Một số phương pháp giải bài toán biên đối với phương trình vi phân thường cấp 2 - phương pháp đưa về bài toán cauchy, phương pháp khử lặp

Khóa luận tốt nghiệp

Ngô Thị Tâm-K34C Toán

LỜI NÓI ĐẦU
Phương trình vi phân là một trong những lĩnh vực quan trọng của toán
học hiện đại. Rất nhiều bài toán trong toán học, vật lý, hóa học,… đều dẫn
đến việc giải các phương trình vi phân. Tuy nhiên lớp các phương trình vi
phân có thể tìm được nghiệm chính xác rất hẹp. Do đó, để giải được các
phương trình vi phân thông thường người ta thường phải sử dụng các phương
pháp xấp xỉ để tìm nghiệm gần đúng của chúng.
Do nhu cầu thực tiễn, các nhà khoa học đã tìm ra rất nhiều phương
pháp để tìm nghiệm gần đúng của phương trình vi phân.
Trong khóa luận này em xin trình bày một số phương pháp giải gần
đúng bài toán biên đối với phương trình vi phân thường cấp 2.
Nội dung chính của khóa luận gồm các chương:
Chƣơng 1: Các kiến thức mở đầu.
Chƣơng 2: Một số phương pháp giải bài toán biên đối với phương trình
vi phân thường cấp 2 - phương pháp đưa về bài toán Cauchy, phương pháp
khử lặp.
Chƣơng 3: Ứng dụng vào giải những bài toán cụ thể.
Tuy đã có nhiều cố gắng, song do đặc điểm đề tài, do thời gian và tài
liệu nghiên cứu hạn chế nên khóa luận của em chắc chắn không tránh khỏi
những thiếu sót. Em rất mong được sự chỉ bảo, tham gia đóng góp ý kiến của
các thầy cô giáo và các bạn để khóa luận của em hoàn chỉnh hơn.

GVHD: PGS.TS. Khuất Văn Ninh

1

Chƣơng 1
CÁC KIẾN THỨC MỞ ĐẦU
1.1 Số gần đúng và sai số
1.1.1 Sai số tuyệt đối, sai số tƣơng đối
Trong tính toán, ta thường phải làm việc với các giá trị gần đúng của
*

các đại lượng. Ta nói a là số gần đúng của a , nếu a không sai khác a

*

*

nhiều. Đại lượng ∆: = | a – a | gọi là sai số thực sự của a. Do không biết
*

a nên ta cũng không biết ∆. Tuy nhiên, ta có thể tìm được ∆a ≥ 0,
gọi là sai số tuyệt đối của a, thỏa mãn điều kiện:
*

| a – a | ≤ ∆a
hay a −
∆a ≤

(1.1.1)

*

a ≤ a + ∆a . Đương nhiên, ∆a thỏa mãn đều kiện
(1.1.1) càng

nhỏ càng tốt. Sai số tương đối của a là :

∆a

δa: =

|a|

Ví dụ 1 :
*

Giả sử a = π ; a = 3,14.
*
3,14 < a < 3,15 = 3,14 + 0,01
Do
nên ta có thể
lấy ∆a = 0, 01. Mặt khác, 3,14
< π < 3,142 + 0, 002

do đó có thể coi

∆a = 0, 002
Ví dụ 2 :
Đo độ dài hai đoạn thẳng AB, CD ta được a = 10cm và b = 1cm với

δ =

0, 01

= 0,1%

∆a = ∆b = 0, 01 . Khi đó ta
có

a

10

∆b =
= 1%
còn

1

0, 01

hay


δb = 10δ a . Hiển nhiên rằng phép đo a chính xác hơn hẳn phép đo b
mặc dù

∆a = ∆b . Như vậy độ chính xác của một phép đo phản ánh qua
sai số tương đối.


