Nghiệm chuỗi của phương trình vi phân tuyến tính phức

Lài cám ơn
Em xin chân thành cám ơn sn giúp đõ cna các thay giáo, cô giáo to
Giái tích và các ban sinh viên khoa Toán - Trưòng Đai hoc Sư pham
Hà N®i 2. Đ¾c bi¾t, em xin bày tó lòng biet ơn sâu sac cna mình tói
TS. Nguyen Văn Hào đã t¾n tình giúp đõ em trong quá trình hoàn
thành khóa lu¾n tot nghi¾p.
Lan đau thnc hi¾n công tác nghiên cúu khoa hoc nên vi¾c trình bày
khóa lu¾n không tránh khói nhung han che và thieu sót. Em xin chân
thành cám ơn nhung ý kien đóng góp cna các thay giáo, cô giáo và
các ban sinh viên.

Hà N®i, tháng 5 năm 2012
Sinh viên

Pham Th% L¾


Lài cam đoan
Tôi xin cam đoan, dưói sn hưóng dan cna TS. Nguyen Văn Hào khóa
lu¾n tot nghi¾p "Nghi¾m chuoi cúa phương trình vi phân tuyen
tính phNc" đưoc hoàn thành theo sn hieu biet, nh¾n thúc và đưoc
trình bày theo quan điem riêng cna cá nhân tôi.
Trong quá trình hoàn thành khóa lu¾n, tôi đã thùa ke nhung thành tnu
cna các nhà khoa hoc vói sn trân trong và biet ơn.

Hà N®i, tháng 5 năm 2012
Sinh viên

Pham Th% L¾

Mnc lnc
Má đau.......................................................................................... 3
Chương 1. Kien thNc chuan b% . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
..
6
1.1. So phúc và m¾t phang phúc................................................................6
1.1.1. Khái ni¾m và m®t so tính chat cơ bán........................................................................6
1.1.2. Sn h®i tu cna dãy so phúc..................................................................................8
1.1.3. Chuoi so phúc.................................................................................................................8

1.2. Hàm bien phúc........................................................................................9
1.2.1. Hàm liên tuc.......................................................................................................9
1.2.2. Hàm chính hình................................................................................................10
1.2.3. Chuoi lũy thùa..................................................................................................11

1.3. Tích phân phúc.....................................................................................13
1.4. Đai cương ve phương trình vi phân phúc.........................................17
1.5. Van đe điem kỳ d% cna phương trình vi phân tuyen tính phúc . . 19
1.5.1. Khái ni¾m.....................................................................................................................19
1.5.2. Phân loai điem kỳ d%..................................................................................................19

Chương 2. Nghi¾m chuoi cúa phương trình vi phân tuyen tính
21
2.1. Phương trình chí so.............................................................................22
2.2. Phương trình chí so có các nghi¾m phân bi¾t................................23
2.2.1. Phương pháp tìm nghi¾m chuoi......................................................................24
2.2.2. Sn h®i tu cna nghi¾m chuoi.............................................................................25

1

2.3. Phương trình chí so có nghi¾m b®i...................................................28
2.3.1. H¾ nghi¾m tương úng tù nghi¾m b®i cna phương trình chí so..............................28
2.3.2. Sn đ®c l¾p tuyen tính cna h¾ nghi¾m......................................................................32

2.4. Úng dung vào phương trình Bessel....................................................34
2.5. Đieu ki¾n đe tat cá các nghi¾m liên quan tói m®t chí so có the
không chúa logarit..................................................................................36
2.6. Điem kì d% thnc và kì d% be ngoài.....................................................39
Ket lu¾n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
...
43
Tài li¾u tham kháo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44

