Phương pháp tích phân từng phần trong khai triển tiệm cận của tích phân loại laplace và áp dụng đối với một số tích phân đặc biệt

LèI CÁM ƠN

Em xin chân thành cám ơn TS. Nguyen Văn Hào đã t¾n tình hưóng
dan, giúp đõ em trong suot thòi gian thnc hi¾n khoá lu¾n.
Xin chân thành cám ơn các thay, các cô trong to giái tích-khoa
Toán trưòng Đai hoc sư pham Hà N®i 2 đã tao moi đieu ki¾n giúp
đõ em hoàn thành khoá lu¾n này.
Xin chân thành cám ơn gia đình và ban bè đã tao moi đieu ki¾n
thu¾n loi cho em trong quá trình thnc hi¾n khoá lu¾n.

Hà N®i, tháng 05 năm 2012
Sinh viên

Nguyen Th% Hanh

i


LèI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan, dưói sn hưóng dan cna TS. Nguyen Văn Hào
khóa lu¾n tot nghi¾p "Phương pháp tích phân tNng phan trong
khai trien ti¾m c¾n cúa tích phân loai Laplace và áp dnng vái
m®t so tích phân đ¾c bi¾t" đưoc hoàn thành không trùng vói bat kỳ
khóa lu¾n nào khác.
Trong quá trình hoàn thành khóa lu¾n, tôi đã thùa ke nhung
thành tnu cna các nhà khoa hoc vói sn trân trong và biet ơn.

Hà N®i, tháng 05 năm 2012
Sinh viên

Nguyen Th% Hanh

ii


Mnc lnc
Má đau

1

1

M®T SO KIEN THÚC VE GIÁI TÍCH TIfiM C¾N

5

1.1. M®t so khái ni¾m ve b¾c . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2. Khái ni¾m ve khai trien ti¾m c¾n . . . . . . . . . . . . .

7

1.3. M®t so ví du ve khai trien ti¾m c¾n . . . . . . . . . . . .

8

1.4. Các tính chat cna khai trien ti¾m c¾n......................................10
2

TÍCH PHÂN LOAI LAPLACE

19

2.1. Ý tưóng cna phương pháp khai trien ti¾m c¾n đoi vói tích
phân loai Laplace.......................................................................19
2.2. Trưòng hop f (t) đn trơn................................................20
2.3. Trưòng hop f (t) không đn trơn........................................24
3

M®T SO TÍCH PHÂN Đ¾C BIfiT

28

3.1. Hàm Gamma không hoàn chính................................................ 28
3.2. Tích phân Fresnel....................................................................... 30
3.3. Bài toán cna Stieltjes..............................................................31
Ket lu¾n

33

Tài li¾u tham kháo

34

iii


Mé ĐAU

1. Lý do chon đe tài
Khi giái quyet nhieu bài toán trong thnc te thưòng xáy ra rang,
nhung chuoi phân kỳ có the đưoc sú dung cho sn tính toán giá tr% so cna
m®t đai lưong mà theo nghĩa nào đó có the đưoc xem như là "tong" cna
chuoi. Trưòng hop đien hình là đoi vói các chuoi hàm, bang sn xap xí
bói m®t so so hang đau tiên cna chuoi thnc sn đem lai hi¾u quá mong
muon. Trong hau het các trưòng hop các so hang đau tiên cna chuoi
giám nhanh (khi bien so đ®c l¾p tien nhanh tói giá tr% giói han cna nó),
nhưng nhung so hang sau bat đau tăng tró lai. Các chuoi như v¾y đưoc
goi là chuoi bán h®i tu và vi¾c tính toán giá tr% so thưòng đưoc thnc
hi¾n bói m®t so các so hang đau cna chuoi. Đe minh hoa cho đieu
này, ta xét m®t bài toán đưoc xét đen lan đau tiên vào năm 1754 bói
L. Euler. Chuoi hàm

∞

.
S(x) = 1 − 1!x + 2!x − 3!x + ... = (−1)nn!
2

3

xn

(0.1)
n=0

là m®t chuoi phân kì vói moi x ƒ= 0. The nhưng vói nhung giá tr% đn
nhó cna x, các so hang đau cna chuoi giám rat nhanh và có the tính
toán đ%nh lưong giá tr% so xap xí cna chuoi này.

