Chuyên đề giới hạn có đáp án và lời giải chi tiết – file word (1)

– Website chuyên đề thi tài liệu file word

Trang 1

Giới hạn – ĐS> 11


– Website chuyên đề thi tài liệu file word

Giới hạn – ĐS> 11

MỤC LỤC
PHẦN I – ĐỀ BÀI............................................................................................................4
GIỚI HẠN DÃY SỐ........................................................................................................4
B – BÀI TẬP.....................................................................................................................4
DẠNG 1: TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐỊNH NGHĨA...................................................4
DẠNG 2: TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ DỰA VÀO CÁC ĐỊNH LÝ VÀ CÁC GIỚI HẠN
CƠ BẢN........................................................................................................7

GIỚI HẠN HÀM SỐ.....................................................................................................14
A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT........................................................................................14
B – BÀI TẬP...................................................................................................................15
DẠNG 1: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG BẰNG ĐỊNH NGHĨA HOẶC TẠI MỘT ĐIỂM........15
DẠNG 2: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG VÔ ĐỊNH......................................................18
DẠNG 3: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG VÔ ĐỊNH......................................................23
DẠNG 4: GIỚI HẠN MỘ BÊN VÀ CÁC DẠNG VÔ ĐỊNH KHÁC.............................27
DẠNG 5 : GIỚI HẠN LƯỢNG GIÁC.................................................................29

HÀM SỐ LIÊN TỤC.....................................................................................................32
A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP......................................................................32
B – BÀI TẬP...................................................................................................................32

DẠNG 1: TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM....................................32
DẠNG 2: TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TRÊN TẬP XÁC ĐỊNH...........................37
DẠNG 3: ÁP DỤNG TÍNH LIÊN TỤC XÉT SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH.......41

ÔN TẬP CHƯƠNG IV..................................................................................................42
PHẦN II – HƯỚNG DẪN GIẢI...................................................................................50
GIỚI HẠN DÃY SỐ......................................................................................................50
B – BÀI TẬP...................................................................................................................50
DẠNG 1: TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐỊNH NGHĨA.................................................50
DẠNG 2: TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ DỰA VÀO CÁC ĐỊNH LÝ VÀ CÁC GIỚI HẠN
CƠ BẢN......................................................................................................55

GIỚI HẠN HÀM SỐ.....................................................................................................77
A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT........................................................................................77
B – BÀI TẬP...................................................................................................................77
DẠNG 1: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG BẰNG ĐỊNH NGHĨA HOẶC TẠI MỘT ĐIỂM........77
DẠNG 2: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG VÔ ĐỊNH......................................................84
DẠNG 3: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG VÔ ĐỊNH......................................................94

Trang 2


– Website chuyên đề thi tài liệu file word

Giới hạn – ĐS> 11

DẠNG 4: GIỚI HẠN MỘ BÊN VÀ CÁC DẠNG VÔ ĐỊNH KHÁC...........................105
DẠNG 5 : GIỚI HẠN LƯỢNG GIÁC................................................................109

HÀM SỐ LIÊN TỤC...................................................................................................117

A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP....................................................................117
B – BÀI TẬP.................................................................................................................117
DẠNG 1: TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM..................................117
DẠNG 2: TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TRÊN TẬP XÁC ĐỊNH.........................125
DẠNG 3: ÁP DỤNG TÍNH LIÊN TỤC XÉT SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH.....133

ĐÁP ÁN ÔN TẬP CHƯƠNG IV................................................................................135

Trang 3


– Website chuyên đề thi tài liệu file word

Giới hạn – ĐS> 11

PHẦN I – ĐỀ BÀI
GIỚI HẠN DÃY SỐ
A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP
GIỚI HẠN HỮU HẠN
1. Giới hạn đặc biệt:
1
1
lim
= 0 (k ∈ ¢ + )
lim = 0 ;
k
n
→+∞
n→+∞ n
n

n

lim q = 0 ( q < 1) ;

n→+∞

lim C = C

n→+∞

2. Định lí :
a) Nếu lim un = a, lim vn = b thì
• lim (un + vn) = a + b
• lim (un – vn) = a – b
• lim (un.vn) = a.b
u a
• lim n =
(nếu b ≠ 0)
vn b
b) Nếu un ≥ 0, ∀n và lim un= a
thì a ≥ 0 và lim

un = a

c) Nếu un ≤ vn ,∀n và lim vn = 0
thì lim un = 0
d) Nếu lim un = a thì lim un = a
3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
u
S = u1 + u1q + u1q2 + … = 1 ( q < 1)

1− q

GIỚI HẠN VÔ CỰC
1. Giới hạn đặc biệt:

lim n = +∞

limnk = +∞ (k ∈ ¢ + )

limqn = +∞ (q > 1)
2. Định lí:
a) Nếu lim un = +∞ thì lim

1
=0
un

b) Nếu lim un = a, lim vn = ±∞ thì lim
c) Nếu lim un = a ≠ 0, lim vn = 0
u
+∞
neá
u a.vn > 0
thì lim n = 
neá
u a.vn < 0
vn  −∞

un
vn

=0

d) Nếu lim un = +∞, lim vn = a
+∞
neá
u a> 0
thì lim(un.vn) = 
neá
u a< 0
−∞
* Khi tính giới hạn có một trong các dạng vô
0 ∞
định: , , ∞ – ∞, 0.∞ thì phải tìm cách khử
0 ∞
dạng vô định.

B – BÀI TẬP
DẠNG 1: TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐỊNH NGHĨA
Phương pháp:
• Để chứng minh lim un = 0 ta chứng minh với mọi số a > 0 nhỏ tùy ý luôn tồn tại một số na sao
cho un < a ∀n > na .

• Để chứng minh lim un = l ta chứng minh lim(un − l ) = 0 .
• Để chứng minh lim un = +∞ ta chứng minh với mọi số M > 0 lớn tùy ý, luôn tồn tại số tự nhiên
nM sao cho un > M ∀n > nM .
• Để chứng minh lim un = −∞ ta chứng minh lim(−un ) = +∞ .
• Một dãy số nếu có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất.
Câu 1. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
A. Nếu lim un = +∞ , thì lim un = +∞ .

