Giải gần đúng phương trình tích phân tuyến tính fredholm loại 2

Khóa luận tốt nghiệp đại học

Phạm Thị Kim Anh – K34B SP Toán

LỜI CẢM ƠN
Trong thời gian học tập tại khoa Toán – Trường ĐHSP Hà Nội 2 được
sự dạy dỗ và chỉ bảo tận tình của các thầy cô, em đã tiếp thu được nhiều kiến
thức khoa học, kinh nghiệm và phương pháp học tập mới, bước đầu làm quen
với việc nghiên cứu khoa học.
Qua đây em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới toàn thể các thầy, các cô
trong khoa Toán – những người đã luôn chăm lo, dìu dắt chúng em trưởng
thành như ngày hôm nay.
Đặc biệt, em xin chân thành cảm ơn thầy giáo PGS.TS Khuất Văn
Ninh, người đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo và đóng góp nhiều ý kiến quý
báu trong thời gian em thực hiện khóa luận này.
Em xin chân thành cảm ơn!

Sinh viên
Phạm Thị Kim Anh

Giải gần đúng phương trình tích phân tuyến tính Fredholm loại 2


LỜI CAM ĐOAN
Khóa luận của em được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của thầy giáo
PGS.TS Khuất Văn Ninh cùng với sự cố gắng của bản thân. Trong quá
trình nghiên cứu em có tham khảo một số tài liệu của một số tác giả (đã nêu
trong mục tài liệu tham khảo).
Em xin cam đoan những kết quả trong khóa luận là kết quả nghiên cứu
của bản thân không trùng với kết quả của tác giả khác. Nếu sai em xin chịu
hoàn toàn trách nhiệm.

Sinh viên
Phạm Thị Kim Anh


MỤC LỤC
Lời cảm ơn
Lời cam đoan
Lời nói đầu................................................................................................... 1
Chương I: Một số kiến thức cơ sở
1.1 Một số kiến thức liên quan...................................................................... 3
1.1.1 Ánh xạ
1.1.2 Không gian Metric
1.1.3 Không gian định chuẩn
1.1.4 Không gian Hilbert
1.1.5 Điều kiện Lipschits
1.1.6 Không gian C[a;b]
1.1.7 Không gian £ p [a;b ]
1.2 Tổng quan về phương trình tích phân tuyến tính Fredholm loại 2........11
1.2.1 Phương trình toán tử
1.2.2 Phương trình tích phân
Chương II: Một số phương pháp giải gần đúng phương trình tích phân
tuyến tính Fredholm loại 2
2.1 Phương pháp ánh xạ co.........................................................................14
2.1.1 Ánh xạ co
2.1.2 Phương pháp giải
2.2 Phương pháp cầu phương......................................................................21
Chương III: Một số ví dụ ứng dụng
3.1 Phương pháp ánh xạ co.........................................................................25
3.2 Phương pháp cầu phương......................................................................33

3.3 Ứng dụng giải số bằng lập trình Maple 12............................................40


3.3.1 Phương pháp ánh xạ co
3.3.2 Phương pháp cầu phương
Kết luận......................................................................................................45
Tài liệu tham khảo.....................................................................................46


LỜI NÓI ĐẦU
Toán học là một môn khoa học gắn liền với thực tiễn, bởi toán học bắt
nguồn từ nhu cầu giải quyết các bài toán có nguồn gốc từ thực tiễn. Cùng với
thời gian, toán học ngày càng phát triển được chia làm hai lĩnh vực: Toán học
lý thuyết và toán học ứng dụng. Sự phát triển của toán học được đánh dấu bởi
những ứng dụng toán học vào giải các bài toán thực tiễn.
Trong lĩnh vực toán học ứng dụng, thường gặp rất nhiều bài toán có
liên quan đến việc giải phương trình tích phân. Nó được xem như là một công
cụ toán học có ứng dụng rộng rãi không chỉ trong toán học mà còn trong
nhiều ngành khoa học khác, ví dụ như nghiên cứu phương trình tích phân
nhằm giải phương trình vi phân với các điều kiện biên xác định hoặc để giải
quyết một số vấn đề vật lý mà phương trình vi phân không thể mô tả được
như hiện tượng khuếch tán, hiện tượng truyền, ….Vì vậy việc nghiên cứu giải
phương trình tích phân đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết toán học.
Được sự hướng dẫn tận tình của thầy giáo PGS.TS Khuất Văn Ninh
cùng với lòng say mê nghiên cứu khoa học, là một sinh viên sư phạm chuyên
ngành toán, em mạnh dạn chọn đề tài khóa luận tốt nghiệp là:
“ Giải gần đúng phương trình tích phân tuyến tính Fredholm loại 2 ”.
Có rất nhiều phương pháp giải gần đúng phương trình tích phân tuyến
tính Fredholm loại 2 nhưng do bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa
học và thời gian nghiên cứu còn ít nên trong khuôn khổ khóa luận này em xin

