Vấn đề điểm kỳ dị và cấu trúc nghiệm của phương trình ví phân tuyến tính phức

Lài cám ơn
Em xin chân thành cám ơn sn giúp đõ cna các thay giáo, cô giáo to
Giái tích và các ban sinh viên khoa Toán - Trưòng Đai hoc Sư pham
Hà N®i 2. Đ¾c bi¾t, em xin bày tó lòng biet ơn sâu sac cna mình tói
TS. Nguyen Văn Hào đã t¾n tình giúp đõ em trong quá trình hoàn
thành khóa lu¾n tot nghi¾p.
Lan đau thnc hi¾n công tác nghiên cúu khoa hoc nên vi¾c trình bày
khóa lu¾n không tránh khói nhung han che và thieu sót. Em xin chân
thành cám ơn nhung ý kien đóng góp cna các thay giáo, cô giáo và
các ban sinh viên.

Hà N®i, tháng 5 năm 2012
Sinh viên

Lê Th% Trang


Lài cam đoan
Tôi xin cam đoan, dưói sn hưóng dan cna TS. Nguyen Văn Hào,
khóa lu¾n tot nghi¾p “Van đe điem kỳ d% và cau trúc nghi¾m
cía phương trình vi phân tuyen tính phÚc” đưoc hoàn thành
theo quan điem riêng cna cá nhân tôi.
Trong quá trình làm khóa lu¾n, tôi đã ke thùa nhung thành tnu cna các
nhà khoa hoc vói sn trân trong và biet ơn.

Hà N®i, tháng 5 năm 2012
Sinh viên

Lê Th% Trang

Mnc lnc
Má đau.......................................................................................... 3
Chương 1. Kien thNc chuan b% . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
6
1.1. So phúc và m¾t phang phúc........................................................6
1.1.1. Khái ni¾m và m®t so tính chat cơ bán........................................................................6
1.1.2. Sn h®i tu cna dãy so phúc..................................................................................8

1.2. Hàm bien phúc................................................................................8
1.2.1. Hàm liên tuc.......................................................................................................8
1.2.2. Hàm chính hình..................................................................................................9
1.2.3. Chuoi lũy thùa..................................................................................................10

1.3. Tích phân phúc.............................................................................12
1.4. Đai cương ve phương trình vi phân phúc..................................16
Chương 2. Van đe điem kỳ d% và cau trúc nghi¾m cúa
phương trình vi phân tuyen tính phNc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
......

18

2.1. Khái ni¾m ve điem kỳ d% cna phương trình vi phân tuyen tính
phúc..........................................................................................................18
2.2. Đưòng cong kín bao quanh điem kỳ d%......................................21
2.3. Cau trúc nghi¾m cna phương trình vi phân tuyen tính phúc 25
2.3.1. Nghi¾m đơn cna phương trình đ¾c trưng................................................................25
2.3.2. Trưòng hop nghi¾m b®i..............................................................................................27
2.3.3. Nghi¾m cna t¾p con chính tac...................................................................................31

1


2.3.4. Tìm nghi¾m cna t¾p con chính tac bang phương pháp loai trù........................35

2.4. Đieu ki¾n can đoi vói điem kỳ d% chính quy.............................36
2.5. Đieu ki¾n đn đoi vói điem kỳ d% chính quy..............................39
Ket lu¾n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
...
47
Tài li¾u tham kháo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48

2


Má đau
1. Lý do chon đe tài
Phương trình vi phân là m®t phương trình toán hoc nham bieu dien
moi quan h¾ giua m®t hàm chưa biet (m®t ho¾c nhieu bien) vói đao
hàm cna nó (có b¾c khác nhau). Phương trình vi phân đóng vai trò
quan trong trong ky thu¾t, v¾t lý, kinh te và nhieu lĩnh vnc khác.
Chúng ta hãy xét m®t phương trình vi phân đơn gián
f r(x) =

df
(x)
dx

.

