SKKN Giải một số bài toán Đại số trong chương trình Toán phổ thông bằng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

r
k

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI
Đơn vị: Trường PTDTNT – THCS – THPT Điểu Xiểng
Mã số: ……………………

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẠI SỐ TRONG CHƯƠNG
TRÌNH TOÁN PHỔ THÔNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP
TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG

Người thực hiện: LÊ THỊ NGUYỆN
Lĩnh vực nghiên cứu:
- Quản lý giáo dục



- Phương pháp dạy học bộ môn: Toán 
- Lĩnh vực khác: ....................................................... 

Năm học: 2016 – 2017


Tên SKKN: GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẠI SỐ TRONG CHƯƠNG
TRÌNH TOÁN PHỔ THÔNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ
TRONG MẶT PHẲNG.
SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC
I.

THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN

1.

Họ và tên: LÊ THỊ NGUYỆN

2.

Ngày tháng năm sinh: 18 – 10 – 1990

3.

Nam, nữ: Nữ

4.

Địa chỉ: Trường PTDTNT – THCS – THPT Điểu Xiểng

5.

Điện thoại:

6.

Fax:

7.

Chức vụ: Giáo viên

8.

Nhiệm vụ được giao: Giảng dạy môn Toán khối 10, chủ nhiệm 10A2

9.

Đơn vị công tác: Trường PTDTNT – THCS – THPT Điểu Xiểng

II.

0979089521
E-mail:

TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO
-

Học vị (hoặc trình độ chuyên môn, nghiệp vụ) cao nhất: Cử nhân

-

Năm nhận bằng: 2012

-

Chuyên ngành đào tạo: Sư phạm Toán học

III.

KINH NGHIỆM KHOA HỌC
-

Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm:

Số năm có kinh nghiệm:

-

Các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 5 năm gần đây:



I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Phương pháp tọa độ là một trong những nội dung của chương trình hình học
lớp 10 và lớp 12 của bậc trung học phổ thông. Năm nay tôi được nhà trường phân
công dạy toán lớp 10, bồi dưỡng học sinh giỏi toán 10. Học sinh bắt đầu tiếp xúc
với phương pháp tọa độ trong mặt phẳng, đây là một nội dung trong nhiều đề thi
học sinh giỏi và thuộc chuẩn kiến thức của kì thi trung học phổ trông quốc gia, nên
việc hướng dẫn học sinh giải các bài toán bằng phương pháp này là rất cần thiết.
Cùng với nhiều phương pháp khác, phương pháp tọa độ là một trong những
phương pháp hữu hiệu để giải nhiều bài toán trong chương trình THPT. Trong khi
đó, học sinh thường chỉ sử dụng phương pháp tọa độ để giải các bài toán về hình
học mà chưa biết nhiều về việc sử dụng nó để giải các bài toán đại số. Do vậy, việc
khai thác các cách sử dụng phương pháp tọa độ trong giải toán đại số là việc làm
cần thiết giúp các em có thêm tài liệu tham khảo phục vụ cho quá trình học tập
môn toán.
Vì những lý do nêu trên, với mong muốn giúp các em học sinh học tập môn
toán tốt hơn, góp phần nâng cao chất lượng dạy và học môn toán, tôi chọn đề tài:
“Giải một số bài toán Đại số trong chương trình Toán phổ thông bằng phương
pháp tọa độ trong mặt phẳng” làm sáng kiến kinh nghiệm của mình trong năm học
2016 - 2017.
II. CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
Từ thời cổ đại, khái niệm tọa độ đã được hình thành và được các nhà toán học
Ai Cập ứng dụng vào việc xây dựng các công trình bằng các tọa độ song song (các

