ứng dụng của máy tính cầm tay trong giải phuông trình vô tỷ

SỬ DỤNG MÁY TÍNH CASIO
TRONG VIỆC GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ
I. Chức năng của máy tính
Khi giải phương trình vô tỷ, mục đích của chúng ta là tìm một cách giải logic để tìm tất cả
nghiệm của phương trình chứ không phải chỉ tìm một nghiệm, cho nên máy tính chỉ được sử
dụng như một công cụ hỗ trợ các tính toán phức tạp và dự đoán chứ không phải máy tính sẽ thực
hiện giải các bài toán đưa ra. Tuy nhiên nếu biết khai thác triệt để các tính năng của máy tính thì
ta không chỉ tìm được lời giải cho bài toán mà còn tìm được nhiều cách giải khác nhau, đồng thời
có thể mở rộng và làm mới bài toán.
Một số tính năng của máy tính:
1. Phím CALC:
Khi nhập biểu thức đại số chứa biến, phím CALC sẽ hỏi giá trị biến và tính ra giá trị biểu
thích ứng với giá trị biến ta vừa nhập. Phím chức năng này cho phép ta tính một biểu thức cồng
kềnh với nhiều giá trị khác nhau chỉ với một lần nhập, tiết kiệm khoảng thời gian đáng kể.
2. Phím SHIFT CALC hay ta thường gọi là SOLVE:
Nguyên tắc hoạt động của chức năng này là khi ta nhập một giá trị bất kì thì màn hình hiển
thị ”X=?” thì bộ xử lý sẽ quay một hình tròn có tâm là điểm ta vừa nhập trên trục hoành, với bán
kính lớn dần. Khi gặp giá trị gần nhất thỏa mãn thì máy sẽ dừng lại và hiển thị giá trị đó dưới
dạng phân số tối giản hoặc số thập phân. Nếu trong một thời gian nhất định mà máy vẫn chưa
tìm được nghiệm thì máy sẽ hiển thị giá trị gần nhất máy tìm được thỏa mãn phương trình với
sai số hai vế là thấp nhất. L-R ở hàng thứ hai trên màn hình chính là sai số ở hai vế (thông
6
thường sai số này rất bé khoảng 10 trở xuống).

3. Chức năng TABLE: (MODE 7)
Chức năng này cho phép hiển thị đồng thời các kết quả của một biểu thức trong đó các giá trị
biến ta gán là cấp số cộng. Chức năng này cho phép ta nhìn tổng thể các giá trị của biểu thức,
thuận lợi cho việc sử dụng tính liên tục và dấu của biểu thức để dự đoán khoảng chứa nghiệm
một cách tiết kiệm thời gian.
II.

CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ VỚI SỰ HỖ TRỢ CỦA
MÁY TÍNH CASIO
DẠNG 1: PHÂN TÍCH BIỂU THỨC THÀNH TÍCH CÁC NHÂN TỬ:
2
2
Dạng: ax  bx  c  (dx  e) Ax  Bx  C(*) .( a, b, c, d , e, A, B và C là các số đã biết ).

1


Cơ sở toán học:
Đặt điều kiện cho phương trình (*) xác định.
Với

điều

kiện

trên,

bình

phương

2

vế

của

(*)

ta

được:

2

(ax 2  bx  c) 2  �
(dx  e) Ax 2  Bx  C � 0(**)
�
�

Giả sử: phương trình (**) có 2 nghiệm x 1, x2và x1.x2=P1, x1+x2=S1 thì theo định lý Viete ta có x 1
và x2 là nghiệm của phương trình X2– S1X+P1=0.
Vế trái của (**) là một đa thức bậc 4 nên có thể phân tích thành tích của 2 tam thức bậc 2 nên
(**) trở thành: (X2 –S1X+P1 )( X2 - S2X +P2) =0. Khi đó việc giải phương trình (*) đưa về giải hai
phương trình bậc 2.
Tìm nghiệm của hai phương trình trên, kết hợp với điều kiện ban đầu ta được nghiệm của
phương trình (*).
Máy tính CASIO sẽ giúp ta dễ dàng tìm ra 2 nghiệm x 1, x2 và các hệ số của 2 tam thức bậc 2
cũng như giải 2 phương trình bậc 2 nói trên
Ví dụ áp dụng:
2
2
Giải phương trình sau: 10x  3x  6  2(3x  1) 2x  1  0(1) .

