α) sao cho
|Dα p (x)| ≤ c x a , ∀x ∈ Rn
tạo thành một không gian vectơ gọi là không gian các hàm tăng chậm
và ký hiệu là OM (Rn ) hoặc OM .
Mệnh đề 1.14. i) Với p ∈ OM (Rn ) thì toán tử nhân Mp : ϕ → Mp ϕ =
pϕ là tuyến tính liên tục từ S (Rn ) vào S (Rn ).
ii) Các toán tử đạo hàm Dα : ϕ → Dα ϕ, ∂ α : ϕ → ∂ α ϕ là tuyến tính
liên tục từ S (Rn ) vào S (Rn ).
7


Nhận xét 1.15. Vì S (Rn ) ⊂ OM (Rn ) nên nếu ϕ, ψ ∈ S (Rn ) thì ϕψ ∈
S (Rn ).
Mệnh đề 1.16. Với 1 ≤ p < ∞, S (Rn ) trù mật trong Lp (Rn ).
1.1.3

Không gian các hàm suy rộng tăng chậm S (Rn )

Định nghĩa 1.17. Một phiếm hàm tuyến tính u là liên tục trên S (Rn )
∞
n
n
nếu với dãy bất kì {ϕk }∞
k=1 ⊂ S (R ), {ϕk }k=1 hội tụ tới θ ∈ S (R ) thì

u (ϕk ) → 0 khi k → ∞. Tập hợp tất cả các phiếm hàm tuyến tính liên
tục trên S (Rn ) tạo thành một không gian vectơ gọi là không gian các
hàm suy rộng tăng chậm và ký hiệu là S (Rn ) hoặc S . Mỗi phần tử của
S (Rn ) được gọi là một hàm suy rộng tăng chậm (trên Rn ). Vậy
S (Rn ) = u : S (Rn ) → C u tuyến tính và liên tục trên S (Rn ) .

Khi u ∈ S (Rn ), ta ký hiệu giá trị của u tại ϕ ∈ S (Rn ) là u, ϕ .
n
Định nghĩa 1.18. Dãy hàm {uk }∞
k=1 ⊂ S (R ) được gọi là hội tụ về

hàm u ∈ S (Rn ), ký hiệu là uk → u nếu với mọi ϕ ∈ S (Rn ) ta có
uk , ϕ → u, ϕ khi k → ∞.
Mệnh đề 1.19. Tôpô trên S xác định bởi sự hội tụ nêu trong Định
nghĩa 1.18 là tôpô yếu* của cặp đối ngẫu (S, S ). Hơn nữa không gian
S (Rn ) là không gian Fréchet.
Mệnh đề 1.20. i) Với u ∈ S (Rn ), u xác định bởi
u, ϕ = u, ϕ , ∀ϕ ∈ S (Rn )
là một hàm suy rộng tăng chậm.
ii) Với u ∈ S (Rn ) , p ∈ OM (Rn ), pu xác định bởi
pu, ϕ = u, pϕ , ∀ϕ ∈ S (Rn )
8


là hàm suy rộng tăng chậm.
iii) Với u ∈ S (Rn ) , α ∈ Nn , Dα u xác định bởi
Dα u, ϕ = u, (−D)α ϕ , ∀ϕ ∈ S (Rn ) .
là hàm suy rộng tăng chậm.
Mệnh đề 1.21. Với 1 ≤ p ≤ ∞ và f ∈ Lp (Rn ), ánh xạ ϕ →

f ϕdx,
Rn

ϕ ∈ S (Rn ) xác định một hàm suy rộng tăng chậm. Theo cách này, với
mỗi p ta có một phép nhúng liên tục Lp (Rn ) vào S (Rn ).
Ví dụ 1.22. Cho hàm f ∈ L1,loc (Rn ) và |f (x)| ≤ C x

(M ∈ N). Khi đó Tf : S (Rn ) → C xác định bởi Tf ϕ =

M

, ∀x ∈ Rn

f (x) ϕ (x) dx
Rn

là một hàm suy rộng tăng chậm. Ta thường đồng nhất Tf với f và
viết f, ϕ thay vì Tf ϕ, điều này dẫn tới f, ϕ =

f (x) ϕ (x) dx. Theo
Rn

hướng này, các hàm suy rộng tăng chậm được xem như là sự tổng quát
hóa của các hàm thông thường.
1.1.4

Không gian Sobolev

Định nghĩa 1.23. Với mỗi s ∈ R, không gian Sobolev H s (Rn ) được
xác định bởi
H s (Rn ) = {u ∈ S (Rn ) |λs u ∈ L2 (Rn )} .
H s (Rn ) là không gian Hilbert với tích vô hướng và chuẩn xác định như
sau
(u, v) = (2π)−n

u (ξ) v (ξ)λ2s (ξ) dξ,

u

n

s

= (2π)− 2 λs u 2 .

