Xấp xỉ hàm

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA:TOÁN
**********

NGUYỄN THỊ THẢO

XẤP XỈ HÀM

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Giải tích

Người hướng dẫn khoa học
TS. NGUYỄN VĂN HÙNG

HÀ NỘI – 2012


LỜI CẢM ƠN
Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Toán đã tạo điều
kiện, giúp đỡ, chỉ bảo tận tình cho chúng em trong suốt bốn năm qua. Đặc
biệt, em xin được gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc tới thầy Nguyễn Văn
Hùng - người đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo và góp ý cho em trong quá trình
thực hiện khóa luận này.
Em cũng xin được bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, bạn bè đã động viên,
giúp đỡ em trong suốt bốn năm học qua.
Kính mong nhận được sự góp ý chân thành từ phía thầy cô và bạn đọc.
Em xin chân thành cảm ơn!
Sinh viên
Nguyễn Thị Thảo

LỜI CAM ĐOAN
Khóa luận của em được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của thầy Nguyễn
Văn Hùng cùng với sự cố gắng của bản thân em trong quá trình nghiên cứu và
thực hiện khóa luận. Ngoài ra, em có tham khảo thêm một số tài liệu khác của
một số tác giả (đã nêu trong mục Tài liệu tham khảo).
Em xin cam đoan những kết quả trong khóa luận là kết quả nghiên cứu
của bản thân, không trùng với kết quả nghiên cứu của các tác giả khác. Nếu
sai, em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm.
Sinh viên
Nguyễn Thị Thảo


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU
Chương 1: MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN
1.1. Không gian tuyến tính............................................................................5
1.2. Không gian định chuẩn...........................................................................6
1.3. Không gian Hilbert.................................................................................8
Chương 2: PHÉP NỘI SUY
2.1. Đa thức nội suy Lagrange.....................................................................10
2.3. Sai phân................................................................................................26
2.4. Tỷ sai phân...........................................................................................34
Chương 3: XẤP XỈ ĐỀU
3.1. Xấp xỉ tốt nhất trong không gian tuyến tính định chuẩn.......................49
3.2. Xấp xỉ đều tốt nhất trong không gian tuyến tính định chuẩn C[a;b].......49
3.3. Một số trường hợp đặc biệt...................................................................51
3.4. Ví dụ.....................................................................................................53
Chương 4: XẤP XỈ TRUNG BÌNH PHƯƠNG
4.1. Bất đẳng thức Bessel và bất đẳng thức Parseval...................................57
4.2. Xấp xỉ tốt nhất trong không gian Hilbert..............................................58

4.3. Xấp xỉ tốt nhất trong

L2 [ a,b ]..............................................................60

4.4. Ví dụ.....................................................................................................67
KẾT LUẬN
TÀI LIỆU THAM KHẢO


MỞ ĐẦU
Toán học bắt nguồn từ nhu cầu giải quyết các bài toán có nguồn gốc từ
thực tiễn. Cùng với thời gian, toán học ngày càng phát triển và chia thành hai
lĩnh vực: Toán học lý thuyết và Toán ứng dụng. Nói đến toán ứng dụng, ta
không thể không nói đến Giải tích số.
Giải tích số là một môn khoa học nghiên cứu cách giải gần đúng các
phương trình, các bài toán xấp xỉ hàm số, các bài toán tối ưu. Sự ra đời và
phát triển của Giải tích số đã góp phần quan trọng tạo ra các thuật giải các bài
toán thực tế như: các bài toán ngược trong lĩnh vực thăm dò, chuẩn đoán,
nhận dạng…
Ngày nay, với sự phát triển của tin học thì các kiến thức của Giải tích số
càng trở nên cần thiết. Chúng ta đang được chứng kiến xu thế song song hóa
đang diễn ra trong tất cả các lĩnh vực của Giải tích số. Để tiết kiệm bộ nhớ
máy tính, người ta đề xuất những phương pháp hữu hiệu xử lý hệ lớn, thưa
như kỹ thuật nén ma trận, kỹ thuật tiền xử lý ma trận…
Vì những ứng dụng rộng rãi của Giải tích số cùng với niềm yêu thích bộ
môn Giải tích số, em đã chọn đề tài cho khóa luận tốt nghiệp của em là: “Xấp
xỉ hàm”.
Khóa luận gồm bốn chương:
Chương 1: Một số khái niệm cơ bản.
Chương 2: Phép nội suy.

Chương 3: Xấp xỉ đều.
Chương 4: Xấp xỉ trung bình phương.