bày tỏ một số vấn đề sau:
Chương I: Một số kiến thức cơ sở
Chương này gồm một số kiến thức cơ bản về ánh xạ, về các không gian
( Metric, Banach, không gian định chuẩn,….), điều kiện Lipschits, tổng quan
về phương trình tích phân tuyến tính Fredholm loại 2.


Chương II: Một số phương pháp giải gần đúng phương trình tích
phân tuyến tính Fredholm loại 2.
Trong chương này em tập trung vào hai phương pháp chính đó là:
Phương pháp ánh xạ co và phương pháp cầu phương vào giải phương trình
tích phân tuyến tính Fredholm loại 2.
Chương III: Một số ví dụ ứng dụng
Trong chương này em trình bày một số ví dụ minh họa áp dụng hai
phương pháp trên và một số bài tập áp dụng để bạn đọc có thể tìm hiểu thêm.
Mặc dù đã rất cố gắng nhưng đây là lần đầu làm quen với phương pháp
nghiên cứu nên khóa luận của em không tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy
rất mong nhận được ý kiến đóng góp của các thầy cô giáo và các bạn sinh
viên để em thực hiện thành công khóa luận tốt nghiệp và có thể nghiên cứu đề
tài ở mức độ sâu hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày 14 tháng 5 năm 2012
Sinh viên

Phạm Thị Kim Anh


Chương I
Một số kiến thức cơ sở
1.1. Một số kiến thức liên quan

1.1.1. Ánh xạ
Định nghĩa1.1. Cho hai tập hợp khác rỗng Χ và Y . Gọi là
một ánh xạ đi từ tập Χ đến tập Y một quy tắc nào đó từ tập

Χ đến tập Y sao cho với
mỗi x ∈ Χ có một và chỉ
một phần tử

y
tương ứng, thường kí hiệu là:
∈
Y

f: Χ → Y
x y
Định nghĩa 1.2. Cho ánh xạ f đi từ Χ vào Y . Nếu ánh xạ g
đi từ

Y vào
Χ sao cho
là f

−1

.

Ta có:

gf = 1X fg = thì g được gọi là ánh xạ ngược của f
1Y

và

( f )1 =
−1

f

1.1.2. Không gian Metric
Định nghĩa 1.3. Ta gọi không gian Metric là một tập hợp

Χ cùng
≠

φ

với một ánh xạ d từ tích Descartes Χ×Χ vào tập hợp số thực □
thỏa mãn các tiên đề sau:
M1:

(∀x,

y ∈ Χ)


M2:

(∀x,

d ( x, y

y

)

≥ 0 , d ( x,

y) = 0 ⇔

x= y

( tiên đề đồng nhất)
∈ Χ ) M 3:

d ( x, y ) = d ( y, x )
( tiên đề đối xứng)

(∀x,
z ∈ Χ)

y, d ( x, y ) ≤ d ( x, z ) + d ( z,
y)
( tiên đề tam giác)

M1, M2,M3 được gọi là hệ tiên đề Metric.


Ánh xạ d gọi là Metric trên Χ, số d ( x, y ) gọi là khoảng cách
giữa hai phần tử x và y.
Không gian Metric thường được kí hiệu là:
Μ = ( Χ,d ) .