Trang 4

B. Nếu lim un = +∞ , thì lim un = −∞ .


– Website chuyên đề thi tài liệu file word
C. Nếu lim un = 0 , thì lim un = 0 .
1
Câu 2. Giá trị của lim
bằng:
n +1
A. 0
B. 1
1
Câu 3. Giá trị của lim k ( k ∈ ¥ *) bằng:
n
A. 0
B. 2
2
sin n
Câu 4. Giá trị của lim
bằng:
n+2
A. 0
B. 3
Câu 5. Giá trị của lim(2n + 1) bằng:
A. +∞
B. −∞
2
1− n

Câu 6. Giá trị của lim
bằng:
n
A. +∞
B. −∞
2
Câu 7. Giá trị của lim
bằng:
n +1
A. +∞
B. −∞
cos n + sin n
Câu 8. Giá trị của lim
bằng:
n2 + 1
A. +∞
B. −∞
n +1
bằng:
n+2
B. −∞
3
3n + n
bằng:
lim
n2
B. −∞
2−n
lim
bằng:

n +1
B. −∞
2n + 1
A = lim
bằng:
n−2
B. −∞
2n + 3
B = lim 2
bằng:
n +1
B. −∞

Giới hạn – ĐS> 11

D. Nếu lim un = − a , thì lim un = a .

C. 2

D. 3

C. 4

D. 5

C. 5

D. 8

C. 0

D. 1

C. 0

D. 1

C. 0

D. 1

C. 0

D. 1

C. 0

D. 1

C. 0

D. 1

C. 0

D. 1

C. 2

D. 1

C. 0

D. 1

C. 0

D. 1

1
2

D. 1

Câu 9. Giá trị của lim
A. +∞
Câu 10. Giá trị của
A. +∞
Câu 11. Giá trị của
A. +∞
Câu 12. Giá trị của
A. +∞
Câu 13. Giá trị của
A. +∞

n +1
bằng:
n +1
A. +∞
B. −∞

n−2 n
Câu 15. Giá trị của A = lim
bằng:
2n
Câu 14. Giá trị của C = lim

A. +∞
Câu 16. Giá trị của B = lim

Trang 5

2

B. −∞
n sin n − 3n 2
bằng:
n2

C.


– Website chuyên đề thi tài liệu file word
A. +∞
Câu 17. Giá trị của
A. +∞
Câu 18. Giá trị của
A. +∞
Câu 19. Giá trị của
A. +∞
Câu 20. Giá trị của

A. +∞

Trang 6

B. −∞
1
C = lim 2
bằng:
n +2 n +7
B. −∞
4n + 1
D = lim
bằng:
2
n + 3n + 2
B. −∞
n
a
lim = 0 bằng:
n!
B. −∞
n
lim a với a > 0 bằng:
B. −∞

Giới hạn – ĐS> 11

C. −3

D. 1

C. 0

D. 1

C. 0

D. 4

C. 0

D. 1

C. 0

D. 1


– Website chuyên đề thi tài liệu file word

Giới hạn – ĐS> 11

DẠNG 2: TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ DỰA VÀO CÁC ĐỊNH LÝ VÀ CÁC
GIỚI HẠN CƠ BẢN
Phương pháp:
• Sử dụng các định lí về giới hạn, biến đổi đưa về các giới hạn cơ bản.
f ( n)
• Khi tìm lim
ta thường chia cả tử và mẫu cho n k , trong đó k là bậc lớn nhất của tử và
g ( n)

mẫu.
• Khi tìm lim  k f ( n) − m g ( n)  trong đó lim f (n) = lim g ( n) = +∞ ta thường tách và sử dụng
phương pháp nhân lượng liên hơn.
+ Dùng các hằng đẳng thức:

(

a − b) ( a + b) = a − b;

( 3 a − 3 b) ( 3 a2 + 3 ab + 3 b2 ) = a − b

• Dùng định lí kẹp: Nếu un ≤ vn ,∀n và lim vn = 0 thì lim un = 0
Khi tính các giới hạn dạng phân thức, ta chú ý một số trường hợp sau đây:
• Nếu bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng 0.
• Nếu bậc của từ bằng bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng tỉ số các hệ số của luỹ thừa
cao nhất của tử và của mẫu.
• Nếu bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó là +∞ nếu hệ số cao nhất của tử
và mẫu cùng dấu và kết quả là –∞ nếu hệ số cao nhất của tử và mẫu trái dấu.
Câu 1. Cho dãy số ( un ) với un =

1
.
2
n cos 2n 

Câu 2. Kết quả đúng của lim  5 − 2
÷ là:
n +1 

A.

1
.
4

un +1 1
n
< . Chọn giá trị đúng của lim un trong các số sau:
n và
un
2
4

A. 4.
Câu 3. Giá trị của. A = lim

B.

C. 0 .

D. 1 .

B. 5.

C. –4.

D.

2n + 1
bằng:

1 − 3n

A. +∞

B. −∞

C. −

2
3

1
.
4

D. 1

4n 2 + 3n + 1
Câu 4. Giá trị của. B = lim
bằng:
(3n − 1)2
A. +∞
Câu 5. Kết quả đúng của lim
A. −

3
.
3

Câu 6. Giới hạn dãy số ( un )

Trang 7

B. −∞

C.

4
9

D. 1

− n 2 + 2n + 1

là
3n 4 + 2
2
B. − .
3
3n − n 4
với un =
là:
4n − 5

1
C. − .
2

D.

1
.
2


– Website chuyên đề thi tài liệu file word
A. −∞ .

B. +∞ .

Câu 7. Chọn kết quả đúng của lim

C.

3
.
4

2
.
5
2n 2 + 3n + 1
Câu 8. Giá trị của A = lim 2
bằng:
3n − n + 2
B.

C. −∞ .

A. +∞

B. −∞

C.

n 2 + 2n
n − 3n2 + 1

A. +∞

A. +∞
Câu 11. Giá trị của D = lim
A. +∞

2

+ 1)

4

( n + 2)

4

Câu 15. Giá trị của. D = lim
A. +∞
Câu 16. Giá trị của. E = lim
A. +∞
Câu 17. Giá trị của. F = lim
A. +∞

Trang 8

D. 1

C.

1− 3 3
4
2 −1

D. 1

3n3 + 1 − n

bằng:
2n 4 + 3n + 1 + n
A. +∞
B. −∞
(n − 2)7 (2n + 1)3
Câu 13. Giá trị của. F = lim
bằng:
(n 2 + 2)5
A. +∞
B. −∞
n3 + 1
C
=
lim
Câu 14. Giá trị của.

bằng:
n(2n + 1) 2
A. +∞

C. 16
bằng:

B. −∞

Câu 12. Giá trị của C = lim

D.

3

2n 4 + n + 2 − n

4

1
1− 3

C. 0
bằng:

n + 1 − 3n + 2
3

D. 1

9

n17 + 1
B. −∞
2

2
3

D. +∞ .

bằng:

B. −∞

2n
Câu 10. Giá trị của C = lim (

D. 0 .

n 3 − 2n + 5
:
3 + 5n

A. 5 .

Câu 9. Giá trị của B = lim

Giới hạn – ĐS> 11

C. 0

D. 1

C. 8

D. 1

B. −∞

C.

1
4

D. 1

n3 − 3n 2 + 2
bằng:
n 4 + 4n 3 + 1
B. −∞

C. 0

D. 1

n + 2n + 1
bằng:
n+2
B. −∞

C. 0

D. 1

3

4

n − 2 n + 1 + 2n
4

3

3n3 + n − n

B. −∞

bằng:
C.

