Không gian Sobolev các hàm một biến

LèI CÁM ƠN
Khóa lu¾n cna em đưoc hoàn thành vói sn giúp đõ chí báo cna các
thay cô trong to Giái tích, trong khoa Toán cna trưòng Đai hoc sư
pham Hà N®i 2.
Nhân d%p này, em xin bày tó lòng biet ơn chân thành tói các thay
cô trong to Giái tích, trong khoa Toán, đ¾c bi¾t là thay Tran Văn
Bang ngưòi trnc tiep hưóng dan em trong quá trình thu th¾p tài li¾u,
nghiên cúu và hoàn thi¾n đe tài.

Hà N®i, tháng 5 năm 2012
Sinh viên

Hoàng Th% Nhung


LèI CAM ĐOAN
Khóa lu¾n cna em đưoc hoàn thành dưói sn hưóng dan cna thay
Tran Văn Bang cùng vói sn co gang cna bán thân. Trong suot quá
trình nghiên cúu và thnc hi¾n khóa lu¾n em có tham kháo m®t so tài
li¾u cna m®t so tác giá (đã nêu trong muc tài li¾u tham kháo).
Em xin cam đoan nhung ket quá trong khóa lu¾n tot nghi¾p này là
ket quá nghiên cúu cna bán thân em, không trùng vói ket quá cna tác
giá khác. Neu sai em xin hoàn toàn ch%u trách nhi¾m.

Hà N®i, tháng 5 năm 2012
Sinh viên

Hoàng Th% Nhung


Mnc lnc

LèI Mé ĐAU......................................................................3
Chương 1. KIEN THÚC CHUAN B±.......................................5
1.1. Đ® đo Lebesgue.............................................................................5
1.1.1. M®t so khái ni¾m......................................................................................................5
1.1.2. Đ® đo Lebesgue trên R..............................................................................................6

1.2. Tích phân Lebesgue......................................................................8
1.2.1. Đ%nh nghĩa..................................................................................................................8
1.2.2. Các tính chat sơ cap....................................................................................................9
1.2.3. Chuyen qua giói han dưói dau tích phân...............................................................10

1.3. Không gian Lp...............................................................................10
1.3.1. Đ%nh nghĩa và tính chat cơ bán cna không gian Lp...............................................10
1.3.2. Không gian đoi ngau cna Lp (Ω) vói 1 ≤ p ≤ ∞.................................................11
1.3.3. Tính ch¾p và sn chính quy hóa..............................................................................12
1.3.4. Dãy chính hóa............................................................................................................13
1.3.5. Tiêu chuan compact manh trong Lp.......................................................................13

Chương 2. KHÔNG GIAN SOBOLEV CÁC HÀM M®T BIEN
15
2.1. Юng lnc........................................................................................15
2.2. Không gian Sobolev W1,p (I).....................................................17
1,p

2.3. Không gian W0

...........................................................................36
1,p

2.4. Không gian đoi ngau cna W

0

1

(I).............................................38


2.5. Nghi¾m yeu cna bài toán biên đoi vói phương trình vi phân
thưòng......................................................................................................40
KET LU¾N.................................................................................53
TÀI LIfiU THAM KHÁO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
..
54


LèI Mé ĐAU
Toán hoc là m®t môn khoa hoc gan lien vói thnc tien. Sn phát trien
cna toán hoc đưoc đánh dau bang nhung úng dung cna nó vào các bài
toán thnc tien. The giói tn nhiên cũng như xã h®i luôn bien đoi trong
không gian và theo thòi gian. Nói cách khác, nhung đ¾c trưng cna các
đoi tưong khoa hoc là hàm không gian, thòi gian và nhung yeu to
khác. Do v¾y vi¾c nghiên cúu quá trình đ®ng cna tn nhiên cũng như
xã h®i thưòng dan đen vi¾c kháo sát m®t hay nhieu phương trình vi
phân thưòng hơn phương trình đao hàm riêng m®t khi các đai lưong
nghiên cúu đã đưoc đ%nh lưong hóa bang các đai lưong toán hoc.
Vào nhung năm đau th¾p kí 30 cna the kí XX, vi¾n sĩ Toán hoc
ngưòi Nga Sobolev đã đã giói thi¾u m®t lóp không gian hàm đưoc
sú dung r®ng rãi trong lý thuyet phương trình đao hàm riêng nói
chung, phương trình vi phân thưòng nói riêng là không gian Sobolev.
Tù đó tró đi đã có nhieu không gian khác nua phuc vu cho sn phát