�
2x 2  1 �0
�

�
3  249  2 � � 2
� 2
� x ��
;
�
��� ; ��
10x  3x  6
2 � �2
�0
� 20
�
�
�
3x

1
Điều kiện của phương trình:

Ta chia được cho 3x  1 vì

x

1
3 không là nghiệm của phương trình ban đầu

Phần 1: Tìm nghiệm.
Bước 1: Đoán khoảng nghiệm.
2
2

2
2
Với điều kiện trên (1) tương đương với (10x  3x  6)  [2(3x  1) 2x  1]  0(1').

Bấm MODE

7 (chọn TABLE).

Màn hình hiển thị f(X)= ta nhập biểu thức

2


Vào rồi nhấn dấu = Chú ý rằng chữ x trong biểu thức f(x) được nhập bằng tổ hợp phím
ALPHA X. Màn hình máy tính hiển thị chữ Start? Nhấn

= hình hiện ra chữ End?. Nhấn
Tiếp theo nhấn màn

-

1

= hình hiện ra chữ Step? Nhấn rồi nhấn 1
Tiếp theo nhấnmàn

1

0

0

=

Khi đó máy hiện một bảng gồm các giá trị của x từ -10 đến 10.

3


Cần chú ý tới hai giá trị của x liên tiếp giả sử là x 1 và x2 (giả sử x1x này ta được hai giá trị f(x1) và f(x2) trái dấu. Khi đó, phương trình sẽ có thể có nghiệm trong
khoảng (x1;x2).
Cơ sở toán học: Hệ quả định lý giá trị trung gian:
Cho f là hàm số liên tục trên đoạn [a; b] . Nếu f(a). f(b) < 0 thì phương trình f(x) = 0 có nghiệm
x �(a; b).
Giáo trình giải tích hàm một biến - TS. Nguyễn Cam – trang 53
Trong ví dụ này ta được nghiệm trong khoảng (1;2), (-1;1) và (-2;-1).
Chú ý: Khi cho bước nhảy (Step?) càng nhỏ tức càng thu hẹp được khoảng nghiệm, bằng cách
=
1
=
2
nhấn tiếp =AC
C
Ta được một bảng giá trị của f(x) từ 1 tới 2.

=

0
1

.

1

=

Như vậy khoảng nghiệm hẹp hơn là (1.3;1.4).
Tương tự cho2 khoảng nghiệm còn lại.
-

Khoảng nghiệm (-1;1)có khoảng nghiệm hẹp hơn là (-0.9; -0.8) và (-0.8; 0.8).
Khoảng nghiệm (-2; -1) có khoảng nghiệm hẹp là (-1.8; -1.7).

Bước 2: Tìm nghiệm
2
2
2
2
Trở lại màn hình soạn thảonhập biểu thức “ (10x  3x  6)  [2(3x  1) 2x  1]  0(1'). ”

SHIFT

CALC

4


Rồi nhấn

( SOLVE)

Màn hình máy tính hiện “Solve for X”. Nhập x trong khoảng (1.3; 1.4) chẳng hạn như “1.35”.

Màn hình hiện kết quả X= 1.392280956.

Gán kết quả này vào phím A bằng cách nhấn. SHIFT

STO

A

Bước 3:
Quay lại bước 2, nhập vào
-0.8) , chẳng hạn “-0.85”.

giá trị x trong khoảng (-0.9,

4
7

Màn hình hiện kết quả X=-0.820852384.

SHIFT

STO

B

5

Gánkết quả này vào phím B : .