3

3
3 −1

D. 1


– Website chuyên đề thi tài liệu file word

Câu 18. Cho dãy số un với un = ( n − 1)
A. −∞ .
Câu 19. lim
A. +∞ .

B. 0 .
10
n4 + n2 + 1

2n + 2
. Chọn kết quả đúng của lim un là:
n + n2 − 1
C.1 .
D. +∞ .
4

bằng :

B. 10 .
n +1 − 4
Câu 20. Tính giới hạn: lim
n +1 + n
B. 0 .

A. 1 .
Câu 21. Tính giới hạn: lim
A. 0 .

Giới hạn – ĐS> 11

1 + 3 + 5 + .... + ( 2n + 1)
3n 2 + 4
1
B. .
3

C. 0 .

D. −∞ .

C. −1

1
D. .
2

2
C. .
3

D. 1 .

C. 2 .

D.

n2 − 1 1
Câu 22. Chọn kết quả đúng của lim 3 +
.
−

3 + n 2 2n
A. 4 .
Câu 23. Giá trị của D = lim

B. 3 .

ak n k + ... + a1n + a0
(Trong đó k , p là các số nguyên dương; ak bp ≠ 0 ).
bp n p + ... + b1n + b0

bằng:
A. +∞

B. −∞
2 − 5n − 2
Câu 24. Kết quả đúng của lim n
là:
3 + 2.5n
5
1
A. − .
B. − .
2
50
n
n −1
3 − 4.2 − 3
Câu 25. lim
bằng:
3.2n + 4n

A. +∞ .
B. −∞ .
3.2n − 3n
Câu 26. Giá trị của C = lim n +1 n+1 bằng:
2 +3
A. +∞

B. −∞

n
n
Câu 27. Giá trị đúng của lim ( 3 − 5 ) là:
A. −∞ .
B. +∞ .
3.2 n − 3n
Câu 28. Giá trị của. K = lim n +1 n +1 bằng:
2 +3
1
A. −
B. −∞
3
5n − 1
Câu 29. lim n
bằng :
3 +1
A. +∞ .
B. 1 .

Trang 9

1
.
2

C. Đáp án khác

D. 1

5
.
2

D. −

C. 0 .

D. 1 .

1
3

D. 1

C.

C. −

25
.
2

C. 2 .

D. −2 .

C. 2

D. 1

C. 0

D. −∞ .


– Website chuyên đề thi tài liệu file word
Câu 30. lim 4

Giới hạn – ĐS> 11

4n + 2n +1
bằng :
3n + 4 n + 2

1
B. .
2
3.3n + 4n
Câu 31. Giá trị của. C = lim n +1 n +1 bằng:
3 +4
1

A. +∞
B.
2
A. 0 .

1
C. .
4

D. +∞ .

C. 0

D. 1

1 + a + a + ... + a
Câu 32. Cho các số thực a,b thỏa a < 1; b < 1 . Tìm giới hạn I = lim
.
1 + b + b2 + ... + b n
1− b
A. +∞
B. −∞
C.
D. 1
1− a
ak .n k + ak −1n k −1 + ... + a1n + a0
Câu 33. Tính giới hạn của dãy số A = lim
với ak bp ≠ 0
.:
bp .n p + b p −1n p −1 + ... + b1n + b0

A. +∞
B. −∞
C. Đáp án khác
D. 1
nπ
 2

− 2 n3 ÷ bằng:
Câu 34. lim  n sin
5


A. +∞ .
B. 0 .
C. −2 .
D. −∞ .
2

n 2 + 6n − n bằng:

(

n + n + 1 − n bằng:

B. −∞

A. +∞
Câu 36. Giá trị của. H = lim

A. +∞

(

Bài 40. Giá trị của K = lim n

B. −∞

(

Câu 40. Giá trị của B = lim
A. +∞

Câu 41. Giá trị của D = lim

)

C. 0

D. 1

1
2

D. 1

C.

)

n 2 − 1 − 3n 2 + 2 là:

)

C. 0 .

D. 1 .

C. 3

D. 1

C. 0

D. 3

1
3

D. 1

n + 6n − n bằng:
2

B. −∞
3

(

A. +∞
Câu 42. Giá trị của. M = lim

Trang 10

D. 1

)

B. −∞ .

(
(

1
2

n + 1 − n bằng:
2

(

Câu 38. Giá trị đúng của lim
Câu 39. Giá trị của A = lim

D. 1

C.

B. −∞

A. +∞ .

C. 3

2n 2 + 1 − n bằng:

A. +∞

A. +∞

)

2

B. −∞

A. +∞
Câu 37. Giá trị của B = lim

)

(

Câu 35. Giá trị của. M = lim

n

)

n3 + 9n 2 − n bằng:

B. −∞

n + 2n − n + 2n
2

3

3

2

) bằng:

B. −∞

(

3

C.

)

1 − n 2 − 8n3 + 2n bằng:


– Website chuyên đề thi tài liệu file word
A. −

1
12

B. −∞

Câu 43. Giá trị của. N = lim

(

C. 0

Câu 44. Giá trị của. K = lim

(

)

3

C. 0

Câu 45. Giá trị của. N = lim

(

3

)

2

2

C. −

)

5
12

(

Câu 47. Giá trị của. H = lim n

3

D. +∞ .

)

8n3 + n − 4n 2 + 3 bằng:

C. −

)

(

D. 1

)

B. −∞

A. +∞
Câu 48. Giá trị của A = lim

(

2
3

D. 1

n 2 + 2n + 2 + n bằng:

A. +∞
B. −∞
C. 2
5
5
2
Câu 49. lim 200 − 3n + 2n bằng :
A. 0 .
B. 1 .
C. +∞ .
3
2n + sin 2n − 1
Câu 50. Giá trị của. A = lim
bằng:
n3 + 1
A. +∞

B. −∞
C. 2
n
n!
Câu 51. Giá trị của. B = lim 3
bằng:
n + 2n
A. +∞
B. −∞
C. 0
n +1
Câu 52. Giá trị của. D = lim 2
bằng:
2
n ( 3n + 2 − 3n 2 − 1)
2
A. +∞
B. −∞
C.
3
Câu 53. Giá trị của. E = lim( n 2 + n + 1 − 2n) bằng:
A. +∞
B. −∞
Câu 54. Giá trị của. F = lim n + 1 + n bằng:

(

)

C. 0

A. +∞
B. −∞
C. 0
p 2
k
2
Câu 55. Giá trị của. H = lim( n + 1 − n − 1) bằng:
A. +∞
B. −∞
C. Đáp án khác
1
1
1
+
+ ... +
Câu 56. Tính giới hạn của dãy số un =
2 1+ 2 3 2 +2 3
(n + 1) n + n
A. +∞
B. −∞
C. 0
Câu 57. Tính giới hạn của dãy số un =
Trang 11

