Định lý phạm trù Baire và một số ứng dụng

Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA: TOÁN
******
PHẠM THỊ
HƢƠNG

ĐỊNH LÝ PHẠM TRÙ BAIRE
VÀ
MỘT SỐ ỨNG DỤNG
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: GIẢI TÍCH

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học
TS. BÙI KIÊN CƢỜNG

HÀ NỘI- 2012

Phạm Thị Hương

K34C - Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Phạm Thị Hương

Trường ĐHSP Hà Nội 2

K34C - Toán


Lời cảm ơn
Khóa luận này của em đã đƣơc hoàn thành với sự chỉ bảo, hƣớng dẫn tận
tình của Tiến sĩ Bùi Kiên Cƣờng.
Qua đây em xin đƣợc bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy giáo - Tiến sĩ
Bùi Kiên Cƣờng, ngƣời đã trực tiếp tạo điều kiện và giúp đỡ em trong suốt thời
gian làm khóa luận. Đồng thời em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô
giáo trong tổ giải tích, cũng nhƣ các thầy cô giáo trong khoa Toán trƣờng ĐHSP
Hà Nội 2 đã tạo điều kiện tốt nhất để em hoàn thành khóa luận tốt nghiệp này.
Em xin chân thành cảm ơn!



Lời cam đoan
Khóa luận tốt nghiệp này của em đƣợc hoàn thành dƣới sự hƣớng dẫn tận
tình của Tiến sĩ Bùi Kiên Cƣờng, cùng với đó là sự cố gắng của bản thân.
Trong quá trình nghiên cứu, em đã tham khảo và kế thừa những thành quả
nghiên cứu của các nhà khoa học và các nhà nghiên cứu với sự trân trọng và
lòng biết ơn.
Em xin cam đoan khóa luận này là kết quả của riêng bản thân, không có
sự trùng lặp với đề tài nghiên cứu của các tác giả khác.
Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm.
Hà Nội, tháng 5 năm2012
Sinh viên
PHẠM THỊ HƢƠNG

MỤC LỤC
PHẦN MỞ ĐẦU…………...................................................................... 1
Chƣơng I: Một số kiến thức chuẩn bị.............................................................3
§1. Không gian metric...............................................................................3
§2. Tôpô trong không gian metric............................................................. 5
§3. Không gian định chuẩn,không gian Banach........................................7
Chƣơng II: Định lý phạm trù Baire và một số ứng dụng..............................14
§1.Định lý phạm trù Baire,trƣờng hợp hàm biến thực..............................14
§2. Định lý ánh xạ mở……....................................................................... 18
§3. Định lý đồ thị đóng ….........................................................................20
§4.Nguyên lý bị chặn đều,liên hệ không gian

L( X ,Y )............................22

KẾT LUẬN..............................................................................................25
TÀI LIỆU THAM KHẢO......................................................................26



PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Giải tích hàm là một ngành toán học đƣợc xây dựng vào nửa đầu thế kỉ
XX nhƣng hiện nay hầu nhƣ đƣợc xem nhƣ là một ngành toán học cổ điển. Nội
dung của nó là sự hợp nhất của những lí thuyết tổng quát xuất phát từ việc mở
rộng một số khái niệm và kết quả của Giải tích, Đại số, Phƣơng trình vi phân…
Trong quá trình phát triển từ đó đến nay, Giải tích hàm đã tích luỹ đƣợc
một nội dung hết sức phong phú. Những phƣơng pháp và kết quả rất mẫu mực
của giải tích hàm đã xâm nhập vào tất cả các ngành toán học có liên quan và có
sử dụng đến những công cụ của Giải tích. Ngoài ra, nó còn có những ứng dụng

trong vật lí lí thuyết và trong một số lĩnh vực khoa học khác.
Sự xâm nhập ấy một mặt mở ra những chân trời rộng lớn cho các ngành
toán học nói trên, mặt khác nó còn đòi hỏi ngành Giải tích hàm phải đúc kết
những kết quả của những ngành toán học riêng rẽ để trong chừng mực nào đó đề
ra những mẫu toán học tổng quát và trừu tƣợng.
Với mong muốn đƣợc nghiên cứu và tìm hiểu sâu hơn về bộ môn giải
tích hàm, em đã chọn đề tài “Định lý phạm trù Baire và một số ứng dụng” làm
đề tài khoá luận tốt nghiệp. Nghiên cứu đề tài này chúng ta có thể thấy đƣợc
ứng dụng rõ rệt của định lý phạm trù Baire. Thông qua đó thấy đƣợc vai trò
quan trọng của nó trong nhiều vấn đề giải tích và ứng dụng vào các lĩnh vực
khác của toán học nói riêng và các lĩnh vực khoa học khác nói chung.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu lí thuyết về định lý phạm trù Baire và một số ứng dụng để
thấy đƣợc vai trò quan trọng của nó trong nhiều vấn đề giải tích (chứng minh

