Vectơ trong không gian và các bài toán

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
----------

NGÔ THỊ HỒNG THOA

VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
VÀ CÁC BÀI TOÁN
 QUAN HỆ VUÔNG GÓC
 ĐIỂM CỐ ĐỊNH CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
 QUỸ TÍCH ĐIỂM
 BẤT ĐẲNG THỨC
 CÁC BÀI TOÁN TÍNH TOÁN

KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Hình học

HÀ NỘI – 2012


LỜI CẢM ƠN
Bước đầu làm quen với việc tiến hành nghiên cứu khoa học nên em
không khỏi bỡ ngỡ và gặp nhiều khó khăn. Để có được khoá luận hoàn thiện
em đã nhận được sự giúp đỡ của các thầy cô trong khoa Toán cùng các thầy
cô trong trường ĐHSPHN2 và đặc biệt là sự tân tình chỉ bảo và đóng góp
những ý kiến quý báu của thầy Bùi Văn Bình trong thời gian qua.
Do điều kiện thời gian cùng với vốn kiến thức chắc chắn sẽ không
tránh khỏi những sai sót. Em rất mong nhận được sự chỉ bảo, đóng góp của
thầy cô và các bạn sinh viên để tìm được những ý tưởng tốt hơn bổ sung cho
khóa luận được hoàn thiện hơn nữa và sẽ là tài liệu tham khảo thật sự bổ ích
cho tất cả những độc giả có niềm đam mê môn Toán.

Qua đây em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô trong tổ Hình
học, các thầy cô trong khoa và đặc biệt là thầy Bùi Văn Bình đã hướng dẫn
em hoàn thành khóa luận này.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 5 năm 2012
Sinh viên
Ngô Thị Hồng Thoa


LỜI CAM ĐOAN
Do sự nỗ lực tìm hiểu, nghiên cứu của bản thân, cùng sự giúp đỡ,
hướng dẫn tận tình của thầy Bùi Văn Bình trong quá trình hoàn thành khóa
luận tôi xin cam đoan khóa luận này không trùng với kết quả của tác giả nào
khác. Nếu trùng tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm.
Rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của bạn đọc để khóa luận được
hoàn thiện hơn.
Sinh viên
Ngô Thị Hồng Thoa


MỤC LỤC
MỤC LỤC.................................................................................................................................... 1
LỜI MỞ ĐẦU.............................................................................................................................. 1
NỘI DUNG.................................................................................................................................. 4
CHƯƠNG I: NHỮNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ VECTƠ................................................4
I. VECTƠ............................................................................................................................. 4
II. CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ........................................................................................... 6
III. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ..................................................................... 10
CHƯƠNG II: ỨNG DỤNG VECTƠ VÀO GIẢI TOÁN....................................................14
I. CHỨNG MINH TÍNH VUÔNG GÓC..........................................................................14

II. CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG ĐI QUA ĐIỂM CỐ ĐỊNH.
................................................................................................................................

25

III. TÌM QUỸ TÍCH ĐIỂM.............................................................................................. 28
IV. CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC........................................................................ 33
V. CÁC BÀI TOÁN TÍNH TOÁN................................................................................... 36
KẾT LUẬN................................................................................................................................ 44
TÀI LIỆU THAM KHẢO......................................................................................................... 45


LỜI MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong nhà trường phổ thông, hình học luôn là môn học khó đối với học
sinh. Vì hình học là môn học đòi hỏi tính chặt chẽ, tính logic và trừu tượng
cao hơn môn học khác của toán học.
Trong chương trình toán học phổ thông, để giải một bài toán hình học
ta có rất nhiều phương pháp, trong đó phương pháp vectơ là phương pháp rất
hiệu quả. Nó cho chúng ta lời giải một cách chính xác, tránh được yếu tố trực
quan, các suy diễn phức tạp của phương pháp tổng hợp và là công cụ hiệu quả
để giải các bài toán hình học. Không những thế phương pháp vectơ cón là một
công cụ rất mạnh để giải các bài toán đại số.
Do đó việc nắm vững phương pháp sẽ cung cấp cho học sinh một
phương pháp giải toán hữu hiệu. Đồng thời còn để cho học sinh suy nghĩ về
bài toán theo một phương pháp khác với các phương pháp quen thuộc mà học
sinh đã biết từ trước tới nay.
Xuất phát từ những lý do trên cùng với mong muốn của bản thân có
một hệ thống cụ thể về phương pháp vectơ trong toán học sơ cấp và sự động
viên khích lệ của thầy Bùi Văn Bình mà em đã chọn đề tài:” Vectơ trong

không gian và các bài toán: Quan hệ vuông góc, điểm cố định của đường
thẳng và mặt phẳng, quỹ tích điểm, bất đẳng thức hình học, các bài toán
tính toán”.
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu là ứng dụng phương pháp vectơ vào giải các bài
toán trong không gian để đơn giản hoá lời giải giúp các bài toán có các cách