đoạn thẳng), các nhà Thiên văn Hy Lạp đã dùng tọa độ cầu (vĩ độ và kinh độ) để
xác định vị trí của các điểm khác nhau trên mặt đất. Tuy nhiên đến thế kỉ XVII,
phương pháp tọa độ mới thực sự ra đời và phát triển cho đến ngày nay.
Phương pháp tọa độ không chỉ được ứng dụng trong các bài toán hình học mà
còn được khai thác trong các bài toán đại số. Trong những năm gần đây, các bài
toán dùng phương pháp tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình và bất
phương trình được sử dụng rộng rãi, đặc biệt là trong các kì thi đại học, kì thi học
sinh giỏi. Tuy trước đây đã có một số tài liệu tham khảo đề cập đến phương pháp
này nhưng chưa khai thác triệt để và chưa có hệ thống.
Trong đề tài này, ngoài việc giới thiệu các ứng dụng của phương pháp tọa độ
trong việc giải các bài toán đại số, tác giả còn phân tích và chỉ ra các dấu hiệu để
học sinh có thể dễ dàng hiểu và vận dụng làm bài tập.
Sau đây tác giả trình bày tóm tắt các kiến thức cơ bản trong mặt phẳng tọa độ
Oxy .
y
1. Hệ trục tọa độ trong mặt phẳng
a) Hệ trục tọa độ trong mặt phẳng
Kí hiệu: Oxy hoặc (O; , )

O

x


Trong đó , lần lượt là các vectơ đơn vị trên
các trục Ox, Oy.
Điểm O gọi là gốc tọa độ; Ox gọi là trục hoành; Oy gọi là trục tung.
b) Tọa độ của một vectơ:

trong đó x gọi là hoành độ,

y gọi là tung độ của vectơ .
c) Tọa độ của một điểm:
i. Với hai điểm

M ( xM ; y M )

và

N ( xN ; y N )

thì

uuur
MN = ( xN − xM ; yN − yM )

.

x + xN
y + yN
xP = M
; yP = M
2
2
ii. Nếu P là trung điểm của đoạn thẳng MN thì
x +x +x
y + yB + yC
xG = A B C ; yG = A
3
3

iii. Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì

d) Biểu
thức tọa độ
của các phép toán vectơ
r
r
′ ′
Cho ar = (rx; y ) và b = ( x ; y r) . Khi
đó:
r
′
′
′
′
i. a +r b = ( x + x ; y + y ) ; a − b = ( x − x ; y − y ) ;

ii. k a = ( kx; ky ) với k ∈ R ;
r
r r
b
a
iii. Vectơ cùng phương với vectơ ≠ 0 khi và chỉ khi có số k sao cho

x′ = k x; y ′ = k y.

rr
a
iv. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng: .b = xx '+ yy ' .

v. Độ dài vectơ

được tính theo công thức

vi. Độ dài đoạn thẳng AB:

uuu
r
AB = AB =

( xB − x A )

.
2

+ ( yB − y A )

2

.

2. Phương trình đường thẳng
2
2
a) Phương trình tổng quát của đường thẳng: ax + by + c = 0, ( a + b ≠ 0 ).
b) Phương trình tham số của đường thẳng

Đường thẳng đi qua điểm M(x0 ; y0) và có VTCP

(a; b) có phương trình tham số

 x = x0 + at

2
2
là  y = y0 + bt ( a + b ≠ 0 ), với t là tham số.

c) Phương trình chính tắc của đường thẳng
Nếu a ≠ 0 và b ≠ 0 thì đường thẳng qua
x − x0 y − y0
=
b .
phương trình chính tắc là a

Nhận xét:

M ( x0 ; y0 )

có vectơ chỉ phương

r
u = ( a; b )

có


i. Đường thẳng đi qua điểm M(xM; yM) nhận
a( x – xM) + b(y – yM) = 0.

r

n = ( a; b )

làm VTPT có phương trình

ii. Đường thẳng đi qua hai điểm A(a; 0) và B(0; b),

có phương trình

.
iii. Đường thẳng đi qua điểm M(xM; yM) và có hệ số góc k có phương trình
.
d) Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
x ;y
Khoảng cách từ điểm M ( M M ) đến đường thẳng ∆ : ax + by + c = 0 được tính theo
công thức:

d ( M ; ∆) =

axM + byM + c
a2 + b2

.