Tiếp tục thực hiện lại các bước trên với 2 khoảng nghiệm còn lại.
Nhập x trong khoảng (-0.8; 0.8) chẳng hạn “ 0.75”
Màn hình hiện kết quả X=0.7247448714.
Gán kết quả này vào phím C:

SHIFT

STO

C

Nhập x trong khoảng (-1.8; -1.7) chẳng hạn “-1.75”
Màn hình hiện kết quả X=-1.7247448714.
Nhập kết quả này vào phím D:

SHIFT

STO

D

Phần 2: Tìm tam thức bậc 2.
Bây giờ ta sẽ thử tìm các tam thức bậc 2 tạo từcác nghiệm trên. Nghĩa là ta cần tính tồng và tích
của 2 nghiệm. Chú ý các nghiệm có phần thập phân giống nhau.
Ở ví dụ này, tính A+B và AB.

4
8
Thu được A+B= 7 , AB = 7 .

Vậy A và B là nghiệm của phương trình
� 2(1  15)
�A 
�
7
�
4
8
� 2(1  15)
X 2  X   0 �B 
7
7
7
�

A
ALPHA

ALPHA

B

6


( A được nhập bằng phím

và B được nhậpbằng

).

Tương tự, tính C+D và C.D.
Thu được C+D = -1, C.D=-5/4. Vậy C và D là nghiệm của phương trình
� 1  6
C
�
5
�
2
X2  X   0 � �
4
1  6
�
C
�
�
2

( C được nhập bằng phím

ALPHA

C và D được nhập bằng

ALPHA

) .D

Vậy: Với điều kiện trên (1) trở thành
(10X 2  3X-6) 2  (2(3X+1) 2X 2  1) 2  0
8�
5�
�2 4
�2
��
X  X �
X  X  � 0
�
7
7�
4�
�
�
8
�2 4
X  X 0
�
7
7
��
5
�
X2  X   0
�
4
�

x
�
�
�
x
�
��
�
x
�
�
�
x
�
�

2(1  15)
7
2(1  15)
7
1  6
2
1  6
1  6
x
2
2
. So điều kiện ta loại nghiệm
.

Kết luận
Nghiệm của phương trình là:

7


� 2(1  15)
x
�
7
�
� 2(1  15)
x
�
7
�
� 1  6
x
�
2
�

Chú ý:
Để rút ngắn thời gian nhập lại nhiều lần biểu thức f(x) ở bước 3, sau khi nhập biểu thức f(x) ở
bước 2, ta nhấn
sau thành nhấn

=

rồi tiếp tục nhấn các tổ hợp phím như trên và thay các lần nhập biểu thức

∆

Ở những bài mà bằng cách đoán nghiệm, ta không thể tìm được đủ 4 nghiệm cũng có thể sử
dụng phương pháp này , sau khi biết được tam thức bậc 2 thứ nhất, ta sẽ tìm tam thức còn lại
bằng cách chia đa thức.
DẠNG 2: DÙNG BIỂU THỨC LIÊN HỢP
Biến đổi phương trình về dang:A. (x –x0)g(x)=0 với x0 là nghiệm của phương trình.
Cơ

sở

lý

luận

�x 0 �D
��
f (x )  0
Ta biết x=x0 là nghiệm của phương trình f(x) � 0
. Nếu x = a là nghiệm của đa thức P (x)

thì P(x) = ( x - a)P1(x).
Từ đó ta có nhận xét : Nếu x = x 0 là một nghiệm của phương trình f(x) = 0 thì ta có thể đưa
phương trình f(x) = 0 về dạng (x - x0)f1(x) = 0 và khi đó việc giải phương trình
f(x)
=
0
quy
về

giải
phương
trình
f 1(x)
=
0.
n
n
n-1
n-2
n-2
n-1
Ta đã biết : a - b = (a - b) ( a + a b+....+ ab + b ) gọi là hai biểu thức liên hợp của nhau.
Việc xử dụng các biểu thức liên hợp để bỏ căn thức là một yếu tố quan trọng nhất trong việc sử
dụng phương pháp nhân lượng liên hợp trong giải phương trình vô tỉ mà ta sẽ bắt đầu nghiên cứu
từ các ví dụ cụ thể sau đây.
2
VD: Giải phương trình: 8x  5  2 4x  1  3 (1)

Cách giải:
Bước 1:

8


8x  5 �0
�
� 2
Đặt điều kiên: �4x  1 �0
3  1 � �

1
�
�
; ��� ; ��
�
�
D= �8 2 � �2

Bước 2: Viết phương trình dưới dạng:
Bước 3: Nhập vế trái của phương trình

8x  5  2 4x 2  1  3  0  1�


 1�
 vào màn hình máy tính.