1


Má đau
1. Lý do chon đe tài
Như ta đã biet vi¾c tìm nghi¾m tong quát cna m®t phương trình vi
phân tuyen tính đưoc dna trên cơ só xác đ%nh m®t h¾ nghi¾m cơ
bán cna phương trình thuan nhat cùng vói vi¾c tìm m®t nghi¾m riêng
cna phương trình đó. Nghi¾m tong quát cna phương trình này là tong
cna nghi¾m riêng cna phương trình đó vói nghi¾m tong quát cna
phương trình vi phân tuyen tính than nhat tương úng. Nhưng cho đen
nay ngưòi ta cũng chí mói đưa ra đưoc quy trình h¾ thong đe xây
dnng h¾ nghi¾m tong quát cna phương trình vi phân tuyen tính vói
h¾ so hang so. Đoi vói phương trình vi phân tuyen tính mà h¾ so
không phái là hang so, vi¾c tìm nghi¾m ó dang to hop cna các hàm

sơ cap cna m®t so phương trình vi phân không phái de dàng, th¾m
chí ngay cá đoi vói nhieu phương trình có dang khá đơn gián. Chang
han
P (z)wrr(z) + Q(z)wr(z) + R(z)w(z) = 0.
Đó là phương trình vi phân cap hai vói h¾ so là hàm cna bien so đ®c
l¾p, nhưng ta không the tìm đưoc nghi¾m riêng dưói dang m®t hàm
so sơ cap. Tuy nhiên, vi¾c giái các phương trình như dang trên đây là
rat quan trong vì nó náy sinh tù các bài toán thnc tien, đ¾c bi¾t nó
xuat hi¾n nhieu trong các bài toán v¾t lý kĩ thu¾t. Vì v¾y, ta can thiet
phái xây dnng các phương pháp nham tìm nghi¾m cho các phương
trình này.


M®t trong các phương pháp thông dung là tìm nghi¾m cna phương
trình dưói dang chuoi lũy thùa. Ý tưóng cna phương pháp này khá đơn
gián: Giá sú các hàmP (z), Q(z), R(z) là giái tích trong m®t lân c¾n
cna điem z0, khi đó chúng có khai trien thành chuoi lũy thùa tâm tai
z0. Giá sú phương trình có nghi¾m dưói dang chuoi lũy thùa
w=

.∞

n

cn(z − z0) .

n=0

Cơ só toán hoc cna phương pháp này là ta thay the bieu thúc này
cùng các đao hàm cna nó vào phương trình vi phân can giái. Tù đó,

xác đ%nh giá tr% cna các hang so c0, c1, c2, ... sao cho nó nghi¾m
đúng phương trình vi phân đã cho. Sau đó đong nhat các h¾ so trong
h¾ thúc thu đưoc, ta nh¾n đưoc nghi¾m cna phương trình vi phân
đó.
Đieu đó dan tói ý tưóng tìm nghi¾m cna phương trình vi phân tuyen
tính dưói dang chuoi lũy thùa. Đưoc sn đ%nh hưóng cna ngưòi hưóng
dan, em chon đe tài "Nghi¾m chuoi cúa phương trình vi phân tuyen
tính phNc" đe hoàn thành khóa lu¾n tot nghi¾p chuyên ngành Toán
giái tích. Khóa lu¾n đưoc bo cuc thành hai chương
Chương 1. Trong chương này, em đưa ra m®t so kien thúc chan b%:
so phúc và m¾t phang phúc; dãy so và chuoi so phúc; hàm phúc và
tính khá vi phúc; hàm giái tích. Cũng ó đây liên quan tói vi¾c tìm hieu
phương trình vi phân tuyen tính phúc nên em trình bày ve khái ni¾m
phương trình vi phân tuyen tính phúc, đ%nh lý ton tai nghi¾m cna
phương trình vi phân phúc, van đe ve điem kì d% cna phương trình vi
phân tuyen tính phúc.
6


Chương 2. Trong chương này em trình bày ve van đe ton tai nghi¾m

7


chuoi đoi vói m®t so lóp phương trình vi phân tuyen tính phúc và
phương pháp tìm nghi¾m chuoi đoi vói các phương trình vi phân tuyen
tính này.

2. Mnc đích nghiên cNu và nhi¾m vn nghiên cNu
Tìm hieu ve nghi¾m chuoi cna phương trình vi phân tuyen tính phúc.

3. Đoi tưang và pham vi nghiên cNu
Nghiên cúu van đe nghi¾m dưói dang chuoi lũy thùa cna phương
trình vi phân tuyen tính phúc.

4. Phương pháp nghiên cNu
Tìm hieu tài li¾u tham kháo, phân tích, so sánh, tong hop và xin ý
kien đ%nh hưóng cna ngưòi hưóng dan.


