Số phức, hàm biến phức ứng dụng trong toán học phổ thông

MỤC LỤC
Lời nói đầu……………………………………….......………………….……......
Chương 1. Một số kiến thức chẩn bị………………………….……….......…..
1. Định nghĩa số phức……………………………………..................…….6
2. Các dạng biểu diến số phức……………………………..........................6
2.1.

Biểu diễn số phức dƣới dạng cặp……...……………….................…6

2.2.

Biểu diễn số phức dƣới dạng đại số………………….................…...7

2.3.

Dạng lƣợng giác và dạng mũ của số phức……………...................…9

2.4.

Biểu diễn số phức trên mặt cầu Riemann……………….................10

Chương 2. Phương trình hàm với biến đổi phân tuyến tính……............….
1. Một số tính chất của hàm phân tuyến tính…………….................…..14
2. Đẳng cấu phân tuyến tính………………………………..................…16
3. Phƣơng trình hàm sinh bởi phân tuyến tính…………….................….26
4. Số phức và lời giải phƣơng trình sai phân………………...................30
Chương 3. ứng dụng số phức trong lượng giác…….…………………..........
1. Tính toán và biểu diễn một số biểu thức.............................................35
2. Chứng minh các thức lƣợng giác..........……...................….…......…...40
Kết luận……………………………………………………………….......….....
Tài liệu tham khảo…….....……………………………….…………….....…..

1


LỜI CẢM ƠN
Em xin chân thành cảm ơn các thầy, cô giáo trong khoa Toán Trƣờng Đại
Học Sƣ Phạm Hà Nội 2 đã dạy dỗ, truyền đạt kiến thức để em có thể hoàn thành
khóa học và thực hiện khóa luận tốt nghiệp của mình. Đặc biệt, em xin bày tỏ
biết ơn sâu sắc tới ThS.Phùng Đức Thắng, ngƣời đã dịnh hƣớng đề tài và tận
tình chỉ bảo, giúp đỡ em hoàn thành tốt khóa luận này.
Do thời gian và kiến thức có hạn nên khóa luận không tránh khỏi những hạn
chế và còn có thiếu xót nhất định. Em xin chân thành cảm ơn và tiếp thu những ý
kiến đóng góp của các thầy giáo, cô giáo và các bạn sinh viên.

Hà Nội, tháng 5 năm 2012
Sinh viên

NGUYỄN THỊ PHƢƠNG


LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan, dƣới sự hƣớng dẫn của ThS.Phùng Đức Thắng, khóa luận
tốt nghiệp đại học “Số phức, hàm biến phức và ứng dụng trong toán phổ
thông” đƣợc hoàn thành theo nhận thức vấn đề của riêng tôi, không trùng với bất
kì khóa luận nào khác.
Trong quá trình thực hiện và nghiên cứu khóa luận, tôi đã kế thừa những
thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2012

Sinh viên

NGUYỄN THỊ PHƢƠNG


LỜI NÓI ĐẦU
Từ thế kỉ XVI, khi giải phƣơng trình bậc hai G.Cardano và R.Bombelli đã
đƣa vào xét kí hiệu

biểu thức b
−1

−1 là lời giải hình thức của phƣơng
trình

2

x + 1
= 0,

xét

là nghiệm hình thức của phƣơng trình x2 + b2 = 0.Khi biểu
thức

tổng quát hơn dạng

( x − a)2 +

b2 ≠ 0

Có thể xem là nghiệm hình thức của phƣơng trình
+ b2 = 0.

( x − a)2

Về sau biểu

thức dạng
a + b −1,b ≠ 0
xuất hiện trong quá trình giải phƣơng trình bậc hai và bậc ba đƣợc gọi là đại
lƣợng “ảo” và sau đó đƣợc Gauss gọi là số phức và thƣờng đƣợc kí hiệu là

a + bi, trong đó kí hiệu
i :=−1
đƣợc L.Euler gọi là đơn vị “ảo”.
Quy ƣớc:
i 2 = −1


Thuật ngữ số phức đƣợc dùng đầu tiên bởi K.Gauss (năm 1831). Vào thế kỉ
XVII – XVIII nhiều nhà toán học khác cũng đã nghiên cứu các tính chất của đại
lƣợng ảo (số phức) và khảo sát ứng dụng của chúng.