M®t van đe đưoc đ¾t ra là hàm nào cna bien x có giá tr% so bieu
dien sn xap xí đó. Euler đã xét hàm φ(x) = xS(x) và bang tính
toán đơn gián ta thay rang
φr(x) = 1! 2!x1 + 3!x2
−
ha
y

... =

x2φr(x) + φ(x) = x.

x − φ(x)
x2


2

Đieu đó cho thay rang hàm φ(x) nh¾n đưoc tù nghi¾m cna m®t
phương trình vi phân. M¾t khác, sú dung tích phân Euler loai hai
¸ ∞
e−ttndt
n! =
0

ta thu đưoc
¸
S(x)
=

¸

∞

0
∞

−t

e dt − x
¸

=.
n=0

∞
0

∞

¸

−t

e tdt +
x2

0

∞

0

e−tt2dt − ...

(−1)ne−t(xt)ndt.

Giá thiet rang neu có the lay tong m®t cách hình thúc qua dau tích phân
thì S(x) tró thành

¸

Bây giò ta có the thay rang

∞

0

e−t dt.

(0.2)

1+

xt

f (x) =

¸

∞

0

e−t

dt

(0.3)

1+
xt

là m®t hàm hoàn toàn đưoc xác đ%nh theo bien x, giái tích trong m¾t
phang phúc x cat doc theo núa truc không âm. M®t van đe náy sinh ó
đây là khi nào chuoi phân kỳ (0.1) bieu dien hàm (0.3). Đe trá lòi
cho van đe này trưóc het ta lưu ý rang
.
m
1
= (−xt)n +
(−xt)
1 + xt

m+
1

; ∀m = 0, 1, 2...

1 + xt

n=
0

Do đó, ta có the viet
f (x) = Sm(x) + Rm(x);
vói

m

(0.4)

.

Sm(x) = (−1)nn!xn

(0.5)


3
n=0


¸

là tong riêng thú m và

∞

Rm(x) = (−x)m+1

0

e−ttm+1
dt
1 + xt

(0.6)

là phan dư cna chuoi (0.1). Ta xét hai trưòng hop sau
−1

(i) Neu Re x “ 0 thì ta có |1 + xt| ≤ 1 và
¸ ∞
m+1
e−ttm+1dt = (m + 1)! |x|
|Rm(x)| ≤ |x|
0

m+1

π

(ii) Neu Re x < 0, φ = arg
x và do đó

−1

< ±φ < π thì |1 + xt|
2
và

m+1
|Rm(x)| ≤ (m + 1)! |x|
|cosec φ| .

(0.7)

< |cosec φ|
(0.8)

Trong cá hai trưòng hop, phan dư có cùng b¾c vói so hang đau tiên cna
phan dư cna S(x) và tien nhanh đen 0 khi x → 0. Giói han h®i tu
đeu trong bat kỳ hình quat nào đó mà |arg x| < π − ε, ε > 0. Neu
Re x > 0 thì phan dư nhó hơn so hang dư đau tiên và neu x > 0 thì
phan dư cùng dau vói so hang đau tiên cna phan dư.
Có m®t so phương pháp đe nghiên cúu ti¾m c¾n cna các tích
phân như phương pháp pha dùng, phương pháp đưòng giám nhanh,
phương pháp điem yên ngna. Tuy nhiên, m®t trong nhung phương
pháp đưoc quan tâm trưóc het trong lý thuyet xap xí ti¾m c¾n đoi
vói tích phân đó là phương pháp tích phân tùng phan. Đe hoàn thành
khóa lu¾n tot nghi¾p chương trình b¾c đào tao cú nhân khoa hoc
Toán hoc em chon đe tài "Phương pháp tích phân tNng phan
trong khai trien ti¾m c¾n cúa tích phân loai Laplace và áp
dnng vái m®t so tích phân đ¾c bi¾t".
Lu¾n văn gom 03 chương. Chương 1, đưoc giành đe đưa ra m®t
so kien thúc căn bán ve lý thuyet ti¾m c¾n. Chương 2 cna lu¾n văn,
chúng tôi trình bày m®t cách h¾ thong m®t so phương pháp ưóc lưong
xap xí


tích phân loai Laplace. Cuoi cùng, chúng tôi sú dung phương pháp tích

phân tùng phan đe thu đưoc khai trien cna m®t so tích phân đ¾c bi¾t.