( Χ, d ) hoặc

Định nghĩa 1.4. Cho không gian Metric Μ
.Dãy điểm
=
( x ⊂ Χ gọi là dãy cơ bản nếu:
( Χ,d )
)
n n=1
không âm sao cho với ∀m, n ≥ n0 . Ta có:
Với ∀ε >
0 , ∃n0
d ( xn , xm )
< ε

ha
y

lim ( x , xm ) = 0

n
n→∞
m→∞

Định nghĩa1.5. Cho không gian Metric Μ =

( Χ,d ) gọi

là không gian đầy (hay đủ) nếu mọi dãy cơ bản trong không gian

Μ đều hội tụ trong không gian Μ .
1.1.3. Không gian định chuẩn
Định nghĩa1.6. Cho không gian tuyến tính Χ xác định trên
trường

Κ ( Κ = □ hoặc Κ = □ ). Ta gọi Χ là không gian
định chuẩn ( hay không gian tuyến tính định chuẩn )nếu mọi không gian
tuyến tính Χ cùng với ánh xạ từ Χ vào tập số thực □ , kí hiệu là
. , đọc là chuẩn thỏa mãn các tiên đề
sau:
1)
∈
không).

( ∀x
Χ)

x ≥
0,

x = 0
⇔
x= θ

( θ là kí hiệu phần
tử


(∀x ∈

Χ) , ( ∀α
∈Κ )
2)

3)
∈

( ∀x,
Χ)

y

α x = α ⋅ x.

x+ y ≤ x + y .

Các tiên đề 1), 2), 3) được gọi là hệ tiên đề chuẩn.
Số x gọi là chuẩn ( hay độ dài ) của vectơ x ∈ Χ , không
gian định chuẩn Χ và . kí hiệu là

( Χ, . ) .


Định lý 1.1. Giả sử Χ là một không gian định chuẩn. Với
mọi
x, y ∈ Χ ,đặt:
d ( x, y ) = x − y
Khi đó, d là một Metric trên Χ.
Định nghĩa 1.7. Dãy ( xn ) trong không gian định chuẩn

Χ được gọi là
hội tụ
đến

x0 ∈ Χ xn − = 0 .
nếu lim x0
n→∞
Khi đó, ta kí hiệu:

lim x = x0 hoặ
c

n
n→∞

Định

( xn ), n =
2;.....

nghĩa
dãy
1;

1.8.

Trong

xn
khi n → ∞ .

→
x0

không

gian

định

chuẩn

Χ ,

được gọi là một dãy Cauchy ( dãy cơ bản ) nếu với mọi

ε > 0 , tồn tại một số
n0 (ε )

sao cho ∀m, n ≥ n0 (ε

un − um < ε

hay lim xn −
n
→ x
m
∞

)

ta có:

= 0.

m
→
∞

Mệnh đề: Trong không gian định chuẩn mọi dãy hội tụ đều là dãy
Cauchy.
Định nghĩa1.9. Giả sử không gian định chuẩn Χ là một không
gian
Metric đầy đủ ( với khoảng cách d ( x, y

)=

x−y


). Khi đó Χ được gọi là
một không gian định chuẩn đầy đủ, hay còn gọi là không gian Banach.
Định nghĩa 1.10. Không gian định chuẩn Χ trên trường Κ
được gọi là không gian Banach nếu mọi dãy cơ bản trong không gian
này đều hội tụ.
Định nghĩa 1.11. Cho hai không gian tuyến tính Χ và Y trên
trường

Κ . Ánh xạ Α từ không gian Χ vào không gian Y được gọi là
tuyến tính nếu

Α thỏa mãn:
1)

Α( x + y ) = Αx

+ Αy , với ∀x, y ∈ Χ .
2)

Α( α x ) =

αΑx , với

∀x ∈ Χ,α ∈Κ .


Α cũng được gọi là toán tử tuyến tính.
Khi đó, nếu Α chỉ thỏa mãn 1) thì Α được gọi là toán tử
cộng tính, nếu

Α chỉ thỏa mãn 2) thì Α được gọi là toán tử thuần nhất. Khi Y
= Κ thì toán tử tuyến tính Α được gọi là phiếm hàm tuyến tính.
Định nghĩa1.12. Cho không gian định chuẩn Χ và Y . Toán tử
tuyến tính Α từ không gian Χ vào không gian Y gọi là bị chặn
nếu tồn tại hằng số c ≥ 0 sao cho:
Αx ≤ c. x ,

với ∀x ∈Χ .