Lý thuyết thuần túy số học đối với các số phức với tƣ cách là các cặp số thực
có thứ tự

(a;b),a ∈

,b ∈

đƣợc xây dựng bởi nhà toán học

Ailen là W.Hamilton (1837). Ở đây đơn vị “ảo” i chỉ đơn giản là một cặp số
thực có thứ tự - cặp (0;1), tức là đơn vị “ảo” đƣợc lý giải một cách hiện thƣc.
Cho đén thế kỉ
XIX, Gauss mới thành công trong việc luận chứng một cách vững chắc khái
niệm số phức. Tên tuổi của K.Gauss cũng gắn liền với phép chứng minh chính
xác đầu tiên đối với định lí cơ bản của Đại số khẳng định rằng trong trƣờng số
phức  mọi phƣơng trình đa thức đều có nghiệm.
Bản chất đại số của số phức thể hiện ở chỗ số phức là phần tử của trƣờng mở
rộng (đại số)  của trƣờng số thực 

thu đƣợc bằng phép ghép đại số cho 

nghiệm i của phƣơng trình
x2 + 1 = 0
Số phức xuất hiện vào thế kỉ XIX do nhu cầu phát triển của toán học về giải
những phƣơng trình đại số. Từ khi ra đời, số phức đã thúc đẩy toán học tiến lên
mạnh mẽ và giải quyết đƣợc nhiều vấn đề của khoa học và kĩ thuật. Đối với học
sinh bậc trung học phổ thông thì số phức là nội dung còn mới mẻ, với thời lƣợng
không nhiều, học sinh chỉ những kiến thức rất cơ bản của số phức, việc khai thác
các ứng dụng của số phức còn hạn chế. Vì vậy tôi chọn đề tài: “số phức, hàm
biến phức và ứng dụng trong toán phổ thông”.


Chương 1
MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1. Định nghĩa số phức
Cho a và b là hai số thực và i là đơn vị ảo. Khi đó z
= a + bi

đƣợc gọi là số

phức.
Số thực a gọi là phần thực, b gọi là phần ảo của số phức b. Kí hiệu
a = Re z,b = Im z.
2

Số đƣợc gọi là đơn vị ảo, là một số sao cho i = −1.
Tập hợp các số phức đƣợc kí hiệu  .
Nếu a = 0 thì z
= bi

gọi là số thuần ảo, b = 0 thì đƣợc số z = a.
thực

Cho số phức z = a + bi. Số phức gọi là số phức liên hợp của z. Kí hiệu z.
a − bi
2. Các dạng biểu diễn số phức
2.1. Biểu diễn số phức đưới dạng cặp
Mỗi số phức a + hoàn toàn đƣợc biểu diễn bởi việc cho hai số thực a và
bi
b thông thƣờng (a,b∈  ) gọi là các thành phần của chúng.


Định nghĩa 1.1. Một cặp số thực có thứ tự ( a;b) , a ∈
,b ∈ ,

đƣợc gọi là một

số phức nếu trên tập hợp các cặp đó quan hệ bằng nhau, phép cộng và phép nhân
đƣợc đƣa vào theo các định nghĩa (tiên đề) sau đây:


i) Quan hệ đồng nhất trong tập số phức: ( a;b ) = ( c;d )
= c
a 
⇔
b = d.
ii) Phép

cộng trong tập số phức:

và cặp

(a;b) + (c;d ) := (a +

c;b + d )

(a + c;b
+ d)
iii)

Phép

đƣợc gọi là tổng của các cặp ( a;b) và (c;d ).
nhân

trong

tập

số

phức:

(a;b)(c;d ) = (ac − bd;ad

+ bc) và cặp(ac − bd;ad + bc) đƣợc gọi là tích của các cặp ( a;b) và

(c;d ).
iv)

Số thực trong tập số phức: Cặp ( a;0) đƣợc đồng nhất với số

a, nghĩa là

thực

( a;0) :
= a

hay là ( a;0) ≡ a.

Tập hợp các số phức đƣợc kí hiệu là  .
Vai trò đơn vị trong tập hợp số phức  là cặp (1;0 ). Hai số
phức

z=

(a;−b)

đƣợc gọi là liên hợp với nhau. Ta có

zz =

( a;b )( a;−b )

= a 2 + b2

z=
và

(a;b)


Với mọi (a;b) ≠

tồn tại cặp nghịch đảo

là:

( a;b )1

( 0;0)

1

( a;−b )

=
a + b
2

a

 2
a
+ b2


2

;−

b



2
2
a + b




Nhƣ vậy tập hợp số phức lập thành một trƣờng.
2.2. Biểu diễn số phức dưới dạng đại số

Mọi số phức ( a;b ) ∈ đều biểu diễn dƣới dạng

(a;b)

+ bi,

=

(a;0)

+

(0;b)

=

(a;0)