1.1.2 Sai s thu gn
Mt s thp phõn a cú dng tng quỏt nh sau:
a = ( p10

p

+

++



10ps )

10p1
p


p


trong ú 0 i 9,(i = p
; p l nhng s nguyờn.
1, p s)
> 0
Nu p s 0 thỡ a l s nguyờn.
Nu p s = - m ( m > 0 ) thỡ a cú phn l gm m ch s.
Nu s = + thỡ a l s thp phõn vụ hn.
Thu gn mt s a l vt b mt s cỏc ch s bờn phi a c mt
s ngn gn hn v gn ỳng nht vi a.
Quy tc thu gn :
p
Gi s a

10 +



=



p 1

10
++

p

p
10
s



p1



ps

th j. Gi phn vt b l à, ta
t

p
a = 10 +



v ta gi li n s hng
10 p 1
++



p

trong ú:

j1

p1




:=
j

j

+1,neỏu
j
0,5.10

j ,neỏu0 <

Nu à = 0,5 .
j
10 thỡ



<

à < 10j

à < 0,5.10

+ 1, neỏu leỷ
j



j


j

Vớ d

:=

j


10 j 1 +
j
10 ,

, neỏu j chaỹn

j


π ≈ 3,141592 ≈ 3,14159 ≈ 3,1416 ≈ 3,142 ≈ 3,14
≈ 3,1 ≈ 3
Sai số thu gọn Γa ≥ 0 là một số thỏa mãn điều kiện :
| ā – a | ≤ Γa
p

p-1

Vì a = βp . 10 + βp-1 . 10
Còn a
=

β

p

p −1

10 + 10
β
++ β
p
p−1

j

+ . . . + βj . 10 + µ
10
j−1

j −1

+ β 10
j

j


Nên | a − a |

= | (β

j

)10 +
j −
β

µ |< 0,5.10 j

j

Sau khi thu gọn sai số tuyệt đối tăng lên :
*

*

| a - ā | ≤ | a - a | + | a – ā | ≤ ∆a + Γa
1.1.3. Chữ số có nghĩa, chữ số chắc.
Chữ số có nghĩa là mọi chữ số khác chữ số ‘ 0’ và cả chữ số ‘ 0 ‘ nếu
nó kẹp giữa hai chữ số có nghĩa hoặc nó đại diện cho hàng được giữa lại .
Ví dụ : a = 0,0030140. Ba chữ số “ 0 “ đầu không có nghĩa.
Mọi chữ số có nghĩa βj
của

gọi là chữ số chắc
nếu

a=
±(β p1
0

p

+

β

p

10

++ pβ 10
p −s

)

p−1

∆a ≤ trong đó ω là tham số cho trước .
ω.10i Tham số

ω được chọn để một chữ số vốn đã chắc sau khi thu gọn vẫn là chữ số
chắc. Giả sử chữ số chắc cuối cùng của a trước khi thu gọn là βj. Để βj+1
và cả chữ
số trước nó vẫn chắc, phải có ∆a + Γa ≤ ω.10i+1. Suy ra ω.10i+1 +
i+1
i+1
5
0,5.10
≤ ω.10
hay ω > . Ta sẽ gọi chữ số chắc theo nghĩa hẹp (rộng) nếu ω =
0,5 (ω = 1)

9

khi viết số gần đúng, chỉ lên giữ lại một hai chữ số không chắc để khi tính

toán sai số chỉ tác động đến chữ số không chắc mà thôi.
1.2 Sai số tính toán
Trong tính toán ta thường gặp bốn loại sai số sau :
a) Sai số giả thiết: Do mô hình hóa, lý tưởng hóa bài toán thực tế. Sai số này
không loại trừ được.


b) Sai số phương pháp: Các bài toán thường gặp rất phức tạp, không thể giải
đúng được mà phải sử dụng các phương pháp gần đúng. Sai số này sẽ được
nghiên cứu cho từng phương pháp cụ thể.
c) Sai số các số liệu: Các số liệu thường thu được bằng thực nghiệm do đó có
sai số. Sai số các số liệu gần đúng đã được nghiên cứu trong §1.


d) Sai số tính toán: Các số vốn đã có sai số, còn thêm sai số thu gọn nên khi
tính toán sẽ xuất hiện sai số tính toán.
Giả sử phải tìm đại y theo công thức:

y = f (x1 , x2 ,, xn )
*

Gọi xi , y* (i = 1, n) xi , y , (i
và
= 1, n)

là các giá trị đúng và gần đúng

của đối số và hàm số.