trien cna lý thuyet phương trình vi tích phân.
Là sinh viên năm cuoi b¾c đai hoc, đe bưóc đau làm quen vói
nghiên cúu khoa hoc và mong muon hieu biet thêm ve sn phát trien
cna Toán hoc em đã lna chon đe tài: “Không gian Sobolev các hàm
m®t bien” làm khóa lu¾n tot nghi¾p.
Ngoài phan mó đau, ket lu¾n, tài li¾u tham kháo, khóa lu¾n tot
nghi¾p gom hai chương:


Chương 1: Kien thúc chuan b%.
Chương 2: Không gian Sobolev các hàm m®t bien.
Chương này trình bày khái ni¾m Không gian Sobolev các hàm m®t
bien, các tính chat cơ bán cna các không gian đó và úng dung trong
vi¾c nghiên cúu m®t so bài toán biên đoi vói phương trình vi phân
thưòng cap hai theo phương pháp bien phân.
Trong suot quá trình nghiên cúu em đã nh¾n đưoc sn t¾n tình giúp
đõ cna các thay cô trong to Giái tích – Khoa Toán cna trưòng Đai hoc
sư pham Hà N®i 2, đ¾c bi¾t là thay Tran Văn Bang. M®t lan nua em
xin bày tó lòng biet ơn sâu sac nhat tói các thay cô.
Em rat mong nh¾n đưoc sn đóng góp ý kien quý báu cna các thay
cô và các ban sinh viên đe đe tài này đưoc hoàn thi¾n hơn.
Em xin chân thành cám ơn!


Chương 1
KIEN THÚC CHUAN B±
1.1. Đ® đo Lebesgue
1.1.1. M®t so khái ni¾m
a) Đai so và σ - đai so t¾p hap
Đ%nh nghĩa 1.1. Cho X là m®t t¾p tùy ý khác rong. M®t lóp C các

t¾p con cna X đưoc goi là m®t đai so t¾p hop neu nó thóa mãn
các tính chat sau:
i) X ∈ C,
ii) X ∈ C ⇒ AC ∈ C,
iii) A, B ∈ C ⇒ A ∪ B ∈ C.
Neu hop huu han trong đieu ki¾n iii) đưoc thay bói đem đưoc tùy ý
thì C đưoc goi là σ - đai so t¾p hop. Cho A là m®t lóp các t¾p con cna
X. Khi đó luôn ton tai C (A) là đai so (tương úng σ - đai so) nhó nhat
các t¾p con cna X chúa A và goi là đai so (σ - đai so) sinh bói A.
Ví dn: Trong không gian Metric X, goi T là ho tat cá các t¾p mó (hay
tôpô) trên X. σ - đai so C (T ) đưoc goi là σ - đai so Borel các t¾p
con cna X. Moi t¾p thu®c C (T ) đưoc goi là m®t t¾p Borel. Ta
thưòng kí hi¾u C (T ) là B (X).
b) Hàm c®ng tính


Đ%nh nghĩa 1.2. Hàm t¾p µ xác đ%nh trên M, các t¾p con cna X,
goi
là c®ng tính neu nó thóa
mãn: i) µ (φ) = 0,
ii) A, B ∈ M, A∩B = φ, A∪B ∈ M ⇒ µ (A ∪ B) = µ (A)+µ
(B) .
Ngoài ra neu đieu ki¾n ii) đưoc thay bói
S∞
n=
iii) ∀An ⊂ M, 1 An ∈ M, An ∩ Am = φ ∀n ƒ= m.
Ta có
.
µ
S∞

=
n=1

A.
n

.∞
n=
1

µ (An) thì µ đưoc goi là σ - c®ng tính.

Neu ii) đưoc thay bói
iv) ∀A ∈ M, An ⊂ M, A

S An .
∞

n=
1

⊂
Ta có µ (A)
≤

.∞
n=
1

µ (An) thì µ đưoc goi là σ - dưói c®ng tính.