Trong phương trình trên, neu f (x) bieu dien cho v¾n toc cna m®t
v¾t
thì f r(x) chính là gia toc cna v¾t đó (là đai lưong đ¾c trưng cho đ®
bien thiên v¾n toc). Sn ra đòi cna phương trình vi phân cũng xuat
phát tù vi¾c xác đ%nh moi quan h¾ xác đ%nh giua m®t bên là m®t đai
lưong bien thiên liên tuc (đưoc bieu dien bang hàm f (x)) và bên còn
lai là đ® bien thieen cna đai lưong đó (bieu dien bang đao hàm b¾c
nhat ho¾c cao hơn). Đieu này đưoc the hi¾n rõ trong cơ hoc co đien.
Cu the là Đ%nh lu¾t Newton ve chuyen đ®ng cho phép xác đ%nh v% trí
cna m®t v¾t dna vào v¾n toc, gia toc và m®t so lnc tác đ®ng đưoc
bieu dien dưói dang hàm vi phân theo thòi gian.
Đoi vói hàm thông thưòng, nghi¾m là m®t giá tr% so. Còn trong
phương trình vi phân, muc tiêu là tìm ra công thúc cna hàm chưa


biet nham thóa mãn moi quan h¾ đe ra. Thông thưòng, nó se là m®t
ho các phương


trình, sai l¾ch bang m®t hang so C nào đó. Hàm này se đưoc xác đ
%nh chính xác khi có thêm đieu ki¾n ban đau ho¾c đieu ki¾n biên.
Tuy nhiên, đoi vói m®t so phương trình chúng ta không the áp dung
nhung phương pháp đã biet đe tìm nghi¾m cna nó. Vì v¾y, ta can
phái xây dnng m®t phương pháp tìm nghi¾m khác cho nhung
phương trình này. Phương pháp thông dung là úng dung lý thuyet
chuoi đe tìm nghi¾m cna phương trình dưói dang chuoi lũy thùa
∞.

f (z) =

anzn,

n=0

trong đó an ∈
C.
M®t trong nhung điem liên quan trnc tiep đen van đe tìm nghi¾m chuoi
cna phương trình vi phân tuyen tính là sn phân loai điem thưòng và
điem kỳ d%. Lý thuyet nghi¾m chuoi cna phương trình vi phân tuyen
tính thnc đã có sn hoàn thi¾n khá căn bán. Tuy nhiên chuyen sang
mien phúc có nhung khó khăn nhat đ%nh. Đưoc sn hưóng dan cna
TS. Nguyen Văn Hào em chon đe tài “Van đe điem kỳ d% và cau
trúc nghi¾m cía phương trình vi phân tuyen tính phÚc” đe
hoàn thành khóa lu¾n tot nghi¾p chuyên ngành toán giái tích. Khóa
lu¾n đưoc bo cuc thành hai chương
Chương 1. Trong chương này, em đưa ra m®t so kien thúc chuan b%
cho khóa lu¾n. Đó là so phúc và m¾t phang phúc, hàm bien phúc, tích
phân phúc. Cũng ó đây liên quan đen vi¾c tìm hieu phương trình vi
phân tuyen tính phúc nên em trình bày khái ni¾m ve phương trình vi
phân tuyen tính phúc, đ%nh lý ton tai nghi¾m cna phương trình vi


phân phúc. Chương 2. Đây là phan chính cna khóa lu¾n. é đây em
giói thi¾u ve


van đe điem kỳ d% và cau trúc nghi¾m cna phương trình vi phân tuyen
tính phúc. Trong đó em trình bày van đe điem kỳ d%, cau trúc nghi¾m
cna phương trình, đieu ki¾n can đoi vói điem kỳ d% chính quy và đieu

ki¾n đn đoi vói điem kỳ d% chính quy.

2. Mnc đích và nhi¾m vn nghiên cNu
Trình bày ve van đe điem kỳ d% và cau trúc nghi¾m cna phương
trình vi phân tuyen tính phúc.