∑

Nếu f khả vi liên tục thì:
1

2

n

1

n

i

i i

2
n

| f (x , ,..., ) − f (x *, x*,...,
|y
*
x
− y | x
x* ) |=
=

| f ' | . | − x* |
i= x

1


∂
trong đó f '
tính tại các điểm trung gian. Do
i là đạo hàm f
∂
xi

∂
f liên tục
∂
xi

và ∆xi khá bé ta có thể coi

∑
n

∆y =

do đó

n

ii

1

(1)

'

| f (x ,..., ) |.∆x
i=1
x

∆y n ∂
δ y = = ∑| | .
∆
ln f
xi
| y | i ∂xi
=
1

Sau đây là sai số của các phép tính cơ bản:

(2)


1.2.1 Sai số của tổng
= 1, 1,..., n
∂
Giả sử tính y = x1 + x2 + …+ xn ;
y i=
∂
Theo công thức (1) có :
xi

∆y = |1| . ∆x1 + |1| . ∆x2 + …+ |1| . ∆xn
⇒ ∆y = ∆x1 + ∆x2 +…+ ∆xn


n

∑ ∆x

⇒ ∆y =
i=1

i

Sai số tuyệt đối của một tổng bằng tổng các sai số tuyệt đối của các số
hạng thành phần.
Trong tính toán nếu có tổng là một số nhỏ thì sai số tương đối sẽ là một
số lớn.
Vậy khi tính toán ta phải tránh việc tính các hiệu số của hai số rất gần
nhau nếu không tránh được thì cần phải lấy các số với nhiều chữ số chắc.
1.2.2 Sai số của tích
Giả sử tính sai số của với y = x1 . x2 … xn ; | y | = | x1 | . | x2 | …| xn |
⇒ ln |y| = ln |x1| + ln |x2| + …+ ln|xn|
n

hay

ln | y |=

∑ln

| xi

|

i=1
n

n

i=1

i=1

∆ln | y |= ∆∑ ln | xi | =
n

δ

y

=

i =1

∑δ

∑ ∆ln | x

i

|

xi

Sai số tương đối của một tích bằng tổng các sai số tương đối của các số
hạng thành phần.
1.2.3 Sai số tương đối của một thương
x1
y
=
Giả sử tính
x2
'
y = 1

Ta có
Có

x1

x2

'

;y = −
x2

2

x2

x1


1
x

∆y =|
=

2

1

x1
| .∆x1 | .∆x2
+ | − x2

.∆x 1
|x |

2

.∆x
2

x2

2

=

| x1 |

+

2

| x2 | .∆x1 + | x1 | .∆x2
| x22 |

Có

δ

∆y | x2 | .∆x1 + | x1 | .∆x2 | x2 |
.
=
|2 x |
|x |

y

=

|y|

2

1

| x2 | .∆x1 + | x1 | .∆x2
| x1 | . | x2 |

=

| x2 |
| x1 | .∆x2
=
+
.∆x1
| x1 | . | x2 | | x1 | . | x2 |
=

∆x1
∆x2
+
| x1 | | x2 |
=x δ
1

+

2

δ

Vậy sai số tương đối của một thương bằng tổng các sai số tương đối
của các số hạng thành phần.

1.2.4 Sai số của các phép lũy thừa, khai căn, nghịch đảo
α

Cho y = x , khi
đó δ

y

=| ln y | .∆x =|
d
d
x

α

| .δ x


Nếu α ( phép lũy thừa) thì δ
> 1
> δx

tăng.

Nếu 0 <
α < 1

y

do đó độ chính xác giảm.

ta có phép khai căn, khi đó δ y
hay độ chính xác
< δ
x


Nếu

α

ta có phép nghịch đảo, δ y
nghĩa là độ chính xác
= δ

không đổi. =
−1
1.3 Bài toán ngƣợc của lí thuyết sai số

x

Giả sử đại lượng y tính theo công thức y = f (x1, x2, … , xn) hỏi phải lấy
∆xi bằng bao nhiêu để ∆y ≤ const cho trước ?
Sau đây là hai phương pháp đơn giản để giải bài toán trên :
1.3.1 Nguyên lí ảnh hưởng đều

∂f
|
a ) Ta coi
| .∆xi , (c −

∂xi = c const)
Suy
ra

n

∆y =

∑|

, i = 1, n

∂f

| . = nc
∂x ∆
xi
i=1

i

Vậy

∆x
i =

c

=
∆y

∂f
∂f
|
| n.|
|
∂xi
∂x

,(i = 1, n)

∆x =

∆y

i

b) Nếu coi ∆xi = const ( i = 1,…, n )
thì :

c) Nếu
= δcoi

...
= δ

δ
x1

xx2
n

i

k
=i
∆x
và đặt

| xi |

∂f
∑|| ∂f
j
∂
|
=
n
x
j
.
thì 1
∑
|
n

∆y = k
∂ hay
xi
xi
i=1

∆y n

i

∂f

|
∑∂

n

;(i = 1, n)