D. 1

n 3 + 3n 2 + 1 − n bằng:

B. −∞

C. 0


Câu 46. Giá trị đúng của lim  n n + 1 − n − 1  là:
A. −1 .
B. 0 .
C. 1 .
A. +∞

D. 1

n + n − 1 − 3 4n + n + 1 + 5n bằng:
3

B. −∞

A. +∞

D. 1

4n 2 + 1 − 3 8n 3 + n bằng:

B. −∞

A. +∞

Giới hạn – ĐS> 11

(n + 1) 13 + 23 + ... + n3
:

3n3 + n + 2

D. 1
D. −∞ .

D. 1

D. 1

D. 1

D. 1
D. 1
D. 1
n +1
D. 1

:


– Website chuyên đề thi tài liệu file word
A. +∞

B. −∞

Câu 58. Tính giới hạn của dãy số un
A. +∞

B. −∞

Câu 59. Tính giới hạn của dãy số un
A. +∞

B. −∞

Câu 60. Tính giới hạn của dãy số un
A. +∞
B. −∞
Câu 61. Tính giới hạn của dãy số un
A. +∞

B. −∞

Giới hạn – ĐS> 11

1
D. 1
9
1
1
1
n(n + 1)
= (1 − )(1 − )...(1 − ) trong đó Tn =
.:
T1
T2
Tn
2
1
C.

D. 1
3
23 − 1 33 − 1 n3 − 1
.:
= 3 . 3 .... 3
2 +1 3 +1 n +1
2
C.
D. 1
3
n
2k − 1
=∑ k .:
2
k =1
C. 3
D. 1
2
n
= q + 2q + ... + nq với q < 1
.:
q
q
C.
2
D.
2
( 1− q )
( 1+ q )
C.

n

n
k =1 n + k

Câu 62. Tính giới hạn của dãy số un = ∑
A. +∞

B. −∞

2

.:

C. 3
n + n + 1 − 4 n 4 + 2n − 1
Câu 63. Tính giới hạn của dãy số B = lim
(2n + 3) 2
3

A. +∞

B. −∞

Câu 64. Tính giới hạn của dãy số C = lim
A. +∞

B. −∞

Câu 65. Tính giới hạn của dãy số D = lim
A. +∞

(

B. −∞

(

D. 1

6

.:

C. 3

D.

)

.:

C. 3

D.

4n 2 + n + 1 − 2n

n 2 + n + 1 − 2 3 n3 + n 2 − 1 + n

C. −

1
6

)

−3
4
1
4

.:
D. 1

1
2
Câu 66. Cho dãy số ( xn ) xác định bởi x1 = , xn +1 = xn + xn ,∀n ≥ 1
2
1
1
1
+
+L +
Đặt S n =
. Tính lim S n .
x1 + 1 x2 + 1
xn + 1
A. +∞

B. −∞
C. 2
1 2
k
Câu 67. Cho dãy ( xk ) được xác định như sau: xk = + + ... +
2! 3!
( k + 1)!

D. 1

n
Tìm lim un với un = n x1n + x2n + ... + x2011
.

A. +∞

Trang 12

B. −∞

C. 1 −

1
2012!

D. 1 +

1
2012!

– Website chuyên đề thi tài liệu file word

Giới hạn – ĐS> 11

u0 = 2011

u3
1 . Tìm lim n .
Câu 68. Cho dãy số (un ) được xác định bởi: 
n
un +1 = un + u 2
n

A. +∞
B. −∞
C. 3
x + 1 −1
Câu 69. Cho dãy x > 0 xác định như sau: f ( x ) =
. Tìm ( 0; +∞ ) .
x
A. +∞
B. −∞
C. 2010
n. 1 + 3 + 5 + ... + (2n − 1)
Câu 70. Tìm lim un biết un =
2n 2 + 1
1
A. +∞
B. −∞

C.
2
 3 x − 2 + 2x −1
khi x ≠ 1

Câu 71. Tìm lim un biết f ( x ) = 
x −1
3m − 2
khi x = 1

A. +∞

D. 1

D. 1

D. 1

3

B. −∞

C. 2

D.

 x +1 −1
khi x > 0

Câu 72. Tìm lim un biết f ( x) = 

x
 2 x 2 + 3m + 1 khi x ≤ 0

A. +∞
B. −∞
C. 2
 2x − 4 + 3
khi x ≥ 2

Câu 73. Tìm lim un biết f ( x ) = 
trong đó x ≠ 1 .
x +1
khi x < 2
 2
 x − 2mx + 3m + 2
1
A. +∞
B. −∞
C.
3
n
1
Câu 74. Tìm lim un biết un = ∑ 2
k =1
n +k
A. +∞
B. −∞
C. 3

6

2

D. 1

D. 1

D. 1

Câu 75. Tìm lim un biết un = 124 22...4 32
A. +∞

n dau can

B. −∞

C. 2

f ( x) = lim+
Câu 76. Gọi g ( x ) ≠ 0, ∀x ≤ 2 là dãy số xác định bởi • . Tìm xlim
→ 2+
x →2
A. +∞

B. −∞

C.
2

2

4
3

(

D. 1
2x − 4 + 3 = 3 .

)

D. 1

1

 1
 1
Câu 77. Cho dãy số A =  x12 + x1 x2 ÷ +  x1 x2 + x22 ÷ + x12 x22 + 3 > 0 được xác định như sau
2

 4
 2
⇔ x1 = x2 .
3
Đặt x ≤ . Tìm ⇔ x 3 + 2 x − 3 3 − 2 x − 4 = 0 .
2
1
A. +∞
B. −∞
C.
D. 1

2
Trang 13


– Website chuyên đề thi tài liệu file word

Giới hạn – ĐS> 11

å
Câu 78. Cho a, b ∈ ¥ , (a, b) = 1; n ∈ { ab + 1, ab + 2,...} . Kí hiệu rn là số cặp số (u, v) ∈ ¥ å × ¥ å sao cho
r
1
n = au + bv . Tìm lim n =
.
n →∞ n
ab
1
A. +∞
B. −∞
C.
D. ab − 1
ab
1

u1 = 2
Câu 79. Cho dãy số có giới hạn (un) xác định bởi : 
. Tìm kết quả đúng của lim un .
un +1 = 1 , n ≥ 1
2 − un


1
A. 0 .
B. 1 .
C. −1 .
D.
2
1
1
1
1


Câu 80. Tìm giá trị đúng của S = 2 1 + + + + ... + n + ....... ÷ .
2
 2 4 8

A. 2 + 1 .
B. 2 .
C. 2 2 .
D. 1 .
2
 1
1
1 
+ .... +
Câu 81. Tính giới hạn: lim  +

n ( n + 1) 
1.2 2.3
3

A. 0
B. 1 .
C. .
D. Không có giới
2
hạn.
 1

1
1
+ .... +
Câu 82. Tính giới hạn: lim  +

n ( 2n + 1) 
1.3 3.5
2
A.1 .
B. 0 .
C. .
D. 2 .
3
 1

1
1
+ .... +
Câu 83. Tính giới hạn: lim  +

n ( n + 2) 
1.3 2.4

3
A. .
4

B. 1 .

C. 0 .

 1
1
1 
+ ... +
Câu 84. Tính giới hạn: lim  +
.
n(n + 3) 
1.4 2.5
11
A.
.
B. 2 .
C. 1 .
18

1 
1 
1 
Câu 85. Tính giới hạn: lim 1 − 2 ÷ 1 − 2 ÷... 1 − 2 ÷ .
 2  3   n  
1

1
A. 1 .
B. .
C. .
2
4

2
D. .
3

D.