1.1.2. Đ® đo Lebesgue trên R
Goi gian ∆ trên đưòng thang R là m®t t¾p hop điem có m®t trong
các dang sau:
(a, b) , [a, b] , (a, b] , [a, b) ,
(−∞, +∞) , (−∞, a) , (−∞, a] , (a, +∞) , [a, +∞) .
Goi C là lóp tat cá các t¾p hop con cna R có the bieu dien thành
hop cna m®t so huu han các gian ròi nhau
.
.
n
[
C= P:P=
∆i, ∆i ∩ ∆j = φ (i ƒ= j) ,
i=1


trong đó ∆i là nhung gian, n là m®t so tn nhiên tùy ý. Ta có C là m®t
đai so.


* Vói moi gian ∆ đ¾t

|b − a|
|∆| =
 +∞
Khi đó ∀P ∈ C ⇒ P
=

neu ∆ là gian vói các đau mút a, b

neu ∆ là các gian vô han.
n
S

n

i=1

i=1

∆i, ∆i ∩∆j = φ (i ƒ= j). Đ¾t m (P ) =
∆i|.

Ta có m là m®t đ® đo trên C.

.

|

* Vói A ⊂ R. Xác đ%nh hàm t¾p hop:
.
.
∞
∞
.
[
µ∗ (A) =
m
Pi ⊃ A, Pi ∈ C
i=1

inf
(Pi) :
.
i=1
S∞
. ∞
∗
ho¾c tương đương µ (A) = .i= |∆i| : i= ∆i ⊃ A, ∆i là khoáng mó .
1
1
inf
Khi đó µ∗ là m®t đ® đo ngoài trên R, túc là µ∗ là hàm t¾p không
âm σ - dưói c®ng tính trên ho tat cá các t¾p con cna R. Theo Đ%nh lý
Caratheodory (xem [4], trang 91) µ∗ cám sinh m®t đ® đo µ trên m®t σ
- đai so L. Đ® đo đó đưoc goi là đ® đo Lebesgue trên R. Moi t¾p A ∈ L
đưoc goi là m®t t¾p đo đưoc Lebesgue hay đơn gián là L - đo đưoc.
Hơn nua ta còn có:
+ Moi t¾p Borel đeu là t¾p L - đo đưoc.
+ µ là đ® đo σ - huu han.
+ µ là đ® đo đn.
+ A là L - đo đưoc khi và chí khi A có bieu dien A = B\N ho¾c
A = B ∪ N. Trong đó B là m®t t¾p hop Borel và N là m®t t¾p hop
có đ® đo 0.
Đ%nh lý 1.1. M®t t¾p hop N trong R có đ® đo 0 khi và chí khi vói moi
ε > 0 có the tìm đưoc m®t h¾ (huu han hay đem đưoc) khoáng ∆k phú
S
.
N và có đ® dài tong c®ng nhó hơn ε. ∆k ⊃ N,
|∆k| < ε.

k

k


H¾ quá 1.1. Moi t¾p hop huu han hay đem đưoc trên đưòng thang đeu
có đ® đo 0.

1.2. Tích phân Lebesgue
1.2.1. Đ%nh nghĩa
a) Tích phân cía hàm đơn gián
Đ%nh nghĩa 1.3. Trong m®t không gian X, vói m®t σ - đai so F và
m®t đ® đo µ trên F , cho m®t t¾p hop A đo đưoc (túc là A ∈ F ) và
m®t hàm
đơn gián không âm trên t¾p hop A : f (x)
=
Ai đo đưoc, ròi nhau
và

n
S

n
.

hop

αiχAi (x) (các t¾p

i=1

Ai = A). Neu moi Ai là m®t đoan ∆i trong

i=1

R thì tích phân cna f (x) là
so

n
.
i=1

αi |∆i|.

Trong trưòng hop tong quát khi moi Ai là m®t t¾p hop đo đưoc thì
thay |∆i| bang µ (Ai) . Vì v¾y tích phân cna hàm đơn gián không âm
f (x) trên t¾p hop A đoi vói đ® đo µ là so
¸
n
.
f (x) dµ =
αiµ (Ai).
i=1

+ Tính chat: Neu hai hàm đơn gián f, g ≥ 0 và f ≤ g trên t¾p hop
A
thì ¸ fdµ ≤
A

¸

gdµ.

