tự động hóa chương 7

MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC

Chương

249

7

MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG
ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC
7.1 HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC
7.1.1 Khái niệm
Chương này đề cập đến một loại hệ thống điều
khiển có hồi tiếp, trong đó tín hiệu tại một hay nhiều
điểm là một chuỗi xung, không phải là hàm liên tục
theo thời gian. Tùy thuộc vào phương pháp lượng tử hóa
tín hiệu mà ta có các loại hệ thống xử lý tín hiệu
khác nhau. Phương pháp lượng tử hóa theo thời gian cho
tín hiệu có biên độ liên tục, thời gian rời rạc. Hệ
thống xử lý loại tín hiệu này được gọi là hệ thống rời
rạc. Nếu phép lượng tử hóa được tiến hành theo thời
gian và cả theo biên độ thì kết quả nhận được là tín
hiệu số. Hệ thống xử lý tín hiệu số gọi là hệ thống
số. Trong hệ thống rời rạc và hệ thống số, thông số
điều khiển - biên độ của tín hiệu chỉ xuất hiện tại
các thời điểm rời rạc cách đều nhau đúng bằng một
chu kỳ lấy mẫu tín hiệu. Vì có thời gian trễ tất yếu do
lấy mẫu, việc ổn đònh hệ thống trở nên phức tạp hơn
so với hệ liên tục, do đó đòi hỏi những kỹ thuật phân
tích và thiết kế đặc biệt.
Sự phát triển mạnh mẽ của kỹ thuật số, kỹ

thuật vi xử lý và kỹ thuật máy tính làm cho ngày
càng có nhiều hệ thống điều khiển số được sử dụng
để điều khiển các đối tượng. Hệ thống điều khiển số
có nhiều ưu điểm so với hệ thống điều khiển liên tục
như uyển chuyển, linh hoạt, dễ dàng đổi thuật toán
điều khiển, dễ dàng áp dụng các thuật toán điều
khiển phức tạp bằng cách lập trình. Máy tính số còn
có thể điều khiển nhiều đối tượng cùng một lúc.
Ngoài ra, giá máy tính ngày càng hạ trong khi đó tốc
độ xử lý, độ tin cậy ngày càng tăng lên cũng góp
phần làm cho việc sử dụng các hệ thống điều khiển
số trở nên phổ biến. Hiện nay các hệ thống điều


250

CHƯƠNG 7

khiển số được sử dụng rất rộng rãi, từ các bộ điều
khiển đơn giản như điều khiển nhiệt độ, điều khiển
động cơ DC, AC,... đến các hệ thống điều khiển phức
tạp như điều khiển robot, máy bay, tàu vũ trụ, các hệ
thống điều khiển quá trình công nghệ hóa học và các
hệ thống tự động cho những ứng dụng khác nhau.

Hình 7.1 Sơ đồ khối hệ thống điều khiển số
Hình 7.1 trình bày sơ đồ khối của hệ thống điều
khiển số thường gặp, trong hệ thống có hai loại tín
hiệu: tín hiệu liên tục c(t), uR(t) và tín hiệu số r(kT),
cht(kT), u(kT). Trung tâm của hệ thống là máy tính số,

máy tính có chức năng xử lý thông tin phản hồi từ
cảm biến và xuất ra tín hiệu điều khiển đối tượng. Vì
cảm biến và đối tượng là hệ thống liên tục nên cần
sử dụng bộ chuyển đổi A/D và D/A để giao tiếp với
máy tính. Do đó để phân tích và thiết kế hệ thống
điều khiển số trước tiên ta phải mô tả toán học được
quá trình chuyển đổi A/D và D/A. Tuy nhiên, hiện nay
không có phương pháp nào cho phép mô tả chính xác
quá trình chuyển đổi A/D và D/A do sai số lượng tử hóa
biên độ, vì vậy thay vì khảo sát hệ thống số ở hình 7.1
ta khảo sát hệ rời rạc ở hình 7.2.

Hình 7.2 Sơ đồ khối hệ thống điều khiển rời rạc
Trong quyển sách này, chúng ta phát triển các
phương pháp phân tích và thiết kế hệ thống điều
khiển liên tục cho hệ thống điều khiển rời rạc. Nếu
độ phân giải của phép lượng tử hóa biên độ đủ nhỏ


MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC

251

để có thể bỏ qua sai số thì ta có thể xem tín hiệu số
là tín hiệu rời rạc, điều đó có nghóa là lý thuyết điều
khiển rời rạc trình bày trong quyển này hoàn toàn có
thể áp dụng để phân tích và thiết kế các hệ thống
điều khiển số.
7.1.2 Đặc điểm lấy mẫu

Hình 7.3 Quá trình lấy mẫu dữ liệu
Lấy mẫu là biến đổi tín hiệu liên tục theo thời
gian thành tín hiệu rời rạc theo thời gian. Xét bộ lấy
mẫu có đầu vào là tín hiệu liên tục x(t) và đầu ra là
tín hiệu rời rạc x*(t) (H.7.3). Quá trình lấy mẫu có thể
mô tả bởi biểu thức toán học sau:
x*(t) = x(t).s(t)
(7.1)
trong đó s(t) là chuỗi xung dirac:
s(t) =

+∞

∑ δ ( t − kT )

k=−∞

(7.2)


CHƯƠNG 7

252

Thay (7.2) vào (7.1), đồng thời giả sử rằng x(t) = 0 khi t
< 0, ta được:
x * (t) =