3
.
2

D.

3
.
2

GIỚI HẠN HÀM SỐ
A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT
Giới hạn hữu hạn
1. Giới hạn đặc biệt:

Trang 14

Giới hạn vô cực, giới hạn ở vô cực
1. Giới hạn đặc biệt:


– Website chun đề thi tài liệu file word
lim x = x0 ;

lim c = c

x→ x0

x→ x0

(c: hằng số)
2. Định lí:
f (x) = L và lim g(x) = M
a) Nếu xlim
→x
x→ x
0

0

[ f (x) + g(x)] = L + M
thì: xlim
→x
0

lim [ f (x) − g(x)] = L − M

x→ x0

lim [ f (x).g(x)] = L .M

x→ x0

f (x) L
=
(nếu M ≠ 0)
x→ x0 g(x)
M
b) Nếu f(x) ≥ 0 và lim f (x) = L
lim

x→ x0

thì L ≥ 0 và lim

x→ x0

f (x) = L

f (x) = L thì lim f (x) = L
c) Nếu xlim
→x
x→ x
0

0

3. Giới hạn một bên:
lim f (x) = L ⇔
x→ x0

lim f (x) = lim f (x) = L

x→ x0−

x→ x0+

f (x) = lim+ f (x) = L
⇔ xlim
→x −
x→ x
0

0

Giới hạn – ĐS> 11

nế
u k chẵ
n
lim xk = +∞ ; lim xk = +∞
−∞ nế
x→+∞
u
k
lẻ
x→−∞


c
lim c = c ;
lim
=0
x→±∞
x→±∞ xk
1
1
lim− = −∞ ;
lim+ = +∞
x→0 x
x→0 x
1
1
lim− = lim+ = +∞
x→0 x
x→0 x
2. Định lí:
Nếu lim f (x) = L ≠ 0 và lim g(x) = ±∞ thì:
x→ x0

x→ x0

+∞ nế
u L vàlim g(x) cù
ngdấ
u

x→ x0

lim f (x)g(x) = 
u L vàlim g(x) trá
i dấ
u
x→ x0
 −∞ nế
x→ x0

0 nế
u lim g(x) = ±∞
x→ x0

f (x) 
lim
= +∞ nế
u lim g(x) = 0 vàL .g(x) > 0
x→ x0 g(x) 
x→ x0

u lim g(x) = 0 vàL .g(x) < 0
−∞ nế
x→ x0

* Khi tính giới hạn có một trong các dạng vơ định:

0
,
0

∞

, ∞ – ∞, 0.∞ thì phải tìm cách khử dạng vơ định.
∞

B – BÀI TẬP
DẠNG 1: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG BẰNG ĐỊNH NGHĨA HOẶC TẠI MỘT
ĐIỂM
Phương pháp:
+ Sử dụng định nghĩa chuyển giới hạn của hàm số về giới hạn của dãy số.
+ Nếu f (x) là hàm số cho bởi một cơng thức thì giá trị giới hạn bằng f (x0 )
+ Nếu f (x) cho bởi nhiều cơng thức, khi đó ta sử dụng điều kiện để hàm số có giới hạn ( Giới hạn
trái bằng giới hạn phải).
x3 + 2 x 2 + 1
Câu 1. Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của lim
là:
x →−1
2 x5 + 1
1
1
A. −2 .
B. − .
C. .
D. 2 .
2
2
4 x3 − 1
Câu 2. lim 2
bằng:
x →−2 3 x + x + 2
11
11

A −∞. .
B. − . .
C. . .
D. +∞.
4
4

Trang 15


– Website chuyên đề thi tài liệu file word
x +1
bằng định nghĩa.
x →1 x − 2
A. +∞
B. −∞
C. −2
3
x + 1 bằng định nghĩa.
Câu 4. Tìm giới hạn hàm số lim
x→2
A. +∞
B. −∞
C. 9

Giới hạn – ĐS> 11

Câu 3. Tìm giới hạn hàm số lim

(

Câu 5. Tìm giới hạn hàm số lim
x →1

A. +∞

)

D. 1
D. 1

x+3 −2
bằng định nghĩa.
x −1

B. −∞

C. −2

D.

1
4

x+3
bằng định nghĩa.
x−2
A. +∞
B. −∞
C. −2

D. 1
2
2x − x +1
Câu 7. Tìm giới hạn hàm số lim
bằng định nghĩa.
x →−∞
x+2
A. +∞
B. −∞
C. −2
D. 1
3x + 2
Câu 8. Tìm giới hạn hàm số lim
bằng định nghĩa.
x →1 2 x − 1
A. +∞
B. −∞
C. 5
D. 1
2
4 x − 3x
f ( x) :
Câu 9. Cho hàm số f ( x ) =
. Chọn kết quả đúng của lim
x →2
( 2 x − 1) ( x3 − 2 )
Câu 6. Tìm giới hạn hàm số lim

x →+∞

5
.
9

5
5
.
C.
.
3
9
x+4 −2
Câu 10. Tìm giới hạn hàm số lim
bằng định nghĩa.
x →0
2x
1
A. +∞
B.
C. −2
8
4x − 3
Câu 11. Tìm giới hạn hàm số lim+
bằng định nghĩa.
x →1
x −1
A. +∞
B. −∞
C. −2
3x − 1

Câu 12. Tìm giới hạn hàm số lim−
bằng định nghĩa.
x →2 x − 2
A. +∞
B. −∞
C. −2
2
2x + x − 3
Câu 13. Tìm giới hạn hàm số lim
bằng định nghĩa.
x →1
x −1
A. +∞
B. 5
C. −2
x +1
Câu 14. Tìm giới hạn hàm số lim
4 bằng định nghĩa.
x →2
( 2 − x)
A. +∞
B. −∞
C. −2
2
3x
Câu 15. Tìm giới hạn hàm số lim 2
bằng định nghĩa.
x →+∞ 2 x + 1
3
A. +∞

B. −∞
C.
2
2
Câu 16. Tìm giới hạn hàm số lim x + x − 1 bằng định nghĩa.

A.