Bước 4: Dùng chức năng có
phương trình trên, tìm nghiệm đúng hoặc gần đúng.
Bấm máy hiện ra “Solve for X”,
1�D) hoặcCALC
Bấm (vìSHIFT
có thể chọn số khác.
=

sẵn của máy tính để giải

1

Đợi trong vài giây máy hiển

thị kết quả là nghiệm đúng

hoặc gần đúng của phương trình. Đối với bài này ta được nghiệm

Bước 5: Giải bài này khi
Biết phương trình có 1 nghiệm
nhân tử: 
sẵn nhân tử.

2x  1

x

1
2.

biết được 1 nghiệm của nó.
x

1
2 . Ta tính

1
8.  5  3
2
. Vậy biểu thức

sau khi nhân lượng liên hợp. Còn biểu thức

2 4x 2  1  2



8x  5  3



sẽ cho

 2x  1  2x  1 đã có

Vậy lời giải bài toán như sau :

9


 1 � 8x  5  3  2 4x 2  1  0
4  2x  1
�
 2  2x  1  2x  1
8x  5  3

0

�2 2x  1
�
� 2 2x  1 �
 2x  1 � 0
� 8x  5  3

�
�2 2x  1
 2x  1  0
�
� � 8x  5  3
� 2x  1  0
�
�2 2x  1
 2x  1  0(vô nghiêm)
�
8x

5

3
�
�
� 1
x  (nhân)
�
� 2

Vậy phương trình (1) có một nghiệm duy nhất

x

1
2.

Biến đổi phương trình về dạng: B. a(x-x1)(x-x2)g(x)=0 với x1, x2là nghiệm của phương trình

Ví dụ: Giải phương trình

3x 2  x  3  3x  1  5x  4  2 

Bước 1:
Đặt điều kiện phương trình:
�
3x  1 �0
�
5x �۳
4 0
�
�
2
3x  x  3 �0
�

x

1
3

Bước 2:
Đoán nghiệm của phương trình
Nhấn

MODE

chọn TABLE).
7

2
Màn hình hiển thị“f(X)=” nhập biểu thức “ 3x  x  3  3x  1  5x  4 ”vào rồi nhấn dấu .

=

10


1
Màn hình máy tính hiển thị chữ Start? Tiếp theo nhấn “ 2 ”

Tiếp theo nhấn “=” màn hình hiện ra chữ End?, nhấn “10”

Tiếp theo nhấn “=” màn hình hiện ra chữ Step?, nhấn “”

1
Tiếp theo nhấn “=”. Vậy ta được bảng gồm các giá trị của x từ 2 tới 10.

Nhìn vào bảng giá trị ta thấy tại x=0 và x=1 thì ta nhận được giá trị bằng 0. Vậy x=0 và x=1là hai
nghiệm của phương trình.
Bước 3:
Tách ghép rồi nhân lượng liên hợp để có nhân tử chung là x(x-1).
Ta thấy phương trình có sẵn là 3x2 nên cần thêm -3x nữa. Vậy ta được
3(x 2  x)  2x  3  3x  1  5x  4  0 tiếp tục muốn sau khi nhân lượng liên hợp để mất đi số

1và số 4 trong cả hai căn thức thì chúng ta tách 2x+3=(x+1)+(x+2).