3. Phương trình đường tròn
a) Đường tròn (C) tâm I(x0 ; y0), bán kính R có phương trình

( x − x0 ) + ( y − y0 )
2

2

= R2

2
2
2
2
b) Phương trình x + y + 2ax + 2by + c = 0 , với điều kiện a + b > c , là phương trình

) , bán kính R = a + b − c .
của đường tròn tâm I (
c) Đường thẳng ∆ tiếp xúc với đường tròn C(I; R) khi và chỉ khi d(I; ∆) = R.
Khi đó, ta còn nói ∆ là tiếp tuyến của đường tròn (C).
− a; −b

2

2

4. Các đường Conic
a) Đường Elip
i. Elip (E) với hai tiêu điểm F1(-c; 0), F2(c; 0) có phương trình chính tắc
, trong đó a2 – c2 = b2.
ii. Cho đường thẳng d có phương trình Ax + By + C = 0, (A2 + B2 0).
Điều kiện cần và đủ để đường thẳng d tiếp xúc với elip là A2a2 + B2b2 = C2.
b) Đường Hyperbol
Hyperbol (H) với hai tiêu điểm F1(-c; 0), F2(c; 0) có phương trình chính tắc
2
x
y2

−
= 1 ( a > 0; b > 0 )
a 2 b2
, trong đó c2 – a2 = b2.
c) Đường Parabol


Parabol (P) với tiêu điểm F
y 2 = 2 px ( p > 0 )
trình chính tắc
.
4. Một số kết quả hình học:

và đường chuẩn ∆: x +

= 0 có phương

4.1. Bất đẳng thức tam giác
a) Trong một tam giác:
i. Tổng độ dài của hai cạnh bất kì luôn lớn hơn cạnh còn lại.
ii. Hiệu độ dài của hai cạnh bất kì luôn nhỏ hơn cạnh còn lại.
b) Mở rộng
Với 3 điểm A, B, C bất kì ta có:
i. AB + BC

AC

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi B nằm trên đoạn AC.
ii.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi C nằm trên đoạn AB hoặc B nằm trên đoạn AC.

4.2. Bất đẳng thức vectơ

Cho hai vectơ

bất kỳ, ta có:

và

III. TỔ CHỨC THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP
Trong chương trình Toán phổ thông, phương pháp tọa độ giúp học sinh giải
quyết nhiều bài toán hình học một cách đơn giản và thuận lợi.
Trong chương này, tác giả tập trung khai thác các ứng dụng khác của phương
pháp tọa độ trong việc giải các bài toán đại số bao gồm: giải phương trình - bất
phương trình - hệ phương trình, chứng minh bất đẳng thức, các bài toán về cực trị và
số phức.
Có thể nói sự ra đời của phương pháp tọa độ đã đem đến một làn gió mới cho
việc giải quyết các bài toán đại số ngoài những phương pháp giải thông thường.


1. Chứng minh bất đẳng thức
Bất đẳng thức là một trong những nội dung quan trọng của chương trình toán ở
bậc phổ thông. Để chứng minh bất đẳng thức ta có thể sử dụng các phương pháp
như áp dụng tam thức bậc hai, lượng giác hóa, sử dụng các bất đẳng thức đã biết,
phương pháp hàm số…Trong khuôn khổ đề tài này, tôi xin giới thiệu thêm một
phương pháp đặc sắc để chứng minh bất đẳng thức đó là phương pháp tọa độ.
Ví dụ 1.1. Cho bốn số thực tùy ý

. Chứng minh:

Phân tích:

Biểu thức

gợi ta liên tưởng đến độ dài của vectơ

biểu thức

liên tưởng đến độ dài của vectơ

liên tưởng đến độ dài của vectơ
Từ đó ta có lời giải cho bài toán trên như sau:
Giải:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét các vectơ

Áp dụng bất đẳng thức:

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

,

.

ta có

cùng hướng

Ví dụ 1.2. Cho số thực a bất kì, chứng minh rằng
Phân tích: Quan sát hai biểu thức dưới dấu căn ta thấy

+

và
Từ đó tìm được hướng giải cho bài toán này như sau:
Giải:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, với mọi số thực a, xét hai vectơ

và

2.