∂f

| x
∑∂
j=1

xj
|

j=1

| xi |
∆y

do đó:

∆x =

k=

j

x

j

j

|


Ví dụ
Một hình trụ có bán kính đáy R = 2 cm. Chiều cao h = 3m. Hỏi ∆R
và
3

∆h phải bằng bao nhiêu để thể tích V được tính chính xác tới 0,1 m ?
Giải
2

Ta có V = π R h.
Áp dụng nguyên lí ảnh hưởng đều thứ nhất ta có ∂V = R2 h = 12
∂π

Nên ∆

π
=

∂V

0,1

= 2π Rh = 37, 7
< 0, 003
∂R
3,12 và

Suy
ra

∆
R
=

0,1
3.37,
7

< 0,
∂V
2
=
π
R
= 12, 6

001;
∂h

0,1
< 0, 003
Do đó ∆
h
3.12,
=
6
1.3.2 Phương pháp biên.
Giả sử hàm

x1, x2 ,...,
xp

y = f (x1, x2
,..., xn )

đồng thời theo các biến

và nghịch biến theo các biến còn lại

xp+1,..., xn . Nếu biết
cận

thay đổi của đối số xi ≤ xi ≤ xi ;(i thì:

= 1, n)

y = f (x1 ,..., x2 , xp+1,..., xn )
≤ y ≤ y=

f (x1,..., x p , xp+1,..., xn )

Từ đây suy ra 0 ≤ ∆y ≤ y − y
1.4

Sai phân

1.4.1 Định nghĩa:
Giả sử f là một hàm xác định trên tập X, h > 0 sao cho x + h
∈ X, khi
đó biểu
thức
f(
x)

tại x.

∆f
f (x + h)
(x) = − f (x)

được gọi là sai phân cấp 1 của hàm


2

∆ f = ∆(∆f ) = [ f
(x + h + h) −
= f (x + 2h) − 2 f
(x + h) +

f (x + h)] −[ f (x f (x)]
+ h) −

f (x)

= ∆f (x + h) − ∆f (x)
được gọi là sai phân cấp 2 của f (x) tại x.
Tương tự

∆ f
n

−1

= ∆(∆n

f ) được gọi là sai f (x) tại x.

phân cấp n của

1.4.2 Tính chất của sai phân
1.4.2.1 Sai phân là một ánh xạ tuyến tính ( toán tử tuyến tính )

∆
(f

k

+ g) =
k
∆ f

k

+ ∆ g.

∆ (α . f ) =
k

α.∆k f

1.4.2.2 ∆c = 0 với c - const .
1.4.2.3 Giả sử P(x) là đa thức bậc n
∆P(x) là đa thức bậc n-1
m

P(x) = c - hằng số nếu m = n

m

P(x) = 0 - nếu m > n

∆
∆

n

1.4.2.4 f (x

+ nh)
=

C ∆
∑
k
n

f (x)

k
=0

n
k
= Cn ∆ f

1.4.3 Bảng sai phân

∑
k
=0

f (xi) = yi với i = 0; ±1; ±2; …; ±n .

xi

yi

x -3

y-3

∆yi

2

∆ yi

3

∆ yi

4

∆ yi

...

∆y-3
x -2

2

y-2

∆ y-3
3

∆ y-3

∆y-2
x -1

y-1
y+0
y+1

x+2

y+2

x+3

y+3

4

∆ y-2

2

∆ y-1

...

3

∆ y-1

∆y0
x +1

...

3

∆ y-2

∆y-1
x0

4

∆ y-3

2

∆ y-2

4

∆ y-1

2

∆ y0
3

∆ y0

∆y+1
2

∆ y+1
∆y+2

1.5 Một số kiến thức về phƣơng trình vi phân thƣờng
Phương trình vi phân thường cấp n là phương trình trong đó có chứa
hàm số chưa xác định ( đóng vai trò như ẩn số ) và những đạo hàm của hàm
số đó:
'

F(x, y(x), y (x),...., y
=0

(n)

(x))

(1.5.1)

Cấp của phương trình là đạo hàm cấp cao nhất có mặt trong phương
trình.