11

Vậy ta được:
3x 2  x  3  3x  1  5x  4  0
�
� 3(x 2  x)  �
(x  1)  3x  1 �
(x  2)  5x  4 �
�
� �
� 0
� 3(x 2  x) 

x2  x
x2  x

0
(x  1)  3x  1 (x  2)  5x  4

�
�
1
1
� (x 2  x) �
3

� 0
� (x  1)  3x  1 (x  2)  5x  4 �
�
x2  x  0
��

1
1
�
3

 0(vô nghiêm)
�
� (x  1)  3x  1 (x  2)  5x  4
x0
�
��
( nhân)
x 1
�

Vậy phương trình có nghiệm là:

x0
�
�
x 1
�

DẠNG 3: DÙNG MÁY TÍNH ĐỂ ĐOÁN NGHIỆM VÀ BIẾN ĐỔI PHƯƠNG TRÌNH VÔ
TỶ VỀ DẠNG HỆ ĐỐI XỨNG LOẠI 2
2
2
VD: Giải phương trình x  2x  2 2x  1 (dạng ax  bx  c  k dx  e )(1)

(a=1, b=-2, c=0, k=2, d=2, e=-1)

Bây giờ công việc của chúng ta là đặt ần phụy theo x sao cho có thể đưa phương trình (1) về
dạng phương trình đối xứng loại 2. Tacần xác định hệ số m, n hữu tỉ sao cho cách đặt:
my  n  2x  1 (*) có thể đưa phương trình (1) về dạng hệ phương trình đối xứng.

Nhận xét hệ số a=1  m=1. Vậy việc còn lại là ta cần xác định n nữa là xong. Bây giờ ta cần
xác định lại mục đích của ta là đưa phương trình (1) về dạng hệ phương trình đối xứng x, y và hệ
đó phải có nghiệm x=y. Điều này giúp ta xác định n một cách dễ dàng hơn.
Ta tìm n dựa vào hệ thức (*) và nhận xét x=y.
 n  2x  1  y  2x  1  x (với x là nghiệm của phương trình (1)). Nếu tìm được nghiệm x
sao cho n là số hữu tỉ thì bài toán coi như được giải quyết xong.

12


� 1
�x �
۳ x
� 2
2
�
Bước 1: Đặt điều kiện của phương trình �x  2x �0

2

2
Bước 2: Viết lại phương trình dưới dạng x  2x  2 2x  1  0(1')

Bước 3: Nhập vế trái của (1’) vào màn hình của máy tính

Bước 4: Dùng chức năng có sẵn của máy tính để giải phương trình trên, tìm nghiệm đúng hoặc

gần đúng.
Nhấn

SHIFT

máy hiện ra “Solve for X” nhấn (vì 2 �D) hoặc có thể chọn số khác.
CALC
=
2

Màn hình hiện kết quả X=3.414213562.

Gán kết quả này vào phím A bằng cách nhấn

Tính

SHIFT

STO

A

2A  1  A . Ta nhập “ 2A  1  A ” vào màn hình máy tính rồi nhấn dấu “=”.

13


Màn hình hiện ra “-1”. Vậy ta

được n=-1.

Đặt
y  1  2x 1(**)
� y 2  2y  1  2x  1
�x 2  2x  2(y  1)
�
� �2
�y  2y  2(x  1)
� x 2  y 2  2(x  y)  2(y  x)
� (x  y)(x  y  4)  0
x  y  0(2)
�
��
x  y  4  0(3)
�

Thế (2) vào (**) ta được
x  1  2x  1
� 1
�x �
�� 2
2
�
�x  4x  2  0
� 1
�x �
�� 2
�x  2 � 2
�
� x  2� 2

Thế (3) vào (**) ta được
x  3  2x  1
�x �3
� �2
�x  4x  10  0(vô nghiêm)

So điều kiện ban đầu x �2 ta được nghiệm của phương trình là x  2  2
Vậy nghiệm của phương trình là x  2  2 .