3. Đoi tưang và pham vi nghiên cNu
Nghiên cúu van đe điem kỳ d% và cau trúc nghi¾m trong phương
trình vi phân tuyen tính phúc. Tuy nhiên, do khuôn kho yêu cau đoi
vói m®t khóa lu¾n tot nghi¾p b¾c cú nhân toán hoc, nên chúng tôi
chí trình bày van đe này trong pham vi ve điem kỳ d% chính quy cna
phương trình vi phân tuyen tính phúc. Vi¾c nghiên cúu cau trúc
nghi¾m tai nhung điem kỳ d% không chính quy khá phúc tap nên
chúng tôi xin dành cho nhung nghiên cúu ve sau.

4. Phương pháp nghiên cNu
Tìm hieu tài li¾u tham kháo, phân tích, tong hop và xin ý kien đ%nh
hưóng cna ngưòi hưóng dan.


Chương 1
Kien thNc chuan b%
1.1. So phNc và m¾t phang phNc
1.1.1. Khái ni¾m và m®t so tính chat cơ bán
So phúc là so có dang z = x + iy; x, y ∈ R và i là đơn v% áo
mà
i2 = −1. Ta goi x là phan thnc và y là phan áo, kí hi¾u
x = Rez, y = Imz.
T¾p hop các so phúc đưoc kí hi¾u bói C. T¾p hop các so phúc đưoc
đong nhat vói m¾t phang R2 bói phép tương úng

C → R2
z = x + iy ›→ (x, y).
M®t cách tn nhiên, ngưòi ta goi Ox là trnc thnc, Oy là trnc áo. Phép
c®ng và nhân các so phúc đưoc thnc hi¾n m®t cách thông thưòng
như các phép toán trên t¾p hop so thnc vói lưu ý rang i2 = −1. Ta có
z1 + z2 = (x1 + x2 ) + i(y1 + y2 )
và
z1.z2 = (x1 + iy1)(x2 + iy2) = x1x2 + ix1y2 + iy1x2 + i2y1y2
= (x1x2 − y1y2) + i(x1y2 + y1x2).


M®t so tính chat cna phép c®ng và nhân so phúc
+ Tính chat giao hoán
z1 + z2 = z2 + z1; z1.z2 = z2.z1.
+ Tính chat ket hop
(z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3); (z1.z2).z3 = z1.(z2.z3).
+ Tính chat phân phoi cna phép nhân vói phép c®ng
z1.(z2 + z3) = z1.z2 + z1.z3.
Vói moi so phúc z = x + iy, ta xác đ%nh modul cna so phúc z là
,
|z| = x2 + y2.
Modul cna so phúc có các tính chat
(i) |z + w| ≤ |z| + |w| ; ∀z, w ∈ C,
(ii) ||z| − |w|| ≤ |z − w| ; ∀z, w ∈ C,
(iii) |Rez| ≤ |z| ; |Imz| ≤ |z| ; ∀z ∈ C.
So phúc liên hop cna so phúc z = x + iy đưoc kí hi¾u
là Không khó khăn, ta có the kiem tra đưoc

Rez
=

z + ; Imz
z¯ =
2

z¯ = x −
iy.

z−
z¯
2i

và
2
|z| = z.z¯; = z¯ vói z ƒ= 0.
2
1
z
|z|

So phúc khác 0 đưoc bieu dien dưói dang cnc z = r.eiθ vói r > 0, θ ∈
R


đưoc goi là argument cna so phúc z (argument cna so phúc z đưoc xác


đ%nh m®t cách duy nhat vói sn sai khác m®t b®i so cna 2π) và
.

Bói vì e
.

iθ

.

eiθ = cosθ + i sin θ.
= 1, nên r = |z| và θ là góc hop bói chieu dương cna truc Ox
.

và núa đưòng thang xuat phát tù goc toa đ® đi qua điem z. Cuoi cùng,
ta lưu ý rang z = r.eiθ và w = s.eiϕ thì
z.w = r.s.ei(θ+ϕ).
1.1.2. SN h®i tn cúa dãy so phNc
Dãy so phúc {zn} đưoc goi là h®i tu đen so phúc w ∈ C và viet là
w = lim zn
n→∞

lim
⇔

|zn − w| = 0.
n→∞



lim
zn ⇔  n→∞ Rezn =


w = lim
 lim Rew, Imzn

De dàng kiem tra rang

n→∞

n→∞

= Imw.
Dãy so phúc {zn} đưoc goi là dãy Cauchy neu
|zn − zm| → 0 khi m, n → ∞
⇔ ∀ε < 0 ∃N > 0 sao cho |zn − zm| < ε vói moi n, m ≥ N.