Hàm số y = ϕ(x) được gọi là nghiệm của phương trình (1.5.1)
nếu thay

y = ϕ(x), y =
(n)
(x),..., y (x)
'

ϕ'

vào (1.5.1) thì ta được phương trình đồng

nhất thức.
Hàm số

y = ϕ(x, c); có đạo hàm riêng theo biến x đến cấp n
(c ∈ R)

được gọi là nghiệm tổng quát của phương trình (1.5.1) nếu: ∀(x, y) ∈
D; (D
là miền xác định của phương trình ) ta có thể giải ra đối với c,

Hàm y =

ϕ(x,c)

thỏa mãn (1.5.1) khi (x, y) chạy khắp D

c =ψ

(x, y) .

∀c ∈ R

1.6 Bài toán biên đối với phƣơng trình vi phân thƣờng
1.6.1 Một số nghĩa
a) Bài toán Cauchy
Nếu từ phương trình (1.5.1) ta giải ra được đối với đạo hàm cấp cao
(1.5.2)

(y) ) f (n(x,
y, y',...,
−1)
(n)
y
)
=
d (xn )

nhất: d

Bài toán Cauchy đối với phương trình (1.5.2) được phát biểu như sau:
Tìm nghiệm y = y(x) của phương trình (1.5.2) sao cho khi x = xo thì
y(x0 )
= y0 ,

'
y (x ) = , …, y(n−1) (x ) = trong đó x0, y0, …,
(n−1)
1

(n−1) 0
y
y 0
0
0
y
giá trị tùy ý cho trước mà ta gọi là các giá trị ban đầu.

là các
0

Trong trường hợp n = 2 thì bài toán Cauchy được phát biểu như sau:
Cho phương trình vi phân cấp hai

"

y =

'

f (x, y, y )

.


(1.5.3)
Trong trường hợp này bài toán Cauchy được phát biểu như sau: Tìm
nghiệm y(x) của phương trình (1.5.3) thỏa mãn các điều kiện ban đầu :
y(x0 ) = y0 , y' (x0 ) =0 y1
• Định lí về sự tồn tại nghiệm duy nhất của bài toán Cauchy

- Định nghĩa : Cho phương trình vi phân :

y (n)
=

hàm số

f (x,u1,u2 ,...,un xác định trong miền G
⊂ R
)

f (x, y, y',..., y(n
)
n
+
1

−1)

được gọi là thỏa


mãn điều kiện Lipsit theo các biến u1, u2, …, un nếu tồn tại hằng số L > 0
(hằng số Lipsit) sao cho đối với hai điểm bất kì (x,u1 ,u2 ,...,un )
∈G ;

(x,u 1 ,

2

,...,u )
ta có bất đẳng thức :
∈
G
n

n
| f (x,u1 ,u2 ,...,un )
f (x,u 1 ,u 2 ,...,u ) ≤ L∑| ui
−
|
− u |
i

i=1

- Định lí : Giả sử trong miền

,...,un liên tục
G ⊂ hàm f
(x,u1,u2 )
n+1
R

và thỏa mãn điều kiện Lipsit theo u1, u2, …, un. Khi đó với bất kì điểm trong

(x , y , y' ...,
0− 0
0
y(n 1)

)
tồn tại duy nhất nhiệm y = y(x) của phương trình
∈
G

0

(1.5.2) thỏa mãn điều kiện ban đầu

'

1

(n−1)

y(x ) = y , y (x ) = y ,..., y
(n−1)
= 0y 0
0
0
0

(x )

0

b) Giả sử hàm f (x); fi(x) liên tục trên đoạn [a; b] và fn ≠ 0 lập phương trình
vi phân tuyến tính

L( y) =

β

(i )

fi (x) y (x)
∑
i=
0 =

Chọn các hằng số:
α (v) ; β (v )
α
1

n

µ

sao cho ma trận :

(n−1)
...α
1
1
(0)
...β (n−1) 
(0)
1

f (x)

(1.6.1)



...................................


α

β


(1.6.2)

(n−1)
...α
(n−1) 
...β

(0)

(0)

m

m

m

m



Có hạng là m, ta lập tổ hợp tuyến tính sau:

Vµ ( y
)=

n
−
1

[ αµ y
(ν ) (ν )
∑
(ν )
y
ν
=0 µ = 1, m

(1.6.3)

(a) + βµ
(ν )
(b)],

Do ma trận (1.6.2) có hạng m nên các tổ hợp (1.6.3) là độc lập tuyến

tính. Các đẳng thức: Vµ ( y)
= gµ

,µ
=1,
m

(1.6.4) trong đó gµ là những số

được gọi là điều kiện biên của phương trình ( 1.6.1). Nếu gµ =
0,∀

µ

thì ta


gọi là điều kiện biên thuần nhất. Phương trình (1.6.1) cùng các điều kiện
(1.6.4) lập thành bài toán biên.
Bài toán biên được gọi là thuần nhất nếu gµ =
0, ∀µ
và

f (x)
= 0.