Chương 1
Kien thNc chuan b%
1.1. So phNc và m¾t phang phNc
1.1.1. Khái ni¾m và m®t so tính chat cơ bán
So phúc là so có dang z = x + iy; x, y ∈ R và i là đơn v% áo
mà
i2 = −1. Ta goi x là phan thnc và y là phan áo, kí hi¾u
x = Rez, y = Imz.
T¾p hop các so phúc đưoc kí hi¾u bói C. T¾p hop các so phúc đưoc
đong nhat vói m¾t phang R2 bói phép tương úng
C → R2
z = x + iy ›→ (x, y).
M®t cách tn nhiên, ngưòi ta goi Ox là trnc thnc, Oy là trnc áo. Phép
c®ng và nhân các so phúc đưoc thnc hi¾n m®t cách thông thưòng
như các phép toán trên t¾p hop so thnc vói lưu ý rang i2 = −1. Ta có
z1 + z2 = (x1 + x2 ) + i(y1 + y2 )
và
z1.z2 = (x1 + iy1)(x2 + iy2) = x1x2 + ix1y2 + iy1x2 + i2y1y2
= (x1x2 − y1y2) + i(x1y2 + y1x2).

M®t so tính chat cna phép c®ng và nhân so phúc
+ Tính chat giao hoán
z1 + z2 = z2 + z1; z1.z2 = z2.z1.
+ Tính chat ket hop
(z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3); (z1.z2).z3 = z1.(z2.z3).
+ Tính chat phân phoi cna phép nhân vói phép c®ng
z1.(z2 + z3) = z1.z2 + z1.z3.
Vói moi so phúc z = x + iy, ta xác đ%nh modul cna so phúc z là
,
|z| = x2 + y2.
Modul cna so phúc có các tính chat
(i) |z + w| ≤ |z| + |w| ; ∀z, w ∈ C,
(ii) ||z| − |w|| ≤ |z − w| ; ∀z, w ∈ C,
(iii) |Rez| ≤ |z| ; |Imz| ≤ |z| ; ∀z ∈ C.
So phúc liên hop cna so phúc z = x + iy đưoc kí hi¾u
là Không khó khăn, ta có the kiem tra đưoc

=
và

Rez

z+
; Imz
z¯
=
2

z¯ = x −

iy.

z−
z¯
2i

2
|z| = z.z¯; = z¯ vói z ƒ= 0.
2
1
z
|z|

So phúc khác 0 đưoc bieu dien dưói dang cnc z = r.eiθ vói r > 0, θ ∈ R
đưoc goi là argument cna so phúc z (argument cna so phúc z đưoc xác


đ%nh m®t cách duy nhat vói sn sai khác m®t b®i so cna 2π) và
.

Bói vì e
.

iθ

.

eiθ = cosθ + i sin θ.
= 1, nên r = |z| và θ là góc hop bói chieu dương cna truc Ox
.

và núa đưòng thang xuat phát tù goc toa đ® đi qua điem z. Cuoi cùng,
ta lưu ý rang z = r.eiθ và w = s.eiϕ thì
z.w = r.s.ei(θ+ϕ).
1.1.2. SN h®i tn cúa dãy so phNc
Dãy so phúc {zn} đưoc goi là h®i tu đen so phúc w ∈ C và viet là
w = lim zn
n→∞

⇔

lim |z − w| = 0.
n

n→∞



lim
zn ⇔  n→∞ Rezn =

w = lim
 lim Rew, Imzn

De dàng kiem tra rang

n→∞

n→∞

= Imw.

Dãy so phúc {zn} đưoc goi là dãy Cauchy neu
|zn − zm| → 0 khi m, n → ∞
⇔ ∀ε < 0 ∃N > 0 sao cho |zn − zm| < ε vói moi n, m ≥ N.
Như v¾y, dãy so phúc h®i tu neu và chí neu nó là dãy Cauchy.
1.1.3. Chuoi so phNc
Đ%nh nghĩa 1.1. Cho dãy so phúc {un}. Khi đó, tong vô han
∞

u1 + u2 + · · · + un + · · · =
n=1

.

un

(1.1)


đưoc goi là chuoi so phúc. Tong Sn = u1 + u2 + · · · + un đưoc goi là
tong
riêng thú n cna chuoi (1.1).
Neu ton tai lim
n→∞

Sn = S ƒ= 0 thì chuoi (1.1) đưoc goi là h®i tn và

S
đưoc goi là tong cna chuoi, kí hi¾u

s=

.