+∞

∑ x( t) δ ( t − kT )

k=0

⇒

x * (t) =

+∞

∑ x( kT ) δ ( t − kT )

(7.3)

k=0

Biến đổi Laplace hai vế phương trình (7.3) ta được:
+∞

X * ( s) = ∑ x ( kT ) e− kT s

(7.4)

k= 0

Biểu thức (7.4) chính là biểu thức toán học mô tả
quá trình lấy mẫu.
Đònh lý Shanon: Để có thể phục hồi dữ liệu sau khi
lấy mẫu mà không bò méo dạng thì tần số lấy mẫu
phải thỏa mãn điều kiện:

f=

1
≥2
T

(7.5)

c

trong đó fc là tần số cắt của tín hiệu cần lấy mẫu.
Trong các hệ thống điều khiển thực tế, nếu có
thể bỏ qua được sai số lượng tử hóa thì các khâu
chuyển đổi A/D chính là các khâu lấy mẫu.
7.1.3 Khâu giữ dữ liệu
Khâu giữ dữ liệu là khâu chuyển tín hiệu rời rạc
theo thời gian thành tín hiệu liên tục theo thời gian.
Khâu giữ dữ liệu có nhiều dạng khác nhau, đơn
giản nhất và được sử dụng nhiều nhất trong các hệ
thống điều khiển rời rạc là khâu giữ bậc 0 (Zero-Order
Hold - ZOH) (H.7.4).
Ta tìm hàm truyền của khâu ZOH. Để ý rằng nếu
tín hiệu vào của khâu ZOH là xung dirac thì tín hiệu ra là
xung vuông có độ rộng bằng T (H.7.4b). Ta có:
R(s) = 1 (vì r(t) là hàm dirac)
C ( s) = L

−T s

{ c( t) } = L { u ( t) − u ( t − T ) } = 1 − 1 e− T s = 1 − e

s

s

s


MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC

C ( s)
GZOH ( s) =
R ( s)

Theo đònh nghóa:
−T s

1− e
GZOH ( s) =
s

Do đó:

253

=

1 − z−1
s

(7.6)

Biểu thức (7.6) chính là hàm truyền của khâu giữ
bậc 0. Trong các hệ thống điều khiển thực tế, nếu có
thể bỏ qua được sai số lượng tử hóa thì các khâu chuyển
đổi D/A chính là các khâu giữ bậc 0 (ZOH).

a)

b)

Hình 7.4 Khâu giữ bậc 0 (ZOH)
Nhận xét:
Bằng cách sử dụng phép biến đổi Laplace ta có
thể mô tả quá trình lấy mẫu và giữ dữ liệu bằng
các biểu thức toán học (7.4) và (7.6). Tuy nhiên các
biểu thức toán học này lại chứa hàm e x nên nếu ta sử
dụng để mô tả hệ rời rạc thì khi phân tích, thiết kế hệ
thống sẽ gặp nhiều khó khăn. Ta cần mô tả toán học
khác giúp khảo sát hệ thống rời rạc dễ dàng hơn,
nhờ phép biến đổi Z trình bày dưới đây chúng ta sẽ
thực hiện được điều này.


CHƯƠNG 7

254

7.2 PHÉP BIẾN ĐỔI Z
7.2.1 Đònh nghóa
Cho x(k) là chuỗi tín hiệu rời rạc. Biến đổi Z của

x(k) là:
X ( z) = Z{ x ( k) } =

+∞

∑

x ( k) z− k

(7.7)

k=−∞

trong đó: z = eTs (s là biến Laplace)

Z→ X ( z)
Ký hiệu: x ( k) ←
Nếu x(k) = 0, ∀k < 0 thì biểu thức đònh nghóa trở
thành:
X ( z) = Z{ x ( k) } =

+∞

∑ x( k) z− k

(7.8)

k=0

g Miền hội tụ (Region of Convergence - ROC)

ROC là tập hợp tất cả các giá trò z sao cho X(z)
hữu hạn.
g Ý nghóa của phép biến đổi Z

Giả sử x(t) là tín hiệu liên tục trong miền thời gian,
lấy mẫu x(t) với chu kỳ lấy mẫu T ta được chuỗi rời rạc
x(k) = x(kT).
Biểu thức lấy mẫu x(t):
X * ( s) =

+∞

∑ x( kT ) e− kT s

(7.9)

k=0

Biểu thức biến đổi Z:
X ( z) =

+∞

∑ x( k) z− k

(7.10)

k= 0

Vì z = eTs nên vế phải của hai biểu thức (7.9) và
(7.10) là như nhau, do đó bản chất của việc biến đổi Z
một tín hiệu chính là rời rạc hóa tín hiệu đó.
g Phép biến đổi Z ngược

Cho X(z) là hàm theo biến phức z. Biến đổi Z ngược
của X(z) là:


MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC

255

1
x ( k) =
X ( z) zk−1dz
2jπ

∫

C

với C là đường cong kín bất kỳ nằm trong miền hội tụ
ROC của X(z) và bao gốc tọa độ.
7.2.2 Tính chất của phép biến đổi Z
1- Tính tuyến tính
Nếu:

Z→ X ( z)
x1 ( k) ←

1
Z→ X ( z)
x2 ( k) ←
2
Z→ a X ( z) + a X ( z)
a1x1 ( k) + a2 x2 ( k) ←
1 1
2 2

Thì:

(7.11)

2- Dời trong miền thời gian

Hình 7.5 Làm trễ tín hiệu k o mẫu
Nếu:
thì:

Z→ X ( z)
x ( k) ←

Z→ z− ko X ( z)
x ( k − ko ) ←

(7.12)

Nhận xét:
Nếu trong miền Z ta nhân X(z) với z− k0 thì tương đương
với trong miền thời gian là trễ tín hiệu x(k) ko chu kỳ lấy

mẫu.
Vì

Z→ z−1 X ( z)
x ( k − 1) ←


CHƯƠNG 7

256

nên z
mẫu.