2. Mnc đích, đoi tưang và pham vi nghiên cNu
Lu¾n văn trình bày m®t cách h¾ thong ve lý thuyet xap xí ti¾m
c¾n, trình bày m®t so phương pháp xap xí ti¾m c¾n đoi vói tích phân
loai Laplace. Úng dung phương pháp tích phân tùng phan đe xap xí m®t
so tích phân đ¾c bi¾t.

3. Phương pháp nghiên cNu
Đoc sách, nghiên cúu tài li¾u.
Tong hop kien thúc, v¾n dung cho muc đích nghiên cúu.

4. DN kien đóng góp cúa đe tài
H¾ thong hóa chi tiet, căn bán ve lý thuyet khai trien ti¾m c¾n.
Trình bày phương pháp tích phân tùng phan xap xí tích phân loai
Laplace.
Sú dung phương pháp tích phân tùng phan đe xap xí m®t so tích
phân đ¾c bi¾t.


Chương 1
M®T SO KIEN THÚC VE GIÁI
TÍCH TIfiM C¾N
Trưóc khi giói thi¾u các khái ni¾m cơ bán ve giái tích ti¾m c¾n,
chúng ta xét vi¾c tính giá tr% cna tích phân sau
I(ε) =

¸

∞

0

e−t dt; ε > 0.
1+
εt

é đây chúng ta sú dung phương pháp tích phân tùng phan đe xap xí giá
tr% cna tích phân trên. Tích phân tùng phan lan thú nhat ta đưoc
¸ ∞
e−t
dt.
I(ε) = 1 − ε
2
(1
+
εt)
0
L¾p lai quá trình này N lan ta nh¾n đưoc
I(ε) = 1 − 1!ε + 2!ε2 − 3!ε3 + ... + (−1)N N !εN
¸ ∞
N +1
e−t
dt.
(1.1)
+ (−1)
(N +
1)!

0

(1 + εt)N
+2

Phương trình (1.1) dan đen m®t so khái ni¾m quan trong mang tính
trnc giác sau đây
(i) −ε cùng b¾c vói ε, còn 2!ε2 là cùng b¾c vói ε2, ký hi¾u là
−ε = O(ε); 2!ε2 = O(ε2).
(ii) 2!ε2 có b¾c nhó hơn ε đưoc ký hi¾u bói
2!ε2 = o(ε).


6

(iii) Neu xap xí cna tích phân I(ε) là 1 − 1!ε + 2!ε2 thì đây là xap
xí có
đ® chính xác tói b¾c cna ε2 . Trong vi¾c tính toán các tích phân trên,
tham so ε là so thnc. Chúng ta se phát bieu chính xác các khái ni¾m có
tính trnc giác trên cho bien phúc ó múc đ® tong quát.

1.1.

M®t so khái ni¾m ve b¾c

Đ%nh nghĩa 1.1. Cho f (z) và g(z) là hai hàm xác đ%nh trên mien
D
trong m¾t phang phúc C và z0 là m®t điem giói han cna mien đó, ta nói
(i) Hàm f (z) có b¾c "O lón" đoi vói g(z) khi z → z0 và ký hi¾u là
f (z) = O(g(z)); z → z0
neu ton tai m®t hang so M và m®t lân c¾n U cna z0 sao cho

|f (z)| ≤ M |g(z)| ; ∀z ∈ U ∩ D.
(ii) Hàm f (z) có b¾c "o nhó" hơn g(z) khi z → z0 và ký hi¾u là
f (z) = o(g(z)); z → z0
.
.
. f (z) .
z→z
lim0 . .g(z).. =
0.
(iii) Hàm f (z) tương đương vói hàm g(z) khi z → z0 ký hi¾u là
neu

f (z) ∼ g(z); z → z0
neu

f
li (z) = 0.
m
z→z0

g(z)

(iv) Hàm f (z) xap xí bang I(z) tói b¾c δ(z) khi z → z0, neu
I ( z ) − f (z )
lim
= 0.
δ(z
z→z0
)

Tró lai phương trình (1.1), ó đây cho z là ε và z0 = 0. Xét xap
xí
f (ε) = 1 − ε + 2!ε2. Ta thay
I(ε ) − f
lim
(ε)
ε→0
ε2

= 0.