GVHD: TS. Nguyễn Văn Hùng

Chương 1

Xấp xỉ hàm

MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN

1.1. Không gian tuyến tính
Định nghĩa 1.1
Trên tập X ≠ ∅ , xác định một cấu trúc tuyến tính λ nếu
với mọi x, y ∈ X với mọi t ∈ R (hoặc t ∈C ) xác định phép
cộng

x + y ∈ X và phép nhân tx ∈ X thỏa mãn các tính chất

sau:
a) x + y = y + x
b) (x + y) + z = x
+ ( y + z) s(tx)
= (st)x
c) (s + t)x
= sx + tx
t(x + y)
= tx + ty
d) ∃ θ ∈ X : x +θ = x,∀x ∈ X

e) ∃ (−x)∈ X : x + (−x) = 0,∀x ∈ X
f) 1x = x
Trong đó

x, y, z ∈ X ; s,t
∈ R (hoặc

Khi đó ( X
, λ)

s,t ∈C )

là không gian tuyến tính.

Định nghĩa 1.2
Cho hệ n véctơ

x1, x2 ,...,
xn

trong không gian tuyến tính X Xét đẳng
.

thức véctơ:
Nguyễn Thị Thảo

-6-

K34A SP Toán

GVHD: TS. Nguyễn Văn Hùng

Xấp xỉ hàm

α1x1 + α2
x2 + ...
+ αn xn
= 0.
Đẳng
thức
trên
xảy
ra
nếu

α1 = α 2
= ... = αn
= 0

α1 , α2 ,
...,αn

với

thì hệ n véctơ đó độc lập tuyến tính hoặc tồn tại bộ
n

∑
2

để đẳng thức trên xảy ra thì hệ n véctơ đó phụ

α i=1
>0
i=1

thuộc tuyến tính.
Tập hợp K trong X gọi là lồi nếu
nằm trong K .

Nguyễn Thị Thảo

-7-

thì đoạn thẳng nối x, y
∀x,
y
∈ K

K34A SP Toán


1.2. Không gian định chuẩn
1.2.1. Một vài định nghĩa Định
nghĩa 1.3
Giả sử X là một không gian tuyến tính trên R . Ánh xạ . : X
→ R
định trên X . lấy giá trị trên tập số
thực:

kiện:
a)

x ≥ 0,∀x ∈ X
x = 0⇔

b) x + y ≤
x +
c)

x ∈
R,∀x
∈ X

xác

thỏa mãn các điều

x= 0

y , ∀x, y ∈ X

λ x x ,∀λ ∈ R,∀x ∈ X
= λ

được gọi là một chuẩn trên X .
Không gian tuyến tính X cùng với . được gọi là một không gian tuyến
tính định chuẩn.
Định nghĩa 1.4
Hai chuẩn . ,

1

.

2

cùng xác định trên không gian tuyến tính X gọi là

tương đương nếu tồn tại hai hằng số c1,c2
sao cho:
>0
x ≤ x ,∀x ∈ X
c 2 1

c x
Định nghĩa
1.5
Cho

≤
1

2

1

X ,Y là hai không gian tuyến tính định chuẩn. Ánh xạ A : X
→
Y

gọi là bị chặn nếu tồn tại hằng số

M > 0 sao cho:


Ax

≤ M x
Y

X

,∀x ∈ X

1.2.2. Một vài định lý và ví dụ
Định lý 1.1
Nếu X là một không gian tuyến tính hữu hạn chiều thì mọi chuẩn trên
X tương đương.


Chứng minh
Thật vậy, giả sử trên X có . và . là hai chuẩn cho trước.
1

Gọi

S=

{x

∈ X:

2

x = 1 . Vì S đóng và X có số chiều hữu hạn
nên }

.

2

đạt

1

max và min trên S , kí hiệu là M và m tương ứng.
Xét x ≠ 0 là phần tử bất kỳ trong X , khi đó:
x =x .
2

Vì rằng:

= 1 nên m

x

x

≤
x

1

x
x1

= x .
1

2

x
x1

2

1
1 1
2

≤ M x .

