Các dạng khác nhau của định lý Haln - Banach và ứng dụng

Các dạng khác nhau của định lý Haln – Banach và ứng dụng
MỤC LỤC
MỤC LỤC........................................................................................................ 1
LỜI NÓI ĐẦU.................................................................................................2
1. Lý do chọn đề tài.......................................................................................... 2
2. Mục đích nghiên cứu................................................................................... 2
3. Nhiệm vụ nghiên cứu................................................................................... 3
4. Phương pháp nghiên cứu............................................................................ 3
5. Cấu trúc khóa luận...................................................................................... 3
CHƯƠNG 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ........................................ 4
1.1. Không gian vectơ, không gian định chuẩn, không gian Banach...........4
1.2. Quan hệ thứ tự và bổ đề Zorn............................................................... 12
1.3. Tập lồi...................................................................................................... 14
1.4. Hàm cỡ.................................................................................................... 20
CHƯƠNG 2: MỘT SỐ DẠNG KHÁC NHAU CỦA ĐỊNH LÝ HALN –
BANACH VÀ ỨNG DỤNG.......................................................................... 22
2.1. Dạng giải tích.......................................................................................... 22
2.2. Dạng hình học......................................................................................... 27
2.3. Lý thuyết hàm lồi liên hợp..................................................................... 32
KẾT LUẬN....................................................................................................40

Phạm Thị Thuần

1

K34 cử nhân Toán


LỜI NÓI ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Giải tích hàm – một bộ phận quan trọng của toán học hiện đại, giải tích

hàm hình thành như một ngành khoa học độc lập và giao thời của thế kỉ XIX
và XX, khi người ta phát hiện sự tương tự sâu xa giữa một số khái niệm về
đại số, giải tích và hình học. Giải tích hàm kết hợp và khái quát tư tưởng của
nhiều phần khác nhau của giải tích cổ điển (như tích biến phân, phép tịnh vi
phân và tích phân, phương trình vi phân và tích phân), lý thuyết tập hợp, đại
số tuyến tính và hình học nhiều chiều.
Khái niệm quan trọng nhất của giải tích hàm là khái niệm tổng quát về
không gian. Nét tiêu biểu của giải tích hàm là xét các không gian vô hạn
chiều, gồm các hàm, các dãy hay các đối tượng chung khác, và cả các phép
tính đối với phần tử của các không gian đó. Cùng với sự phát triển khái niệm
không gian thì khái niệm hàm số cũng được tổng quát hóa. Đại lượng biến
thiên không phụ thuộc đối bằng số, mà phụ thuộc một hàm số nào đó được
gọi là phiến hàm. Phiếm hàm là một hàm số xác định trên không gian hàm
nào đó. Một trong những nguyên lý cơ bản của giải tích hàm là nguyên lý thác
triển Haln – Banach.
Với mong muốn được nghiên cứu và tìm hiểu sâu hơn về bộ môn giải
tích hàm, em đã mạnh dạn lựa chọn đề tài: “Các dạng khác nhau của định lý
Haln – Banach và ứng dụng” làm khóa luận tốt nghiệp đại học của mình.
Nghiên cứu đề tài này, chúng ta có thêm những hiểu biết về định lý
Haln – Banach, các dạng khác nhau và một số ứng dụng của nó.
2. Mục đích nghiên cứu
Bước đầu làm quen với công việc nghiên cứu khoa học và tìm hiểu sâu
về các nguyên lý cơ bản của giải tích hàm.


3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu các dạng khác nhau của định lý Haln – Banach và ứng
dụng của nó.
4. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu lý luận, phân tích, tổng hợp và đánh giá.

5. Cấu trúc khóa luận
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, khóa luận gồm 2
chương:
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị
Chương 2: Các dạng khác nhau của định lý Haln – Banach và ứng
dụng.


CHƯƠNG 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Không gian vectơ, không gian định chuẩn, không gian Banach.
1.1.1. Không gian vectơ
Định nghĩa 1.1. Cho V là một tập khác rỗng mà các phần tử kí hiệu là
  
, và K là một trường. Giả sử V được trang bị hai phép toán, gồm:
,



a) Phép
cộng:

 
 
: V V V , (, )
  



b) Phép nhân:

.: K V V ,



 ,

thỏa mãn những điều kiện (hoăc tiên đề) sau
đây:
 
 
  
 
(V1)  ( ) , , , V





    

(V2) 0 V : 0 0 ,
V

    

(V3) 
V , ' V : ' '

 0



   
(V4)  , , V





(V5)  , ,
K , α V



 

K , 
, V
(V6)


,
(V7)

  

 

    ,



, K , 
V



(V8) 1.