.
suy ra
+
2 (đpcm).
Sử dụng bất đẳng thức
Ví dụ 1.3. Chứng minh rằng với mọi số thực x > 0, y > 0, z > 0 ta có
Phân tích:

Ta có:

;

;

Mỗi căn thức có thể xem là độ dài của một vectơ, ta có lời giải như sau:
Giải:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, với mọi số thực x > 0, y > 0, z > 0 xét các vectơ:

Khi đó:

Áp dụng bất đẳng thức

ta có

đpcm.
Ví dụ 1.4. Cho ba số thực x, y, z tùy ý. Chứng minh:
Giải: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, với mọi số thực x, y, z, xét các vectơ


Khi đó:

Sử dụng bất đẳng thức
ta có điều phải chứng minh.
Nhận xét:
i. Với các bất đẳng thức có chứa tổng các căn bậc hai mà biểu thức dưới dấu căn có
thể phân tích thành tổng của các bình phương thì ta có thể xem mỗi căn thức là độ
dài của một vectơ.
ii. Việc chọn các vectơ
cần phải khéo léo.
Ví dụ 1.5. Cho các số thực x1, x2, y1, y2. Chứng minh rằng:
(BĐT Bunhiacopxki)
Phân tích:
Các biểu thức

gợi ta nghĩ đến bình phương độ dài của các vectơ
.

Biểu thức

gợi ta nghĩ đến tích vô hướng của hai vectơ.

Giải:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét hai vectơ
Ta có

Do đó
. Đẳng thức xảy ra
Ví dụ 1.6 .Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng
(BĐT Nesbit)
(Đề kiểm tra lần 2 khối A, B năm học 2012 – 2013)
Giải:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét các vectơ

.


Áp dụng bất đẳng thức

ta có

Ta sẽ chứng minh

với mọi số thực a, b, c. Thật vậy

luôn đúng.

Do đó
hay
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c.
Ví dụ 1.7. Cho hai số thực a, b thỏa mãn a – 2b + 2 = 0. Chứng minh rằng:

Phân tích:
Quan sát thấy các biểu thức dưới dấu căn thức là tổng các bình phương và mỗi căn
thức xem như độ dài của một vectơ. Do đó, ta nghĩ đến đến việc xét các vectơ
, suy ra
Tuy

nhiên

khi

sử

dụng

bất

và
đẳng

thức

.
ta

được

Như vậy, trong trường hợp này việc xét các vectơ như trên là không hợp lí.
Nếu xem mỗi căn thức là độ dài của một đoạn thẳng thì ta có cách giải cho ví dụ
này như sau.

Giải:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét hai điểm A(3; 5), B(5; 7) và M(a; b) là điểm tùy ý
thuộc đường thẳng d: x – 2y + 2 = 0. Dễ thấy hai điểm A, B nằm cùng phía so với
đường thẳng d. Gọi A’(x’; y’) là điểm đối xứng của A qua d.
Phương trình đường thẳng AA’ có dạng 2x + y + c = 0,
vì AA’ đi qua A nên c = -11.

Gọi

, tọa độ I là nghiệm của hệ

Vì I là trung điểm AA’ nên suy ra A’(5; 1)


Với mọi điểm M thuộc d ta luôn có

.

với a, b thỏa a – 2b + 2 = 0.
Vậy
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi M, A’, B thẳng hàng.

hay
2. Giải phương trình, bất phương trình vô tỷ
Phương pháp chung để giải phương trình và bất phương trình vô tỷ là khử căn
thức bằng cách nhân lượng liên hợp, đặt ẩn phụ, lượng giác hóa, đưa phương trình
về dạng cơ bản thường gặp…
Trong đề tài này, với việc sử dụng phương pháp tọa độ để giải phương trình
và bất phương trình vô tỷ, tôi hi vọng mang đến một cách nhìn mới cho học sinh,
giúp các em có thêm một phương pháp giải ngoài những phương pháp đại số đã

biết.
2.1. Sử dụng các bất đẳng thức hình học

Ví dụ 2.1. Giải phương trình
Phân tích:

Pt
Ta có thể xem mỗi căn thức là độ dài của một vectơ hoặc là độ dài của một đoạn
thẳng. Từ đó có thể giải bài toán này theo 2 cách như sau:
Giải:

Pt
Cách 1.
Trong

mặt

phẳng

tọa

độ

Oxy,

xét

các

vectơ

,
Sử dụng bất đẳng thức

suy ra


.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất .
Cách 2.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét các điểm

Ta có
Dấu

suy ra
“=”

xảy

ra

khi

và

chỉ

tức là
Phương trình có nghiệm

khi

A,

B,

C

thẳng

hàng,

y

.

A

O

C

x

Co
B

Nhận xét:
i. Việc chọn các vectơ
thời dấu “=” phải xảy ra.

cần phải khéo léo sao cho

là một hằng số đồng


ii. Nếu chọn các điểm
điểm A, B nằm cùng phía so với trục Ox.

thì lời giải sẽ dài hơn vì khi đó hai

Ví dụ 2.2. Giải phương trình
Phân tích:
Ở vế trái của phương trình, các biểu thức dưới dấu căn thức không có dạng tổng
các bình phương, do đó không thể áp dụng cách giải như ví dụ 2.1.
Tuy nhiên, quan sát ta thấy:
i.
gợi nhớ đến biểu thức tọa độ của tích vô
hướng của hai vectơ.
ii. (x + 1) + (3 – x) = 2 xuất hiện trong vế phải của phương trình.
Từ đó, ta có cách giải như sau:
Giải: Điều kiện
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét các vectơ
ta

,

có

Nên phương trình đã cho có dạng

Điều này xảy ra khi và chỉ khi

.
Vậy phương trình có hai nghiệm
Ví dụ 2.3. Giải phương trình
Giải:
Điều kiện:

.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét các vectơ
Ta có

;

.
(*).


Sử dụng bất đẳng thức

suy ra

Mặt khác,

Do đó phương trình (*)
Vậy phương trình có nghiệm x = 3.

.

Ví dụ 2.4. Giải bất phương trình:
Giải:
Điều kiện:

.

.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét các vectơ
Ta có

.

;
và

Sử dụng bất đẳng thức

suy ra
luôn đúng với mọi

Tập nghiệm bất phương trình

.

.

Ví dụ 2.5. Giải bất phương trình

.

Giải: Điều kiện:
Trong không gian tọa độ Oxyz xét:

và

Ta có:
Sử dụng bất đẳng thức

Suy ra

với mọi

đúng với


Vậy tập nghiệm của bất phương trình

.

Ví dụ 2.6. Giải bất phương trình
.
(Đề thi tuyển sinh đại học khối A năm 2010 )
Giải: Điều kiện:
Cách 1

Ta

có

.

Do

đó:

(*)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét hai vectơ

, ta có:

;
Khi đó (*) có dạng

và

với mọi

điều này xảy ra khi và chỉ khi

Tập nghiệm bất phương trình
Cách 2 (theo đáp án của Bộ giáo dục và đào tạo)
Ta có:

, suy ra

Do đó, bất phương trình đã cho tương đương với
Mặt khác

(1)
(2), do đó:

(3)


Để ý rằng: + Dấu “=” ở (2) xảy ra chỉ khi:
+

đồng thời

kéo theo

, do đó:

(thỏa mãn)
Ví dụ 2.7. Tìm giá trị của tham số m để phương trình sau có nghiệm:

Giải:

Pt

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy xét các điểm
gốc tọa độ O(0; 0).

Khi đó: AB = 1;

và

;

Ta luôn có
Dễ thấy hai vectơ
không cùng phương nên ba điểm O, A, B không thẳng
hàng. Do đó, dấu “=” không thể xảy ra.

với mọi x.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm

.