14


DẠNG 4: DÙNG MÁY TÍNH ĐOÁN NGHIỆM VÀ ĐƯA PHƯƠNG TRÌNH VỀ DẠNG
KHẢO SÁT HÀM SỐ
Kế đến chúng ta cùng tìm hiểu phương pháp tiếp theo sử dụng một công cụ hỗ trợ mạnh nhất đối
với học sinh trung học phổ thông – khảo sát hàm số.
Cơ sở toán học:
Dựa trên cơ sở tính đơn điệu của hàm số ta có thể tìm được nghiệm phương trình vô tỷ
Định lí 1: Nếu hàm số y = f(x) luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) và liên tục trên D thì
sốnghiệm của phương trình trên D: f(x) = k không nhiều hơn một và f(x) = f(y) khi và chỉ khi x =
yvới mọi x,y thuộc D.
Chứng minh: Giả sử phương trình f(x) = k có nghiệm x = a, tức là f(a) = k.
Do f(x) đồng biến nên
* x > a suy ra f(x) > f(a) = k nên phương trình f(x) = k vô nghiệm
Vậy pt f(x) = k có nhiều nhất là một nghiệm.
Chú ý:
* Từ định lí trên, ta có thể áp dụng vào giảiphương trình như sau: Bài toán yêu cầu giảiphương
trình:F(x) = 0. Ta thực hiện các phép biến đổi tươngđương đưa phương trình về dạng f(x) = k
hoặc f(u) = f(v) ( trong đó u = u(x), v = v(x)) và tachứng minh được f(x) là hàm luôn đồng biến

(nghịch biến)
Nếu là phương trình: f(x) = k thì ta tìm một nghiệm, rồi chứng minh đó là nghiệm duy nhất.
Nếu là phương trình: f(u) = f(v) ta có ngay u = v giải phương trình này ta tìm được nghiệm.
* Ta cũng có thể áp dụng định lí trên cho bài toán chứng minh phương trình có duy nhất một
nghiệm.
Định lí 2: Nếu hàm số y = f(x) luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) và hàm số y = g(x) luôn
nghịch biến (hoặc luôn đồng biến ) và liên tục trên D thì số nghiệm trên D của phương trình: f(x)
= g(x) không nhiều hơn một.
Chứng minh:
Giả sử x = a là một nghiệm của pt: f(x) = g(x), tức là f(a) g(a).Ta giả sử f(x) đồng biến còn g(x)
nghịch biến.

15


*Nếu x > a suy ra f(x) > f(a) = g(a) > g(x) dẫn đến phương trình f(x) = g(x) vô nghiệm khi x > a.
*Nếu x < a suy ra f(x) < f(a) = g(a) < g(x) dẫn đến phương trình f(x) = g(x) vô nghiệm khi x < a.
Vậy pt f(x) = g(x) có nhiều nhất một nghiệm.
Chú ý: Khi gặp phương trình F(x)=0 và ta có thể biến đổi về dạng f(x)=g(x), trong đó f(x) và
g(x) khác tính đơn điệu. Khi đó ta tìm một nghiệm của phương trình và chứng minh đó là
nghiệm duy nhất.
Định lí 3: Nếu hàm số y=f(x) luôn đồng biến ( hoặc luôn nghịch biến) và liên tục trên D thì
f(x) > f(y) nếu x > y (hoặc x < y )
3
2
Ví dụ: Giải phương trình: x  3x  1  8  3x (1)

2 6
2 6
�x �

3
Bước 1: Đặt điều kiện của phương trình 3
3
2
Bước 2: Viết lại phương trình dưới dạng x  3x  1  8  3x  0 (1’)

Bước 3: Nhập vế trái của (1’) vào màn hình của máy tính

Bước 4: Dùng chức năng có sẵn của máy tính để giải phương trình trên, tìm nghiệm đúng hoặc
gần đúng.
SHIFT

Nhấn
số khác ), nhấn “=”.

CALC

3
màn hình máy tính hiện ra “Solve for X”, nhấn“ 2 ” ( có thể chọn

Màn hình hiện kết quả X1=1.618033989.

16


Gán kết quả này vào phím A

SHIFT

STO bằng

A cách nhấn

Rồi tiếp tục nhập vế trái của (1’) vào màn hình máy tính, nhấn

SHIFT

CALC

màn

3
hình hiện ra “solve for X”, nhấn “ 2 ”( có thể chọn số khác ) , nhấn “=”.