B.

x →−∞

Trang 16

(

)

D.

D. 1

D. 1

D. 1

D. 1

D. 1

D. 1

2
.
9


– Website chuyên đề thi tài liệu file word
A. +∞

B. −∞

C. −2
x −4

Giới hạn – ĐS> 11
D. 1

2

Câu 17. Tìm giới hạn hàm số xlim
→2−
A. +∞

B. −∞

(x

+ 1) ( 2 − x )

4

bằng định nghĩa.
C. 0

x + 3x + 2
bằng định nghĩa.
x +1
A. +∞
B. −∞
C. −2
2
x − x +1
Câu 19. Tìm giới hạn hàm số A = lim
bằng định nghĩa.
x →1
x +1
1
A. +∞
B. −∞
C.
2
2 tan x + 1
Câu 20. Tìm giới hạn hàm số B = limπ sin x + 1 bằng định nghĩa.
x→

D. 1

2

Câu 18. Tìm giới hạn hàm số xlim
→−1−

D. −1

D. 1

6

A. +∞

B. −∞

C.

Câu 21. Tìm giới hạn hàm số C = lim

3

x →0

A. +∞

B. −∞

4 3 +6
9

x + 2 − x +1
bằng định nghĩa.

3x + 1
C. 3 2 + 1

7x +1 +1
bằng định nghĩa.
x →1
x−2
A. +∞
B. −∞
C. −2
x +1
Câu 23. Tìm giới hạn hàm số A = lim 2
bằng định nghĩa.
x →−2 x + x + 4
1
A. +∞
B. −∞
C. −
6
2
sin 2x − 3cos x
Câu 24. Tìm giới hạn hàm số B = limπ
bằng định nghĩa.
tan x
x→

Câu 22. Tìm giới hạn hàm số D = lim

D. 1

D. 1

3

D. −3

D. 1

6

A. +∞

B. −∞

C.

3 3 9
−
4
2

D. 1

2x2 − x + 1 − 3 2 x + 3
bằng định nghĩa.
x →1
3x 2 − 2
3 3 9
A. +∞
B. −∞

C.
D. 2 − 3 5
−
4
2
3x + 1 − 2
Câu 26. Tìm giới hạn hàm số D = lim 3
bằng định nghĩa.
x →1
3x + 1 − 2
1
A. +∞
B. −∞
C. −
D. 0
6
 x 2 − 3 khi x ≥ 2
f ( x) :
Câu 27. Cho hàm số f ( x ) = 
. Chọn kết quả đúng của lim
x→2
x
−
1
khi
x
<
2

A. −1 .

B. 0 .
C. 1 .
D. Không tồn tại.
Câu 25. Tìm giới hạn hàm số C = lim

Trang 17


– Website chuyên đề thi tài liệu file word

Giới hạn – ĐS> 11

2

 x + ax + 1 khi x > 2
Câu 28. Tìm a để hàm số sau có giới hạn khi x → 2 f ( x ) =  2
.

2 x − x + 1 khi x ≤ 2
1
A. +∞
B. −∞
C.
D. 1
2
5ax 2 + 3 x + 2a + 1
khi x ≥ 0
Câu 29. Tìm a để hàm số sau có giới hạn tại x = 0 f ( x) = 
.
2

1 + x + x + x + 2 khi x < 0

B. −∞

A. +∞

2
2
khi x ≥ 0

C.

5ax 2 + 3 x + 2a + 1
a
f
(
x
)
=
Câu 30. Tìm để hàm số.

2
1 + x + x + x + 2

B. −∞

A. +∞

khi x < 0

C.

D. 1
có giới hạn tại x → 0

2
2

D. 1

 x 2 + ax + 1 khi x > 1

Câu 31. Tìm a để hàm số. f ( x) =  2
có giới hạn khi x → 1 .

2 x − x + 3a khi x ≤ 1
1
A. +∞
B. −∞
C. −
D. 1
6
0
DẠNG 2: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG VÔ ĐỊNH
0
P ( x)
1. L = xlim
với P(x), Q(x) là các đa thức và P(x0) = Q(x0) = 0
→ x0 Q ( x )
Phân tích cả tử và mẫu thành nhân tử và rút gọn.

Chú ý:
+ Nếu tam thức bậc hai ax 2 + bx+c có hai nghiệm x1 , x2 thì ta luôn có sự phân tích
ax 2 + bx + c = a ( x − x1 )( x − x2 ) .

+ a n − b n = (a − b)(a n −1 + a n − 2b + ... + ab n − 2 + b n −1 )
P ( x)
2. L = xlim
với P(x0) = Q(x0) = 0 và P(x), Q(x) là các biểu thức chứa căn cùng bậc
→ x0 Q ( x )
Sử dụng các hằng đẳng thức để nhân lượng liên hợp ở tử và mẫu.
Các lượng liên hợp:
+ ( a − b )( a + b ) = a − b
3 2
3 2
3
3
3
+ ( a ± b )( a m ab + b ) = a − b

+ ( n a − n b )( n a n −1 + n a n − 2b + ... + n b n −1 ) = a − b
P ( x)
3. L = xlim
với P(x0) = Q(x0) = 0 và P(x) là biêu thức chứa căn không đồng bậc
→ x0 Q ( x )
Giả sử: P(x) =

m

u ( x ) − n v ( x ) vôùi

m

u ( x0 ) = n v ( x0 ) = a .

Ta phân tích P(x) = ( m u ( x) − a ) + ( a − n v ( x ) ) .
Trong nhiều trường hợp việc phân tích như trên không đi đến kết quả ta phải phân tích như sau:
n u ( x ) − m v ( x ) = ( n u ( x ) − m ( x )) − ( m v ( x ) − m ( x ))
, trong đó m( x) → c .
x2 + 2 x + 1
là:
x →−1 2 x 3 + 2

Câu 1. Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của lim
Trang 18


– Website chuyên đề thi tài liệu file word
A. −∞ .

B. 0 .
x →1

B. −∞

A. +∞

1
.
2

D. +∞ .

C.