Rn

Nhận xét 1.24. Nếu s ≥ t thì H s ⊂ H t . Do đó ta kí hiệu H −∞ =
∪ H s (Rn ), H ∞ = ∩ H s (Rn ). Vậy ta có S (Rn ) ⊂ H ∞ ⊂ H −∞ ⊂

s∈R

s∈R

n

S (R ).
9


Mệnh đề 1.25. Cho ϕ ∈ H ∞ và s ∈ R. Khi đó, nếu u ∈ H s thì ϕu ∈ H s
n

và ϕu

s

≤ 2|s|− 2 ϕ

|s|+n

u s . Ngoài ra, nếu a (x, D) =

aα (x) Dα
|α|≤m

là toán tử đạo hàm riêng tuyến tính cấp m với các hệ số aα ∈ H ∞ thì
a (x, D) ánh xạ liên tục H s vào H s−m .

1.2

Tích chập

Định lý 1.26. Cho f ∈ L1 (Rn ) và g ∈ Lp (Rn ) (1 ≤ p ≤ ∞). Khi đó
f (x − y) g (y) dy tồn tại với hầu hết x ∈ Rn .

tích phân
Rn

Định nghĩa 1.27. Cho f ∈ L1 (Rn ) và g ∈ Lp (Rn ) (1 ≤ p ≤ ∞). Tích
chập của f và g, kí hiệu là f ∗ g được xác định bởi công thức
f (x − y) g (y) dy, x ∈ Rn .

(f ∗ g) (x) =
Rn

Mệnh đề 1.28. Cho f, g, h ∈ L1 (Rn ). Khi đó

f ∗ g = g ∗ f,

f ∗ (g ± h) = f ∗ g ± f ∗ h.

Định lý 1.29. (Bất đẳng thức Young) Cho 1 ≤ p, q, r < ∞ sao cho
1
r

=

1
p

f ∗g

+
r

1
q

− 1. Nếu f ∈ Lp (Rn ), g ∈ Lq (Rn ) thì f ∗ g ∈ Lr (Rn ) và

≤ f

p

g q.

Mệnh đề 1.30. i) Nếu ϕ, ψ ∈ S (Rn ) thì ϕ ∗ ψ ∈ S (Rn ) và ψ → ϕ ∗ ψ

là toán tử liên tục trên S (Rn ), hơn nữa ∂ α (ϕ ∗ ψ) = ϕ ∗ ∂ α ψ (α ∈ Nn ).
ii) Nếu u ∈ S (Rn ) , ϕ ∈ S (Rn ) thì ϕ ∗ u xác định bởi công thức
ϕ ∗ u, ψ = u, ϕ ∗ ψ , ∀ψ ∈ S (Rn ) .
là hàm suy rộng tăng chậm.

10


1.3

Một số công thức liên quan

• Công thức Leibniz: Với u, v ∈ C |α| (Rn ) ta có
Dα (uv) =
β≤α

α
β

Dβ u

Dα−β v

α
β

∂β u

∂ α−β v .

hoặc
∂ α (uv) =
β≤α

α!

α β

• ∂ x =

xβ−α , α ≤ β
0

2

•

α
β

1 + |x|

− 2s

, còn lại

∞

−n

1 + |x|2

dx < ∞ với s > n,

Rn

•

; ∀α, β ∈ Nn .

Rn
2

e−x dx =

√

π.

−∞

• Với x ∈ Rn , α ∈ Nn ta có |xα | ≤ |x||α| ≤ x

11

|α|

.

dx ≤ π n .

Chương 2
Biến đổi Fourier
Nội dung của chương này được tác giả trình bày dựa trên các tài liệu
tham khảo số [1], [2], [3] và [5].

2.1

Biến đổi Fourier trong không gian L1 (Rn)

Định nghĩa 2.1. Cho f ∈ L1 (Rn ), biến đổi Fourier của hàm f kí hiệu
là f hoặc F [f ] là hàm số được xác định bởi công thức
e−ixξ f (x) dx, ξ ∈ Rn .