≤ M , do đó m x
≤
x

x

2

1

1

Vậy hai chuẩn là tương đương.
Định lý 1.2
Toán tử tuyến tính A : X
là bị chặn khi và chỉ khi A là toán tử liên
→
tục.
Y
Ví dụ 1.1
Xét C[0,1] là các hàm số liên tục trên

x = x(t) ∈ C[0,1],

[ 0,1] .Với
y = y(t)
∈C[ 0,1] , ∀k
∈ R
Không gian
C[0,1]
Với

ta định nghĩa:
(x + y)(t) = x(t) + y(t),∀t ∈[0,1]
(kx)(t) = kx(t),∀t ∈[0,1]

cùng với hai phép toán trên là một không gian tuyến tính.

x
∈ C[0

,1]

, đặt:

x =
max

x(t) thì có thể thấy . là một chuẩn trên C[0,1] .

t∈[
0,1]

Ví dụ
1.2
Với

L [0,1]
p ≥ 1, p
với
xét

định nghĩa:

x = x(t) ∈ Lp [0,1], y = y(t)
∈ Lp [0,1],∀k ∈ R ta

(x + y)(t) = x(t) + y(t),∀t ∈[0,1]
(kx)(t) = kx(t),∀t ∈[0,1]


Không gian

Lp [0,1] với hai phép toán trên là một không gian tuyến tính.

x ∈ Lp

1


x = 
x(t)
0
1

Với [0,1], xét

∫

p

 . Khi đó . là một chuẩn trên

Lp [ 0,1] .

p

dt 


1.3. Không gian Hilbert
1.3.1. Các định nghĩa Định
nghĩa 1.6
Hàm số , đưa mọi cặp

x, y trong không gian tuyến tính H vào R gọi

là tích vô hướng của x, y , kí hiệu
là
a)

x, y nếu nó thỏa mãn các tính chất sau:

x, ≥ 0,∀x ∈ H
x = 0⇔

x= θ

x,
b)

x
x, y
=

c)
+

=

α x
β y, z
α

y, x
x, z
+β

y, z ;

∀x, y, z ∈ H ;∀α ,
Cặp ( H ,
,

β ∈ R.

) gọi là không gian có tích vô hướng hay không gian tiền Hilbert.

Không gian Hilbert là không gian tiền Hilbert đủ.
Mọi không gian có tích vô hướng là không gian định chuẩn với chuẩn:
x = x, x
Định nghĩa 1.7
Cho H là không gian Hilbert. Hệ các phần tử e

{i∈I
i
}

của H gọi là:


Trực giao nếu:

en , em = 0, (n ≠ m)

Trực chuẩn nếu:
với n, m
∈N.

en ,
em

= δn,m

(

n n=1

)

n
n=1

Hệ

}

{e

= H , nghĩa là:

{e
}

đầy đủ nếu Spa
n
n

∀ε > 0,∀x ∈ H ,

∃Sn = ∑ ci ei (ci ∈ R;n
= n(ε
i=1

))

:

Sn − < ε .
x


Giả sử {ne

}

là hệ trực chuẩn trong không gian Hilbert. Với mỗi x
∈H

n

ta lập tổng Fourier
x nếu:

Sn = với ci
∑cie =

x,
ei

. Ta nói chuỗi Fourier hội tụ đến

i
i=1

Sn − → 0,(n → ∞) .
x

1.3.2. Một số ví dụ Ví
dụ 1.3
Xét X = R n , x =
với
,..., x
n

x,
Đặt y

=

1

∑

i=1

Ta thấy R

( x , x ) ∈ Rn , y
=( y,y
2

n

1

)∈

,...,
y
2

n

R .

n

xi yi .

n

cùng với tích vô hướng xác định như trên là một không gian

Hilbert.
Ví dụ 1.4
Xét X = L
2

[a,b]
[ a,b
]

là không gian các hàm bình phương khả tích trên đoạn

bao gồm các hàm thực x(t) xác định, bình phương khả tích trên [ a,b]

sao cho:
b

∫
Trong đó

2

p(t)x (t)dt < +∞
a

p(t) là hàm trọng ( p(t) thường được chọn thỏa mãn các điều kiện

xác định và khả tích trên [ a,b ] , p(t) ≥ 0 trên

[a,b]

và

có độ đo 0). Ta trang bị trên

p(t) = 0 chỉ trên một
tập

L2 [ a,b] một tích vô hướng:


b

x, y = ∫ p(t)x(t) y(t)dt x(t), y(t) ∈ L2 [ a,b ] .
, với
a

Không gian
Hilbert.

L2 [a,b ] với tích vô hướng xác định như trên là không gian


Chương 2

PHÉP NỘI SUY

Trong thực tế, nhiều khi ta phải tìm hàm y = f

(

khi biết giá trị yi tại

x)
các điểm

xi ∈[ a;b ] , i = 0, n .

Ta tìm hàm P x sao
( )
cho:

P ( xi f ( xi ) = yi ,i và sai số:
) = = 0, n
P

( x)

− f

( x)

→ min .