 ,

α



V

Khi đó V cùng với hai phép toán đã cho được gọi là một không gian
vectơ trên trường K hay K - không gian vectơ (gọi tắt là không gian vectơ).
Các phần tử của V gọi là vectơ, các phần tử của K gọi là các vô
hướng. Phép cộng “ ” gọi là phép cộng vectơ, phép nhân “.” gọi là
nhân vectơ với vô hướng.
Khi K  thì V được gọi là không gian vectơ thực. Khi K  thì V
R
□
được gọi là không gian vectơ phức.


Một số ví dụ
Ví dụ 1.1. Tập các vectơ tự do trong không gian với các phép toán cộng vectơ
và nhân vectơ với một số thực như đã định nghĩa trong chương trình bậc phổ
thông trung học là một không gian vectơ thực.

Ví dụ 1.2. Cho trường K và n 1. Xét tích đề các
n

K = {(x , x
,, x
1

2

) x R, i 1, 2,, n }
n

i

với hai phép toán:

x1, x2 ,,

xn ( y1, y2 ,, yn ) x1 y1,

x2 y2 ,, xn yn 

x1, x2 ,, xn  x1 , x2
,, xn , K
thì K n cùng với hai phép toán trên là một K – không gian vectơ.
Ví dụ 1.3. Tập X là tập khác rỗng, V là một K – không gian vectơ. Tập

gồm tất cả các ánh xạ : X  V với các phép
toán: ( + ) ( x ) = ( x ) +

( x )
(

) ( x ) = ( x )

với
, 
Ω

, K là một K – không gian vectơ.

Một số tính chất
Giả sử V là một K không gian vectơ. Các tính chất sau đây suy ra ngay
từ định nghĩa của không gian vectơ:

a) Vectơ 0 nói trong tiên đề (V2) là duy nhất, đó là phần tử tập trung
lập của phép công và được gọi là vectơ không.




b) Vớ
 'nói trong tiên đề (V3) là duy nhất. Nó
i
V , phần tử
là


phần tử của đối vói phép cộng trong V và kí hiệu là .



c) Trong V có quy tắc giản ước và chuyển vế.
   
 
  




 

  
 



d) Với 
.0  0.



 
 
V ta có 0.0 , R ta có

R , 
hoặc 0.

e)

Với



f) Với R , 


 ) = ( ).





 

V , nếu . = 0 thì =0
V ta có : ( ) 



=(

1.1.2. Không gian định chuẩn
Định nghĩa 1.2. Hàm số thực

p : X R xác định trên không gian
tuyến tính

thực X gọi là một nửa chuẩn trên X nếu với mọi x, y


K , ta đều có
X

và với mọi

1) p x y p x p y ;
2) p

 x 



p x .

Nếu p là một nửa chuẩn trên X thì p(x) 0 với mọi x X .
Thật vậy, với mọi x X
0 p  0 p  x
 x  p x p  x 2 p  x  .
Từ định nghĩa của nửa chuẩn ta suy ra ngay
a)

 n
 n
p  i xi p(xi ) )


i

i1



i1

với mọi 1,..., n R .
b) p(x) p( y) p(x y) x, y X .
với mọi
Một số ví dụ


Ví dụ 1.4. Đối với mọi x R p
, ta có
x là một nửa chuẩn.
x

Ví dụ 1.5. Với x   ,
 1 2



n

,p

,,n  x  
K

là một nửa chuẩn.
n



2
j j1

Định nghĩa 1.3. Ta gọi không gian định chuẩn (hay không gian tuyến tính
định chuẩn) là không gian tuyến tính X trên trường P ( P R hoặc P 
□ ) cùng với ánh xạ từ X vào tập số thực R , ký hiệu là . và đọc là chuẩn,
thỏa
mãn các tiên đề sau đây:


a) (x
X ) x

0 0 x ; (ký hiệu phần tử
, x
không là )

b) (x X ),(P)
c) (x, y
X )

x  x ;

x y x y .