-1-


giải ngắn gọn và giúp học sinh có thêm một phương pháp để giải các bài toán
hình học trong không gian.
3. Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu là ứng dụng phương pháp vectơ vào giải các bài
toán trong không gian để giảm bớt quá trình tính toán.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
Tìm cách chuyển ngôn ngữ của bài toán sang ngôn ngữ vectơ. Sau đó
sử dụng các kiến thức tổng hợp về vectơ để giải toán. Sau khi giải xong ta lại
chuyển ngược lại từ ngôn ngữ vectơ sang ngôn ngữ bài toán cần giải.
5. Phạm vi nghiên cứu
Do khuôn khổ thời gian có hạn nên đề tài này chỉ đề cập đến vấn đề sử
dụng công cụ vectơ để giải các bài toán hình học trong không gian.
6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài
Đề tài đã cho ta thấy được những ưu điểm nổi bật của phương pháp
vectơ so với các phương pháp khác và những ứng dụng rộng rãi trong toán
học của vectơ.
Đề tài còn cung cấp cho chúng ta một phương pháp giải các bài toán
hình học trong không gian một cách hữu hiệu mà ngắn gọn, dễ hiểu.
7. Phương pháp nghiên cứu
 Phân tích tài liệu

 Tổng kết lại thành từng dạng toán
8. Cấu trúc khoá luận
Nội dung khoá luận gồm 2 phần cơ bản:
Chương I: Những kiến thức liên quan
Phần này trình bày tóm tắt về một số kiến thức cơ bản về vectơ.
Chươnh II: Ứng dụng phương pháp vectơ vào giải toán

-2-


Phần này đưa ra các ứng dụng cụ thể của phương pháp vectơ để giải
các bài toán hình học trong không gian. Đồng thời trình bày hệ thống các ví
dụ và bài tập cụ thể.


NỘI DUNG
CHƯƠNG I: NHỮNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ VECTƠ
I. VECTƠ
I.1. Định nghĩa vectơ
Cho đoạn thẳng AB. Nếu ta quy định điểm A là điểm đầu (điểm gốc) và
điểm B là điểm cuối (điểm ngọn) thì ta bảo rằng đoạn thẳng AB đã được định
hướng hay gọi là vectơ AB.

Kí hiệu:
AB

B

A

Chú ý:





- Cho hai điểm A, B phân biệt thì ta có hai vectơ AB và BA là khác nhau.
 
- Vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau: A B ,… như AA, BB
,..
gọi vectơ- không.
I.2. Hai vectơ cùng phương, cùng hướng, ngược hướng.


được gọi là cùng phương nếu chúng lần lượt nằm
* Hai vectơ AB và
CD
trên hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau.
Khi đó:
+ Vectơ-không được xem là cùng phương với mọi vectơ.


+ Hai vectơ a và b cùng phương với một vectơ khác vectơ-không thì
hai vectơ đó cùng phương với nhau. 

* Hai vectơ cùng phương AB và
gọi là cùng hướng nếu chiều từ A
đến B trùng với chiều từ C và D. CD



Kí hiệu: AB CD .


gọi là ngược hướng nếu chiều từ A
* Hai vectơ cùng phương AB và
CD
đến B ngược với chiều từ C đến D.




Kí hiệu: AB CD .


Chú ý:
+ Vectơ- không được xem là cùng hướng hoặc ngược hướng với mọi
vectơ.
+ Hai vectơ cùng hướng với một vectơ khác vectơ-không thì hai vectơ đó
cùng hướng với nhau.
+ Ta chỉ có thể nói hai vectơ nào đó cùng hướng hay ngược hướng khi đã
có hai vectơ đó cùng phương.
I.3. Độ dài của vectơ
 là độ dài của đoạn thẳng AB.
Độ dài của vectơ AB 

Kí hiệu là: AB . Khi đó:
AB

AB BA

Từ đó ta có: độ dài của vectơ- không bằng 0.
I.4. Hai vectơ bằng nhau
Định nghĩa:
AB

Hai vectơ



và
CD



được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và

cùng độ dài.

 
Kí hiệu: AB = CD .