+ (b;0)(0;1)a


trong đó cặp

đƣợc kí hiệu bởi chữ i. Từ tiên đề iii) suy rằng

( 0;1)

(0;1)(0;1) = (0.0
−1.1;0.1+1.0 ) = ( −1;0 )
2

i =

Thành phần thứ nhất của số phức z = a
+ bi
và đƣợc kí
hiệu

= −1.
đƣợc gọi là phần thực của số đó

Re
z,

thành phần thứ 2 đƣợc gọi là phần ảo và đƣợc gọi là phần

ảo và đƣợc kí hiêu

Im z. Phần thực và phần ảo của những số phức là những số

là thực.
Biểu thức

(a;b)

đƣợc gọi là dạng đại số hay dạng Descartes của số

= a + bi

phức.
Các số phức viết dƣới dạng đại số z1 := a1 + b1i; z2 := a2 + b2i, các

phép toán (i) –
(iii) đƣợc định nghĩa nhƣ sau:
(i
)

*

= + b i ) + + b i) = + a )
+ (b
( a (a
(a

z
+
z
1

2

1

1

z1 − z 2 =
+ b2i )
*

(ii ) z
z
1

*

(iii )

2

2

( a1 +

2

1

b1i ) −

= + bi )( + b i ) =
(a a
(a a
1

1

2

2

1 2

2

( a2 +
−
bb
1 2

+ b i)
1

2

b 2i ) =

)+
(a b

( a1 +

+ a b )i
1 2

2 1

a2 ) −

(b1


z1

2
= a1 = a 1 a 2 + b ≠ 0
+ a2
b 1i + b 1
b2
a1
+
b2
− a2
b1
i,


z2

+
+i
a 2 b2

2

a2 b 2

Nếu z = a + bi thì số phức
liên hợp

2

2

2

z= a
− bi,

do đó

+2
a2 b2

2

z + z = 2 Re z,
z − z = 2 Im z,


2

z. z = z trong đó z = r =
z. z = a 2  b2
Số
z

= r=
=

đƣợc gọi là mô đun của số phức z. Đối với số phức

z. z

a 2  b2

z1, z2 ∈ luôn có
z1 − z2 ≤ z1
+ z2

≤ z1 z2 .
+

2.3. Dạng lượng giác và dạng mũ của số phức
Bằng cách sử dụng tọa dộ cực trên mặt phẳng chức  .
(a) Độ dài bán kính vectơ r : z = zz
=
=

2

2

a + b ;

(b) Góc cực ϕ = Arg z đƣợc gọi là acgumen của z,
ta thu đƣợc hệ thức
z = a + bi = r

(cosϕ+i sin ϕ)

(1.4)

Re z = a = r cos ϕ, Im z = b = r sin ϕ
Biểu thức (1.4) đƣợc gọi là dạng lƣợng giác hay dạng cực của số
phức z = a
+ bi.

Argumen ϕ = Arg z là hàm thực đa trị của biến z ≠ 0
phức
và


đối với z đã cho, các giá trị của hàm sai khác nhau một bội nguyên của 2π.
Hàm
acgumen không xác định tại z
= 0.

Thông thƣờng ngƣơi ta sử dụng giá trị chính

của acgumen
ϕ = arg z
xác định với điều kiện bổ sung


−π < arg z ≤ π
hoặc
0 ≤ arg z < 2π
Đặt
cos ϕ ± i sin ϕ = e

±iϕ

.

Dạng lƣợng giác (1.4) đƣợc biến đổi thành dạng mũ
ϕ

z = rei .

(1.5)

đó là dạng số mũ của số phức z ≠ 0.
Phép nâng số phức z = a + bi = r

(cosϕ +

i sin ϕ)

lên lũy thừa bậc n đối với số

phức đƣợc thực hiện theo công thức Moivre.
z n = rneinϕ

(1.6)

Công thức
ω =
n
z=
k
re

đƣợc gọi là công thức Moivre.
Nếu

n

i

ϕ
+
2k
π
n

,k
= 0;1;...;n
−1

(1.7)

r = 1 thì công thức Moivre có dạng đặc
biệt
10


r

=

(cosϕ + i sinϕ ) n
(cos nϕ + i sin nϕ )

Từ công thức (1.6) suy rằng căn bậc n của số phức có đúng n giá trị.