Như v¾y f (ε) đưoc goi là xap xí cna I(ε) tói b¾c ε2.

1.2.

Khái ni¾m ve khai trien ti¾m c¾n
Trong phương trình (1.1) chúa m®t dãy sap thú tn 1, ε, ε2,

ε3, ... Đ¾c điem cna dãy này là so hang thú (j + 1) cna dãy nhó hơn
nhieu so vói so hang thú j cna nó. Đ¾c điem này xác đ%nh tính chat
cna m®t dãy ti¾m c¾n. Phương trình (1.1) cho ta m®t khai trien
ti¾m c¾n cna tích
∞ . Ta phát bieu chính xác
phân I(ε) tương úng vói dãy ti¾m c¾n {εj}j=
0

các khái ni¾m này như sau

Đ%nh nghĩa 1.2. (i) Dãy hàm {δj (z)} đưoc goi là dãy ti¾m c¾n khi

z → z0 neu vói moi j = 1, 2, ... thì
δj+1(z) = o(δj (z)); z → z0.
(ii) Giá sú I(z) là m®t hàm liên tuc và cho {δj (z)} là dãy ti¾m c¾n
khi
.N
z → z0. Chuoi có dang j= ajδj (z) đưoc goi là khai trien ti¾m c¾n
1

cna I(z) khi z → z0 tói b¾c δN (z) neu vói moi m = 1, 2, ...N ta có
m

I(z) =

.

ajδj (z) + O(δm+1(z)); z → z0.

j=1

Khi đó ta viet

N

I(z) ∼

.
j=1

ajδj (z); z → z0.

(1.2)


Trong phương trình (1.2) các so hang cna chuoi có the thu đưoc lan
lưot
tù công thúc
an = lim
z→z0

.I(z)

−

.n−1

a jδ j

(z)
.
j=

.
0
δn(z)
Khi tính toán các so hang này có the lón tùy ý, đoi vói phương trình
(1.2) thưòng là N = ∞, m¾c dù trong thnc te chuoi ti¾m c¾n này
thưòng không h®i tu.

1.3.

M®t so ví dn ve khai trien ti¾m c¾n

Ví dn 1.1. Quay tró lai phương trình (1.1), ve phái cna phương
trình này là khai trien ti¾m c¾n cna tích phân I(z) vói so hang thú
(n+1) là rat nhó so vói các so hang trưóc nó. Đieu này đúng vói moi
n = 0, 1, .....N −1.
Vói n = N , do ε > 0 nên ta có: 1 + εt ≥ 1. Do đó
¸ ∞
¸ ∞
−t
dt
e
e−tdt = 1.
≤
0
N
(1
+
εt)
0
Tù đó suy ra
+2
.
.
−t
¸ ∞
e
.(−1)N +1(N + 1)!
dt.
N +1

ε
(1 + εt)N +2 .
.
..
..
0.

.
≤ .(−1)N +1(N + 1)!εN +1. .(−1)N N !εN . .
= o
Đieu quan trong chúng ta thay rang khai trien trong phương trình
(1.1) không h®i tu. Th¾t v¾y, vói ε co đ%nh thì so hang (−1)N N !εN
tien đen vô cnc khi N → ∞. Nhưng vói N co đ%nh thì so hang này b%
tri¾t tiêu khi ε → 0 và đây là lý do cho thay khai trien ti¾m c¾n trên
đem lai m®t xap xí tot cho tích phân I(ε) khi ε → 0.
Ví dn 1.2. Tìm khai trien ti¾m c¾n cna tích phân


¸
J (z) =

∞

0

e−zt dt; z → ∞.
1+
t

Đ¾t tr = zt, ε
=

1
, ta thay rang
z
¸
J=ε

r

∞

e−t dtr.
1+
εtr
1

0

Vì v¾y tù phương trình (1.1), vói ε
=
1

vói

−
J (z)
z
=

z2

1
+

2 − ... +
!
(−1)N −1

z3
RN (z)
=
Ta thay
rang

ta có
z
(N −
1)!

N

(−1) N !
∞

zN +1

0

|RN (z)| ≤ N !

zN +1

+ RN (z)

(1.3)

zN

¸

e−tdt
.
.N
1+
+1

.

z

.

.
1
=o N
z
.

Lưu ý rang trong phương trình (1.3) khi z → ∞, thì dãy hàm

1 1 2!