1.2. Hàm bien phNc
1.2.1. Hàm liên tnc


Cho hàm f (z) xác đ%nh trên t¾p Ω ⊂ C. Ta nói rang f (z) liên tuc
tai điem z0 ∈ Ω neu thóa mãn m®t trong hai đieu ki¾n tương đương
sau


(i) Vói moi ε > 0 ton tai δ > 0 sao cho vói moi z ∈ Ω và |z − z0| < δ
thì
|f (z) − f (z0)| < ε.
(ii) Vói moi dãy {zn} ⊂ Ω mà
lim

zn = z0 thì f (zn) = f (z0).

lim
n→∞

n →∞

Hàm f (z) đưoc goi là liên tuc trên Ω neu nó liên tuc tai moi điem
cna
Ω. Tong và tích cna các hàm liên tuc cũng là hàm liên tuc.
1.2.2. Hàm chính hình
Cho hàm phúc f (z) xác đ%nh trên t¾p mó Ω. Hàm f (z) đưoc goi
là
chsnh hình tai điem z0 ∈ Ω neu ton tai giói han cna bieu thúc
f (z0 + h) − f (z0)
h

; khi
→

h
0,
ó đó 0 ƒ= h ∈ C vói z0 + h ∈ Ω.
Giói han trên đưoc ký hi¾u bói f r(z0) và goi là đao hàm cna hàm f
(z)
tai điem z0. Như v¾y, ta có
f r(z0) = lim f (z0 + h) − f
h→0

(z0)
h .

Hàm f (z) có đao hàm phúc tai điem z cũng đưoc goi là khá vi phúc
hay C - khá vi tai z. Hàm f goi là chính hình trên Ω neu nó chính
hình tai moi điem cna Ω. Hàm f chính hình trên C đưoc goi là hàm
nguyên.


Đ%nh lý 1.1. Neu các hàm f, g chính hình trên Ω, thì
r

(i) f + g chính hình trên Ω và (f + g) = f r + g r,
r

(ii) f.g chính hình trên Ω và (f.g) = f rg + f.gr,
.
f r.g − f.gr
(iii) Neu g(z0) ƒ= 0, f
.rf
chính hình tai z0 ∈ Ω
thì
.
g
=
2
g
và
g
Thêm nua, neu f : Ω → U và g : U → C là các hàm chính hình, thì
hàm
hop gof : Ω → C cũng là hàm chính hình.

Khái ni¾m khá vi phúc khác han vói khái ni¾m khá vi thông thưòng
cna hàm hai bien thnc. Thnc v¾y, hàm f (z) = z¯ tương úng như ánh
xa
cna m®t hàm hai bien thnc F : (x, y) ›→ (x, −y). Hàm này khá vi
theo
nghĩa hàm hai bien thnc, đao hàm cna nó tai m®t điem là ánh xa tuyen
tính đưoc cho bói đ%nh thúc Jacobian cna nó, ma tr¾n vuông cap hai
các đao hàm riêng cna các toa đ®. Tuy nhiên, ta thay đieu ki¾n ton tai
các đao hàm thnc không đám báo tính khá vi phúc. Đe hàm f khá vi
phúc, ngoài đieu ki¾n khá vi cna hàm hai bien thnc, chúng ta can đen
đieu ki¾n Cauchy - Riemann đưoc cho bói đ%nh lý dưói đây. Đe lý giái
đưoc đieu này, trưóc het ta nhac lai hàm f (z) = u(x, y) + iυ(x, y),
trong đó hàm u(x, y) và v(x, y) xác đ%nh trong mien Ω, đưoc goi là
R2 - khá vi tai z = x + iy neu các hàm cna hai bien thnc u(x, y) và
v(x, y) khá vi tai điem (x, y).
Đ%nh lý 1.2. (Đieu ki¾n Cauchy - Riemann) Đe hàm f (z) là C - khá
vi tai điem z ∈ D, đieu ki¾n can và đú là tai điem đó hàm f (z) là R2
- khá vi và thóa mãn đieu ki¾n Cauchy - Riemann.
∂u
∂u
(x, y).
(x, y) = ∂v (x,
∂x
y); ∂v
∂y
(x, y) =
∂y
−
∂x