–1

được gọi là toán tử làm trễ một chu kỳ lấy

3- Tỉ lệ trong miền Z
Nếu:
thì:

Z→ X ( z)
x ( k) ←

Z→ X ( a−1z)
ak x ( k) ←

(7.13)

4- Đạo hàm trong miền Z
Nếu:
thì:

Z→ X ( z)
x ( k) ←

Z→ − z
kx ( k) ←

dX ( z)
dz

(7.14)

5- Đònh lý giá trò đầu
Nếu:
thì:

Z→ X ( z)
x ( k) ←

x ( 0) = lim X ( z)
z→∞

(7.15)

6- Đònh lý giá trò cuối

Z→ X ( z)

Nếu: x ( k) ←
thì:

x ( ∞ ) = lim( 1 − z−1 ) X ( z)
z→1

7.2.3 Biến đổi Z của các hàm cơ bản
1- Hàm dirac

u k =0
1 nế
δ(k) = 
uk ≠0
0 nế
Theo đònh nghóa:
Z{ δ ( k) } =

+∞

∑ δ ( k) z− k = δ ( 0) z−0 = 1

k=−∞

Z→1 (ROC: toàn bộ mặt phẳng Z)
Vậy: δ ( k) ←
2- Hàm nấc đơn vò
Hàm nấc đơn vò (liên tục
trong miền thời gian):
u t ≥0
1 nế

u(t) = 
u t <0
0 nế
Lấy mẫu u(t) với chu kỳ lấy

(7.16)


MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC

257

mẫu là T, ta được:
u k ≥0
1 nế
u(k) = 
u k <0
0 nế
Theo đònh nghóa:
+∞

∑

Z{ u ( k) } =

+∞

∑

u ( k) z− k u ( k) z− k = 1 + z− 1 = z− 2 + K + z− ∞

k= − ∞

k= 0

Z{ u ( k) } =

+∞

∑

+∞

∑

u ( k) z− k u ( k) z− k = 1 + z− 1 = z− 2 + K + z− ∞

k= − ∞

k= 0

Nếu z−1 < 1 thì biểu thức trên là tổng của cấp số
nhân lùi vô hạn. Áp dụng công thức tính tổng của
cấp số nhân lùi vô hạn, ta dễ dàng suy ra:
Z{ u ( k) } =

1
−1

1− z

Z→
u ( k) ←

Vậy:

=

z
z−1
1
−1

1− z

=

z
(ROC: |z| > 1)
z−1

3- Hàm dốc đơn vò
Hàm dốc đơn vò (liên tục
trong miền thời gian):
u t ≥0
 t nế
r(t) = 
u t <0
0 nế
Lấy mẫu r(t) với chu kỳ lấy

mẫu là T, ta được:
 kT
r(k) = 
0

nế
u k ≥0
nế
u k <0

⇒ r(k) = kTu(k)
Ta tìm biến đổi Z của r(k) bằng cách áp dụng tính
chất tỉ lệ trong miền Z:
Ta có:

Z→
u ( k) ←

1
1 − z−1


CHƯƠNG 7

258

Z→ − z
⇒ ku ( k) ←
Z→
kT u ( k) ←

⇒

d  1 
z−1
=


dz  1 − z−1  ( 1 − z−1 ) 2
T z−1

( 1 − z−1 )

Z→
Vậy: r ( k) = kT u ( k) ←

2

Tz

=

( z − 1) 2

T z−1

( 1 − z−1 )

2

=

Tz

(ROC: |z| > 1)

( z − 1) 2

4- Hàm mũ
Hàm mũ liên tục trong miền
thời gian:
e− at
x(t) = 
0

nế
u t ≥0
nế
u t <0

Lấy mẫu r(t) với chu kỳ lấy
mẫu là T, ta được:
e− kaT
x(k) = 
0

nế
u k ≥0
nế
u k <0

⇒ x(k) = e–kaTu(k)
Theo đònh nghóa:
Z{ x ( k) } =

+∞

∑

x ( k) z-k =

k=−∞

∑ x( k) z-k = 1 + e− aT z-2 + ...

k=0

= 1 + ( eaT z)
Nếu

+∞

−1

+ ( eaT z)

−2

+ ...