3
2

D. 1

x4 − 5x2 + 4
:
x3 − 8

Câu 3. Tìm giới hạn B = lim
x→2

B. −∞

A. +∞

C.

x 3 − 3x 2 + 2
:
x2 − 4 x + 3

Câu 2. Tìm giới hạn A = lim

Giới hạn – ĐS> 11

C. −

1
6

D. 1

C. −

1
6

D. 25

(1 + 3 x)3 − (1 − 4 x) 4
:
x →0
x

Câu 4. Tìm giới hạn C = lim

B. −∞

A. +∞

x −3

f ( x ) là:
. Giá trị đúng của xlim
→ 3+

x2 − 9
A. −∞. .
B. 0. .
C. 6. .
(1 + x)(1 + 2 x )(1 + 3x ) − 1
Câu 6. Tìm giới hạn D = lim
:
x→0
x
1
A. +∞
B. −∞
C. −
6
n
x −1
Câu 7. Tìm giới hạn A = lim m
(m, n ∈ ¥ *) :
x →0 x − 1
n
A. +∞
B. −∞
C.
m
n
1 + ax − 1
Câu 8. Tìm giới hạn B = lim
(n ∈ ¥ *, a ≠ 0) :
x →0
x

a
A. +∞
B. −∞
C.
n
n
1 + ax − 1
Câu 8. Tìm giới hạn A = lim m
với ab ≠ 0 :
x → 0 1 + bx − 1
am
A. +∞
B. −∞
C.
bn
3
4
1+ α x 1+ β x 1 + γ x −1
Câu 9. Tìm giới hạn B = lim
với αβγ ≠ 0 . :
x →0
x
Câu 5. Cho hàm số f ( x ) =

A. +∞

B. −∞

C. B =

2 x2 − 5x + 2
:
x →2 x 3 − 3 x − 2

γ β α
− +
4 3 2

D. +∞.

D. 6

D. m − n

D. 1−

n
a

D. 1+

am
bn

D. B =

Câu 10. Tìm giới hạn A = lim
A. +∞

B. −∞

Câu 11. Tìm giới hạn B = lim
x →1

Trang 19

x4 − 3x + 2
:
x3 + 2 x − 3

C.

1
3

D. 1

γ β α
+ +
4 3 2


– Website chuyên đề thi tài liệu file word
A. +∞

B. −∞

x →3

B. −∞

3

Câu 13. Tìm giới hạn D = lim

x →0 4

A. +∞

3

x →7

A. +∞

C. −

D. 1

1
3

D. 1

x +1 −1
:
2x +1 −1

B. −∞

Câu 14. Tìm giới hạn E = lim

1
5

2x + 3 − x
:
x2 − 4 x + 3

Câu 12. Tìm giới hạn C = lim
A. +∞

C.

Giới hạn – ĐS> 11

C.

2
3

D. 1

C.

−8
27

D. 1

4x −1 − x + 2

:
4
2x + 2 − 2

B. −∞

(2 x + 1)(3 x + 1)(4 x + 1) − 1
:
x →0
x
9
A. +∞
B. −∞
C.
2
3
1+ 4x − 1+ 6x
Câu 16. Tìm giới hạn M = lim
:
x →0
x2
1
A. +∞
B. −∞
C.
3
m
n
1 + ax − 1 + bx
Câu 17. Tìm giới hạn N = lim

:
x →0
x
a b
A. +∞
B. −∞
C. −
m n
m
n
1 + ax 1 + bx − 1
Câu 18. Tìm giới hạn G = lim
:
x →0
x
a b
A. +∞
B. −∞
C. −
m n

Câu 15. Tìm giới hạn F = lim

Câu 19. Tìm giới hạn V = lim (
x →0

A. +∞

1 + mx ) − ( 1 + nx )
x2

n

C.

( 1− x)

A. +∞

B. −∞

Câu 21. Tìm giới hạn L = lim

(

x →0

A. +∞

Trang 20

) (
n

B. −∞

a b
+
m n

D.

a b
+
m n

mn ( n − m )
2

D.

mn ( n + m )
2

n

:

n −1

C.

1 + x2 + x −

D.

:

( 1 − x ) ( 1 − x ) ...( 1 − x )
Câu 20. Tìm giới hạn K = lim
x →1

D. 0

m

B. −∞
3

D. 1

1 + x2 − x

)

1
n!

D. 0

n

:

x
C. 2n

D. 0


– Website chuyên đề thi tài liệu file word

2 x2 − 5x + 2
:
x →2
x3 − 8

Giới hạn – ĐS> 11

Câu 22. Tìm giới hạn A = lim
A. +∞

B. −∞

Câu 23. Tìm giới hạn B = lim
x →1

A. +∞

B. −∞
2x + 3 − 3
:
x − 4x + 3

B. −∞
3

Câu 25. Tìm giới hạn D = lim
x →0

x →0

m

D. 0

C.

1
3

D. 0

x→0

( 1 + mx )

n

− ( 1 + nx )

4
9

D. 0

C.

2 ( an − bm )
mn

D. 0

C.

2 ( an − bm )
mn

D. mn ( n − m )

m

1 + 2 x − 3 1 + 3x

:

B. −∞

( 1 − x ) ( 1 − x ) ...( 1 − x )
Câu 30. Tìm giới hạn K = lim
3

A. +∞

2 n −1

B. −∞

Câu 31. Tìm giới hạn A = lim
x →0

A. +∞

Trang 21

n

( 1− x )

x →1

D. 0

C.

1 + ax − n 1 + bx
:
1+ x −1

B. −∞

Câu 29. Tìm giới hạn V = lim
A. +∞

1
6

1+ 4x − 3 1+ 6x
:
1 − cos 3x

B. −∞

x →0

A. +∞

C.

(2 x + 1)(3x + 1)(4 x + 1) − 1
:
x →0
x
9
B. −∞
C.
n

Câu 28. Tìm giới hạn N = lim

D. 0

n

Câu 27. Tìm giới hạn M = lim
A. +∞

2
5

x +1 −1
:

2x +1 −1

B. −∞

Câu 26. Tìm giới hạn F = lim
A. +∞

C. −

D. 0

2

x →3

A. +∞

1
4

x 4 − 3x 2 + 2
:
x3 + 2 x − 3

Câu 24. Tìm giới hạn C = lim
A. +∞

C.

:

C.

1
n!

D. 0

C.

4
3

D. 0

4x +1 − 3 2x +1
:
x

B. −∞


– Website chuyên đề thi tài liệu file word
Câu 32. Tìm giới hạn B = lim

x →1 3

A. +∞

x →−1

A. +∞

x→2

x →0

x →−1

A. +∞

Trang 22

4
3

D.

2
5

C.

4
3

D. 3

C.

4
3

D. 1

C.

1
2

D. 0

C.

4
3

D. −1

x− x+2
:
x − 3 3x + 2

1 + 2 x − 3 1 + 3x
:
x2

B. −∞

Câu 36. Tìm giới hạn B = lim

C.