Định nghĩa1.13. Cho hai không gian định chuẩn Χ và Y . Kí
hiệu £

(Χ
, Y)

là tập tất cả các toán tử tuyến tính bị chặn từ không gian Χ
vào

không gian Y. Ta đưa vào £ ( Χ, Y ) hai phép toán:
•

Tổng của hai toán tử

Α,Β∈ £
kí hiệu là .

( Χ,

Y ) là toán tử,

Α + Β, xác định bởi biểu thức:

(Α

+ Β )( x
∈ Χ .
•

Tích vô hướng của

)

= Αx + Βx , với ∀x

α ∈Κ ( Κ = □ hoặc Κ = □

) với toán tử Α∈ £

( Χ, Y) là toán tử kí hiệu là αΑ

, được

xác định bởi biểu thức:

( αΑ)( x )

=

α ( Αx ) .

Dễ kiểm tra được rằng

Α + Β∈£

( Χ,

Y),

α Α∈£ ( Χ, Y ) và hai phép toán trên thỏa mãn tiên đề tuyến

tính . Khi đó, tập £

( Χ,

Y ) trở thành một không gian tuyến tính

trên trường Κ .
Định lý 1.2. Nếu Y là một không gian Banach thì £

( Χ,

Y)

gian Banach.

là không


1.1.4. Không gian Hilbert
Định nghĩa 1.14. Cho không gian tuyến tính Χ trên trường

Κ ( Κ = □ hoặc Κ = □ ). Ta gọi tích vô hướng trên
không gian Χ mọi ánh xạ từ tích Descartes Χ× Χ vào
trường Κ , kí hiệu (.,.) thỏa mãn các tiên đề sau:

( y,
x) = ( x, y )
1)

(x+

) + ( y, z )
2)

vớ ∀x, y ∈ Χ ;
i

y, z ) =

3)
(α x, y ) =
∀x, y ∈ Χ ;
4)

( x, x )

( x, z

vớ ∀x, y, z ∈ Χ ;
i

α ( x, y ) với ∀α ∈Κ và

> 0 , nếu x ≠

θ ( θ là kí hiệu phần tử

không), với ∀x ∈Χ ; 5)

( x, x )

= 0 , nếu x

= θ , với ∀x ∈ Χ ;
Các phần tử x, y, z,..... gọi là các nhân tử của tích vô hướng . Số

( x, y)

gọi là các tích vô hướng của hai nhân tử x và y . Các tiên đề 1), 2), 3), 4), 5)
gọi là hệ tiên đề tích vô hướng.
Định nghĩa 1.15. Không gian tuyến tính Χ trên trường Κ
cùng với
một tích vô hướng trên Χ gọi là không gian tiền Hilbert.
Định lý 1.3. Cho Χ là không gian tiền Hilbert. Với mỗi x ∈
Χ , ta đặt
x =x, x . Khi đó, ta có bất đẳng thức sau ( gọi là bất đẳng thức
Schwarz )
:

( x, y )

≤


x ⋅ y

, ∀x, y ∈ Χ .

Từ bất đẳng thức trên ta có thể chứng minh được rằng mọi không gian
tiền Hilbert đều là không gian định chuẩn, với chuẩn x =x, x .
Định nghĩa 1.16. Ta gọi không gian tuyến tính

Η≠ φ
không gian Hilbert Η thỏa mãn các điều kiện sau:
1)

Η là không gian tiền Hilbert;

trên trường Κ
là


Η là không gian Banach với x =

2)

với x
∈
Χ
x, x .

chuẩn

Ta gọi mỗi không gian tuyến tính con đóng của không gian Hilbert

Ηlà không gian Hilbert con của không gian Η.
1.1.5. Điều kiện Lipschits
Ta nói rằng trên [a;b] ánh xạ Α thỏa mãn điều kiện Lipschits
theo biến
y nếu tồn tại £ > 0 sao cho với ∀y, y ′ ∈[ a;b ] ta có bất đẳng
thức:
Αy − Αy′ ≤ £ y − y′