( eaT z) −1

< 1 thì biểu thức trên là tổng của cấp
số nhân lùi vô hạn. Áp dụng công thức tính tổng của
cấp số nhân lùi vô hạn, ta suy ra:
1
z
Z{ x ( k) } =
=
−1
z - e− aT
1 − ( eaT z)
Vậy:

Z→
( e− kaT ) u ( k) ←

( ROC : eaT z > 1 ⇔

1

1 − ( eaT z)

z > e− aT

)

Kết quả trên ta dễ dàng suy ra:
Z→ 1 = z
aku ( k) ←

1 − az−1 z − a

=

z
z − e− aT


MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC

259

7.2.4 Các phương pháp tìm biến đổi Z ngược
Cho hàm X ( z) , bài toán đặt ra là tìm x ( k) . Theo
công thức biến đổi Z ngược, ta có:
x ( k) =

1
X ( z) zk−1dz
2jπ

∫

C

với C là đường cong kín bất kỳ nằm trong ROC của X ( Z)
và bao gốc tọa độ.
Tìm x(k) bằng công thức trên rất phức tạp, thực tế
ta thường áp dụng các cách sau:
Cách 1: Phân tích X ( z) thành tổng các hàm cơ bản,

sau đó tra bảng biến đổi Z
z
Ví dụ 7.1 Cho X ( z) =
. Tìm x(k).
( z − 2) ( z − 3)

Giải: Phân tích X ( Z) , ta được:
X ( z) =

−z

( z − 2)

+

z
z− 3

Tra bảng biến đổi Z:

Z→
aku ( k) ←

z
z− a

x(k) = (–2k + 3k)u(k)

Suy ra:



Cách 2: Phân tích X ( z) thành chuỗi lũy thừa

Theo đònh nghóa biến đổi z:
X ( z) ==

+∞

∑ x( k) z− k = x(0)z0 + x( 1) z−1 + x( 2) z−2 + x( 3) z−3 + K

k= 0

Do đó nếu phân tích X ( z) thành tổng của chuỗi
lũy thừa ta sẽ được giá trò x(k) chính là hệ số của
thành phần z–k.
Ví dụ 7.2 Cho X ( z) =
Giải:

X ( z) =

z

( z − 2) ( z − 3)

z

( z − 2) ( z − 3)

Chia đa thức, ta được:

=

. Tìm x(k).
z

2

z − 5z + 6


CHƯƠNG 7

260

X ( z) = z−1 + 5z−2 + 19z−3 + 65z−3 + K
Suy ra: x(0) = 0; x(1) = 1; x(2) = 5; x(3) = 19; x(4) = 65,... 
Cách 3: Tính x(k) bằng công thức đệ qui

Ví dụ 7.3 Cho X ( z) =
Giải: Ta có: X ( z) =
⇒

z

( z − 2) ( z − 3)
z

( z − 2) ( z − 3)

=

. Tìm x(k).
z
z2 − 5z + 6

=

z−1
1 − 5z−1 + 6z−2

( 1 − 5z−1 + 6z−2 ) X ( z) = z−1

⇒ X ( z) − 5z−2 X ( z) + 6z−2 X ( z) = z−1
Biến đổi Z ngược hai vế phương trình trên (để ý tính
chất dời trong miền thời gian), ta được:
x(k) – 5x(k – 1) + 6x(k – 2) = δ(k – 1)
⇒ x(k) = 5x(k – 1) – 6x(k – 2) + δ(k – 1)
Với điều kiện đầu: x( k – 1) = 0; x(k – 2) = 0
Thay vào công thức trên ta tìm được:
x(0) = 0; x(1) = 1; x(2) = 5; x(3) = 19; x(4) = 65,...
Cách 4: Áp dụng công thức thặng dư
x ( k) =

∑ Res  zk−1 X ( z)  tại các cực của z

k–1X ( z)

Nếu Zo là cực bậc một thì:
Re s  zk−1 X ( z)  z= zo = ( z − zo ) zk−1 X ( z)

z= zo

Nếu Zo là cực bậc p thì:
Re s  zk−1 X ( z)  z= z0 =
Ví dụ 7.4 Cho X ( z) =

(

z

1
d p−1 
( z − zo ) p zk−1 X ( z)  z= zo

p
−
1
p − 1) ! dz

( z − 2) ( z − 3)

. Tìm x(k).

Giải: Áp dụng công thức thặng dư, ta được:
x ( k) = Re s  zk−1 X ( z)  z=2 + Re s  zk−1 X ( z)  z=3
Mà:
g Re s  zk−1 X ( z) 

z= 2

= ( z − 2) zk−1 X ( z)

z=2




MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC
k−1
= ( z − 2) z

z

( z − 2) ( z − 3)

g Re s  zk−1 X ( z) 
k−1
= ( z − 3) z

z= 3

z= 2

=

k

z
( z − 3)

= ( z − 3) zk−1 X ( z)
z

( z − 2) ( z − 3)

z= 3

=

z=2

= −2k

z=3

= 3k

261

z=3

zk
( z − 2)

Do đó: x(k) = –2k + 3k


7.3 MÔ TẢ HỆ THỐNG RỜI RẠC BẰNG HÀM
TRUYỀN

7.3.1 Hàm truyền của hệ rời rạc

Quan hệ giữa tín hiệu vào và tín hiệu ra của hệ
thống rời rạc được mô tả bằng phương trình sai phân:
aoc( k + n ) + a1c( k + n − 1) + K + an−1c( k + 1) + anc( k ) =

= bor ( k + m) + b1r ( k + m − 1) + K + bm−1r ( k + 1) + bmr ( k )

(7.17)

trong đó n ≥ m, n gọi là bậc của hệ thống rời rạc
Biến đổi z hai vế phương trình (7.17) ta được:
aoznC ( z) + a1zn−1C ( z) + K + an−1zC ( z) + anC ( z) =