Chú ý:
+ Quan hệ bằng nhau của các vectơ là quan hệ tương đương. Mỗi vectơ đại
   
diện được kí hiệu là a,b, x, y ,…

+ Nếu đã cho vectơ và một điểm O thì có một điểm A duy nhất sao cho:
a
 
OA a .


+ Mọi vectơ-không đều bằng nhau. Kí hiệu là: 0


I.5. Góc giữa hai vectơ
Định nghĩa :


a
Cho hai vectơ
a


b


O



và b khác 0
.


a

A



b B


 



Từ một điểm O nào đó ta vẽ các vectơ OA a,OB b . Khi đó số
đo góc

□AOB được gọi là số đo của góc giữa hai vectơ
a và b .

 
Kí hiệu : ( a , b )
Nhận xét:
 
+ ( a , b )0o ,180o .
 


o
+ ( a , b )=0
và b cùng hướng.
a
 


o
+ ( a , b )=180

và b ngược hướng.
a
 


o
+ ( a , b )=90 ta nói hai vectơ và b vuông góc với nhau.
a
 
Kí hiệu: a b .



Quy ước: Nếu ít nhất một trong hai vectơ a và b bằng 0 thì ta có thể xem
 
o
o
( a , b ) có giá trị tùy ý trong
0 ,180 
đoạn
II. CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ
II.1. Phép cộng vectơ
II.1.1. Định nghĩa



Tổng của hai vectơ a và b . Lấy một điểm A nào đó rồi xác định các điểm
   


B và C sao cho : AB a, BC b . Khi đó
vectơ AC


vectơ a và b .

được gọi là tổng của hai


  
Kí hiệu : AC = a + b


a

A


b


a

B


b

C

Phép lấy tổng của hai vectơ được gọi là phép cộng hai vectơ.
Chú ý :

  


+ Nếu có a + b = 0 thì vectơ b được gọi là vectơ đối của vectơ và kí hiệu
a

là: - a .




+ Vectơ - luôn ngược hướng với vectơ - a
a a . Mỗi vectơ
có
a
và
một vectơ đối duy nhất.
Từ định nghĩa ta có các quy tắc sau :
 Quy tắc ba điểm :
A
B

C

  
Với ba điểm A, B, C bất kì ta luôn có đẳng thức : AB BC AC .

 Quy tắc hình bình hành :
A
B

D

C

  
Nếu ABCD là hình bình hành thì ta luôn có : AB AD AC .


 Quy tắc hình hộp :
Nếu ABCDA1B1C1D1 là hình hộp thì ta luôn có :
   
AB AD AA
AC .
1
1
D

C

A

B
C1

D1
A1

B1

Tổng quát : Cho n điểm A1, A2,.. , An ta luôn có:
 


A1 A2 A2 A3 ... An1An A1 An .
II.1.2. Tính chất

 

Với mọi vectơ a , b và ta có:     
c
1. Tính chất của vectơ-không : a 0 0 a a ;
   
2. Tính chất giao hoán : a b b a
   
 
3. Tính chất kết hợp : a b c a b c







II.2. Phép trừ vectơ
Định nghĩa :
Hiệu của hai vectơ

a
 
Kí hiệu : a b






và b là tổng của vectơ và vectơ đối của vectơ b .
a


  

Khi đó ta có : a b a b



Phép tìm hiệu của hai vectơ gọi là phép trừ hai vectơ.
* Quy tắc ba điểm về phép trừ vectơ :
  
Với 3 điểm A, B, C bất kì ta có : AB AC CB .
II.3. Phép nhân vectơ với một số
II.3.1. Định nghĩa


Tích của vectơ
với một số thực k là một vectơ, kí hiệu là k. được xác
a

a
định như sau:


1. Nếu k 0 thì vectơ cùng hướng với vectơ
ka

Nếu k<0 thì vectơ k ngược hướng với vectơ

a

2. Độ dài vectơ k bằng k . a
a


a.

a.

Phép lấy tích của một vectơ với một số được gọi là phép nhân vectơ với một
số thực.
II.3.2. Các tính chất của phép nhân vectơ với một số
 
Với hai vectơ a , b bất kì và mọi số thực k, l ta có:


1. k(l a )=(k.l) a ;

 
2. (k+l) a =k a +l a ;

 


3. k( a + b )=k a +k b ;
 
4. 1 a = a ;
 
 
k a = 0 k=0 hoặc a = 0 ;


III. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ
III.1. Định nghĩa
a

Tích vô hướng của hai vectơ

định bởi công thức:



và
b



 
là một số, kí hiệu là: a . được xác
b

  

a.b a . b .cos a,b



Lưu ý:
+ Công thức tính góc giữa hai vectơ:

 




a.b
 ;
a.b

cos a,b

+ Biểu thức tích vô hướng của hai vectơ còn được viết dưới dạng sau:

 


- Dạng độ dài: a.b1  a b
a
2
2
2

 b
;2




 
 
hay a.b  a b
a2 b
2
14



- Dạng tọa độ:


Trong hệ tọa độ trực chuẩn Oxyz cho hai vectơ a x1 , y1, z1  và


b x2 , y2 , z2 . Khi đó: a.b x1 x2 y1 y2 z1 z2 ;





- Dạng hình chiếu:    
trên đường
a.b


trong
đó
b
'
là
hình
chiếu
của
b

thẳng chứa vectơ a . a.b '
III.2. Các tính chất cơ bản của tích vô hướng

Với mọi vectơ a,b,c bất kì và mọi số thực k ta có:
 
1. a.b b.a ;

 
2. a.b 0 a b ;
   

3.
ka .b a. kb k a.b ;
  
  

 

4.

 



a. b c

 

a.b a.c .


III.3. Ba vectơ đồng phẳng
Định nghĩa:



Cho ba vectơ a,b,c . Từ điểm O trong không gian dựng vectơ khác 0 :
     
OA a,OB b,OC c .
Nếu 4 điểm O, A, B, C cùng nằm trên một mặt phẳng thì ta nói 3 vectơ

a,b, đồng phẳng.
c
Nếu 4 điểm O, A, B, C không cùng nằm trên một mặt phẳng thì ta nói 3

vectơ
không đồng phẳng.
a,b,c



0
là
a,b,c
thì 3 vectơ đó đồng phẳng.
- Nếu một trong 3 vectơ   

Từ định nghĩa ta có:

- Nếu hai trong ba vectơ a,b, cùng phương với nhau thì ba vectơ đó đồng
c
phẳng.


- a,b,
đồng phẳng (trong đó b, c không cùng
c
phương)

 
duy nhất k,l □ : a kb lc
   không đồng phẳng
 
 
 ka lb mc 0
- a,b,


c
k l m 0.


 luôn tồn tại duy nhất ba số
- Cho không đồng phẳng khi đó với mọi d
a,b,c




thực x, y, z sao cho : d xa yb zc .

IV. MỘT SỐ BÀI TOÁN CƠ BẢN
Bài toán 1 :

1.

  
I là trung điểm của AB IA IB
0 .







2.

I là
trung
điểm

của đoạn AB MA  MB

2MI

với M là điểm tùy ý.

Chứng minh:
1.Điều kiện cần:



cùng hướng.
I là trung điiểm của đoạn AB nên ta có: AI=IB, AI và
IB
 
     
Do đó ta có: AI = IB IA IB IA AI II 0 .
Điều kiện đủ:
  


Do IA IB 0 IA IB IA=IB và I, A, B
thẳng hàng.
Tức I là trung điểm của AB.
  
   

2. Do IA IB 0 MI

( Với mọi điểm M).
IA  MI IB 2MI
 

( Với mọi điểm M). (đpcm)
MA
 MB 2MI
Bài toán 2: Trong không gian chứng minh rằng:
    
1. Điểm G là trọng tâm của tứ diện ABCD GA GB GC
GD 0 ;(*)
2. Điểm G là trọng tâm của tứ diện ABCD thì với mọi điểm O ta luôn có:
   

OA OB OC OD 4OG .
Chứng minh:
A
L

I
N
B
K
C

G

M

D

J


1.

Gọi I, J, K, L, M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD, BC,

AD, BD, AC.


 Điều kiện cần:
Giả sử G là trọng tâm của tứ diện ABCD G là trung điểm
của IJ
  
 (1)
GI GJ 0  
Do I, J lần lượt là trung điểm của AB, CD
GA  GB 2GI
(3)
 

GC GD 2GJ
   
  
Từ (1), (2), (3) ta có: GA GB GC GD 2 GI
GJ  0

(2)



 Điều kiện đủ:
Giả sử G là điểm thỏa mãn đẳng thức (*) ta sẽ chứng minh G là trọng tâm
của tứ diện ABCD.
Thật vậy: Do I, J lần lượt là trung điểm của AB, CD nên với điểm G ta có:
 

 

GA GB
và GC GD 2GJ
 2GI
    
  
  
Mà GA GB GC GD 0 2 GI GJ 0
 GI GJ 0



G là trung điểm của đoạn thẳng IJ.

Chứng minh tương tự ta được G là trung điểm của các đoạn thẳng KL và
MN.
Vậy G là trọng tâm của tứ diện ABCD.
2.