Nhận xét:
i. Trong ví dụ này việc chọn điểm O(0; 0) như trên giúp đơn giản hóa việc tính

toán, lời giải ngắn gọn hơn. Cũng có thể chọn các điểm


(lúc này AB//Ox) hoặc
nằm khác phía so với trục Ox).

(A, B

ii. Ngoài ra, ta có thể xét các vectơ

và sử dụng bất

đẳng thức

.

2.2. Sử dụng phương trình của đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ Oxy
Ví dụ 2.8. Giải phương trình
(Đề thi tuyển sinh Đại học, cao đẳng - Khối A năm 2009)
Phân tích: Nếu đặt
và
thì phương trình đã cho trở thành
2X + 3Y – 8 = 0, ta xem đây là phương trình tổng quát của đường thẳng trong mặt
phẳng.

Khi đó, phương trình tham số của đường thẳng trên là
Do đó, có thể nghĩ đến cách đặt
Giải:
Điều kiện

Đặt

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = -2.

và

.


Ví dụ 2.9. Giải phương trình
Giải:

.

Đặt
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 2.
Nhận xét:

Ở ví dụ này, ta có thể đặt

rồi đưa về hệ phương trình đối xứng để giải.

Ví dụ 2.10. Giải phương trình
(Đề kiểm tra lần 2 khối A, A1, B năm học 2014 – 2015)
Giải:
Điều kiện:

Đặt

(thỏa mãn)
(Pt vô nghiệm).

Vậy phương trình có hai nghiệm
và
.
Nhận xét:
Các ví dụ trên đã phần nào cho thấy ưu điểm của phương pháp tọa độ so với
các phương pháp giải khác: lời giải ngắn gọn và dễ hiểu hơn.
2.3. Sử dụng mối tương giao giữa các đồ thị hàm số, đường tròn và các đường
Conic

Ví dụ 2.11. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình
Giải:
Đặt

y

.

x-y= x-y=-1
1

, điều kiện y

Khi đó phương trình đã cho trở thành:

x-y=0
x-y=1

O
1

-1

x

Phương trình (1) là phương trình đường tròn (C)
tâm O(0; 0), bán kính R = 1.
Phương trình (2) là phương trình đường thẳng ∆ (∆ // d: x - y = 0). Ta có:
+ A(1; 0)

∆

;

B(-1; 0) ∆

m=-1

+ ∆ tiếp xúc với đường tròn (C )
Vì ∆ tiếp xúc với nửa trên của đường tròn (C) nên m =
- Với
- Với
P

hoặc m > 1 thì (C)

. Vậy:

. Phương trình vô nghiệm.

hoặc -1< m < 1 thì (C)

hương trình có nghiệm duy nhất.

- Với

thì (C)

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
Ví dụ 2.12. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình

Giải:
Đặt

, điều kiện

Khi đó phương trình đã cho trở thành:

=

.


y

x-y= -4

4

x-y= -2
x-y= 0
x-y= 2

-4

O

-2

2

x

Phương trình (2) là phương trình của Elíp (E)
với 4 đỉnh A1(-2; 0), A2(2; 0), B1(0;-

), B2(0;

).

Phương trình (3) là phương trình của đường thẳng d song song với đường phân
giác của góc phần tư thứ nhất x - y = 0. Ta có:
* A2(2; 0)

d

;

A1(-2; 0)

d

* d tiếp xúc với Elíp (E)
Vì d tiếp xúc với nửa trên của elip nên m = -4. Vậy:
- Với m < -4 hoặc m > 2 thì (E)

d = . Phương trình vô nghiệm.

- Với m = -4 hoặc -2 < m < 2 thì (E)

d=

Phương trình có nghiệm duy nhất.
- Với -4 < m

-2 thì (E)

d=

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

Ví dụ 2.13. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình
y

Giải:
Đặt

.