Số £ được gọi là hằng số Lipschits.
1.1.6. Không gian C[a;b]
Định nghĩa 1.17. Tập hợp các hàm số thực liên tục trên một đoạn
C[a;b

với

]

khoảng
tử

cách

giữa

hai

x (t )

phần

y (t ) là

và

ρ ( x, y ) = max là không gian C
[a;b]
x (t

) − y (t )
a≤t ≤b

Không
gian

x ( t ) ∈C[ a;b] :

C[a;b là không gian định chuẩn với chuẩn xác định
]

x = max x ( t
a≤t≤b

Định lý 1.4. Không gian
C[a;b]
Chứng minh:
Giả sử

{x (t )}

)

(1.1)

là không gian Banach với chuẩn (1.1).


là dãy cơ bản
bất kỳ trong

( ∀ε

(∃n

0

C
n

> 0) ,

,nghĩa là với
[a;b]

n=1

), (∀m, n

∗

∈□

≥ n0 ) :

Suy ra max x (t ) − x
n
m
(t ) < ε

xn −
xm

< ε .

∀m, n ≥ n0 .

a≤t≤b

Do đó,

xn (t ) − xm ( t ) < ε ,
∀m, n ≥ n0 ,

∀t
∈ [ a;b

]

( 1.2)


Như vậy với mỗi t cố định thuộc [a;b]
thì

{x ( t
)}
n

1

trong □ .
Vì

□ 1 là một không gian đầy nên dãy

{x ( t
)}
n

là dãy cơ bản
n=1
1

hội tụ trong □ .
n=1

Đặt x (t ) = lim xn (t ) , cho t thay đổi trên [a;b] thì ta có
hàm số

x (t )

n→∞

trên

[a;b].
Từ ( 1.2 ) cho m → ∞ ta có:

( ∀ε

>

0 ), ( ∃n0 ∈ □

Hay

),(∀m, n ≥

∗

xn (t

) − x(t ) < ε

max xn (t

) − x (t ) < ε

a≤t≤b

Tức là dãy

n0 ) , ( ∀t ∈[ a;b ] )

xn (t ) hội tụ đều
tới

Vậy x t
( liên tục trên C

và[a;b]

)

x (t ) .

(t
)}

x(t
và
) ∈C[a; {x
b]

x (t ) trong C[a;b] . Nói cách khác,
C[a;b]

hội tụ tới
∞

n

n=1

là không gian Banach với chuẩn ( 1.1 ).

1.1.7. Không gian £ p [Ε,

µ ]
Giả sử Ε là một tập nào đấy, F là một σ - đại số các tập con của

tập Ε ,


µ

là một độ đo trên F . Ta kí hiệu: £ p [Ε, µ

] là tập tất cả x (t ) đo

các hàm được theo độ đo µ trên tập Ε sao cho:

∫

E

Tập £ p [Ε, µ

x(t

p

)

d

µ < +∞

] là không gian tuyến tính trên trường số thực □

với các phép toán thông thường cộng hai hàm số và nhân một số thực với

hàm số.
Thật vậy, với x ( t ) , y ( t

) ∈£ ta có:
p [Ε; µ ]
+
(t ), xy((tt )) +
}y (t ) ≤ 2max{ x ≤ x2(t )
p



(



(∀t

p

+ y (t
p

∈Ε )

p

)

)

Suy ra

∫

x (t ) + p y (t
µ≤ 2

) p d xµ(t +
) pd
∫
Ε

Ε

⇒ x (t

+ £

p

)

+ y (t

[Ε, µ ] , và ∀k

∫



dµ
 .


) ∈£ p [Ε, µ ]

∈□ ta có:
∀t ∈Ε.

p
p

∫yt
Ε

p
kx ( t ) =
k p ⋅ x(t )

⇒

p

p

kx ( t p) d

µ = k

µ < +∞
Ε

∫ x (t )

d

Ε

⇒ kx ( t

) ∈£ p [Ε, µ ] .