    
Do G là trọng tâm của tứ diện ABCD GA GB

GC  GD 0 (*)

Với mọi điểm O, đẳng thức (*) sẽ tương đương với đẳng thức:
        
GO OA GO OB GO OC GO OD
0
   

OA OB OC OD 4OG .


CHƯƠNG II: ỨNG DỤNG VECTƠ VÀO GIẢI TOÁN
I. CHỨNG MINH TÍNH VUÔNG GÓC
I.1. CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC
I.1.1. Phương pháp
Để chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau ta thường dựa vào
tính chất của tích vô hướng:
 


Hai vectơ a , b (khác vectơ 0 ) vuông góc với nhau a.b
0
 
Từ đó nếu a , b lần lượt là vectơ chỉ phương của đường thẳng a và b thì

a b a.b 0 .
I.1.2. Ví dụ
Ví dụ 1: Hình tứ diện ABCD có AB=BC, AD=DC. Chứng minh
rằng AC BD.
Giải:

A

B

D

C
     
 
Đặt BA a, BC b , với a  (theo giả thiết)
b
BD c
 
   
Và CD DA c
(theo giả thiết)

 b a c


Ta sẽ chứng minh  
BD CA 0
        
(1)
BD CA c(a b)
c a c b
 
 



2
2
2
2
Từ c
a c
b 2 b c 2 a c
b   c a
c
 
   
(2)
Mà b a b
 c a c


Từ (1) và (2)


BD CA 0 BD CA

Nhận xét: Như vậy với việc sử dụng phương pháp vectơ ta chỉ cần chứng
 
minh tích vô hướng BD CA 0 . Khi đó giải bài toán trở lên đơn
giản!
Ví dụ 2: Cho hình lập phương ABCDA1B1C1D1 cạnh a, trên các đường chéo


của mặt bên là BD và AD1 lấy lần lượt 2 điểm M, N sao cho BM 2MD ,
 1 

AN  ND .
1

2
Chứng minh: MN là đường vuông góc chung của hai đường thẳng BD và
AD1.
Giải:

A1

B1
C1

D1
N

B

A
M
C


D1
   

Đặ
AB a, AD b,
t
1

AA c







 
BM 2MD,
AN 

    3 
BD BM MD 3MD 
  
 2 
3
AD AN

3AN
 ND
ND
1

1







b c 
a

và
a

Do ABCDA1B1C1D1 là hình lập phương
a b c
Theo giả thiết ta
có:



1  nên :
ND
2

1

BM

1

2
Để chứng minh MN là đường vuông góc chung của BD và AD1 ta sẽ chứng
minh MN 
và MN AD1 .
BD

 
 
tức là ta đi chứng
MN BD 0; MN AD 0
minh
1
     
Đặt MN a; BD b; AD1 c
 

  

2
AD
Có MN MB BA AN  DB BA  1
3
3
1    
1  
DB  AD
=
2


1
BA 
 3
2



3
 
  

1
1
= DA  1
=
c a b
DD 3
BA
3
    
Theo quy tắc hình bình hành ta có: BD BA AD b a
    
AD1 AD DD1 b c
 
    















3





3






















Vậ
1
1
MN BD  c a b b a 
a 2 b2 0
y
 
    
 
MN
1
1
1 
c a b 3b c 
c 2 b2 0
3
AD
Hay MN BD, MN AD tức MN là đường vuông góc chung
1
của
BD
và
AD1
.

  
   sau đó sử dụng tích vô hướng
theo

MN , BD,
a,b,c
AD1

Nhận xét: Biểu
diễn

ta có ngay lời giải bài toán.
Ví dụ 3 : Cho tứ diện ABCD có các cặp cạnh đối diện bằng nhau :
AB=CD= c, BC=DA=a, CA=BD=b. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ
để các đường trọng tuyến AA1 và CC1 vuông góc với nhau là :
2

2

2

a +c =3b .
Giải :
D

C1

A1

A

C

B

 1   
AB AC AD
Ta có : AA1
3

   1    
0  AB 
CC AC 
AC
AD 









 
1 
AB
AC AD 






1

3

1

3

1

 
    

9AA1.CC1  AB AC AD AB AD 3AC
 
 
 
 
 2
 2
 AD
 2 AB.AD 2 AB.AC 2
 2
AC.AD  3AC

9AA1.CC1 AB



b

2

a
2

2

1

1

c a b 2 c
 c 3b a

c 2
2



2

2

2

2

2

2  a c 3b

2

b a
2

2

2

2

2

2



2

2

2

1