Màn hình hiện thị kết quả X2=-0.618033988.

Gán kết quả này vào phím B bằng cách nhấn. SHIFT

STO

B

Bây giờ ta sẽ thử tìm tam thức bậc 2 tạo từ hai nghiệm trên. Nghĩa là ta cần tính A+B và AB.

17


Thu được A+B=1, AB= -1.
Điều đó đã chứng tỏ A, B là hai nghiệm của phương trình X2 – X- 1=0
Ta viết phương trình đã cho lại thành
x 3  3x  1  8  3x 2  0

� x 3  3x  1  (px  q)  (px  q)  8  3x 2  0
� x 3  3x  1  (px  q) 
� x 3  (3  p)x  1  q 

(px  q) 2  (8  3x 2 )
px  q  8  3x 2

0

(p 2  3)x 2  2pqx  q 2  8
px  q  8  3x 2

0

2
2
2
2
Đến đây để xuất hiện nhân tử (x 2 – x -1) thì (p  3)x  2pqx  q  8  a(x  x  1) với a là một hệ
số. Chọn a=4 thì ta được một cặp (p,q) thỏa mãn là (p,q)=(-1,2).

Lời giải:
x 3  3x  1  4

x2  x  1

0
2  x  8  x2
4(x 2  x  1)
� (x 2  x  1)(x  1) 

0
2  x  8  x2
4
� (x 2  x  1)(x  1 
)0
2  x  8  x2
�x 2  x  1  0
�
��
(I)
4
x

1


0
�
2  x  8  x2
�
2
Xét f (x)  2  x  8  3x . Ta có:

18


3x

f '(x)  1 

8  3x 2
3x
f '(x)  0 � 1 
 0 � 8  3x 2  3x
2
8  3x
�2 6
2 6
x
�
�
8  3x 2  0
3
3
�
6
�
�
� �3x  0
� �x  0
�x
3
�
�
8  3x 2  9x 2
�
�x  � 6
�
3

Ta có bảng biến thiên như sau (để đơn giản ta dùng chức năng của phím CALC khi tính các giá
trị trong bảng này):
x

2 6
3



f’(x)
f(x)

+

+

6
3

2 6
3

0

-

-

64 6
3

62 6
3
62 6
3
64 6
0  f (x) �
3
Suy ra

Như vậy:
x 1

4
2  x  8  3x

2

 x 1

4
2 6
12
�
1
0
f (x)
3
64 6

Vậy

19


�x 2  x  1  0
 I � �
4
�
 0(vô nghiêm)
�x  1 
2  x  8  x2
�
� x2  x  1  0
�x

1� 5
(nhân)
2

Kết luận nghiệm của phương trình là

x

1� 5
2

Nhận xét:
Phương pháp khảo sát hàm số cho phép chúng ta đánh giá tập giá trị của biểu thức một cách chặt
chẽ nhất. Tuy nhiên phương pháp này đòi hỏi những tính toán cồng kềnh vì những số vô tỷ chứa
căn mà nếu không có máy tính thì chúng ta khó mà tính toán dễ dàng. Như vậy với tổ hợp phím

SHIFT CALC vàphím CALC của máy tính giúp đỡ chúng ta rất nhiều trong quá trình tìm
nghiệm, tính các giá trị trong bảng biến thiên một cách chính xác nhất và nhanh nhất.
DẠNG 5: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ DỰA VÀO PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC
HÓA
Lượng giác hóa phương trình theo một số dấu hiệu chủ yếu sau đây

Nếu phương trình xuất hiện x2+ y2=a thì đặt

�x  asint
�
�y =acost

Đặt ẩn phụ lượng giác tùy theo điều kiện của phương trình và đặc thù của phương trình (đặc ẩn
phụ để có thể áp dụng được công thức lượng giác)
  �
�
t �� ; �
x �a
�2 2 �hoặc x=acost, t � 0; 
Nếu
thì có thể đặt x=asint,

Nếu

x �a

thì có thể đặt

x

  �
�
a
t � ; �
,t
�2 2 �
sin t ,

0

hoặc

x

a

t � 0;  , t �
cost ,
2

Ta xét ví dụ sau:
x 3  3x  x  2

Lời giải.