∞

un .

n=1

Chuoi không h®i tu goi là chuoi phân kì.
Đ%nh lý 1.1. (Tiêu chuan Cauchy) Chuoi

.∞
n=
1

un h®i tu khi và chí khi

vói moi ε > 0 ton tai so nguyên dương N = N (ε) sao cho vói moi n ≥
N
và moi p = 1, 2, ... ta có
|un+1 + un+2 + · · · + un+p| < ε.
Đ%nh nghĩa 1.2. Chuoi
.∞
n=
1

.∞

n=
1

un đưoc goi là h®i tn tuy¾t đoi neu chuoi

|un| h®i tu.

Đ%nh lý 1.2. Neu
chuoi

.∞
n=
1

1.2. Hàm bien phNc
1.2.1. Hàm liên tnc

un h®i tn tuy¾t đoi thì nó cũng h®i tn.


Cho hàm f (z) xác đ%nh trên t¾p Ω ⊂ C. Ta nói rang f (z) liên tuc
tai điem z0 ∈ Ω neu thóa mãn m®t trong hai đieu ki¾n tương đương
sau
(i) Vói moi ε > 0 ton tai δ > 0 sao cho vói moi z ∈ Ω và |z − z0| < δ
thì
|f (z) − f (z0)| < ε.


(ii) Vói moi dãy {zn} ⊂ Ω mà
lim

n →∞

zn = z0 thì f (zn) = f (z0).
lim
Hàm f (z) đưoc
n→∞
goi là liên tuc trên
Ω neu nó liên tuc
tai moi điem cna
Ω. Tong và tích
cna các hàm liên
tuc cũng là hàm
liên tuc.
1.2.2. Hàm
chính
hình
Cho hàm phúc
f (z) xác đ%nh
trên t¾p mó Ω.
Hàm f (z)
đưoc goi là
chsnh hình tai
điem z0 ∈ Ω neu
ton tai giói han
cna bieu thúc
f (z0 +
→

ó đó 0 ƒ= h ∈ C
vói z0 + h ∈ Ω.

h)
−
f
(z
0)
;
kh
i
h
0,
h


Giói han trên đưoc ký hi¾u bói f
g
r
(z0) và goi là đao hàm cna hàm f
(z)
tai điem z0. Như v¾y, ta có
r

f (z0) = lim f
h→0

goi là chính
hình trên Ω
neu
chính

nó
hình

tai

moi

điem cna Ω.
(
z
0

Hàm
chính

f
hình

nguyên.

Đ%nh
lý
1.3. Neu các
hàm f, g
)
chính hình
trên Ω, thì
(i) f + g
−
chính

hình trên
Ω và (f
f
r
+ g) =
f r + gr,
(
(ii) f.g chính
hình trên
z
Ω
và
r
0
(f.g) = f
r
g + f.gr ,
)
0, f
(iii) N
.h
eu thì
g(
Hàm f (z) có đao hàm phúc tai
z0
)
điem z cũng đưoc goi là khá vi
ƒ=
phúc hay C - khá vi tai z. Hàm f
h

h
ì
n
h

trên C đưoc
goi là hàm

+

c.
hf
í.
r
n=
g
h

t
a
i
z
0

∈
Ω
v
à

f r.g − f.gr

.
g2
Thêm nua, neu f : Ω → U và g :
U → C là các hàm chính hình, thì
hàm
hop gof : Ω → C cũng là hàm
chính hình.
Khái ni¾m khá vi phúc khác
han vói khái ni¾m khá vi thông
thưòng cna hàm hai bien thnc.
Thnc v¾y, hàm f (z) = z¯ tương
úng như ánh xa


