file word Đề và đáp án thi thử vào lớp 10 Chuyên Toán năm 20182019

Goctoanhoc.net
Đề thi thử số 2
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN
NĂM HỌC 2018 – 2019
Môn thi: Toán
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1. (7,0 điểm)
�3x 2 y  2y 2  1  0
a) Giải hệ phương trình � 2 2
.
2
�x y  2y  3x  0
b) Giải phương trình 7 3x  4  (4x  3) 6  x  32.
Câu 2. (2,0 điểm)
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, số A  19.8n  17 là hợp số.
Câu 3. (2,0 điểm)
Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện 0 �a �1; 0 �b �1; 0 �c �1 .
�a 2
b2
c2 �
2


Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P   a  b  c   24 �
.
�
�a  1 b  1 c  1 �
Câu 4. (7,0 điểm)
Cho đường tròn (O) đường kính AB và điểm C thuộc đường tròn (C không
trùng với A, B và điểm chính giữa của cung AB). Gọi H là hình chiếu vuông góc của
C trên AB. Đường tròn (O1) đường kính AH cắt CA tại E (E khác A), Đường tròn

(O2) đường kính BH cắt CB tại F (F khác B).
a) Gọi O3 là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF, D là điểm đối xứng của C qua
O. Chứng minh rằng ba điểm H, O3, D thẳng hàng.
b) Gọi S là giao điểm của hai đường thẳng EF và AB, K là giao điểm của SC với
đường tròn (O) (K khác C). Chứng minh rằng KE  KF .
Câu 5. (2,0 điểm)
Trên bảng ghi 2016 dấu cộng và 2017 dấu trừ. Mỗi lần thực hiện ta xóa đi hai
dấu và thay bởi dấu cộng nếu hai dấu bị xóa cùng loại và thay bởi dấu trừ nếu hai dấu
bị xóa khác loại. Hỏi sau 4032 lần thực hiện như vậy trên bảng còn dấu gì?
--- Hết! --1


Câu

Nội dung

Điểm

�3x 2 y  2y 2  1  0 (1)
a) � 2 2
2
�x y  2y  3x  0 (2)
Từ (1) và (2) suy ra y > 0 và x > 0.

0,5

Cộng theo vế (1) và (2), ta được
 xy  1  3x  xy  1  0 � xy  1  0

1,5

(Vì y > 0 và x > 0 nên 3x + xy + 1 > 0)
1
Với xy = 1 � y = thay vào (1), ta được
x
2
3x - 2 - 1 = 0 � 3x3 - x2 - 2 = 0 � x = 1.
x

1,0

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y)=(1;1)

0,5

Câu 1
(7,0 b) 7 3x  4  (4x  3) 6  x  32 (1)
điểm)
4
Điều kiện: �x �6 (*)
3

0,5

(1) � �
3x  4  3  6  x  �
3  3x  4   6  x �
�
� 3x  4  �
�

� 6  x  64
Đặt a  3x  4, b  6  x , phương trình trở thành

a

2

 3b 2  a   3a 2  b 2  b  64 �  a  b   64 � a  b  4

Hay

3

3x  4  6  x  4 � 3x  4  6  x  2 3x  4 6  x  16

� 3x  4 6  x  7  x �  3x  4   6  x    7  x 
� 4x 2  36x  73  0 � x 

2

9 �2 2
(Thỏa mãn (*))
2

9 �2 2
Vậy phương trình có hai nghiệm x 
.
2

0,5

1,0

1,0

0,5

+) Nếu n 2k , k  N .
Câu 2 Ta có: A 19.82k 17 18.82k  82k 17.
(2,0
k
2k
điểm) Hay 18.8  1  63  18  1 0mod 3.

0,5

2


+) Nếu n 4k 1, k  N .
Ta có: A 19.84k 1 17 13.84k 1  6.8.84k 17.

0,5

Hay 13.84k 1  39.642k  91  65 2k  13  4 0 mod13.
+) Nếu n 4k  3, k  N .
Ta có A 19.84k  3 17 15.84k  3  4.83.84k 17
Hay A 15.82k  4.510.64 2k  4.2.1  65 2k   25  8 0mod 5

1,0

Vậy n N thì A là hợp số.
a ��
1  a�a
Ta có 0  �

2

a a

2

2a

2

a2
a 1

a
(1)
2

b2
b c2
c
� ;
� (2)
Tương tự
b 1 2 c 1 2
Từ (1) và (2) suy ra

Câu 3
(2,0
điểm)

a2
b2
c2
a bc


�
a 1 b 1 c 1
2
P � a  b  c   12  a  b  c 
2

  a  b  c  3  6  a  b  c   9 �27
2

(Vì  a  b  c  3 �0, a  b  c �3 )
2

Nếu a = b = c = 1 thì P = -27.
Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất là -27.

Câu 4
(7
điểm)

0,5

3


a) Ta chứng minh được tứ giác AEFH nội tiếp, do đó O3 là tâm
đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEFH.
Từ giả thiết suy ra O1O3  AC, O2O3  BC.

2,0

Mặt khác, do CD là đường kính đường tròn (O) nên
AD  AC , BD  BC  O1O3 // AD, O2 O3 // BD.

Gọi M là trung điểm của HD suy ra O1 M // AD, O2 M // BD.

1,5

Do đó M O3 . Vậy H, O3 , D thẳng hàng

^

^

^
b) Do các tứ giác AEFB, AKCB nội tiếp nên SEA
 ABC SKA

1,5

^

^
 Tứ giác SAKE nội tiếp, dẫn đến ^
SKE CAB CFE .
^
^
Vậy tứ giác EKCF nội tiếp, do đó EKF
ECF 900.

1,5

Nhận thấy sau mỗi lần thực hiện yêu cầu của bài toán thì số, dấu
trên bảng giảm đi 1 và số dấu trừ hoặc giữ nguyên hoặc giảm đi 2.
Câu 5 Hơn nữa, do ban đầu trên bảng có 2017 dấu trừ nên số dấu trừ trên
(2,0 bảng luôn lẻ.
điểm) Mặt khác, trên bảng có 2016  2017 4033 nên sau 4032 lần thực
hiện như trên thì số dấu còn lại trên bảng là 1. Do đó dấu còn lại trên
bảng phải là dấu trừ.

1,0

1,0

4