Phạm Thị Hương

1

K34C - Toán


một tập là tập thƣa,tập không đâu trù mật…) và ứng dụng vào các lĩnh vực khác
của toán học nói riêng và các lĩnh vực khoa học khác nói chung.
3. Đối tƣợng và nhiệm vụ nghiên cứu
Các kiến thức liên quan đến không gian tôpô, không gian metric, không
gian định chuẩn, không gian Banach, định lý ánh xạ mở, nguyên lý đồ thị đóng,
nguyên lý bị chặn đều.
4. Phƣơng pháp nghiên cứu
Sử dụng kết hợp các phƣơng pháp nghiên cứu: nghiên cứu lí luận, phân

tích, tổng hợp, so sánh…
5. Phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu các kiến thức liên quan đến định lý phạm trù Baire và một số
ứng dụng của nó.
6. Bố cục luận văn
Phần mở đầu.
Nội dung khoá luận gồm hai chƣơng:
Chƣơng I: Một số kiến thức chuẩn bị.
Chƣơng II: Định lý phạm trù Baire và một số ứng dụng.
Kết luận.


CHƢƠNG 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
§1. Không gian metric
1.1. Định nghĩa
Ta gọi là không gian metric một tập hợp X  cùng với một
ánh xạ d từ
tích X 
vào tập hợp số thực  thỏa mãn các tiên đề metric sau:
X
1) (x, y
X ),

d (x, y) 0, d (x, y) 0 x y ;

2) (x, y X ), d (x, y) d ( y, x) ;
3) (x, y, z
X ),

d (x, y) d (x, z) d (z, y) ;

Ánh xạ d gọi là metric trên X , số d (x,
y)

gọi là khoảng cách giữa hai

phần tử x và y . Các phần tử của X gọi là các điểm.
1.1.1. Ví dụ
Với hai phần tử bất kỳ x, y  d(x, y)

thì

x

y

xác định một metric

trên  và đƣợc gọi là metric tự nhiên trên  .
1.2. Sự hội tụ trong không gian metric
1.2.1. Định nghĩa 1.2.1. Cho không gian metric M ( X , d ) , dãy
điểm
(xn ) X , x0 X . Dãy
điểm
điểm (xn )

gọi là hội tụ tới điểm x0 trong không


gian M khi n  nếu

(0),
(n0 

) ,(n n0 ) : d(x n , x0 ) ,



Kí hiệu lim  hay xn x0 ,(n ).
:
x0
n


Điểm x0 còn gọi là giới hạn của dãy (x ) trong không gian M .
n
1.2.2. Ví dụ


Trong  m ta xét metric thông thƣờng. Xét phần tử a (a ,a ,....,a
)
1
2
m
với xn (xn , xn ,..., xn ) .
n
Ta
có:
và dãy (x
)
a)

1

d (xn

2
m
m

, a) (x i nai ) 2

n
i 1,...., m.
x
i 
ai ,

1

Từ đó suy ra:
lim xn
a

trong (

x

m

,d)


lim xn

 i 
ai 1,..., m

trong  .

x

i

1

Sự hội tụ của một dãy điểm (xn ) trong không gian □ là sự hội tụ của
dãy số thực đã biết trong giải tích toán học.
c) Sự hội tụ của một dãy điểm trong không gian C[a,b] tƣơng đƣơng với
b)

sự hội tụ đều của dãy hàm liên tục trên đoạn  a,b :
Trong C[a,b] ta xét “metric hội tụ đều”. Ta có:
d

xn x 0, n0 : n n0
sup xn (t) x(t) .
atb

dãy hàm {xn (t)} hội tụ đều
trên  a,b về hàm
lim xn (t) x(t)t

 a,b  .
x

Nhƣ vậy

x(t) .


lim xn (t)
x(t)t
a,b

x

là điều kiện cần để lim xn
x

trong

x

C[a,b] với metric hội tụ đều.
1.3. Không gian metric đầy đủ
1.3.1 Định nghĩa 1.3.1. Cho không gian metric

M ( X , d ) . Dãy điểm (xn )
X

gọi là dãy cơ bản trong M nếu:


Hay

(  0),
(n0 N

),(n, m n0 ), d (xm , xn) .