cna m®t hàm hai bien thnc F : (x, y) ›→ (x, −y). Hàm này khá vi theo
nghĩa hàm hai bien thnc, đao hàm cna nó tai m®t điem là ánh xa tuyen
tính đưoc cho bói đ%nh thúc Jacobian cna nó, ma tr¾n vuông cap hai
các đao hàm riêng cna các toa đ®. Tuy nhiên, ta thay đieu ki¾n ton tai
các đao hàm thnc không đám báo tính khá vi phúc. Đe hàm f khá vi
phúc, ngoài đieu ki¾n khá vi cna hàm hai bien thnc, chúng ta can đen
đieu ki¾n Cauchy - Riemann đưoc cho bói đ%nh lý dưói đây. Đe lý giái
đưoc đieu này, trưóc het ta nhac lai hàm f (z) = u(x, y) + iυ(x, y),
trong
đó hàm u(x, y) và v(x, y) xác đ%nh trong mien Ω, đưoc goi là R2 - khá
vi tai z = x + iy neu các hàm cna hai bien thnc u(x, y) và v(x, y)
khá vi tai điem (x, y).
Đ%nh lý 1.4. (Đieu ki¾n Cauchy - Riemann) Đe hàm f (z) là C khá vi tai điem z ∈ D, đieu ki¾n can và đú là tai điem đó hàm f (z)

là R2 - khá vi và thóa mãn đieu ki¾n Cauchy - Riemann.
∂u
∂u
(x, y).
(x, y) = ∂v (x,
∂x
∂v
y);
∂y
(x, y) =
∂y
−
∂x
1.2.3. Chuoi lũy thNa
Chuoi lũy thùa là chuoi có dang
∞
.

an(z − z0)

n

n=0

ho¾c bang phép đoi bien đơn gián ta chí can nghiên cúu chuoi
dang
∞

(1.2)

.

anz n,

(1.3)

n=0

trong đó an ∈ C. Tù Đ%nh lý Abel ta thay rang neu chuoi (1.3) h®i tu
điem z0 nào đó, thì nó cũng h®i tu tai moi z trong đĩa |z| ≤ |z0|. Bây
giò


ta se chúng minh luôn ton tai m®t đĩa mó mà trên đó chuoi (1.2) h®i tu
tuy¾t đoi.
Đ%nh lý 1.5. (H’adamard) Cho chuoi lũy thùa .∞
anzn. Khi đó ton tai
so 0 ≤ R ≤ +∞ sao cho
n=
0

(i) Neu |z| < R thì chuoi h®i tn tuy¾t đoi.
(ii) Neu |z| > R thì chuoi phân kỳ.
Hơn nua, neu ta sú dnng quy ưóc 1/0 = ∞ và 1/∞ = 0, thì so R
đưoc tính bói công thúc
1
1
= lim sup |a | n .
n

R n→∞
So R đưoc goi là bán kính h®i tn cúa chuoi và mien |z| < R đưoc goi là
đĩa h®i tn.
Chú ý. Trên biên cna đĩa h®i tu |z| = R, thì chuoi có the h®i tu cũng
có the phân kỳ.
Các ví du thêm nua ve chuoi lũy thùa h®i tu trong toàn m¾t phang
phúc là các hàm lưong giác
.
2n
.
∞
∞
z
2n) và sin z =
cos z =
n
n
(−1)
(−1)

2n+1

.

z
n=0

(

n=0

(2n + 1)!

Bang tính toán đơn gián, ta nh¾n đưoc các công thúc Euler dưói dang
mũ phúc
cos z =

eiz +
e−iz
2

iz
−iz
và sin z e − e .
2
=

.∞


Đ%nh lý 1.6. Chuoi lũy thùa f (z) n= anzn xác đ%nh m®t hàm chính
=
0
hình trong đĩa h®i tn cúa nó. Đao hàm cúa f cũng là m®t chuoi lũy
thùa


thu đưoc bang cách lay đao hàm tùng so hang cúa chuoi vói hàm f, túc
là
r

f (z) =

∞
.

nanzn−1.

n=0
r

Hơn nua, f có cùng bán kính h®i tn vói f.
H¾ quá 1.1. Chuoi lũy thùa khá vi vô han lan trong đĩa h®i tn cúa nó.
Đao hàm cúa chuoi lũy thùa thu đưoc bang cách lay đao hàm cúa tùng
so hang cúa nó.
M®t hàm f xác đ%nh m®t t¾p con mó Ω đưoc goi là giái tích (ho¾c có
khai
.∞
n
trien lũy thùa) tai điem z0 ∈ Ω neu ton tai chuoi lũy
n= an(z − z0)
0
thùa
tâm tai z0 vói bán kính h®i tu dương sao cho
f (z) =

.∞

n

an(z − z0) ;

n=0

vói moi z trong lân c¾n cna điem z0. Neu f có khai trien lũy thùa tai
moi z ∈ Ω, thì ta nói rang f giái tích trên Ω. Tù Đ%nh lý 1.5 ta thay
rang m®t hàm giái tích trên Ω thì cũng chính hình trên đó.