1.2.3. Chuoi lũy thNa
Chuoi lũy thùa là chuoi có dang
∞
.

n

an(z − z0)

(1.1)


n=0

ho¾c bang phép đoi bien đơn gián ta chí can nghiên cúu chuoi dang
∞
.
anz n,
(1.2)
n=0


trong đó an ∈ C. Tù Đ%nh lý Abel ta thay rang neu chuoi (1.2) h®i tu
điem z0 nào đó, thì nó cũng h®i tu tai moi z trong đĩa |z| ≤ |z0|. Bây
giò ta se chúng minh luôn ton tai m®t đĩa mó mà trên đó chuoi (1.1)
h®i tu
tuy¾t đoi.
Đ%nh lý 1.3. (H’adamard) Cho chuoi lũy thùa .∞
anzn. Khi đó ton tai
so 0 ≤ R ≤ +∞ sao cho

n=
0

(i) Neu |z| < R thì chuoi h®i tn tuy¾t đoi.
(ii) Neu |z| > R thì chuoi phân kỳ.
Hơn nua, neu ta sú dnng quy ưóc 1/0 = ∞ và 1/∞ = 0, thì so R
đưoc tính bói công thúc
1
1
= lim sup |an|n .
R n→∞
So R đưoc goi là bán kính h®i tn cúa chuoi và mien |z| < R đưoc goi là
đĩa h®i tn.
Chú ý. Trên biên cna đĩa h®i tu |z| = R, thì chuoi có the h®i tu cũng
có the phân kỳ.
Các ví du thêm nua ve chuoi lũy thùa h®i tu trong toàn m¾t phang
phúc là các hàm lưong giác
.
2n
.
∞
∞
z
2n) và sin z =
cos z =
n
n
(−1)
(−1)

2n+1

.

z
n=0

(

n=0

(2n + 1)!

Bang tính toán đơn gián, ta nh¾n đưoc các công thúc Euler dưói dang
mũ phúc


cos z =

eiz +
e−iz

và sin z
=

eiz − e−iz .
2

2
.∞

Đ%nh lý 1.4. Chuoi lũy thùa f (z)
=

n=
0

anzn xác đ%nh m®t hàm chính

hình trong đĩa h®i tn cúa nó. Đao hàm cúa f cũng là m®t chuoi lũy thùa
thu đưoc bang cách lay đao hàm tùng so hang cúa chuoi vói hàm f,
túc là
f r(z) =

∞
.

nanzn−1.

n=0

Hơn nua, f

r

có cùng bán kính h®i tn vói f.

H¾ quá 1.1. Chuoi lũy thùa khá vi vô han lan trong đĩa h®i tn cúa nó.
Đao hàm cúa chuoi lũy thùa thu đưoc bang cách lay đao hàm cúa tùng
so hang cúa nó.

M®t hàm f xác đ%nh m®t t¾p con mó Ω đưoc goi là giái tích (ho¾c có
khai
.∞
n
trien lũy thùa) tai điem z0 ∈ Ω neu ton tai chuoi lũy
n= an(z − z0)
0
thùa
tâm tai z0 vói bán kính h®i tu dương sao cho
f (z) =

.∞

n

an(z − z0) ;

n=0

vói moi z trong lân c¾n cna điem z0. Neu f có khai trien lũy thùa tai
moi z ∈ Ω, thì ta nói rang f giái tích trên Ω. Tù Đ%nh lý 1.3 ta thay
rang m®t hàm giái tích trên Ω thì cũng chính hình trên đó.