lim d (x , x ) 0 .
n
m

n,m

1.3.2. Định nghĩa 1.3.2. Không gian metric M ( X đƣợc gọi là không gian
,d)
đầy nếu mọi dãy cơ bản trong không gian này hội tụ.
1.3.3. Ví dụ
a)

Không gian C[a,b] là không gian đầy.

b)

Không gian 

với metric d thông thƣờng là đầy đủ. Thật vậy, xét tùy

m
n

ý dãy Cauchy (x ) với xn (xn , xn ,..., xn ) . Vì
1

d (x , x

)
n

k



2

m

x  i 
k
1,..., m
x
n

n

x
lim
x k  0 .

i

lim d (x n , xk )

n,k   0

n,k 

i

i

n

Nên suy ra các dãyi (x ) : i là dãy cauchy trong  , do đó chúng
1,..., m
hội tụ vì  đầy đủ.
Đặt a lim xn (i 
1,.., m)
i

và xét phần tử a (a ,a
,....,a
1

) , ta có lim x
a

2
m

x

x
i

m

trong ( , d
).

§2. Tôpô trong không gian metric

2.1. Tập mở, tập đóng
2.1.1. Định nghĩa 2.1.1. Không gian metric

n

M ( X , d )


và tập A X . Tập A
gọi là tập mở trong không gian M nếu mọi điểm thuộc A đều là điểm trong
của A, nói cách khác, nếu điểm x A thì tồn tại một lân cận của x bao
hàm trong A .
Tập A gọi là tập đóng trong không gian M nếu mọi điểm không thuộc A
đều là điểm ngoài của A , hay nói cách khác, nếu điểm x
thì tồn tại một lân
A
cận của x không chứa điểm nào thuộc tập A .

2.1.2. Định lý 2.1.2. Trong không gian metric bất kỳ, mọi hình cầu mở là tập
mở, mọi hình cầu đóng là tập đóng.
2.1.3. Hệ quả 2.1.3. Trong không gian metric bất kỳ, phần trong của một tập
mở là một tập mở, bao đóng của một tập là tập đóng.
2.2. Tôpô trong không gian metric
2.2.1. Định lý 2.2.1. Trong không gian metric bất kỳ, họ tất cả các tập
mở trong M lập thành một tôpô trên X .
Tập  tất cả các tập mở trong không gian

M ( X gọi là tôpô
,d)

metric sinh bởi metric d .
Trong không gian metric bất kỳ M ( X , d ) , topo  sinh bởi metric
d là
tôpô có cơ sở lân cận đếm được.
2.2.2. Hệ quả 2.2.2. Trong không gian metric bất kỳ, giao của một họ tùy ý các
tập đóng, hợp của một họ hữu hạn tùy ý các tập đóng là tập đóng.
2.3. Tập trù mật, tập không đâu trù mật
2.3.1. Định nghĩa 2.3.1. Cho không gian tôpô X . Giả sử A và B là hai tập con
của X . Ta nói tập A trù mật trong B nếu B
A

với A là bao đóng của tập A .

Tập A đƣợc gọi là trù mật khắp nơi nếu A trù mật trong toàn không gian X .
Một tập A đƣợc gọi là không đâu trù mật nếu int A  .
2.3.2. Định lý 2.3.2. Tập A là tập không đâu trù mật trong X khi và chỉ khi
mỗi tập mở khác rỗng trong X đều chứa một tập hợp mở khác rỗng không có

điểm chung với A .
Chứng minh


Giả sử A là tập không đâu trù mật và U là tập mở khác rỗng trong X . Vì
int A  nên U A . Do đó:
W U ( X \ A) 
Vậy W là tập mở không rỗng và W U, W A .
Đảo lại, mỗi tập hợp mở không rỗng U đều tồn tại W là tập hợp mở
không rỗng và W U , W A
 . Khi đó
A X
\ W nên

X \ W là tập hợp đóng. Do

A X \ W. Từ đó, W A . Nhƣ vậy
nếu U  là tập mở

bất kỳ thì U A . Vì vậy int A .
§3. Không gian định chuẩn, không gian Banach
3.1. Không gian định chuẩn
3.1.1. Định nghĩa 3.1.1. Ta gọi không gian định chuẩn (hay không gian tuyến
tính định chuẩn) là không gian tuyến tính X trên trƣờng P cùng với một ánh xạ
từ X vào tập số thực  , kí hiệu là . thỏa mãn các tiên đề chuẩn sau đây:
1) (x
X ),

x  x 0 x 0;
0,

2) (x X ), (P),
3) (x, y
X ),

x

 x ;

x y x y .