= bozm R ( z) + b1zm−1R ( z) + K + bm−1zR ( z) + R ( z)
⇔  aozn + a1zn−1 + K + an−1z + an  C ( z)
= bozm + b1zm−1 + K + bm−1z + K + bm  R ( z)
⇔

C ( z) bozm + b1zm−1 + K + bm−1z + bm
=
R ( z)
aozn + a1zn−1 + K + an−1z + an

Đặt: G ( z) =

C ( z) bozm + b1zm−1 + K + bm−1z + bm
=
R ( z)
aozn + a1zn−1 + K + an−1z + an

(7.18)

G ( z) được gọi là hàm truyền của hệ thống rời rạc.
Hàm truyền (7.18) có thể biến đổi tương đương về
dạng:


CHƯƠNG 7

262

G ( z) =

−(n−m) 
−1
− m+1
+ bmz− m 
C ( z) z
 bo + b1z + K + bm−1z
=
R ( z)
ao + a1z−1 + K + an−1z− n+1 + an z− n

(7.19)

Hai cách biểu diễn trên hoàn toàn tương đương
nhau, trong thực tế hàm truyền dạng thứ hai được sử
dụng nhiều hơn.
Ví dụ 7.5 Cho hệ thống rời rạc mô tả bởi phương trình

sai phân:
c( k + 3) + 2c( k + 2) − 5c( k + 1) + 3c( k) = 2r ( k + 2) + r ( k )
Tìm hàm truyền của hệ thống.
Giải: Biến đổi Z hai vế phương trình sai phân mô tả hệ
thống, ta được:
z3C ( z) + 2z2C ( z) − 5zC ( z) + 3C ( z) = 2z2R ( z) + R ( z)
⇒

G ( z) =

⇔ G ( z) =

C ( z)
2z2 + 1
= 3
R ( z) z + 2z2 − 5z + 3
C ( z)
z−1 ( 2 + z−2 )
=
R ( z) 1 + 2z−1 − 5z−2 + 3z−3

7.3.2 Tính hàm truyền hệ rời rạc từ sơ đồ khối
Khi thêm vào hệ thống liên tục các khâu lấy
mẫu, khâu giữ dữ liệu (và bộ điều khiển số) ta được
hệ thống điều khiển rời rạc. Bài toán đặt ra là tìm
hàm truyền hệ rời rạc theo biến z từ sơ đồ khối có
các khâu lấy mẫu. Xét một số sơ đồ thường gặp sau
đây:
1- Hai khâu nối tiếp cách nhau bởi khâu lấy mẫu

Hình 7.6 Hai khâu nối tiếp cách nhau bởi khâu lấy
mẫu
G ( z) =

C ( z)
= G1 ( z) G2 ( z)
R ( z)

(7.20)


MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC

G1 ( z) = Z{ G1 ( s) } ; G2 ( z) = Z{ G2 ( s) }

trong đó:

263

1
1
vàG2 ( s) =
. Tìm hàm truyền
s+ a
s+ b
tương đương của hai hệ thống có sơ đồ khối ở hình 7.6.
Ví dụ 7.6

Cho G1 ( s) =

Giải: Tra bảng biến đổi Z, ta có:

{ }
{ }

G1 ( z) = Z{ G1 ( s) } = Z

1
z
=
s+ a
z − e− aT

1
z
=
s+ b
z − e−bT
Do đó dễ dàng suy ra:
G2 ( z) = Z{ G2 ( s) } = Z

G1 ( z) G2 ( z) =

z2



( z − e− aT ) ( z − e−bT )

2- Hai khâu nối tiếp không cách nhau bởi khâu

lấy mẫu

Hình 7.7 Hai khâu nối tiếp không cách nhau bởi khâu
lấy mẫu
G ( z) =

C ( z)
= G1G2 ( z)
R ( z)

(7.21)

G1G2 = Z{ G1 ( s) G2 ( s) }

trong đó:

Cần chú ý là:
G1 ( z) G2 ( z) = Z{ G1 ( s) } Z{ G1 ( s) } ≠ Z{ G1 ( s) G2 ( s) } = G1G2 ( z)
Ví dụ 7.7 sẽ minh họa điều này.
1
1
vàG2 ( s) =
. Tìm hàm truyền
s+ a
s+ b
tương đương của hai hệ thống có sơ đồ khối ở hình 7.7.
Giải: Tra bảng biến đổi z, ta có:
Ví dụ 7.7

Cho G1 ( s) =

1


G1G2 ( z) = Z{ G1 ( s) G1 ( s) } = Z

(
)
(
)
s
+
a
s
+
b




CHƯƠNG 7

264

1
1
1 
 1
= Z
+


(
)
(
)
(
)
(
a − b s + b) 
 b− a s + a
1 
1 
 1
 1
= Z
+ Z


 ( b − a) ( s + a ) 
 ( a − b) ( s + b) 
=
⇒

1
z
1
z
+
( b − a) ( z − e− aT ) ( a − b) ( z − e−bT )

G1G2 ( z) =

z ( e− bT − e− aT )

( b − a) ( z − e− aT ) ( z − e− bT )

Rõ ràng kết quả tính hàm truyền tương đương của
hai hệ thống ở ví dụ 7.6 và 7.7 hoàn toàn khác nhau.