1.3. Tích phân phNc


M®t đưòng cong tham so là m®t hàm
z : [a, b] → C
t ›→ z(t) = x(t) + iy(t).

Đưòng cong đưoc goi là trơn neu ton tai đao hàm zr(t) liên tuc trên
đoan [a, b] và zr(t) ƒ= 0, vói moi t ∈ [a, b]. Tai các điem t = a và t
= b các đai lưong zr(a) và zr(b) đưoc hieu như giói han m®t phía
zr(a) = lim
h→0+

z(a + h) −
z(a )
h

và zr(b) =
lim

z ( b + h) −
z (b ) h
.

h→0−

Đưòng cong đưoc goi là trơn tùng khúc neu z(t) liên tuc trên đoan [a,
b] và ton tai các điem a0 = a < a1 < ... < an = b, ó đó z(t) là trơn
trên moi đoan [ak, bk+1]. Đ¾c bi¾t đao hàm trái và phái tai các điem
ak có the
khác nhau vói k = 1, 2, ..., n − 1.
Hai đưòng cong tham so z : [a, b] → C

z¯ : [c, d] → C đưoc goi

và

là

tương đương neu ton tai song ánh khá vi liên tuc s → t(s) tù [c, d] đen
[a, b] sao cho tr(s) > 0 z¯(s) = z (t(s)). Đieu ki¾n tr (s) > 0 đám
và
báo
hưóng cna đưòng cong, khi s chay tù c đen d thì t(s) chay tù a đen b.
Ho
cna tat cá các đưòng cong tham so tương đương vói z(t) xác đ%nh
m®t đưòng cong trơn γ ⊂ C. Đưòng cong γ− là đưòng cong thu
đưoc tù γ bang cách đoi hưóng. M®t dang tham so hóa cna γ− đưoc
xác đ%nh như sau
z− : [a, b] → R2
z−(t) = z(b + a − t).
Các điem z(a) và z(b) đưoc goi là điem đau và điem cuoi cna đưòng
cong. Đưòng cong trơn ho¾c trơn tùng khúc đưoc goi là kín neu z(a)
= z(b); đưoc goi là đưòng cong đóng neu nó không có điem tn cat,
nghĩa là neu t ƒ= s thì z(t) ƒ= z(s). Trưòng hop đưòng cong đóng


thì trù ra s = a và t = b. Đe ngan gon ta se goi đưòng cong trơn
tùng khúc là m®t đưòng cong.


Ví dn 1.1. Xét đưòng tròn Cr (z0) tâm tai z0, bán kính r
Cr (z0) = {z ∈ C : |z − z0| = r} .
Hưóng dương là hưóng đưoc cho bói phương trình tham so
z(t) = z0 + reit, t ∈ [0, 2π]
và hưóng âm đưoc cho bói phương trình

z(t) = z0 + re−it, t ∈ [0, 2π] .
Ta kí hi¾u C là đưòng tròn đ%nh hưóng dương.
Đ%nh nghĩa 1.1. Cho đưòng cong trơn γ đưoc tham so hóa bói
phương trình z : [a, b] → C và f là hàm liên tuc trên γ. Tích phân
cna hàm f doc theo γ đưoc xác đ%nh bói
b

¸
¸ f (z(t)).zr(t)dt.
f (z)dz =
γ

a

Chúng ta thay tích phân ve phái không phu thu®c vào cách chon
phương trình tham so đoi vói γ. Giá sú z¯ là m®t tham so hóa tương
đương xác đ%nh như trên thì
¸b

¸d
f (z(t(s))).zr(t(s)).tr(s)ds

f
(z(t)).zr(t)dt

c

=
a

d

¸

f (z¯(s)).z¯r (s)ds.

=
c

Neu γ là đưòng cong trơn tùng khúc như trên, thì
ak+1
¸
n−1
¸
.
f (z)dz =

γ
k=0 a
k


f (z(t)).zr(t)dt.