Bài toán tìm hàm P ( x ) này được gọi là bài toán nội suy.
Thông thường ta tìm hàm

P(

là hàm đa thức vì các phép toán cộng,

x)

trừ, nhân, đạo hàm, tích phân dễ dàng thực hiện trên đa thức.
2.1. Đa thức nội suy Lagrange
2.1.1. Đa thức nội suy Lagrange với mốc bất kỳ
Giả sử hàm số

(
x)
f

được cho dưới dạng bảng:

x

x0

x1

...

xn

y

y0

y1

...

yn

Ta phải tìm đa thức bậc n sao cho: P x f x = y ,i và sai số:
( i ( i)
i
) = = 0, n
P ( x ) − f ( x ) → min .
Ký hiệu Pi ( x j ) là đa thức bậc n thoả mãn:


≠ j Pi 0
x j neáu
=  i với i, j =
(1 neáu i = j 0, n
Dễ thấy đa thức

Pi ( x ) được định nghĩa như trên có n nghiệm là
các

nên nó có dạng:

x j (i
≠ j)

Pi ( x ) = ai ( x − x0 )( x − x1 ) ...( x − xi−1

)( x − xi+1 )...( x −
ai là hằng số.

( 2.1)

xn )

với


Ta có: 1 = Pi ( xi ) = ai ( xi − x0 )( xi − x1 )...( xi − xi−1 )( xi
− xi+1 ) ...( xi − xn )
⇒
Pi

( x)

=

(x−

x0 )( x − x1 )...( x − xi−1 )( x
− xi+1 )...( x − xn )

( xi −

(i = 0, n)

x0 )( xi − x1 )...( xi − xi−1 )( xi
− xi+1 )...( xi − xn )

{Tö sè khuyÕt nh©n tö ( x − x ), mÉu sè khuyÕt nh©n tö
i

( x i − x i ) }.

n

Đặt:

(2.2)

P

( x)

=

∑

yi Pi ( x )
i=0
n

Ta có:

∑

P(x j ) =

yi

Pi (x j ) = y j

( j = 0, n ) .

i=0

Vậy

P ( x ) là đa thức nội suy cần tìm và được gọi là đa thức nội suy Lagrange.

 Tính duy nhất của đa thức nội suy Lagrange
Giả sử đa thức

P□ ( cũng thỏa mãn các điều kiện trên. Khi đó gọi
x)

ϕ ( x) = P

( x) −

thì degϕ

P□ ( x )

phân biệt (Do

ϕ

)≤

(

x

n

và

ϕ (
x)

(x ) = P (x ) −

)=

j

j

yj− yj = 0

phải là đa thức không. Do đó

nhận ít nhất ( n + nghiệm
1)

P□ ( x j ∀j = 0, n ). ϕ
Suy ra
x)

(


P□ ( x ) ≡ P ( x ) .
2.1.2. Đa thức nội suy Lagrange với mốc cách đều
Giả sử các mốc nội suy cách đều, tức xi+1 − xi ∀i = 0, n −1.
= h
x hay x = + th ta được:
Đặt t :=
− x0
x0
h
ni C t (t −1) ... (t − n
i

n
+ th ) =
⋅
−
( x ) = P ( 1)
(x
i
i
0
t− i

P

P(
Suy ra x0

t ( t −1)...(t − n
) n (−1)
+ th) =

∑

n!

i=0

Chú ý: Các hệ số

(−1)ni

C

i

n

n−i

n!
C
i

n

y

)

(2.3)

i

t− i

không phụ thuộc vào f

( x) , mốc nội suy và

bước h nên có thể tính sẵn và lập bảng để sử dụng trong quá trình tính toán.


 Nhận xét
- Khi n = 1 ta có đa thức nội suy Lagrange bậc nhất (hay đa thức nội
suy
tuyến tính); n
ta có đa thức nội suy Lagrange bậc hai. Tổng quát: Nếu
=2

(
x)

có n

+ 1

(
x)

là đa thức bậc n .

f

f

mốc nội suy x0 , x1,...,
xn

thì đa thức nội suy Lagrange của

- Đa thức nội suy Lagrange có ưu điểm là đơn giản, dễ tính toán nhưng lại có
nhược điểm là nếu thêm mốc nội suy thì phải tính lại từ đầu.
- Nếu
2.1.3. Ví dụ Ví
dụ 2.1

f(
x)

là đa thức có deg f ( x ) thì P
≤ n
( x)
≡

f

( x) .