,
,
,
z z 2 z3

...
chính là m®t dãy ti¾m c¾n. Do đó phương trình (1.3) là khai trien
ti¾m
c¾n cna tích phân I(z) vói z đn lón. Hơn nua, khai trien trên không
h®i tu khi N → ∞ và z co đ%nh. The nhưng tù đánh giá trên ta thay
khi z → ∞ và N co đ%nh thì RN → 0.
Ví dn 1.3. Tìm khai trien ti¾m c¾n cna tích phân
¸ ∞ −t
e
I(z) =
dt; z → ∞.
z
t
Lay tích phân tùng phan N lan ta thu đưoc
.
1
2
− ... + (N −
I(z) = e−z1
!
.
N −1
z− 2

(−1)
1)
!
z +
vói
zN
¸ ∞
z3
e−t


+
RN

(z)

(1.4)
RN (z) = (−1)N N
!

z

dt.
tN

+1

Khi z → ∞, các so hang e−z e−z
,
, ... l¾p thành m®t dãy ti¾m c¾n. Ta có

z
2
z
đánh giá ve phan dư như sau
|RN (z)| N ! ¸ ∞ −t
N !e−z
.
.
= e−z
e
dt
N
+1
<
z
.
zN
o
N
z
=
+1
z


Vì v¾y phương trình (1.4) là khai trien ti¾m c¾n cna tích phân đã
cho. Khi N → ∞ vói z co đ%nh, dãy này phân kỳ và |RN | → ∞. Khi z →
∞ vói N co đ%nh thì RN → 0.
Thông thưòng, chuoi ti¾m c¾n se mang lai xap xí tot như mong
muon. Chang han trong ví du trên khi z = 10 và N = 2, sai so giua

ket quá chính xác vói hai so hang đau tiên cna chuoi là R2(10) thóa
mãn
R2(10) < 0, 002e−10.
Rõ ràng sai so đó là rat nhó. Thnc ra ngay cá khi z = 3 và N = 2, ta
có
2
3
R2(3) <
= 3, 7 × 10− .
3
(3e)
Tuy nhiên, ta không the lay quá nhieu các so hang cna chuoi bói vì phan
dư cna chuoi chí giám nhanh trong m®t so các so hang đau cna chuoi và
các so hang tiep theo bat đau tăng tró lai khi N tăng. Ve nguyên tac,
ta có the tìm đưoc m®t giá tr% "toi ưu" cna N đe khi z co đ%nh thì phan
dư đó là nhó nhat (xap xí tot nhat). é đây, chúng ta se không tìm hieu
thêm ve van đe này. Trong hau het các áp dung, ta chí can thu đưoc
m®t vài so hang đau cna khai trien ti¾m c¾n là đn.

1.4.

Các tính chat cúa khai trien ti¾m c¾n
Các tính chat sau đây cna khai trien ti¾m c¾n có the đưoc thiet

l¾p m®t cách de dàng như sau
Tính chat 1.1. (Tính duy nhat cna chuoi ti¾m c¾n)
∞

Cho dãy ti¾m c¾n {δj (z)}j= , khi đó khai trien ti¾m c¾n cna hàm f (z)
1

là duy nhat. Rõ ràng, neu cho
N

f (z) ∼

.

j=1

ajδj (z) khi z → z0


thì dãy {δj (z)} là m®t dãy khai trien ti¾m c¾n. Khi đó các h¾ so an là
duy nhat.
ChNng minh. Th¾t v¾y, giá sú f (z) còn có khai trien ti¾m c¾n khác
là
N

f (z) ∼

.

bjδj (z).

j=1

Khi đó ta đ¾t cj = aj − bj , ta thay rang
0 ∼ c1δ1(z) + c2δ2(z) + c3δ3(z) + ...
Chia cá hai ve cho δ1(z) và lay giói han đoi vói c1 khi z → z0 ta suy

ra c1 = 0. L¾p lai quá trình này đoi vói δ2(z), δ3(z)..... ta nh¾n đưoc
cj = 0 vói moi j = 1, 2, 3.... Do đó aj = bj vói moi j = 1, 2, 3, ....
Xét hàm f (z) là giái tích khap nơi bên ngoài đưòng tròn |z| = R.
Khi đó hàm f (z) h®i tu nên khai trien chuoi Taylor có dang
a1 a 2
+ + ...
f (z) = a0 +
z
z2
Trong trưòng hop này, chuoi Taylor h®i tu tương đương vói chuoi ti¾m
.
.∞
c¾n h®i tu, vói dãy ti¾m c¾n là 1
. Neu f (z) không giái tích tai
j
vô
z
j=0