, điều kiện y

x-y=3

0

Khi đó phương trình đã cho trở thành:

x-y= -3
x-y=0

3

-3
O

a

3

x


Phương
trình
(2)
là
phương
trình
của
Hyperbol
(H)
với 4 đỉnh A1(-3; 0), A2(3; 0), B1(0; -3), B2(0; 3), một đường tiệm cận của (H) có
phương trình ∆: x-y = 0.
Phương trình (3) là phương trình đường thẳng d (d // ∆). Ta có:
A2(3; 0)
Do y

d

m = 3;

A1(-3; 0)

d

m = -3

0 nên ta chỉ xét phần (H) phía trên trục Ox.

- Với -3 < m

hoặc m > 3 thì (H)

- Với m -3 hoặc 0

thì (H)

d=

. Phương trình vô nghiệm.

d=

.

Phương trình có nghiệm duy nhất.
3. Bài toán cực trị
Bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số gọi chung là bài toán
cực trị. Đây là một dạng toán khó, xuất hiện nhiều trong các đề thi học sinh giỏi, đề
tuyển sinh đại học.
Có nhiều phương pháp tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số, trong phần
này tác giả tập trung vào việc sử dụng phương pháp tọa độ để giải các bài toán cực

trị.
Ví dụ 3.1. Cho các số thực x, y thỏa mãn 36x 2 + 16y2 = 9. Tìm giá trị lớn nhất, giá
trị nhỏ nhất của biểu thức A = y – 2x + 5.
Giải:
Ta thấy: 36x2 + 16y2 = 9

(6x)2 + (4y)2 = 9 và

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét các vectơ
và
được

. Sử dụng bất đẳng thức
.

Dấu “=” bên trái xảy ra khi và chỉ khi

ta


Dấu “=” bên phải xảy ra khi và chỉ khi
Do đó
Vậy MinA =
MaxA =

.
khi và chỉ khi
khi và chỉ khi

.

.

Ví dụ 3.2. Cho các số dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất

của biểu thức
(Đề tuyển sinh đại học khối A năm 2003)
Giải:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét các vectơ

Sử dụng bất đẳng thức

Ta có

suy ra


Áp dụng BĐT Côsi:

Nên

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ba vectơ
tức là

Vậy MinP =

đôi một cùng hướng và

.

khi

.

Một số bài tập vận dụng
1. Giải phương trình
2. Giải phương trình
3. Cho x, y là các số thực thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

(Đề thi tuyển sinh đại học khối B năm 2006)
4. Cho x, y là các số thực. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:


(Đề thi học sinh giỏi quốc gia năm 1998)
5. Chứng minh rằng :

với mọi số thực a, b.
6. Giải phương trình

.

7. Giải các phương trình sau:

IV.HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI
Đề tài đã và đang được sử dụng trong quá trình giảng dạy học sinh lớp 10,
đặc biệt là trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi toán khối 10. Học sinh có học
lực khá trở lên khá hứng thú với phương pháp này.
V. ĐỀ XUẤT, KHUYẾN NGHỊ VÀ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG
1. Đề xuất
Cùng với nhiều phương pháp khác, phương pháp tọa độ là một trong những

phương pháp hữu hiệu để giải nhiều bài toán. Qua quá trình thực hiện đề tài, với
mong muốn giúp cho việc học tập của học sinh và quá trình giảng dạy đạt hiệu quả
cao, tôi đưa ra một số đề xuất như sau:
- Nên trang bị nhiều sách tham khảo hơn cho học sinh tại trường có nội dung
liên quan tới các ứng dụng của phương pháp tọa độ.
- Học sinh cần nắm vững lý thuyết, rèn luyện kĩ năng thông qua các dạng bài
tập, lựa chọn được phương pháp giải tối ưu nhất.
- Trong quá trình giảng dạy nội dung Phương trình – Hệ phương trình – Bất
phương trình, giáo viên nên đưa thêm các dạng bài tập giải bằng phương pháp tọa
độ để học sinh làm quen và biết cách vận dụng.