Tìm đa thức nội suy Lagrange của hàm số y = 1 + sin
với
π
x
1
2
; x2 = 1 trên đoạn
x0 = 0;
[0;1].
Giải
x1 =
3
π 3
π
= ; y2 = 1
Ta có y0 = 1 + sin 0 = 1; y1 = 1 + sin
+ sin
= 2.
6 2
2
Áp dụng công thức
ta có:
(2.2)
 1
 0 )1x − 
(x−

3 ( x − 0 )( x −1)
3
x−
3)
−1
x
(




P ( x ) = 1⋅
+ ⋅
+ 2⋅



1
 0−
( 0 −1)


3
3



2 1
 1 −0
 −1





(1 − 0 )
3











1−

3




1



1
27


1
= 3 x−
x ( x − 1) + 3x x −
( x −1) −




4
 3
 3
2

= − 0,75x + 1, 75x + 1
Ví dụ 2.2
Tìm đa thức bậc thấp nhất nhận giá trị cho bởi bảng sau:
x
y

−2

− 1

2

5

4

3

5

7


P ( x ) . Ta có:

Giải
Gọi đa thức bậc thấp nhất nhận giá trị trong bảng trên là

( x + 1)( x − 2 )( x − 5)
( x + 2 )( x
P ( x) = 4 ⋅
+ 3⋅
− 2 )( x − 5)
1 )( −2 −
(−2 + +
(−1 + 2 )( −1 − 2 )( −1
− 5)
2 )( −2 − 5)
( x + 2)( x + 1)( x ( x + 2 )( x + 1)( x − 2)
− 5)
+ 5⋅
+ ( 5 + 2 )( 5 + 1)(5 − 2 )
7⋅
( 2 + 2 )( 2 + 1)( 2
− 5)
1

1
= −
( x + 2 )( x − 2)( x − 5)
( x + 1)( x
− 2 )( x − 5) +
28
18
1
1
− ( x + 2 )( x
( x + 2)( x + 1)( x − 2)
+ 1)( x − 5) +
36
126
5 3
= −
5 2
41
43
x
x
x
.
+
+
+
84
14
84
14

Ví dụ
2.3
Tìm hàm nội suy cho hàm

xi
f

( xi )

−2

−1

1

3

(
x)
f

và tính gần đúng f (2,15 )?

0

1

− 2

−

2
Giải

 Tìm hàm nội suy: Áp dụng công thức (2.3) ta có:


(

t−( t2−
−t 3) 
)(1t)(

2

1.C

3C

3

3

(C−2
)
3

(−2)C3 

)
P − +

t =

 −
3!

0

t−
 0

+
t
−
1

1

2

−

3

+
t−
2


t− 3 

−+
3)  +1 −9 6
2 
=t ( t −1 )( t − 2 )(t−
6
t t
t2 − t − 3
−1


1
3
2
3
= (12t2 − 57t + 57t + 6) = 2t
− 9,5t + 9,5t + 1 6
 Tính gần đúng

f (2,15 ):

Ta có x = 2,15 ⇔

2,15 = −2 + t ⇔

t = 4,15

⇒ f (2.15) ≈ 2 × 4.153 − 9,5 × 4.152 + 9,5 × 4.15
+ 1 = 19,785 .

y = f ( x):

Ví dụ 2.4
Cho bảng các giá trị của hàm số

x

−3

− 2

1

y

58

19

4

3
−1
1

Tính gần đúng f −1,005 ?
(
)
Giải
Gọi

P ( x ) là đa thức nội suy
của

( x ) . Áp dụng công thức
(2.2)
f

ta có:

( x + 2)( x − 1)( x − 3)
( x + 3)( x
P ( x ) = 58 ⋅
+ 19 ⋅
−1 )( x − 3)
(−3 + 2 )( −3
(−2 + 3 )( −2 −1 )( −2
−1 )( −3 − 3)
− 3)
( x + 3)( x + 2 )(
− 3)

+ 4⋅

x

−
11⋅
(1 + 3)(1 + 2)(1 − 3)

( x + 3)( x + 2 )( x − 1)
(3 + 3)(3 + 2)( 3 − 1)

( −1, 005 + 2 ) ( −1,
⇒ f ( −1,005 ) □ P ( −1, 005) = 58 ⋅
005 − 1) ( −1, 005 − 3)
(−3 + 2 )( −3 −1 )( −3 − 3)
( −1, 005 + 3)( −1,005 −1)( −1, 005 − 3)
+ 19 ⋅
(−2 + 3 )( −2 −1 )( −2 − 3)
+ 4⋅

( −1,005 + 3)( −1,005
+ 2 )( −1, 005 − 3)
(1 + 3)(1 + 2)(1 − 3)
( −1,005 + 3)( −1,005
+ 2 )( −1, 005 −1)


− 11⋅

(3 + 3)( 3 + 2 )( 3 − 1)

□ 3, 037675188.
Ví dụ
2.5
Cho bảng các giá trị của hàm số

y = f ( x) :

x

−2

−1

1

2

y

−5

1

4

7