Dễ dàng kiểm tra hai phép toán trên thỏa mãn hệ tiên đề tuyến tính
nên không gian £ p [Ε, µ
Với mỗi hàm số x ( t

] trở thành không gian tuyến tính thực.
) ∈£ p [Ε, µ ] ta đặt:

x (t )


= ∫
x (t )
 Ε

1

p



dµ



p

( 1.3)

Dễ dàng kiểm tra công thức ( 1.3 ) thỏa mãn hệ tiên đề chuẩn.
Do đó, £ p [Ε, µ
Nếu Ε =

[a;b] và
Hàm x ( t ) ∈£

[a;b]
⇔

] trở thành không gian định chuẩn (1.3 ).

p = 2 thì ta có không gian £ 2[ a;b ] .
b
p

∫ x (t
)

a

2

dt < +∞ .


Với mỗi hàm

x (t ) thuộc £ 2[a;b] ta đặt:
x (t ) =
( t) b∫ x



a

1
2

dt2



( 1.4 ).


1.2. Tổng quan về phương trình tích phân tuyến tính Fredholm loại 2
1.2.1. Phương trình toán tử
Cho Α là toán tử tuyến tính liên tục từ không gian định chuẩn

Χ vào chính nó.
x=

Phương trình dạng:
λΑx + f

( 2.1).

Trong đó f cho trước, f ∈ Χ ,

λ là tham số thực hoặc

phức được gọi là phương trình loại 2 đôi khi còn gọi là phương trình
Fredholm loại 2.
1.2.2. Phương trình tích phân
Định nghĩa 1.18. Phương trình tích phân là phương trình mà hàm ẩn
nằm dưới dấu tích phân.
Ví dụ:

1

x (t

) = ∫(t +
) x ( s ) ds +

s

f (t ) .

0

Định nghĩa 1.19. Nếu Α là toán tử tích phân tuyến tính thì tương
ứng với ( 2.1 ) ta có phương trình tích phân loại 2.
Định lý:
Cho

Κ

là một hàm số liên tục theo hai biến

(t, s)

(t,
x ( s ) là hàm số liên tục trên [a;b]
s ) ∈ [ a;b ] × [ a; hay

x ( s ) ∈C[a;b] .

b] ,
b

Đặt:

( Αx )( t )

)x ( s ) ds

a

=

∫ Κ (t, s

Khi đó Α là
toán tử tuyến tính
từ C[a;b]
Chứng minh:


Thật vậy:

( 2.2 ).
vào chính nó.

+ Do Κ

(t, s)
liên tục trên

[ a;b]

liên tục theo hai biến trên

[ a;b] ×[ a;b ] ,
nên

(t, s ) ∈[ a;b] ×[ a;b] .Do
phân

Κ

( t, s
),

x (s

là hàm liên tục theo hai biến

)

đó, theo định lý về tính liên tục của tích

phụ

thuộc tham số, ta có

x ( s ) là hàm số

Α liên tục trên [a;b].
x(t )


b

∫ Κ (t, s) x ( s ) ds ∈

Suy ra

a

Vậy toán tử Α tác
động từ
Hàm Κ

( t, s )

C[a;b] .

C[a;b vào C[a;b] .
]

trong (2.2) được gọi là nhân ( hạch ) của toán tử Α .

+ Α toán tử tuyến tính

∀α ,
β ∈□
,

∀x, y
∈C[a;b]

với x = x ( t ) , y = y ( t ) ta có:

b

Α (α x + β y

)

)( t )

=

+ β y ( s )  ds

∫ Κ ( t, s ) α x ( s

a

b

b

= α

∫ Κ (t, s ) x ( s )ds +

) y ( s )ds
a

=

Hay

β

∫ Κ (t, s

a

(αΑx)( t )

Α( α x + β y

)

+

( βΑy )( t )

.

= αΑx + βΑy .

⇒ Α là toán tử tuyến
tính.

vào C
[ a;b] .

Vậy Α là toán tử tuyến tính từ
C[a;b]
Định nghĩa 1.20.
i)

Toán tử tuyến tính liên tục Α được gọi là toán tử tích phân
Fredholm nếu:

b