A

b) Tích phân các hàm đo đưac bat kỳ


* f (x) ≥ 0 trên t¾p hop A. Cho dãy hàm so đơn gián fn ≥ 0, đơn
đi¾u tăng và h®i tu tói f. Ta goi tích phân cna f (x) trên t¾p hop A
đoi vói
đ® đo µ là so (huu han hay vô cnc)
¸

fn (x) dµ.

¸
f (x) dµ = lim
n→∞
A
A

* f (x) có dau bat kỳ trên t¾p hop A. Đ¾t
f=f
vói f

+

= max {f, 0}, f

−

+

− f−

= max {−f, 0}. Neu hi¾u
¸
so

f

+

− f − có
¸
A

A

nghĩa thì ta goi nó là tích phân cna f (x) trên t¾p hop A đoi vói đ® đo
µ:

¸
¸
f (x) dµ =

+

f (x) dµ
−

¸

f − (x) dµ,

A

A
A

và neu tích phân ay huu han thì ta nói f (x) khá tích. Khi X = R, F =
L,
µ là đ® đo Lebesgue thì tích phân đ%nh nghĩa như trên thưòng goi là
tích
phân Lebesgue và đưoc ký hi¾u ¸ f (x) dµ (x) ho¾c (L) f (x) dx.
¸ Tù
A
A


đây ve sau các tích phân nói đen đeu đưoc hieu là tích phân Lebesgue
neu không có giái thích gì thêm.
1.2.2. Các tính chat sơ cap
N®i dung cna muc này chn yeu trích tù tài li¾u [4].
¸
+ C®ng tính: Neu A ∩ B = ∅ thì
fdx = fdx + fdx.
¸

¸
A∪B
A

B

+ Báo toàn thú tn:
¸ fdx = gdx. Nói riêng neu f = 0 h.k.n trên A thì
. Neu f ∼ g thì
¸
A
¸

A

fdx = 0.

A

¸

¸

A

A

. Neu f ≤ g trên A thì fdx ≤

gdx. Nói riêng neu f ≥ 0 thì¸ fdx ≥0.

A

+ Tuyen tính:
¸
. cf dx = c fdx (c là hang so).
¸
A

¸

A

. (f¸ + g) dx
=
A

fdx +¸ gdx.
A

A

+ Khá tích:

..
. Neu ¸ fdx có nghĩa thì fdx
≤ |f |dx.
¸
..
..
A

..¸

A

A

. f khá tích khi và chí khi |f | khá tích.
. Neu |f | ≤ g h.k.n trên A và g khá tích thì f cũng khá tích.
. Neu f, g khá tích thì f ± g cũng khá tích. Neu f khá tích, g giói
n®i thì fg cũng khá tích.


1.2.3. Chuyen qua giái han dưái dau tích phân
Đ%nh lý 1.2. (H®i tu đơn đi¾u) Neu 0 ≤ fn ƒ f thì

¸

fndx →

¸
A

fdx.

A

Bo đe 1.1. (Bo đe Fatou) Neu fn ≥ 0 trên A thì
¸ f dx.
¸

n
lim fndx ≤ lim
A

n→∞

n→∞

A

Đ%nh lý 1.3. (H®i tu ch¾n) Neu |fn| ≤ g, g khá tích và fn → f (h.k.n
hay theo đ® đo trên A) thì
¸
fndx →
A

1.3.

1.3.1.

¸ fdx.
A

Không gian Lp
Đ%nh nghĩa và tính chat cơ bán cúa không gian Lp

Cho Ω ⊂ R là m®t t¾p đo đưoc, L1 (Ω) là t¾p hop tat cá các hàm
đo đưoc Lebesgue và khá tích trên Ω.

Đ%nh nghĩa 1.4. Cho p ∈ R vói 1 < p < ∞. Ta đ¾t
.

.
L (Ω) = f : Ω → R là đo đưoc và |f | ∈ L (Ω)
.
. p1
¸
= "f"p = |f (x)|pdµ .
p

vói "f"Lp

p

1

Ω

Đ%nh nghĩa 1.5. Ta đ¾t
.