F [f ] (ξ) ≡ f (ξ) =

(2.1)

Rn

Kí hiệu F là biến đổi Fourier, nó tác động lên hàm f = f (x) và sinh ra
một hàm mới theo biến ξ là F [f ] (ξ) ≡ f (ξ).
Ví dụ 2.2. Cho a > 0, tìm biến đổi Fourier của f (x) = e−a|x| , x ∈ R.
Giải. Ta có
∞

∞

e−a|x| dx =

|f (x)| dx =
−∞

∞

0

−∞

−∞

0

0

B

e−ax dx

eax dx + lim

= lim

A→−∞

e−ax dx

eax dx +

B→∞
0

A

12


e−ax B
eax 0
| − lim
|
A→−∞
B→+∞
a A
a 0
e−aB − 1 2
1 − eaA
− lim
= < ∞.
= lim
B→+∞
A→−∞
a
a
a
Điều này chứng tỏ f ∈ L1 (R). Với mỗi ξ ∈ R, theo định nghĩa biến đổi
= lim

Fourier ta có

+∞

0

e−ixξ e−a|x| dx =

f (ξ) =
−∞

+∞

−∞

0

0

B

e−(a+iξ)x dx

e(a−iξ)x dx + lim

= lim

A→−∞

e−(a+iξ)x dx

e(a−iξ)x dx +

B→+∞
0

A
0

B
1
1
(a−iξ)x
−(a+iξ)x
= lim
e
e
| + lim −
|
A→−∞ a − iξ
a + iξ
0
A B→+∞
1
1
1
lim 1 − e(a−iξ)A −
lim
=
−1
a − iξ A→−∞
a + iξ B→+∞ e(a+iξ)B

1
2a
1
+
= 2
.
=
a − iξ a + iξ
a + ξ2

Ví dụ 2.3. Tìm biến đổi Fourier của hàm f (x) = e−ax H (x) trong đó
a > 0 và H là hàm bước nhảy đơn vị Heaviside.
Giải. Rõ ràng f ∈ L1 (R). Với ξ ∈ R, theo định nghĩa biến đổi Fourier
ta có
∞

∞

e−ixξ f (x) dx =

f (ξ) =
−∞
∞

−∞

e−(iξ+a)x dx =

=

e−ixξ e−ax H (x) dx

1
.
iξ + a

0

Ví dụ 2.4. Tìm biến đổi Fourier của hàm f (x) = |x| e−a|x| , a > 0.
Giải. Rõ ràng f ∈ L1 (R). Với ξ ∈ R, theo định nghĩa biến đổi Fourier
ta có
∞

e−ixξ |x| e−a|x| dx = −

f (ξ) =
−∞

∞

0

e−(a+iξ)x xdx

e(a−iξ)x xdx +

−∞

0

13


0

B

e−(a+iξ)x xdx

e(a−iξ)x xdx + lim

= − lim

A→−∞

B→∞
0

A


= − lim 
A→−∞



0

1
a − iξ

xd e(a−iξ)x 
A


− lim 
B→∞



B

1
a + iξ

xd e−(a+iξ)x 
0



=−



0

0
1
lim xe(a−iξ)x | − e(a−iξ)x dx
a − iξ A→−∞

A
A


B
B
1
−
lim xe−(a+iξ)x | − e−(a+iξ)x dx
a + iξ B→∞
0
0
0
(a−iξ)x

0
1
1
lim xe(a−iξ)x | −
e
|
a − iξ A→−∞
A a − iξ
A
B
B
1
1
lim xe−(a+iξ)x | +
e−(a+iξ)x |

−
a + iξ B→∞
a + iξ
0
0
1
1
=−
lim −Ae(a−iξ)A −
1 − e(a−iξ)A
a − iξ A→−∞
a − iξ
1
1
lim Be−(a+iξ)B +
e−(a+iξ)B − 1
−
B→∞
a + iξ
a + iξ
2
2
2 a −ξ
1
1
+
=
.
=
(a − iξ)2 (a + iξ)2

(a2 + ξ 2 )2

=−

Ví dụ 2.5. Tìm biến đổi Fourier của f (x) = e−|x| cos x.
Giải. Rõ ràng f ∈ L1 (R). Với ξ ∈ R, theo định nghĩa biến đổi Fourier
ta có
∞

e−ixξ e−|x| cos xdx =

f (ξ) =

∞

0

−∞

−∞

0

0

B

e−(1+iξ)x cos xdx.

e(1−iξ)x cos xdx + lim

= lim

A→−∞

e−(1+iξ)x cos xdx

e(1−iξ)x cos xdx +

B→∞
0

A

14


Áp dụng công thức tích phân từng phần thu được
0

0

e(1−iξ)x cos xdx =
A

e(1−iξ)x d (sin x)
A
0

0

sin xd e(1−iξ)x

= sin xe(1−iξ)x | −
A

A
0

= − sin Ae(1−iξ)A − (1 − iξ)

e(1−iξ)x sin xdx
A
0

= − sin Ae(1−iξ)A + (1 − iξ)

e(1−iξ)x d (cos x)
A

= − sin Ae(1−iξ)A


0

+ (1 − iξ) cos xe(1−iξ)x | −
A



0

cos xd e(1−iξ)x 
A

= − sin Ae(1−iξ)A + (1 − iξ) 1 − cos Ae(1−iξ)A
0
2

e(1−iξ)x cos xdx.