cnc thì nó không the có khai trien ti¾m c¾n nào thóa mãn đoi vói moi
arg z khi z → ∞. Các khai trien ti¾m c¾n đien hình tìm đưoc chí
thóa mãn trong pham vi cna m®t so hình quat nào đó cna m¾t phang
phúc.
Thưòng thì khai trien ti¾m c¾n cna m®t hàm f (z) cho trưóc se có
dang
.
a1 + a2 + ....
a0
f (z) ∼
z

z2
+
φ(z)
vói. z nam.trong
hình quat cna m¾t phang phúc. Dãy ti¾m c¾n này ho¾c
∞
φ(z)
.
.∞
là
khi xét đen khai trien cna f (z), hay đơn gián
1
j
z
là
zj j=0
f (z)
j=0
.
neu ta lna chon vi¾c khai trien ti¾m c¾n đoi vói


φ(z)


Đ%nh nghĩa 1.3. M®t hàm f đưoc goi là có bieu dien dưói dang m®t
chuoi lũy thNa ti¾m c¾n trong m®t hình quat cna m¾t phang z khi
z → ∞ neu
f (z) ∼ a0 +

a1

+

a2

z
z2
nhìn chung, chuoi này thưòng không h®i tu.

+ ...

Cho hàm g(z) khác hàm f (z), g(z) có bieu dien cna chuoi lũy thùa
ti¾m c¾n trong hình quat nào đó dưói dang
g(z) ∼ b0 +

b1
z

+

b2
z2

+ ...

Khi đó, tong cna hai hàm f + g và tích hai hàm fg cũng có bieu dien
cna chuoi lũy thùa ti¾m c¾n, ta nh¾n đưoc bang cách c®ng và nhân
tương úng các so hang trong chuoi, nghĩa là
∞

.
f (z) + g(z)
a +
∼ n=0 zn
b
và
∞
.
n
f (z)g(z)
,
n
∼ n=0 z

n

n

ó đây cn = a0bn + a1bn−1 + ... + an−1b1 + anb0.
Chuoi lũy thùa ti¾m c¾n có the đưoc lay tích phân ho¾c lay vi
phân các so hang tương úng đe nh¾n đưoc khai trien ti¾m c¾n
f r (z) ∼ −
¸

z

∞

.

z

a 1 2a2
− z3

21 .

f (ζ) − a0 a
ζ
−

dζ
∼

+ ....,
a2
a3
z

+

2z2

+ ...

Lưu ý rang, nhieu chuoi ti¾m c¾n (ngoai trù chuoi lũy thùa ti¾m c¾n)
có the lay tích phân các so hang tương úng đưoc nhưng nói chung, nó
không cho phép lay vi phân tùng so hang đe thu đưoc khai trien ti¾m
c¾n.

Tính chat 1.2. (Tính không duy nhat cna khai trien ti¾m c¾n)
M®t khai trien ti¾m c¾n cho trưóc có the đưoc bieu dien bói hai hàm
hoàn toàn khác nhau.
π
ChNng minh. Giá sú khi z → ∞ vói Re z > 0 và −

π
2

< arg z <

,
2
hàm f (z) đưoc cho dưói dang khai trien chuoi lũy thùa ti¾m c¾n
∞
.
n
f (z)
∼
.
zn
n=0

Khi đó khai trien cũng giong như bieu dien f (z) + e−z trong hình
quat, tù đó suy ra chuoi lũy thùa ti¾m c¾n bieu dien e−z vói Re z > 0
là bang 0, nghĩa là

∞

e−z
ó đó bn = 0 vói n ≥ 0 vì

.

n

∼ n=0 zn
n −z

e

= 0 vói n ≥ 0 và Re z > 0.