3- Hệ thống hồi tiếp có khâu lấy mẫu trong
kênh sai số

Hình 7.8 Hệ thống hồi tiếp có khâu lấy mẫu trong
kênh sai số
Gk ( z) =

C ( z)
G ( z)
=
R ( z) 1 + GH ( z)

(7.22)

G ( z) = Z{ G ( s) } ; GH ( z) = Z{ G ( s) .H ( s) }

trong đó:

Trường hợp H(s) = 1 (hệ thống hồi tiếp âm đơn vò)
ta có:
Gk ( z) =

C ( z)
G ( z)
=
R ( z) 1 + G ( z)

(7.23)

1
1
vàH ( s) =
. Tìm hàm truyền
s+ a
s+ b
tương đương của hai hệ thống có sơ đồ khối ở hình 7.7.
Ví dụ 7.8

Cho G ( s) =

Giải: Thực hiện phép biến đổi Z tương tự như đã làm
ở ví dụ 7.6 và 7.7, ta dễ dàng tính được:

{ }

G ( z) = Z{ G ( s) } = Z

1
z
=
s+ a

z − e− aT


MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC

{

GH ( z) = Z{ G ( s) H ( s) } = Z

}

265

1
1
z( e
−e )
=
s + a s + b ( b − a) ( z − e− aT ) ( z − e−bT )
− bT

− aT

Thay vào công thức (7.22) ta được:
z

Gk ( z) =

⇒ Gk ( z) =

C ( z)
G ( z)
=
=
R ( z) 1 + GH ( z)

( z − e− aT )
z ( e− bT − e− aT )
1+
( b − a) ( z − e− aT ) ( z − e−bT )

( b − a) ( z − e−bT ) z



( b − a) ( z − e− aT ) ( z − e− bT ) + z ( e−bT − e− aT )

4- Hệ thống hồi tiếp có khâu lấy mẫu trong
vòng hồi tiếp

Hình 7.9 Hệ thống hồi tiếp có khâu lấy mẫu trong
vòng hồi tiếp
Trường hợp này không tìm được biểu thức hàm
truyền, quan hệ giữa tín hiệu vào và tín hiệu ra như sau:
C ( z) =

RG ( z)
1 + GH ( z)

(7.24)

trong đó: RG ( z) = Z{ R ( s) G ( s) } ; GH ( z) = Z{G ( s) H ( s) }
5- Hệ thống hồi tiếp có các khâu lấy mẫu
đồng bộ trong nhánh thuận

Hình 7.10 Hệ thống hồi tiếp có các khâu lấy mẫu
đồng bộ
trong nhánh thuận
Gk ( z) =

C ( z)
G ( z)
=
R ( z) 1 + G ( z) H ( z)

(7.25)


266

trong đó:

CHƯƠNG 7

G ( z) = Z{ G ( s) } ; H ( z) = Z{ H ( s) }

6- Hệ thống hồi tiếp có các khâu lấy mẫu
đồng bộ và các khâu nối tiếp ở nhánh
thuận

Hình 7.11 Hệ thống hồi tiếp có các khâu lấy mẫu
đồng bộ và các khâu nối tiếp ở nhánh thuận
Gk ( z) =
trong đó:

C ( z)
G1 ( z) G2 ( z)
=
R ( z) 1 + G1 ( z) G2 H ( z)

G1 ( z) = Z{ G1 ( s) } ; G2 ( z) = Z{ G2 ( s) }
G2H ( z) = Z{ G2 ( s) H ( s) }

7- Sơ đồ dòng tín hiệu - Công thức Mason cho hệ
rời rạc
Có thể mở rộng khái niệm sơ đồ dòng tín hiệu
đã trình bày trong chương 2 cho hệ liên tục để áp dụng
vào hệ rời rạc với một vài thay đổi nhỏ. Để sử dụng
công thức Mason cho hệ rời rạc cần để ý các nguyên
tắc sau đây:
g Nếu không có bộ lấy mẫu giữa đầu vào R(s)
và khâu đầu tiên trong vòng thuận (ví dụ G(s)) thì
không thể tách biệt biến đổi Z của đầu vào và khâu
đầu tiên và ta luôn có số hạng RG ( Z) . Do đó trong
trường hợp này không thể tính được hàm truyền bằng
tỉ lệ giữa biến đổi Z tín hiệu ra và tín hiệu vào của
hệ thống.
g Nếu một khâu trong vòng thuận hay trong vòng hồi
tiếp phân biệt với đầu vào, đầu ra của hệ thống và
với các khâu khác bởi các bộ lấy mẫu ở đầu vào và

đầu ra của nó hoàn toàn độc lập về biến đổi Z.
g Nếu một khâu trong vòng thuận hay vòng hồi
tiếp không phân biệt với các khâu kế cận hay với
đầu vào của hệ thống bởi bộ lấy mẫu thì phải thực


MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC

267

hiện phép biến đổi Z của hàm truyền kết hợp của hai
khâu hay giữa khâu đó với đầu vào.
Dùng lý thuyết Mason và ba nguyên tắc trên cho
hệ rời rạc, độc giả có thể kiểm chứng được các công
thức tính hàm truyền đã dẫn ra trong mục 7.3.2 này.