Trong trường hợp khác ta gọi là không thuần nhất đôi khi có thể gọi là bán
thuần nhất nếu gµ =
0,∀

µ

nhưng f (x) ≠ 0 . Định nghĩa tổng quát về bài
toán

biên trên đây bao gồm cả bài toán Cauchy thông thường khi (β (ν ) = 0,
∀ν , µ ) .
µ

Ta thâý rằng ϕ(x)
≡ 0

thỏa mãn điều kiện bài toán biên thuần nhất.

Nghiệm đó được gọi là nghiệm tầm thường.
Nếu ϕ ,ϕ ,. là những nghiệm của bài toán biên thuần nhất thì tổ
1
2
...,ϕk
hợp tùy ý của chúng: c ϕ + c ϕ
1
1
2
2
+ ... + ckϕk

cũng là nghiệm của bài toán đó.

c) Cho phương trình:
F (x, y(x), y' (x),...., y (n) (x)) = 0; a

≤ x≤ b

(1.6.5)

Bài toán biên hai điểm đối với phương trình (1.6.6) được đặt ra như
sau: Cho hàm số y(x) thỏa mãn điều kiện biên ở hai đầu đoạn thẳng

( y(a), y (a),..., y
(a)) = 0 , i = 1, L
ϕ
i

ψ
j

(n−1)

'

( y(b), y (b),..., y

= L + 1, n

'

(n=1)

(1.6.6)

(b)

)=

0,j

(1.6.7)


Nếu các phương trình (1.6.5) – (1.6.7) là tuyến tính đối với
y(x), y' (x),..., y(n) (x) thì bài toán biên (1.6.5) – (1.6.7) là bài toán biên tuyến
tính. Để đơn giản ta hạn chế trường hợp bài toán biên tuyến tính với n
= 2.
Khi đó phương trình vi phân và điều kiện biên được viết dưới dạng:
L ( y(x) ) = y" (x) + p(x) y' (x)
f (x); a ≤ x
(1.6.8)
≤ b
+ q(x) y(x) =
l ( y(a) )
= α
0

l ( y(b))
= α
1

0

1

y(a)
+β

0

y' (a)
= γ

y(b) + β y '
(b) = γ
1

(1.6.9)
0

(1.6.10)
1


Trong đó p(x); q(x); f (x) là những hàm số cho trước α , β
0
0
,γ 0 ,
α1, β1 , γ1 là những hằng số cho trước.
Vấn đề tồn tại và duy nhất nghiệm đã được xem xét trong giáo trình
về phương trình vi phân ở đây ta luôn có nghiệm y(x) của bài toán tồn tại
và duy nhất và tồn tại các đạo hàm của y(x) với bậc đủ cao. Giả thiết các
điều kiện sau được thỏa mãn: |αo| + |βo| > 0; |α1| + |β1| > 0.
1.6.2 Điều kiện giải được của bài toán biên
Có những bài toán biên không có một nghiệm nào cả, chẳng hạn:

 y " (x) = 0

y(a)
 − y(b) = 1
 '
'
y(a) + y (b) = 0
Giả sử biết một nghiệm riêng ϕ0 của phương trình (1.6.1) và hệ
nghiệm
cơ bản

ϕ1,ϕ2 ,. của phương trình thuần nhất tương ứng, lúc đó bài toán
...,ϕn

biên (1.6.1 ) – (1.6.2) và (1.6.4) giải được khi và chỉ khi chọn được các hệ số
ci trong biểu thức ϕ = ϕ + c ϕ + sao cho điều kiện (1.6.4)
0
1
1
c2ϕ2 + ... + ckϕk
được thỏa mãn. Vì vậy điều kiện cần và đủ để bài toán biên giải được là ma
trận:

V1 (ϕ1 )...V1 (ϕn )V1 (ϕ0 ) − g1 


V (ϕ1 )...V2 (ϕn )V2 (ϕ0 ) − g 2
 2


......................................... 


Vm (ϕ1 )...Vm (ϕn )Vm (ϕ0 ) − g m 
Có cùng hạng với ma trận:

V1 (ϕ1 )...V1 (ϕn ) 


V (ϕ1 )...V2
 2
(ϕn )


(1.6.11)