Về định lý helly và một số ứng dụng

��n một điểm là an . Khi đó tất cả các đoạn có giao với
In đều chứa an . Bỏ tất cả các đoạn này đi và xét các đoạn còn lại. Nếu
trong các đoạn còn lại có k đoạn đôi một không giao nhau, mâu thuẫn.
Do đó với k đoạn bất kỳ trong các đoạn còn lại này luôn có hai đoạn giao
nhau. Từ đó theo quy nạp ta có thể xác định k − 1 điểm sao cho mỗi đoạn
trong các đoạn còn lại này chứa ít nhất một điểm trong đó. Cộng thêm
điểm an ta có k điểm cần tìm.


47

Bài toán 2.3.6 (Chọn đội tuyển Iran thi Olympic Toán quốc tế 2002).
Cho một đường cong kín trên một mặt cầu đơn vị sao cho mỗi đường tròn
lớn đều có giao điểm với đường cong đó. Chứng minh rằng đường cong có
độ dài ít nhất là 2π.
Lời giải: Ta biết nếu 4 điểm bất kỳ của đường cong luôn nằm trong một
nửa không gian tạo bởi mặt phẳng qua tâm cầu thì toàn bộ đường cong
cũng sẽ nằm trong một nửa không gian tạo bởi mặt phẳng qua tâm cầu,
mâu thuẫn. Do đó sẽ tồn tại 4 điểm A, B, C, D trên đường cong sao cho
tâm cầu O nằm trong khối tứ diện ABCD. Phần đường cong nối hai điểm
A, B có độ dài nhỏ nhất là cung tròn AB. Khi đó đường cong kín ban đầu
có độ dài nhỏ nhất là tổng độ dài các cung tròn AB, BC, CD, DA.
Gọi D là điểm đối xứng tâm của D. Khi đó D sẽ nằm trong chỏm cầu
giới hạn bởi các đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Ta thấy
AB + BC ≥ AD + D C.
Do đó
AB + BC + CD + DA ≥ AD + D C + CD + DA = 2π.


48

Kết luận
Đề tài luận văn đã giới thiệu một số kiến thức cơ bản về tập hợp compact
và tập hợp lồi trong không gian Rn ; trình bày tính chất giao hữu hạn và
định lý Helly, trình bày một số ứng dụng của định lý Helly như bài toán
của Vincensini và ứng dụng với định lý Thư viện Nghệ thuật.
Ngoài ra, đề tài cũng sưu tầm một số bài toán trong các đề thi học sinh
giỏi quốc gia và quốc tế áp dụng định lý Helly để giải.


49

Tài liệu tham khảo
Tiếng Việt
[1] Vũ Hữu Bình (2002), Các bài toán hình học tổ hợp, NXB Giáo dục.
[2] Vũ Đình Hòa (2001), Một số kiến thức cơ sở về hình học tổ hợp, NXB
Giáo dục.
[3] Vũ Đình Hòa (2003), Định lý và vấn đề về đồ thị hữu hạn, NXB Giáo
dục.
[4] Nguyễn Hữu Điển (2005), Một số chuyên đề hình học tổ hợp, NXB
Giáo dục.
Tiếng Anh
[5] J. H. van Lint, R. M. Wilson (2001), A course in Combinatorics, Cambridge.
[6] I. E. Leonard, J. E. Lewis (2016), Geometry of Convex sets, Wiley.
[7] J. Pach, P. K. Agarwal (1995), Combinatorial Geometry, Wiley.