7.4
MÔ TẢ HỆ THỐNG RỜI RẠC BẰNG
PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI
7.4.1 Thành lập phương trình trạng thái từ phương trình
sai phân
1- Vế phải của phương trình sai phân không chứa
sai phân của tín hiệu vào
Xét hệ thống rời rạc có quan hệ giữa tín hiệu vào
và tín hiệu ra mô tả bởi phương trình sai phân:
c( k + n ) + a1c( k + n − 1) + K + an−1c( k + 1) + an c( k ) = bor ( k )

(7.26)

Chú ý: Ở phương trình trên hệ số ao = 1. Nếu ao ≠ 1

ta chia hai vế cho ao để được phương trình sai phân có
dạng (7.26).
Tương tự như đã làm đối với hệ liên tục, ta đặt
các biến trạng thái để biến đổi tương đương phương trình
sai phân bậc n ở trên thành hệ n phương trình sai phân
bậc một.
Đặt các biến trạng thái như sau:
x1 ( k) = c( k)
x2 ( k) = x1 ( k + 1) ⇒ x2 ( k) = c( k + 1)
x3 ( k) = x2 ( k + 1) ⇒ x3 ( k) = c( k + 2)
...
xn ( k) = xn−1 ( k + 1) ⇒ xn ( k) = c( k + n − 1) ⇒ xn ( k + 1) = c( k + n )
Thay vào phương trình (7.26) ta được:
xn ( k + 1) + a1xn ( k) + K + an−1x2 ( k) + an x1 ( k ) = bor ( k )
⇒ xn ( k + 1) = − a1xn ( k) − K − an−1x2 ( k) − an x1 ( k) + bor ( k )
Kết hợp phương trình trên với các biểu thức đặt
biến trạng thái ta được hệ phương trình sau:


268

CHÖÔNG 7

 x1 ( k + 1) = x2 ( k)
 (
)
( )
 x2 k + 1 = x3 k
M
 x ( k + 1) = x ( k)

n
 n−1
 xn ( k + 1) = − a1xn ( k) − K − an−1x2 ( k) − an x1 ( k) + bor ( k )


MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC

Viết lại dưới dạng ma trận:
 x1 ( k + 1) 
1
0
K
0
0 
 0



(
)
0
1
K
0
0 
 x2 k + 1 
 0

 =  M
M

M
M
M
M




0
0
K
0
1 
 xn−1 ( k + 1) 
 0
 x ( k + 1) 
 − an − an−1 − an−2 K − a2 − a1 
 n


 x1 ( k) 

( ) 
 x2 k 

M 


 xn−1 ( k ) 
 x ( k) 

 n


269

 0
 0
 
+  M
 
 0
bo 

r(k)
Đáp ứng của hệ thống:

c( k) = x1 ( k) = [ 1 0 K

 x1 ( k) 

( ) 
 x2 k 
0 0] 
M 


 xn−1 ( k) 
 x ( k) 
 n


Đặt:
 x1 ( k) 
 0


 0
( )
 x2 k 

M  Ad =  M
x(k) = 



 xn−1 ( k) 
 0
 x ( k) 
 − an
 n


1
0
0
1
M
M
0
0

− an−1 − an−2

K
K
K
K

0
0 
0
0 
M
M

0
1 
− a2 − a1 

 0
 0
 
Bd =  M ; Cd = [ 1 0 K 0 0]
 
 0
b0 
Ta được hệ phương trình biến thái:
 x ( k + 1) = Ad x ( k) + Bd r ( k)
 ( )
 c k = C d x ( k)



Ví dụ 7.9 Cho hệ thống điều khiển rời rạc mô tả bởi
phương
trình
sai
phân:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2c k + 3 = c k + 2 + 5c k + 1 + 4c k = 3r k
Hãy viết hệ phương trình biến trạng thái mô tả hệ
thống.
Giải: Ta có: 2c( k + 3) = c( k + 2) + 5c( k + 1) + 4c( k) = 3r ( k)


CHƯƠNG 7

270

⇔

c( k + 3) + 0,5c( k + 2) + 2, 5c( k + 1) + 2c( k) = 1,5r ( k)

Đặt biến trạng thái như sau:
x1 ( k) = c( k)
x2 ( k) = x1 ( k + 1)
x3 ( k) = x2 ( k + 1)
Hệ phương trình biến trạng thái mô tả hệ thống
đã cho là:
 x ( k + 1) = Ad x ( k) + Bd r ( k)
 ( )
 c k = C d x ( k)
trong đó:
 x1 ( k) 
g x(k) =  x ( k) 
 2

 x3 ( k) 
 0

g Ad =  0


 − a3

1
0  0
1
0 


0

1 =0
0
1 
− a2 − a1   −2 −2,5 −0,5

 0  0 
g Bd =  0  =  0 
   
bo  1,5
g Cd = [ 1 0 0]

2- Vế phải của phương trình sai phân có chứa sai
phân của tín hiệu vào
Xét hệ thống rời rạc có quan hệ giữa tín hiệu vào
và tín hiệu ra mô tả bởi phương trình sai phân:
c( k + n) + a1c( k + n − 1) + K + an−1c( k + 1) + an c( k ) =
= bor ( k + n ) + b1r ( k + n − 1) + K + bn−1r ( k + 1) + bn r ( k )

(7.27)

Chú ý: Ở phương trình trên hệ số ao = 1. Nếu ao ≠
1 ta chia hai vế cho ao để được phương trình sai phân có
dạng (7.27)
Đặt các biến trạng thái như sau:
x1 ( k) = c( k) − β or ( k)


MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC

x2 ( k) = x1 ( k + 1) − β1r ( k)