2 x + 3 + 3 2 + 3x
:
x + 2 −1

B. −∞

Câu 35. Tìm giới hạn A = lim
A. +∞

4

B. −∞

Câu 34. Tìm giới hạn D = lim
A. +∞

4x + 5 − 3
:
5x + 3 − 2

B. −∞

Câu 33. Tìm giới hạn C = lim

Giới hạn – ĐS> 11

5 + 4x − 3 7 + 6 x

:
x3 + x 2 − x − 1

B. −∞


– Website chuyên đề thi tài liệu file word

DẠNG 3: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG VÔ ĐỊNH

Giới hạn – ĐS> 11

∞
∞

Phương pháp:
P( x)
∞
trong đó P( x), Q ( x) → ∞ , dạng này ta còn gọi là dạng vô định .
Q( x)
∞
với P(x), Q(x) là các đa thức hoặc các biểu thức chứa căn.
– Nếu P(x), Q(x) là các đa thức thì chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của x.
– Nếu P(x), Q(x) có chứa căn thì có thể chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của x hoặc nhân
lượng liên hợp.
Tương tự như cách khử dạng vô định ở dãy số. Ta cần tìm cách đưa về các giới hạn:
lim x 2 k = +∞
lim x 2 k +1 = +∞ (−∞)
+ x →+∞
;

.
x →+∞

L = xlim
→±∞

( x →−∞ )

( x →−∞ )

k
lim n = 0 ( n > 0; k ≠ 0) .
+ x→+∞
x
( x →−∞ )
f ( x) = +∞ ( −∞) ⇔ lim
+ xlim
→x
x →x
0

Câu 1. lim

x →∞

0

k
= 0 ( k ≠ 0) .
f ( x)

5
bằng:
3x + 2

A. 0 .

B. 1 .

x4 + 7
Câu 2. Giá trị đúng của lim 4
là:
x →+∞ x + 1
A. − 1.
B. 1. .

Câu 3. Tìm giới hạn C = lim

x →+∞

A. +∞

5
.
3

D. +∞ .

C. 7. .

D. +∞.

C.

2 x − 3x 2 + 2
5x + x2 + 1

B. −∞

:
C.

2− 3
6

D. 0

2 x2 −1
bằng:
x →∞ 3 − x 2

Câu 4. lim

1
1
B. − .
C. .
3
3
x2 + 1

f ( x) :
Câu 5. Cho hàm số f ( x ) =
. Chọn kết quả đúng của xlim
→+∞
2x4 + x2 − 3
1
2
A. .
B.
.
C. 0 .
2
2
1 + 3x
Câu 6. xlim
bằng:
→−∞
2x2 + 3
3 2
2
3 2
A. −
.
B.
.
C.
.
2
2
2

A. −2 .

Câu 7. Tìm giới hạn D = lim

x →−∞

Trang 23

3

1 + x 4 + x6
1 + x3 + x 4

:

D. 2 .

D. +∞ .

D. −

2
.
2


– Website chuyên đề thi tài liệu file word
B. −∞

A. +∞

Câu 9. lim+
x →1

A. 3 .

4
3

D. 1

x −1
f ( x) :
. Chọn kết quả đúng của xlim
→+∞
x + x2 + 1

Câu 8. Cho hàm số f ( x ) = ( x + 2 )
A. 0 .

C.

Giới hạn – ĐS> 11

4

B.

1
.

2

C. 1 .

D. Không tồn tại.

B.

1
.
2

C. 1 .

D. +∞ .

x2 − x + 3
bằng:
2 x −1

x4 + 8x
là:
x →+∞ x 3 + 2 x 2 + x + 2
24
C. − .
5

Câu 10. Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của lim
A. −

21
.
5

21
.
5

B.

D.

24
.
5

( x 2 − x + 1 − x) :
Câu 12. Tìm giới hạn E = xlim
→+∞
A. +∞

B. −∞

C. −

1
2

D. 0

x( 4 x 2 + 1 − x) :
Câu 13. Tìm giới hạn F = xlim
→−∞
4
3
4 x5 − 3 x 3 + x + 1 là:
Câu 14. Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của xlim
→−∞
A. −∞ .
B. 0 .
C. 4 .
A. +∞

B. −∞

C.

(

)

x 4 − x3 + x 2 − x là:
Câu 15. Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của xlim
→+∞
A. −∞ .

B. 0 .

(

C. 1 .

)

D. 0

D. +∞ .
D. +∞ .

x − x2 + x + 1 :
Câu 16. Tìm giới hạn B = xlim
→−∞

A. +∞

B. −∞

C.

4
3

D. 0

( x 2 + 3 x + 1 − x 2 − x + 1) :
Câu 17. Tìm giới hạn M = xlim
→±∞
A. +∞

B. −∞

Câu 18. Tìm giới hạn N = xlim
→+∞
A. +∞

(

4

(

4
3

D. Đáp án khác

C.

4
3

D. 0

)

8x 3 + 2x − 2x :

)

16 x 4 + 3x + 1 − 4 x 2 + 2 :

B. −∞

Câu 20. Tìm giới hạn K = xlim
→+∞

Trang 24

3

B. −∞

Câu 19. Tìm giới hạn H = xlim
→+∞
A. +∞

(

C.

C.

)

x2 +1 + x2 − x − 2x :

4
3

D. 0

– Website chuyên đề thi tài liệu file word
A. +∞

B. −∞

C. −

3x 2 + 5 x + 1
:
x →+∞ 2 x 2 + x + 1

1
2

Giới hạn – ĐS> 11
D. 0

Câu 21. Tìm giới hạn A = lim
A. +∞

B. −∞

C.

3
2

D. 0

a0 x n + ... + an −1 x + an
(a0b0 ≠ 0) :
b0 x m + ... + bm −1 x + bm
4
B. −∞
C.
3

Câu 22. Tìm giới hạn B = xlim
→+∞
A. +∞

3

Câu 23. Tìm giới hạn A = lim

3x3 + 1 − 2 x 2 + x + 1

x →−∞

A. +∞

4

B. −∞

x →+∞

3

:
C. −

x x2 + 1 − 2x + 1

Câu 24. Tìm giới hạn B = lim
A. +∞

4x4 + 2

D. Đáp án khác

3

3+ 2
2

D. 0

:

2 x3 − 2 + 1

B. −∞

C.

4
3

D. 0

(2 x + 1)3 ( x + 2) 4
Câu 25.Tìm giới hạn A = lim
:
x →+∞
(3 − 2 x )7
A. +∞

B. −∞

C. −

4 x 2 − 3x + 4 − 2 x

Câu 26. Tìm giới hạn B = lim

x2 + x + 1 − x
B. −∞

x →−∞

A. +∞

2 x + 3x 2 + 2

Câu 27. Tìm giới hạn C = lim

5x − x2 + 1

x →+∞

A. +∞

3

1 + x3 + x 4

x →−∞

A. +∞

Trang 25

(

(

D. 0

:
C.

2+ 3
4

D. 0

C.

4
3

D. −1

:

)

x2 + x + 1 − 3 2 x3 + x − 1 :

B. −∞

Câu 30.Tìm giới hạn C = xlim
→+∞
A. +∞

C. 2

B. −∞

Câu 29. Tìm giới hạn A = xlim
→+∞
A. +∞

1 + x 4 + x6

D. 0

:

B. −∞

Câu 28. Tìm giới hạn D = lim

1
16

C.

4
3

D. 0

C.

1
2

D. 0

)

4x2 + x + 1 − 2x :

B. −∞