số x gọi là chuẩn của vectơ x . Ta cũng ký hiệu không gian định chuẩn là
X . Các tiên đề a), b), c) gọi là hệ tiên đề chuẩn.
Một số ví dụ

Ví dụ 1.6. Đối với số thực bất kỳ x R ta đặt
x x

(1.1)

Nhờ các tính chất về giá trị tuyệt đối của số thực, công thức (1.1) cho
1

một chuẩn trên R . Không gian định chuẩn tương ứng ký hiệu là R .
Ví dụ 1.7. Cho không gian vectơ k chiều E k . Trong đó
Ek {x x1,
: x j R
x2 ,, xk
hoặc
Đối với vectơ bất kỳ x  x , x
 1 2
,, xn

x j C}

 E k ta đặt

n

x  x j j 1

2

(1.2)

Công thức (1.2) cho một chuẩn trên E k . Không gian định chuẩn tương
k

ứng kí hiệu là E .
Ví dụ 1.8. Cho không gian vectơ  2 . Đối với vectơ bất kỳ x xn  
ta đặt
x 



x

2

(1.3)

n

n1

Từ công thức

x d

2

 x,


và hệ tiên đề metric

suy ra công thức (1.3)
cho một chuẩn trên  . Không gian chuẩn tương ứng ký hiệu là  .
2
2
Định nghĩa 1.4. Dãy điểm (xn )

của không gian định chuẩn X gọi là hội tụ

tới điểm x X , nếu lim x  0 . Ký hiệu
n
n
x


lim x
 xn

n

Tính
chất
a)

(n
hay xn


)
x

(1.4)

 hội tụ tới

Nếu dãy (xn ) hội tụ tới x , thì dãy chuẩn

x

x . Hay nói

n

cách khác, chuẩn . là một giá trị thực liên tục theo biến x .
b) Nếu dãy điểm (xn ) hội tụ trong không gian định chuẩn X , thì dãy
chuẩn tương ứng
xn



bị chặn.

c) Nếu dãy điểm (xn )

hội tụ tới x , dãy điểm

y

n

hội tụ đến y trong


không gian định chuẩn X , dãy số n hội tụ tới số , thì
xn yn
x
y

Định nghĩa 1.5. Dãy điểm
,

n

n 

,

n xn 
x

x 
n

n 1, trong không gian định chuẩn X
2,...

được gọi là một dãy Cauchy (dãy cơ bản), nếu với mọi

0 , tồn tại một
số

N0

 

sao cho

un  , với m, n N0 
um
mọi

Mệnh đề 1.1. Trong không gian định chuẩn, mọi dãy hội tụ đều là dãy
Cauchy.


Định nghĩa 1.6. Cho hai không gian tuyến tính X và Y trên trường P ( P là
trường số thực □ hoặc trường số phức □ ). Ánh xạ A từ không gian X vào
không gian Y gọi là tuyến tính, nếu ánh xạ A thỏa mãn các điều kiện:
i) (x, x 'X ) A(x x ') Ax Ax ' ;
ii)

x

X

 P Ax Ax .

Ta thường gọi ánh xạ tuyến tính là toán tử tuyến tính. Khi toán tử A chỉ
thỏa mãn điều kiện i) thì A gọi là toán tử cộng tính, còn khi toán tử A chỉ
thỏa mãn điều kiện ii) thì A gọi là toán tử thuần nhất.
Khi Y  thì toán tử tuyến tính A thường gọi là phiếm hàm tuyến tính.

P


Định nghĩa 1.7. Cho X là không gian tuyến tính định chuẩn. Không gian đối
ngẫu, kí hiệu

*

X , là không gian của tất cả các hàm tuyến tính bị chặn trên X :

f : X K là
tuyến tính, và

f * f x .
sup
X
x

.
x

X,

X

X

1

được định nghĩa là một chuẩn trên

*

f

*

x 
f

*

X , được gọi là chuẩn, với mọi

. x .

X

X

Bổ đề 1.1. Cho A là toán tử tuyến tính từ không gian định chuẩn X vào
không gian định chuẩn Y . Ba mệnh đề sau tương đương:
1) A liên tục;
2) A liên tục tại
điểm

x0 nào đó thuộc X ;

3) A bị chặn.
Chứng minh

1)
Giả sử toán tử A liên tục.