∞

L (Ω) = f : Ω → R là đo đưoc và có m®t hang so C đe |f (x)| ≤ C
h.k.n trên Ω.
.
.
vói "f"L∞ = "f"∞ = inf C : |f (x)| ≤ C h.k.n trên Ω .
Chú ý: "f"p , " . "∞ là m®t chuan.

b) Tính chat
+ Bat đang thúc Holder: Giá sú rang f ∈ Lp và g ∈ Lpr vói 1 ≤ p ≤
∞
và pr là so mũ liên hop cna p, túc là 1 + 1 = 1 . Khi đó
p
¸
pr
f.g ∈ L1

|f.g|dx ≤

và

"f"p

"g"pr.

+ Lp là m®t không gian vectơ và " . "p là m®t chuan trên Lp vói moi p,
1 ≤ p ≤ ∞.
+ Lp là m®t không gian Banach vói moi p, 1 ≤ p ≤ ∞.
1.3.2. Không gian đoi ngau cúa Lp (Ω) vái 1 ≤ p ≤ ∞
Đ%nh lý 1.4. (Đ%nh lý bieu dien Riesz) Cho 1 < p < ∞ và φ ∈
∗

(Lp) . Khi đó ton tai m®t hàm duy nhat u ∈ Lpr mà
¸
Hơn nua "u"pr = "φ"(Lp)∗.
(φ, f)
=
11

ufdx

∀f ∈ Lp.

12


1.3.3.

Tính ch¾p và sN chính quy hóa

Kí hi¾u:
. Neu Ω mó thì C k (Ω) (k = 0, 1, 2...) là t¾p tat cá các hàm có đao
hàm đen cap k liên tuc trên Ω. Đ¾c bi¾t C 0 (Ω) thưòng viet là C (Ω).
C ∞ (Ω) =

∞
\

Ck

(Ω).

.

0

k=0

. Neu Ω không mó thì C k (Ω) là t¾p tat cá các hàm thu®c C k

.

Ω

mà

moi đao hàm đen cap k cna nó có the thác trien liên tuc trên Ω.
. Vói f ∈ C (Ω), giá cna f là
suppf = {x ∈ Ω : f (x) ƒ= 0}.
. Cho A, B ⊂ R. T¾p A goi là chúa compact trong t¾p B
neu

A¯ là
t¾p

compact và A¯ ⊂ B. Kí hi¾u A ⊂⊂ B.
. C k (Ω) là tat cá các hàm thu®c C k (Ω) có giá chúa compact trong
c
Ω (k = 1, 2, ..., ∞).
1

. loc (Ω) là tat cá các hàm f đo đưoc trên Ω và f ∈ L1 (K) vói moi t¾p
L
K ⊂⊂ Ω.
Đ%nh lý 1.5. (Young) Lay f ∈ L1 (R) và g ∈ Lp (R) vói 1 ≤ p ≤
∞. Khi đó vói moi x ∈ R hàm y ›→ f (x − y) g (y) dy là khá tích
trên R và thóa mãn đ%nh nghĩa

¸

(f ∗ g) (x) =

f (x − y)g (y) dy.

R

Hơn nua f ∗ g ∈ Lp (R) và "f ∗ g"p ≤ "f"1 "g"p .
Nh¾n xét: Vói hàm f xác đ%nh trên R ta đ¾t f (x) = f (−x).
12


M¾nh đe 1.1. Cho f ∈ L1 (R), g ∈ Lp (R) và h ∈ Lpr (R). Khi đó ta
có

¸

¸
(f ∗ g)hdx

.
.
g f ∗ h dx.

=
R

M¾nh đe 1.2. Cho f ∈ Ck (R) (k > 1) và cho g ∈

L1
c

(R). Khi đó
loc

f ∗ g ∈ Ck (R) và
Dα (f ∗ g) = (Dαf ) ∗ g
Đ¾c bi¾t, neu f ∈ C ∞ (R) và g ∈
L1
c

1.3.4.

∀α = 1, 2, ..., k.