271

x3 ( k) = x2 ( k + 1) − β2r ( k)
...
xn ( k) = xn−1 ( k + 1) − βn−1r ( k)
Từ cách đặt biến trạng thái trên ta rút ra phương
trình sau:
⇒ xn ( k + 1) = − an x1 ( k) − an−1x2 ( k) − K − a1xn ( k ) + βn r ( k )
β o = bo

trong đó:

β1 = b1 − a1βo
β2 = b2 − a1β1 − a2β0
β3 = b3 − a1β2 − a2β1 − a3β o
β4 = b4 − a1β3 − a2β2 − a3β1 − a4β o
...
βn = bn − a1βn−1 − a2βn−2 − a3βn−3 − a4βn−4 − K − an−1β1 − anβ o
Do đó hệ phương trình biến trạng thái mô tả hệ
thống có dạng:
 x ( k + 1) = Ad x ( k) + Bd r ( k)
 ( )
 c k = C d x ( k) + Dd r ( k)
trong đó:

x(k)

 0
 0


 M

 0
 − an

1
0
0
1
M
M
0
0
− an−1 − an−2

=

K
K
K
K

 x1 ( k) 

( ) 
 x2 k 

M ;



 xn−1 ( k) 
 x ( k) 
 n

0
0 
0
0 
M
M

0
1 
− a2 − a1 

Ad

=


CHƯƠNG 7

272

 β1 
 β 
 2 
Bd =  M  ; Cd = [ 1 0 K



βn−1 
 βn 

0 0] Dd = βo

Ví dụ 7.10 Cho hệ thống rời rạc mô tả bởi phương trình
sai phân:
2c( k + 3) + c( k + 2) + 5c( k + 1) + 4c( k) = r ( k + 2) + 3r ( k )
Hãy viết hệ phương trình trạng thái mô tả hệ
thống trên.
Giải: Ta có:
2c( k + 3) + c( k + 2) + 5c( k + 1) + 4c( k) = r ( k + 2) + 3r ( k )
⇔ c( k + 3) + 0,5c( k + 2) + 2, 5c( k + 1) + 2c( k) = 0,5r ( k + 2) + 1,5r ( k )
Đặt các biến trạng thái:
x1 ( k) = c( k) − β or ( k)
x2 ( k) = x1 ( k + 1) − β1r ( k)
x3 ( k) = x2 ( k + 1) − β2r ( k)
⇒ x3 ( k + 1) = − a3x1 ( k) − a2 x2 ( k) − a1x3 ( k ) + β3r ( k )
trong đó:
β o = bo = 0
β1 = b1 − a1βo = 0, 5 × 0 = 0, 5
β2 = b2 − a1β1 − a2β o = 0 − 0,5 × 0,5 − 2,5 × 0 = −0, 25
β3 = b3 − a1β2 − a2β1 − a3β o = 1,5 = 0,5 × ( −0, 25) − 2,5 × 0,5 = 0, 375
Hệ phương trình biến trạng thái có dạng:
 x ( k + 1) = Ad x ( k) + Bd r ( k)
 ( )
 c k = C d x ( k) + Dd r ( k)
trong đó:
 x1 ( k) 



x(k) =  x2 ( k)  ;
 x3 ( k) 

1
0 
0
0
0
1 
Ad = 
 −2 −2, 5 −0,5


MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC

273

 0,5 


Bd =  −0, 25 ; Cd = [ 1 0 0]
0, 375
Dd = 0



7.4.2
Thành lập phương trình trạng thái từ hàm

truyền hệ rời rạc
Cho hệ thống mô tả bởi hàm truyền:
G ( z) =

C ( z) bozm + b1zm−1 + K + bm−1z + bm
=
R ( z)
zn + a1zn−1 + K + an−1z + an

(7.28)

Chú ý: Ở hàm truyền trên hệ số ao = 1. Nếu ao ≠
1 ta chia tử số và mẫu số cho ao để được hàm truyền
có dạng (7.28).
Cách 1: Biến đổi tương đương hàm truyền về dạng
phương trình sai phân:
(7.28)

⇔ ( zn + a1zn−1 + K + an−1z + an ) C ( z)
= ( bozm + b1zm−1 + K + bm−1z + bm ) R ( z)
⇔ c( k + n ) + a1c( k + n − 1) + K + an−1c( k + 1) + an c( k ) =
= bor ( k + m) + b1r ( k + m − 1) + K + bm−1r ( k + 1) + bmr ( k )

Áp dụng phương pháp đã trình bày ở mục 7.4.1.2 ta
rút ra được hệ phương trình biến trạng thái.
Ví dụ 7.11 Hãy thành lập hệ phương trình trạng thái
mô tả hệ thống có hàm truyền là:
G ( z) =

C ( z)

z2 + 3
= 3
R ( z) 2z + z2 + 5z + 4

Giải: Cách 1: Hàm truyền đã cho tương đương với:
G ( z) =

C ( z)
0,5z2 + 1,5
= 3
R ( z) z + 0,5z2 + 2,5z + 2

⇔ ( z3 + 0,5c2 + 2,5c + 2) C ( z) = ( 0,5z2 + 1,5) R ( z)
⇔ c( k + 3) + 0,5c( k + 2) + 2, 5c( k + 1) + 2c( k) = 0,5r ( k + 2) + 1,5r ( k )
xem tiếp lời giải đã trình bày ở ví dụ 7.10.