− (1 − iξ)

A

Suy ra
0

e(1−iξ)x cos xdx
A

=

1
(1−iξ)A
+ (1 − iξ) 1 − cos Ae(1−iξ)A
2 − sin Ae
1 + (1 − iξ)

.

0

e(1−iξ)x cos xdx

lim

A→−∞
A

1
lim − sin Ae(1−iξ)A + (1 − iξ) 1 − cos Ae(1−iξ)A
2 A→−∞
1 + (1 − iξ)
1 − iξ
=
.
1 + (1 − iξ)2
=

15

.


Tương tự
B

1 + iξ
.

1 + (1 + iξ)2

e−(1+iξ)x cos xdx =

lim

B→∞
0

Do đó
2 ξ2 + 2
1 − iξ
1 + iξ
f (ξ) =
+
=
, ξ ∈ R.
ξ4 + 4
1 + (1 − iξ)2 1 + (1 + iξ)2
Ví dụ 2.6. Tìm biến đổi Fourier của

1 nếu |x| < 1
f (x) =
.
0 nếu |x| > 1
∞

1

|f (x)| dx =

Giải. Ta có
−∞

dx = 2 < ∞. Điều này chứng tỏ f ∈
−1

L1 (R).
Với mỗi ξ ∈ R\ {0} ta có
−1

+∞

e−ixξ f (x) dx =

f (ξ) =
−∞
1

0.e−ixξ dx +
−∞

−ixξ

e

=

1

e−ixξ
−iξ

dx =

−1

+∞

1.e−ixξ dx +
−1

0.e−ixξ dx
1

eiξ − e−iξ
2 eiξ − e−iξ
2 sin ξ
| =
= .
=
.
iξ
ξ
2i
ξ
−1
1

Lại có

∞

1

2 sin ξ
.
ξ→0
ξ

e−ix.0 f (x) dx =

f (0) =
−∞

dx = 2 = lim
−1

Vậy
2 sin ξ
, ξ ∈ R.
ξ
Ví dụ 2.7. Cho a > 0 và H là hàm bước nhảy đơn vị Heaviside, tìm
f (ξ) =

biến đổi Fourier của f (x) = 1 −

|x|
a

H 1−

|x|
a

với x ∈ R.

Giải. Ta có
|x|
H 1−
a

=

1, 1 >
0, 1 <
16

|x|
a
|x|
a

=

1, |x| < a
0, |x| > a

.

Xét tích phân
∞

∞

1−

|f (x)| dx =
−∞

−∞
a

=

|x|
|x|
H 1−
a
a
a

|x|
1−
a

1−

dx =

−a
0

|x|
dx
a

−a
a

x
1+
dx +
a

=

dx

x
dx = −a < ∞.
a

1−

−a

0

Điều này chứng tỏ f ∈ L1 (R). Với mỗi ξ ∈ R\ {0} ta có

∞

∞

e−ixξ f (x) dx =

f (ξ) =
−∞
a

−a
a

=

|x|
1−
dx =
a

a

(cos xξ − i sin xξ) 1 −

|x|
dx
a

−a
a

|x|
dx + i
cos xξ 1 −
a

sin xξ 1 −

|x|
dx
a

−a

−a
a

=2

a

|x|
cos xξ 1 −
dx = 2
a

0

1−

x
cos xξdx
a

0
1

1

2a
(1 − t) cos (aξt) dt =
aξ

t= xa

= 2a
0


(1 − t) d (sin (aξt))
0

1
2a 
=
(1 − t) sin (aξt) | +
aξ
0

=

|x|
|x|
H 1−
dx
a
a

−∞

e−ixξ

=

e−ixξ 1 −

2
(1 − cos aξ) =
aξ 2
∞

Lại có f (0) =
−∞



1

sin (aξt) dt

0
2 aξ
asin 2
2 .
aξ
2

e−ix.0 H (x) dx =

a

1−
−a

17

|x|
a

dx = a = lim

ξ→0

asin2 aξ
2
2

( aξ2 )

.