1.3. Tích phân phNc
M®t đưòng cong tham so là m®t hàm
z : [a, b] → C
t ›→ z(t) = x(t) + iy(t).
Đưòng cong đưoc goi là trơn neu ton tai đao hàm zr(t) liên tuc trên
đoan


[a, b] và zr(t) ƒ= 0, vói moi t ∈ [a, b]. Tai các điem t = a và t = b các
đai


lưong zr(a) và zr(b) đưoc hieu như giói han m®t phía
zr(a) = lim
h→0+

z ( a + h) −
z (a )
h

và zr(b) =
lim

h→0−

z ( b + h) −
z(b )
h .

Đưòng cong đưoc goi là trơn tùng khúc neu z(t) liên tuc trên đoan [a,
b] và ton tai các điem a0 = a < a1 < ... < an = b, ó đó z(t) là trơn
trên moi đoan [ak, bk+1]. Đ¾c bi¾t đao hàm trái và phái tai các điem
ak có the
khác nhau vói k = 1, 2, ..., n − 1.
Hai đưòng cong tham so z : [a, b] → C và z¯ : [c, d] → C đưoc goi là
tương đương neu ton tai song ánh khá vi liên tuc s → t(s) tù [c, d] đen
[a, b] sao cho tr(s) > 0 z¯(s) = z (t(s)). Đieu ki¾n tr (s) > 0 đám
và
báo
hưóng cna đưòng cong, khi s chay tù c đen d thì t(s) chay tù a đen b.
Ho cna tat cá các đưòng cong tham so tương đương vói z(t) xác đ
%nh m®t
đưòng cong trơn γ ⊂ C. Đưòng cong γ− là đưòng cong thu đưoc tù γ
bang cách đoi hưóng. M®t dang tham so hóa cna γ− đưoc xác đ%nh
như sau
z− : [a, b] → R2
z−(t) = z(b + a − t).
Các điem z(a) và z(b) đưoc goi là điem đau và điem cuoi cna đưòng
cong. Đưòng cong trơn ho¾c trơn tùng khúc đưoc goi là kín neu z(a)
= z(b); đưoc goi là đưòng cong đóng neu nó không có điem tn cat,
nghĩa là neu t ƒ= s thì z(t) ƒ= z(s). Trưòng hop đưòng cong đóng thì

trù ra s = a và t = b. Đe ngan gon ta se goi đưòng cong trơn tùng
khúc là m®t đưòng cong.


Ví dn 1.1. Xét đưòng tròn Cr (z0) tâm tai z0, bán kính r
Cr (z0) = {z ∈ C : |z − z0| = r} .
Hưóng dương là hưóng đưoc cho bói phương trình tham so
z(t) = z0 + reit, t ∈ [0, 2π]
và hưóng âm đưoc cho bói phương trình
z(t) = z0 + re−it, t ∈ [0, 2π] .
Ta kí hi¾u C là đưòng tròn đ%nh hưóng dương.
Đ%nh nghĩa 1.3. Cho đưòng cong trơn γ đưoc tham so hóa bói
phương trình z : [a, b] → C và f là hàm liên tuc trên γ. Tích phân
cna hàm f doc theo γ đưoc xác đ%nh bói
b

¸
¸ f (z(t)).zr(t)dt.
f (z)dz =
γ

a

Chúng ta thay tích phân ve phái không phu thu®c vào cách chon
phương trình tham so đoi vói γ. Giá sú z¯ là m®t tham so hóa tương
đương xác đ%nh như trên thì
¸b

¸d

f (z(t)).zr(t)dt
=

f (z(t(s))).zr(t(s)).tr(s)ds

c

a

d

¸
=

f (z¯(s)).z¯r (s)ds.

c

Neu γ là đưòng cong trơn tùng khúc như trên, thì
ak+1
¸
n−1
¸
. f (z(t)).zr(t)dt.
f (z)dz =
k=0

γ
ak