So
limz→∞ z
−z
hang e đưoc goi là so hang nhó siêu vi¾t, hay nói cách khác là "vưot
∞
. an
quá tat cá các b¾c" đoi vói chuoi lũy thùa ti¾m c¾n
. M®t
chuoi
zn
n=0
lũy thùa ti¾m c¾n không bao hàm các kien thúc xung quanh các so hang
vưot quá tat cá các b¾c.
Khi f (z) có bieu dien dưói dang chuoi ti¾m c¾n (không nhat
thiet phái là chuoi lũy thùa ti¾m c¾n) trong m®t hình quat nào đó cna
m¾t phang phúc, nó có the có m®t bieu dien ti¾m c¾n khác hoàn toàn

nam ó gan ke hình quat đó. Trong thnc te, ngay cá khi f (z) giái tích
vói bien z lón tùy ý nhưng huu han, khai trien ti¾m c¾n có the thay đoi
gián đoan khi hình quat là hình quat chéo. Trưòng hop này thưòng
đưoc quy ve hi¾n tưang Stokes trong [1]. Đe minh hoa cho trưòng
hop này ta xét ví du sau


Ví dn 1.4. Xét dáng đi¾u ti¾m c¾n cna tích phân
I(z) = sinh(z−1); z → 0, z ∈ C.


Ta có z = r.eiθ. Do đó, khi z → 0 so hang can tìm 1
hay
z−
là
e −
1 2
còn tùy thu®c vào giá tr% cos θ là âm hay dương, nghĩa là
I(z)
∼
và

π
1 z−
e ; z → 0, |arg z| <
1 2

1

z −1 ;

I(z) ∼

z→

1 −z−
e
1 2

2

π
2 < |arg z| <

3π
2

.

0,
− e−
2
Ta thay rang khai trien ti¾m c¾n cna hàm sinh(z−1) thay đoi gián
đoan
π
qua θ = .
2
Đôi khi ta có the xác đ%nh đưoc m®t tích phân mà không can sú
dung bat kì phương pháp ti¾m c¾n nào. Dưói đây chúng tôi se giói thi¾u
hai loai tích phân như v¾y.

Loai tích phân thú nhat có dang
¸ b
f (z, t)dt; z → ∞,
a

ó đó f (z, t) ∼ f0(t) khi z → z0 và t ∈
[a, b].
Loai tích phân thú hai có dang
¸ b
f (t)dt; z → z0.
z

Đe xác đ%nh đưoc dáng đi¾u cna tích phân loai hai, ta sú dung du ki¾n
sau:
Giá sú f (z, t) ∼ f0(t) khi z → z0 và t ∈ [a, b], ta thay arang
f0(z)dt

¸

b


huu han và khác không. Lúc đó, giói han khi z → z0 và tích phân này
có the thay đoi (đây là trưòng hop đ¾c bi¾t cna dãy ti¾m c¾n có the lay
tích phân các so hang tương úng) vì v¾y
¸ b
¸ b
f (z, t)dt ∼
f0(z)dt;
a

a

z → z0.

(1.5)


V¾y đe xác đ%nh đưoc dáng đi¾u cna tích phân loai hai này ta sú dung
phương pháp tích phân tùng phan.
Ví dn 1.5. Tìm hai so hang khác không đau tiên trong khai trien ti¾m
c¾n cna tích phân
¸
I(z) =

1

sin dt; z → 0.

tz
t

0

Vì sin z h®i tu đeu nên nó đưoc bieu dien dưói dang chuoi Taylor
z3 + ...
sin z = z
3!
−
Tù đó suy ra

t2z

sin tz
V¾y
¸
I(z) ∼

1
0

.

t
−

3

∼z

2 3
z− t z +
...
3!

3!

+ ...

.

z3
dt = z −

3.3!

+ ...

Đôi khi chúng ta chưa the áp dung đưoc ngay đieu này, lúc đó ta
can phái bien đoi ve dang phương trình (1.5). Đe minh hoa cho đieu
này ta xét hai ví du dưói đây
Ví dn 1.6. Đánh giá tích phân sau
¸ ∞
2
−t
I(z) =
e dt; z → 0.
z

Ta muon tìm khai trien cna e−t2 , mà ó đó t huu han. Bang trnc giác ta
cho rang khi z → 0 dan đen tích phân I(z) có dang
¸ ∞
2
e−t dt.
I(z) =
0

Do đó, ta có the viet tích phân trên thành hi¾u hai tích phân như sau
¸ ∞ 2
¸

e−t dt −
2
0
0
I(z) =
z


e−t dt.

(1.6)