2)
Theo định nghĩa, toán tử A liên tục tại mỗi điểm x A , do đó
toán tử A
liên tục tại điểm

x0 X .

2)
Giả sử toán tử A liên tục tại điểm x0 X , nhưng toán tử A

không bị
3)
chặn.
Khi đó* (n
□ )(x

X
)

n x .

Ax
Hiển nhiên


xn , đặt n
n

xn
yn n xn , thì
yn

n

1
 0 (n
 ) , nghĩa là
n

yn
khi n 

suy ra

yn x0 x0

(n ) .



Theo giả thiết, ta có
0
(n

)

A( yn x0 )

 Ax0

 A


Nhưng
Ay
n

x

n



n x 
 n 

1
n xn

suy ra Ayn 0
(n
 ) .

Ax 1.

n

Điều này mâu thuẫn với chứng minh trên.

Vì vậy toán tử A liên tục tại điểm x0

X

thì bị chặn.

3) 1) Giả sử toán tử A bị chặn. Theo định nghĩa C 0
Ax C x , x

X
Lấy một điểm bất kỳ x
X

(*)

và dãy điểm tùy ý (xn )
X

hội tụ tới x .

Nhờ hệ thức (*)
Axn
A(xn  C xn
Ax  x)
x

0
(n

) .

Do đó A liên tục tại điểm x . Suy ra A liên tục.
Bổ đề được chứng minh.
1.1.3. Không gian Banach
Định nghĩa 1.8. Không gian định chuẩn X được gọi là không gian Banach
nếu mọi dãy Cauchy trong không gian này đều hội tụ.
Nhận xét : - Trong không gian Banach, một dãy hội tụ nếu nó là dãy Cauchy.
- Không gian Banach cũng là không gian định chuẩn đầy.
Ví dụ 1.9. Cho

a b
thực, với chuẩn  . Khi đó,

X C

 a,b

là không gian Banach

u max u(x) .

(1.5)

axb

Sự hội tụ un
u

khi n trong X tương đương với

un u max un (x) u(x) 0 khi n

axb

Phạm Thị Thuần

10

K34 cử nhân Toán


Nghĩa là, dãy (un )
n 1, 2,... các hàm số
,
liên tục

un :  a,b R
liên tục đều

trên  a,b đến hàm số liên tục u :  a, b  R , n 1, 2,...
Thật vậy, trước hết ta chỉ ra . là một chuẩn.

Phạm Thị Thuần

11

K34 cử nhân Toán


Với u 

C  a,b  ,

u max u(x)
0 và

u 0

axb

max
u(x) 0


u(x) 0 , x
 a,b 

u 0 trong X .

axb

Với R , u C  a,b  :

u max u(x) max u(x) u .
axb

axb

Ngoài ra, từ u(x) v(x) u(x) v(x) , với u,v C
có

a,b, ta

u v u v
Cuối cùng ta chỉ ra X C

 a,b

là không gian Banach. Theo định nghĩa, ta

xét dãy (un ) n 1, 2,... là một dãy Cauchy trong X .
,
Khi đó
un um max un (x) um (x) ,
n, m n 0 ()

(1.6)

a
x b

Từ (1.6) suy ra
un (x) u(x) khi n 
, với x  a,b 
Cho m trong (1.6), ta có :
max un (x) u(x) , n n0 ()

axb

(1.7)

Vậy sự hội tụ trong (1.7) là đều trên a,b
Từ các điều kiện trên ta có u : a, b R liên tục.


Chứng tỏ
un
khi n trong X .

u

u C

 a,b 

và


Hay C
u
X
.

a,b

là không gian Banach thực với chuẩn

u
max
u(x)

với

axb

Mệnh đề 1.2. Giả sử un
u

khi n là một dãy Cauchy
trong không gian

định chuẩn X trên trường K có một dãy con ,

n ' 1, 2,... hội tụ, nghĩa là

un '
khi n ' trong X .

u
Khi đó, dãy ban đầu hội tụ đến u : un
u

khi n trong
X.

Hệ quả 1.1. Giả sử


u
u j

j 1
j 1

, với
(un ) X

trên trường K , n 1, 2,...