10

(1.9)


Từ (1.6) và (1.8) và bằng cách thay ϕ bởi −ϕ ta có


cosϕ =
2

1

ϕ
ie
(e ϕ +
)


sinϕ =
2

1


(e − ie−iϕ ) 


i

−i

iϕ

(1.10)

Các công thức (1.10) đƣợc gọi là công thức Euler.
2.4. Biểu diễn số phức trên mặt cầu Riemann
Trong không gian Euclide ba chiều với hệ tọa độ Descartes vuông góc

(ξ ;
η ;ζ
)

ta xét mặt cầu với bán kính bằng



s = (ξ

1

1

với tâm tại điểm (0;0; )
2
2



+
η+ ζ−1 


;η;ζ ) :ξ
 2

2

2



2

1

=
4


sao cho nó tiếp xúc với mặt phẳng z tại gốc tọa độ và trục thực của mặt phẳng

z trùng với trục {η = 0}, còn trục ảo thì trùng với
= 0;ζ
trục {ξ = 0;ζ
phép chiếu π với cực bắc tại

điểm

= 0}. Ta
xét

P(0;0;1) Giả sử z ∈ là điểm tùy ý.
Nối
.

điểm z ∈ với cực bắc P bằng đoạn thẳng, đoạn thẳng này cắt mặt cầu S
tại
18


điểm

A( z Và ngƣợc lại, giả sử
). A∈ S

là điểm tùy ý của mặt cầu. Khi đó tia

PA sẽ cắt mặt phẳng phức tại điểm z . Hiển nhiên đó là một phép tƣơng ứng
đơn trị một – một.
Định nghĩa 1.3. Phép tương ứng

19


π , → S : z  A( z )
như đã mô tả ở trên được gọi là phép chiếu nổi với cực tại điểm P, điểm

A( z

)∈

được gọi là ảnh nổi hay là ảnh cầu của điểm z.

S
Định lý 1.1. Trong phép chiếu

π , → S : z  A( z )
Điểm x = x + iy ∈ sẽ tương ứng A( z
với điểm
)∈
S

ξ =
1+

x

z

,η
=
1+

z

y
2

2

z

.

+

,ζ =

z

có tọa độ là

2

(1.11)

2

1

Công thức (1.11) đƣợc gọi là công thức của phép chiếu nổi.
Chứng minh
Thật vậy, vì ba điểm P 0;0;1 , Α
(
)
( z) =

( ξ ; η; ζ )

và

z=
y;0)

( x;

một đƣờng thẳng nên các tọa độ của chúng phải thỏa mãn hệ thức

cùng nằm trên


η − 0

ξ − 0

=0
x−

ζ − 0

y − 0 0=−1

,

hay là
x=

ξ
1
−

ζ

,y
=

η

ξ

1 ,z=
+ iη
−
1−

ζ

ζ

(1.12)


Để ý rằng
+

1 1
ζ−

 =

ξ ηvà +η
ξ 
(1−ζ )2

2

z

2

=

Ta thu
đƣợc

+

2

2

2

2

4

2

2
z
ζ
,
= 1− ζ

Và do đó
2
z
ζ =
.
2
1+ z
Thế giá trị ζ vào (1.12) ta tìm đƣợc
x

y
ξ =
,η =
1+ z2
1 + 2z
Định nghĩa 1.4. Tập hợp lập nên từ mặt phẳng chức 

và điểm vô cùng (kí

hiệu là ∞ ) được gọi là mặt phẳng phức mở rộng và kí
hiệu là
vậy,  = 
∪ ∞

và  .

Phép chiếu nổi :

□  S \ {P} có thể thác triển vào  thành

□. Nhƣ


π *:  S


Bằng cách đặt

π

*

=| π , z ∈

và

π ( ∞) = P(0;0;1)
Do đó, một cách tự nhiên ta có thể cho rằng z = ∞ tƣơng ứng với “cực
bắc” P
của mặt cầu S và mọi điểm trên mặt cầu S có thể xem nhƣ là mô tả điểm tƣơng
ứng của mặt phẳng □ . Mặt cầu S đƣợc gọi là mặt cầu số phức Riemann.

Chương 2
Phương trình hàm với biến đổi phân tuyến tính

Trong chƣơng này chúng tôi đi khảo sát lớp các phƣơng trình hàm với acgumen
biến đổi sinh bởi hàm phân tuyến tính thực dạng
f (ω

( x))

= a f ( x) + b

trong đó

ω ( x) =
α x+ β
αγ

− β ≠ 0
,

x+ γ

1. Một số tính chất của hàm phân tuyến tính
Trƣớc hết, ta khảo sát phƣơng trình đại số với hệ số thực dạng
m
= x, m
x+
≠ 0
y

(2.1)

Phƣơng trình (2.1) tƣơng đƣơng với phƣơng trình bậc 2
x + γ x− m
= 0, m ≠ 0
2

(2.2)