Số x gọi là chuẩn của véc tơ x . Ta kí hiệu không gian định chuẩn là X .
3.1.2. Ví dụ


Cho không gian véctơ

l2 . Đối với véctơ bất kỳ x (xn ta đặt:
) l2
x 



x

n1

2
n

thì đây chính là một chuẩn trên l2 . Không gian chuẩn tƣơng ứng kí hiệu là l2 .
3.1.3. Định nghĩa 3.1.3. Ta nói chuẩn .
tƣơng đƣơng nếu tồn tại hằng
số

C1,
C2

1

và .

2

trên không gian véctơ X là

thỏa mãn:
. C
.2 .

C .
3.1.4. Chú ý

1

2

1

1

Trong một không gian hữu hạn chiều, mọi chuẩn đều tương đương nhau.
Các chuẩn tương đương cùng sinh một tôpô. Điều này không còn đúng trong
không gian vô hạn chiều.
3.1.5. Định nghĩa 3.1.5. Một phép đẳng cấu giữa hai không gian tuyến tính định
chuẩn là một song ánh tuyến tính bị chặn.
Hai chuẩn . và . là tƣơng đƣơng  id : ( X , . )
ánh xạ
(X,. )
1

cấu (
id

2

1

là một đẳng
2

liên tục và ánh xạ ngƣợc cũng liên tục).

3.1.6. Ví dụ
Mỗi không gian Hilbert tách đƣợc (tức tồn tại một cơ sở Hilbert đếm đƣợc) đều
đẳng cấu với l2 .
3.2. Không gian Banach
3.2.1. Định nghĩa 3.2.1. Một không gian Banach là một không gian tuyến tính định
chuẩn đầy đủ (tức là mọi dãy cơ bản đều hội tụ về một điểm nào đó của không gian

ấy).


3.2.2. Ví dụ
a) Không gian Hilbert là không gian Banach.


L ( X ,d  ) ,1 p là không gian Banach.
P

b)
c)


 n nN 
n 

l  ) : ( | |p )1/ p  ,1 p là không gian
U
Banach

(U

n


p

p



(chú ý rằng l p L (
, d )

với




n là độ đo Dirac tại các

 n và
n

điểm nguyên n.
3.2.3. Định nghĩa 3.2.3. (Toán tử tuyến tính bị chặn) Một ánh xạ tuyến tính
bị chặn (hay toán tử bị chặn) T giữa hai không gian tuyến tính định
chuẩn ( X 1, . 1 ) và( X 2 , . 2 ) là một ánh xạ tuyến tính thỏa mãn c 0 sao
cho:
x X 1,
Tx 2 c 

Tx .
1

Nhƣ đã biết từ trƣớc đó, T bị chặn T liên tục T liên
tục tại một điểm. Ta định nghĩa chuẩn của toán tử là:
T sup Tx 2 .
x 1 1

3.2.4. Bổ đề 3.2.4. Chuẩn của toán tử cũng là một chuẩn trên không gian
L( X ,Y ) tất cả các toán tử tuyến tính bị chặn từ X vào Y.
Chứng minh
Trƣớc hết, ta chứng minh bất đẳng thức tam giác.
Vì

(T
S )
x

Tx
Sx


Tx

 Sx

. là một chuẩn nên ta có:
2

,


2
 Tx 
Sx
sup
x

2

2

1

2

sup(
Tx
x

1

2

1
1

2

 Sx

)
2

Mà
sup( Tx
2

x

1

1

 S
x

2

) sup
Tx
x

1

1

 sup Sx .
2

2
x

1

1

sup
(T S)x

2

sup
Tx

x 11

 sup Sx
2

2
x 11

x
1
1

T
 S .
S T

Tiếp theo, ta chứng minh aT a . Thật vậy, ta có :
.T
aT 
sup

aT

x

2

. Vì . là một chuẩn nên: aT
x
2

2

a
Tx

. Mặt khác, với số
2

x 11

dƣơng bất kì a thì supa a.sup, do đó:
aT sup aTx
x 11

2

sup a Tx2
x 11

a sup Tx2
x 1 1

a T .
Cuối cùng, ta chứng minh T 0 T 0 . Nói cách khác, ta phải
chứng minh Tx
= 0 x X1 . T 0
Ta thấy,


thì x

X1,
T 0 .

x 
1,
1

Tx 0 . Theo tính chất tuyến
tính
2

Tx 0 . Nhƣng . là một chuẩn nên Tx 0 , x
2
do
X1 . Do đó
2


3.2.5. Định lý 3.2.5. Nếu Y là một không gian Banach thì
không gian Banach.

L( X ,Y cũng là một
)