20


Điều kiện: x �2 .
+Nếu x  2 thì

x 3  3x  x  x 2  3  x  2x  x  x  x  2

.

Vậy x  2 không thỏa mãn phương trình.
Do đó để giải ta chỉ cần xét 2 �x �2 .
Sử dụng chức năng TABLE và SHIFT SLOVE của máy ta thu được nghiệm x=2 ta còn được hai
nghiệm vô tỷ khác là x=-1,618033989 và x= -0,445041867. Sử dụng chức năng SHIFT STO để
gán 2 nghiệm của phương trình trên vào A,B rồi tính A+B, AB ta đều thu được hai số vô tỷ.
Như vậy ý định dùng phương pháp tách có vẻ không khả quan mấy.
Ta sẽ đi tìm phương pháp khác. Để ý

x � 2,2

nếu lấy x chia 2 ta nghĩ ngay đến lượng giác.

t � 0,
Khi đó, ta đặt x  2cos t , điều kiện
. Thay vào phương trình đã cho ta được
8cos3 t  6cos t  2  1  cos t  � 4cos 3 t  3cos t  cos
�
� t
t
3t   k2 
�
�
t
2
� cos3t  cos � �
��

t
2
�
�
3t    k2
t
�
�
2

Do

t � 0, 

nên chỉ lấy các nghiệm

Phương trình đã cho có ba nghiệm

k4 
5
k4 
7

t  0, t 

t
2

(k ��)

4
4
,t 
5
7 .

x  2, x  2cos

4
4
, x  2cos
5
7 .

Ví dụ 2: Giải phương trình sau
1  x2 

x
16x  12x 2  1
4

Lời giải.

21


Từ điều kiện
túi ta suy ra

Ta đặt

x �1

x �1

4
2
và 16x  12x  1 �0 sử dụng chức năng giải phương trình trong máy tính bỏ

và

x ��

3� 5
8 .

x  cos t, t � 0;   , x ��

3� 5
8 .

Thay vào phương trình đã cho ta được
1  cos2 t 

cos t
16cos t  12cos2 t  1
4

� sin t  16cos4 t  12cos2 t   cos t
2

� sin t �
16 1  sin 2 t   12  1  sin 2 t   1� cos t
�
�

� 16sin5 t  20sin 3 t  5sin t  cos t

� sin 5t  cos t
� �
� sin 5t  sin �  t �
�2 �

�  k
t 
�
12 3
��
 k ��
 k
�
t 
� 8 2

Do

t � 0, 

Vậy

x  cos

nên chỉ lấy các nghiệm.


5
3
5
, x  cos , x  cos , x  cos , x  cos
12
8
12
4
8

Nhận xét: Tuy máy tính bỏ túi không được áp dụng phần lớn ở đây như các phương pháp trên,
nhưng vẫn đóng vai trò quan trọng trong việc đoán nghiệm, xử lý nghiệm và thử lại. Phương
pháp lượng giác hóa cho ta những biến đổiàiđơn giản đồng thời khi bài toán giải được bằng

22


phương pháp này thì khó giải được bằng các phương pháp khác (do đặc thù của hàm số lượng
giác).
Bài tập áp dụng
Giải các phương trình sau
2
1. 3x+1  6  x  3x  14x-8=0

2.

4x+1  3x-2 

x 3
5

5
3
3. x  x  1  3x  4  0

2
2
4. 3  x  x  2  x  x  1
2
2
5. (x  3) 2x  1  x  x  3

6.

x3 

1
7
x
5
2
2x

2
2
7. (x  3) x  x  2  x  3x+4

8.

x2  1  

x 2  1 (x 2  1) 2

2x
2x(1-x 2 )

23