(R) thì f ∗ g ∈ C ∞ (R).
loc

Dãy chính hóa

Đ%nh nghĩa 1.6. M®t dãy chính hóa (ρn)n≥1 là m®t dãy hàm khá vi vô
han trên R sao cho
.
suppρn
⊂

. ¸
1 1
ρndx = 1, ρn ≥ 0 trên R.

− , ,
n
R

n
Sau đây nói tói (ρn) thì ta luôn hieu đó là m®t dãy chính hóa.
H¾ quá 1.2. Không gian C∞ (Ω) là trù m¾t trong Lp (Ω) vói moi 1 ≤
c

p < ∞.

H¾ quá 1.3. Cho Ω ⊂ R là m®t t¾p mó và giá sú u ∈ L1
sao cho

¸
Ω

1.3.5.

(Ω) là hàm

lo
c

ufdx = 0, ∀f ∈ Cc∞ (Ω). Khi đó u = 0 h.k.n trên Ω.

Tiêu chuan compact manh trong Lp


Đ%nh lý 1.6. (Ascoli – Arzela) Cho K ⊂ R là m®t t¾p compact và H

là m®t t¾p con b% ch¾n cúa C (K). Giá sú H liên tnc đeu, đong b¾c,
nghĩa


là ∀ε > 0, ∃δ > 0 sao cho
|x1 − x2| < δ ⇒ |f (x1) − f (x2)| < ε,

∀f ∈ H.

Khi đó bao đóng cúa H trong C (K) là compact.
Kí hi¾u (phép d%ch chuyen hàm): (τhf ) (x) = f (x + h) , x ∈ R, h ∈
R.
Đ%nh lý sau đây và h¾ quá cna nó là “Lp – mô hình” cna Đ%nh lý
Ascoli
– Arzela.
Đ%nh lý 1.7. (Kolmogorov – M. Riesz – Frechet) Cho Ω ⊂ R là
t¾p đo đưoc và có đ® đo huu han, F là m®t ho b% ch¾n trong Lp
(R) vói 1 ≤ p < ∞. Giá sú
lim "τhf − f"p = 0 đeu theo f ∈ F,

(1.1)

|h|→0

túc là ∀ε > 0, ∃δ > 0 sao cho "τhf − f"p < ε, ∀f ∈ F, ∀h ∈ R có |h| <
δ.
p

Khi đó bao đóng cúa F|Ω trong L (Ω) là compact (ó đây F|Ω là han che
cúa F trên Ω).

H¾ quá 1.4. Cho F là m®t t¾p b% ch¾n trong Lp (R) vói 1 ≤ p < ∞.
Giá sú có (1.1) và ∀ε > 0, ∃Ω ⊂ R b% ch¾n, đo đưoc sao cho
"f"Lp (R\Ω) < ε,

∀f ∈ F.

Khi đó F có bao đóng compact trong Lp (R).
H¾ quá 1.5. Cho G là m®t hàm co đ%nh trong L1 (R) và F = G ∗ B.
á
đó B là m®t t¾p b% ch¾n trong Lp (R) vói 1 ≤ p < ∞. Khi đó F|Ω có bao
đóng compact trong Lp (Ω) vói m®t t¾p đo đưoc Ω có đ® đo huu han.


Chương 2
KHÔNG GIAN SOBOLEV CÁC
HÀM M®T BIEN
2.1. Юng lNc
Không gian Sobolev xuat hi¾n khi nghiên cúu các bài toán biên cho
phương trình vi phân bang phương pháp bien phân. Đe hình dung ve
đieu này, ta xét bài toán sau:
Cho f ∈ C ([a, b]), tìm u thóa mãn

−urr + u = f trên (a, b)


u (a) = u (b) =

(2.1)

0.