Khi đó, dãy (un ) , n 1, 2,... là một dãy Cauchy trong X .
1.2. Quan hệ thứ tự và bổ đề Zorn
1.2.1. Quan hệ thứ tự
Định nghĩa 1.9. Giả sử X là một tập hợp, là một quan hệ trong X
sao cho:
1) x  với mọi x X (phản xạ) ;
x
2) x  và y
y
x

 với mọi x, y X (phản xứng) ;
x y
3) x  y


và y z
với mọi
x z

x, y, z X


(bắc cầu).

Khi ấy ta gọi quan hệ là một thứ tự (hay thứ tự bộ phận) trên tập
X , và X được sắp thứ tự bộ phận theo thứ tự đó.
Một số ví dụ
Ví dụ 1.10. Trong □ , □ , □ , □ quan hệ thông thường là quan hệ thứ tự.


Ví dụ 1.11. Trong □

*

xét quan hệ “chia hết”. a chia hết cho b nếu tồn tại

q
sao cho a.q = b, kí hiệu ab . Quan hệ này là quan hệ thứ tự.

*
□
Ví dụ 1.12. Quan hệ bao hàm () trong tập

các tập con của một tập

hợp (S ) S là quan hệ thứ tự.
1.2.2. Quan hệ thứ tự toàn phần và bộ phận
Định nghĩa 1.10. Cho S là một tập được sắp thứ tự. Nếu với

x
y

hoặc y 
x

x, y
ta có

S

thì ta nói x và y so sánh được với nhau.

Nếu mọi x, y
đều so sánh được với nhau thì ta nói S là tập sắp thứ

S
tự toàn phần (còn gọi là sắp thứ tự tuyến tính hay sắp thẳng).
Trong trường hợp trái lại ta nói S là tập sắp thứ tự bộ phận.
Một số ví dụ
Ví dụ 1.13. Quan hệ thông thường trên □ , □ , □ , □ là quan hệ thứ tự
toàn phần.
Ví dụ 1.14. Quan hệ “chia hết” trong □

*

là quan hệ thứ tự bộ phận (chẳng

hạn 2 và 3 không so sánh được với nhau).
Ví dụ 1.15. Nếu

X 2 thì ( X ) với quan hệ là quan hệ

thứ tự bộ phận.

Thật vậy, chọn a,b X , a b thì
{a} {b}
{b} không so sánh được với nhau.
1.2.3. Bổ đề Zorn

và {b}  nên {a} và
{a}
Định nghĩa 1.11. c là
cận trên của Q nếu a
Q


phần tử lớn nhất trong Q nếu và chỉ nếu
a Q
suy ra a  c , m được gọi là
ta có m  a , khi đó a m
.
Bổ đề 1.2. Nếu S là một tập sắp thứ tự bộ phận và mọi tập sắp thứ tự tuyến
tính của tập S đề có cận trên, thì tập S có một phần tử tối đại.


1.3. Tập lồi
1.3.1. Định nghĩa 1.12. X là một không gian tuyến tính trên trường số thực.
Một tập hợp con K của X được gọi là lồi nếu với mỗi
ax (1
 a) y

cũng thuộc K .

x, y K thì:

0 a
1

(1.8)

1.3.2. Ví dụ. Hình tròn, hình tam giác, nửa hình tròn là những tập lồi trong
mặt phẳng.
1.3.3. Các tính chất: Là hệ quả trưc tiếp từ định nghĩa.
Định lý 1.1. K là tập lồi trong không gian tuyến tính X trên trường số thực
R . Giả sử
cho

x1, x2 ,, xn K . Khi đó, mọi x có dạng:
n

a
x

đều thuộc K
.

n

, aj
0

x

(1.9)

,

a

j

j

1

j j1

j1

Chứng minh
- n 1: Kết luận hiển nhiên đúng.
- n 2 : Ta
có từ

2 0 và 1 2 1 , thì

x1 , x2 K ,
1 0 ,

x 1x2 1x2 K
theo định nghĩa tập lồi.
- Giả thiết quy nạp, kết luận của bài toán đúng với

n k , tức

là
x1, x2
,, xk
K ,
thì

i 0
, i 1, n

k


i1

i

1


k

x i xi K
i1

- Xét n k 1. Lấy x1, x2 ,, xk , xk 1 K
, lấy i 0 , i 1, k 1