Nghi¾m co đien (manh) cna (2.1) là m®t C 2 – hàm trên [a, b] và
thóa mãn (2.1) theo nghĩa thông thưòng, vói bài toán này ta có the tìm
đưoc công thúc nghi¾m co đien. Tuy nhiên ta minh hoa phương
pháp bien phân qua bài toán này.
Nhân (2.1) vói ϕ ∈ C 1 ([a, b]), lay tích phân tùng phan, ta có:
b

¸
a

b

ur ϕr dx +

b

¸ uϕdx =

¸
a

fϕdx, ∀ϕ ∈ C1([a, b]), ϕ(a) = ϕ(b) = 0.
(2.2)

a

Ta thay (2.2) có nghĩa neu chí can u ∈ C 1 ([a, b]) (trong khi (2.1) yêu


cau u ∈ C2); hơn nua (2.2) có nghĩa vói ∀u, ur ∈ L1 (a, b) , vói ur là đao

hàm suy r®ng cna u (đ%nh nghĩa sau). Do v¾y ta có the đ%nh nghĩa
m®t hàm có đao hàm suy r®ng đen cap 1 thóa mãn (2.2) là m®t
nghi¾m yeu cna (2.1).
Các bưóc cna phương pháp này như sau:
Bưác A: Đưa ra đ%nh nghĩa nghi¾m yeu. Khái ni¾m này liên quan tói
không gian Sobolev.
Bưác B: Chúng minh sn ton tai và tính duy nhat cúa nghi¾m yeu (nhò
Đ%nh lý Lax – Milgram).
Bưác C: Nghiên cúu tính chính quy cna nghi¾m yeu (chúng minh
nghi¾m yeu khá vi theo nghĩa thông thưòng).
Bưác D: Ta có nghi¾m yeu là nghi¾m co đien nhò ket quá: Moi
nghi¾m yeu thu®c C 2 là m®t nghi¾m co đien.
Chúng minh cna bưóc D là đơn gián. Th¾t v¾y, giá sú u ∈ C 2 ([a,
b]) ,
u (a) = u (b) = 0 và u thóa mãn (2.2). Lay tích phân tùng phan
cna (2.2) ta có
¸b
(−urr + u − f )ϕdx = 0,

∀ϕ ∈ C 1 ([a, b]) , ϕ (a) = ϕ (b) = 0.

a

Suy
ra

¸b
(−urr + u − f )ϕdx = 0,

∀ϕ ∈ Cc1 ((a, b)) .

a

Theo H¾ quá 1.3 ta có −urr + u = f h.k.n trên (a, b), do đó bang
không
trên [a, b] vì u ∈ C 2 ([a, b]) .


1,p

2.2. Không gian Sobolev W

(I)

Giá sú I = (a, b) (có the không b% ch¾n), p ∈ R, 1 ≤ p ≤ ∞.

Đ%nh nghĩa 2.1. Không gian Sobolev W1,p (I) đưoc đ%nh nghĩa bói
.
.
¸
¸
1,p
r
1
p
p
W (I)
uϕ dx =

gϕdx, ∀ϕ ∈ C c (I)
u ∈ L (I) : ∃g ∈ L (I) thóa
I
=
−
mãn
I

Khi p = 2 ta đ¾t W 1,2 (I) = H 1 (I) .
Vói u ∈ W1,p (I), ta kí hi¾u ur = g (đao hàm suy r®ng cna u).
Chú ý 1: Trong đ%nh nghĩa W1,p (I) ta goi ϕ là hàm thú. Ta dùng C ∞ (I)
c
làm lóp hàm thú vì neu ϕ ∈ C 1 (I) thì ρn ∗ ϕ ∈ C∞ (I) vói n đn lón và
c

c

ρn ∗ ϕ → ϕ trong C1 (tat nhiên ϕ = 0 bên ngoài I).
Chú ý 2: Rõ ràng neu u ∈ C 1 (I)∩Lp (I) và ur ∈ Lp (I) (vói ur là đao
hàm thưòng cna u) thì u ∈ W1,p (I). Hơn nua đao hàm thưòng trùng
vói đao hàm suy r®ng, đ¾c bi¾t neu I b% ch¾n thì C 1 (I) ⊂ Lp (I) ∀1
≤ p ≤ ∞.
Ví dn 2.1. Giá sú I = (−1, 1). Chúng minh rang
(i) Hàm u (x) = |x| thu®c W1,p (I) vói ∀1 ≤ p ≤ ∞ và ur = g, trong đó

1
neu 0 < x < 1
g (x) = 
−1 neu − 1 < x < 0.
Chúng minh: De thay u b% ch¾n trên I, nên u ∈ Lp (I). Hơn nua hàm

g ∈ Lp (I) và vói moi ϕ ∈ Cc∞ (I) ta có: