Chuyên đề dãy số bồi dưỡng học sinh giỏi toán có lời giải

www.thuvienhoclieu.com

CHUYÊN ĐỀ DÃY SỐ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN
1.1. DỰ ĐOÁN SỐ HẠNG TỔNG QUÁT VÀ CHỨNG MINH BẰNG QUY NẠP.

Bài 1.

Cho dãy số
dãy đã cho.

 un 

xác định bởi :

u1  11
�
�
un 1  10un  1  9n, n �N
�

. Xác định số hạng tổng quát của

Hướng dẫn giải
Ta có:.

u1  11  10  1
u2  10.11  1  9  102  100  2
u3  10.102  1  9.2  1003  1000  3 .
Dự đoán:

un  10n  n  1

.

Chứng minh theo quy nạp ta có.
u1  11  101  1 , công thức  1 đúng với n  1 . Giả sử công thức  1 đúng với n  k ta có uk  10k  k .
Ta có:

uk

1

Công thức

 10  10k  k   1  9k  10k 1   k  1

 1

.

đúng với n  k  1 .

n
Vậy un  10  n , n �N . .

Bài 2.

Cho dãy số (un ) biết

u1  2
�

�
un  3un 1  1, n �2
�

. Xác định số hạng tổng quát của dãy.

Hướng dẫn giải
un  3un 1  1 � un 

Đặt

vn  un 

1
3
1
1
 3un1  � un   3(un 1  )(1)
2
2
2
2
.

1
1 5
� v1  u1  
2
2 2 .

(1) � vn  3vn 1 , n �2 .

Dãy (vn ) là cấp số nhân với công bội là q  3 .
Nên

vn  v1.q n 1 

Do đó

un  vn 

5 n 1
.3
2
.

1 5 n 1 1

3  , n  1, 2,...
2 2
2
.

www.thuvienhoclieu.com

Trang 1


www.thuvienhoclieu.com
3�

n4 �
u1  1; u n 1  �
un  2
, n �N*
�
2
n

3
n

2
�
�
xác định bởi
.Tìm công thức số hạng

u 
Cho dãy số n
tổng quát un của dãy số theo n .

Bài 3.

HƯỚNG DẪN GIẢI
*
Với mọi n �� , ta có.

2un 1  3(un 
� 2(un 1 

Dãy số

3
3
3
3
3
)  3(un 
) � un 1 
 (un 
).
n2
n 1
n2 2
n 1 .

(vn ), vn  un 
n 1

�3 �
vn  � �
�2 �
Bài 4.

n4
2
3
) � 2un 1  3(un 

)

(n  1)( n  2)
n  2 n 1 .

3
3
1
q
v1  
n  1 là cấp số nhân có công bội
2 và
2.
n 1

3
1 �3 �
�1�
.�
 �
, n ��* � un 
 � � , n ��*
n  1 2 �2 �
� 2�
.



Cho hàm số f : Z � Z thỏa mãn đồng thời các điều kiện:.

(1)

f  n  1  f  n  n �Z  .
,
.

(2)

f�
�f  n  �
� n  2000 , n �Z  . .

a/Chứng minh:
b/Tìm biểu thức

f  n  1  f  n  n �Z  .
,
.
f  n

.
HƯỚNG DẪN GIẢI

Câu a.
Vì

f  n  �Z 
f  n  1 �f  n   1 n �Z  .
nên từ giả thiết (1) ta được:
,
.


Kết hợp giả thiết (2) ta được n �Z . .

n  2001   n  1  2000  f �
��f �
�f  n  �
� 1  n  2001
f  n  1  f  n   1 n �Z  . .
�f  n  1 �
do đó:
,
Câu b.
f  n   f  1  n –1, n �Z  � f  f  1   f  1  f  1 –1
Suyra:

,.

1  2000  2 f  1 –1 � f  1  1001 � f  n   n  1000, n �Z 

Thử lại thỏa các điều kiện, nên

f  n   n  1000, n �Z  .

.

.

Bài 5.
a)Xác định ba số hạng đầu của một cấp số cộng, biết tổng của chúng bằng 9 và tổng các bình phương của
chúng là 125.

www.thuvienhoclieu.com

Trang 2


www.thuvienhoclieu.com

b)Cho dãy số

 un 

u1  16
�
�
�
15  n.un  1
un 1  14 
, n �1
�
n

1
�
có
. Tìm số hạng tổng quát un .
Hướng dẫn giải

a)Xác định ba số hạng đầu của một cấp số cộng, biết tổng của chúng bằng 9 và tổng các bình phương của
chúng là 125.
Gọi d là công sai, số hạng thứ 2 là a. Khi đó 3 số hạng đầu của csc là a  d , a, a  d .

ad aad 9
�
�
�
2
2
 a  d   a 2   a  d   125 .
Theo giả thiết ta có hệ: �
3a  9
�
�� 2
3a  2d 2  125
�
a3
�
��
d  �7
�
.
Vậy có 2 cấp số thỏa mãn có 3 số hạng đầu là: -4;3;10 hoặc 10;3;-4.

b)Cho dãy số

Ta có:

 un 

un 1  14 

u1  16

�
�
�
15  n.un  1
un 1  14 
, n �1
�
n

1
�
có
. Tìm số hạng tổng quát un .

15  n.un  1
n 1

�  un 1  14   n  1  15  n.un  1

�  n  1 un 1  15nun  14n  1
Đặt

vn  nun  � v1  16 

(1) trở thành:
Đặt

Từ đó ta có:
Bài 6.

(1).

.

vn 1  15vn  14n  1 � vn1   n  1  15  vn  n 

w n  vn  n  � w1  15 

(2) trở thành:

(2).

.

wn 1  15wn �  w n 

un 

.

n
là csn có w1  15, q  15 � w n  15 .

15n  n
n .

Cho dãy số

 un 

xác định bởi : u1  1; u2  4; un  2  7un 1  un  2, n ��* .

Chứng minh : un là số chính phương với mọi n nguyên dương.
Hướng dẫn giải
Ta có u1  1; u2  4; u3  25 .

www.thuvienhoclieu.com

Trang 3


www.thuvienhoclieu.com
un  vn 

Đặt

2
3
18
123
v1  ; v2  ; v3 
5 thì
5
5
5 .

un  2  7un 1  un  2, n ��*

Khi
đó

� vn  2  7vn 1  vn , n ��* .

� vn  2 

2
2�� 2�
�
 7�
vn 1  � �
vn  � 2, n ��*
5
5�� 5�
�

2
2
2
2
Ta có : vn  2 .vn  vn 1  (7vn 1  vn ).vn  vn 1  vn 1 (7vn  vn 1 )  vn  vn 1vn 1  vn .

9
vn  2 .vn  vn21  vn 1vn 1  vn2  L  v3v1  v22  ; n ��*
5
Suy ra :
.
2

Suy

ra

:

� un  2 u n 

2
4 �2
4
4 � 9
2 �� 2 � �
2� 9
�
un 1  un 1  �
un  2  �
.�
un  � �
un 1  � � un  2un   un  2  un    �
�
5 �� 5 � �
5� 5
5
25 �
5
25 � 5
�
2
4
9
 7un1  2   un21  un1  � u u  u 2  2u  1  (u  1)2 ; n ��*
n 2 n

n 1
n 1
n 1
5
5
5
.

2
Từ hệ thức un  2un  (un 1  1) ; n ��* và u1; u2 là các số chính phương suy ra un là số chính phương với
mọi n nguyên dương.

 an  n1

�

Bài 7.

Cho dãy số

tăng, an  0 n  1, 2,3,.... và   0 . Xét dãy số

 xn  n1
�

xác định bởi

a a
xn  � i 1  i
lim xn

i 1 ai 1ai
. Chứng minh rằng tồn tại n�� .
n

Hướng dẫn giải
x
Dễ dàng thấy rằng dãy  n  n 1

�

tăng ngặt.

Trường hợp 1. Nếu   1 .
ai 1  ai
1
1
1
1
1
  
    � xn  
�

 1
ai 1ai
ai ai 1ai
ai ai 1
a1 vậy dãy  xn  n 1 .
bị chặn trên do đó tồn tại

lim xn

n ��

.

Trường hợp 2. Nếu 0    1 .
ai 1  ai 1 �1
1 �
 �   �
 *

ai 1ai
 �ai ai 1 �
 * �  ai11  ai1  ai   ai1  ai .
thật vậy

�

 1
ai1  ai
  ai 1  **
ai 1  ai
. Ta chứng minh (**).

Xét hàm số

tại số

f  x   x

c � ai ; ai 1 

Trên đoạn

 ai ; ai1 

rõ ràng hàm số thoả mãn điều kiện của định lí Lagrăng nên tồn

ai1  ai
ai1  ai
ai1  ai
 1
 1
f  c 
� c 
�  ai 1 
ai 1  ai
ai 1  ai
ai 1  ai đpcm.
thoả mãn
'

www.thuvienhoclieu.com

Trang 4


www.thuvienhoclieu.com
Từ đó ta có.

� xn 

1
�
�
lim xn
x
 a1
dãy  n  n 1 bị chặn trên do đó tồn tại n�� .

Bài 8.

 xn 

Cho dãy số

được xác định bởi : x4  1 và.

xn 1  xn  1 n  2   2  n  3  3  n  4   L   n  2  1,

với mọi n �4. .

xn
.
4
Tính giới hạn n�� n .
lim

Hướng dẫn giải
Ta có:

1 n  2   2  n  3  3  n  4   ...  n  2  .1

.

�
 n  1  1�
 n 1  2 �
 n  1  3�
 n  1   n  2  �
�
� 2 �
�
� 3 �
�
� ...   n  2  �
�
�.
2
�
  n  1 �
1  2  3  ...   n  2  �
12  2 2  32  ...   n  2  �
�
� �
�.

=

 n  1 .

 n  2   n  1   n  2   n  1  2m  3
2

Do đó ta suy ra :
Ta chứng minh

6

xn 1  xn 



n  n  1  n  2 
6

n  n  1  n  2 
 xn  Cn3
6

 *

.

.

xn  Cn4 . Thật vậy với n  4 , ta có x4  1  C44 .

4
Giả sử với n �4 ta có : xn  Cn .

4
3
4
3
4
Ta có : xn 1  xn  Cn theo (*) hay xn 1  xn  Cn  Cn  Cn  Cn trong.

xn
n!
1
 lim
 .
4
4
n � � n
n �� 4! n  4  ! n
6
lim

Bài 9.

Cho hàm số

.

f :  0; � �  0; �

. Chứng minh rằng

f  x  �x

�1
�
f  3 x  �f � f  2 x  � 2 x
�2
�
thỏa mãn điều kiện
với mọi x  0

với mọi x  0 .
Hướng dẫn giải

�1
�
f (3 x) �f � f (2 x) � 2 x (1)
�2
�
Ta có:
.

�1
f ( x) �f �
�2
Từ (1) suy ra
�1
f ( x) �f �
�2
Khi đó

� 2x

2x
�2 x �
f� �

� f ( x) 
, x  0
�
3
�3 �
� 3
(2).

� 2x 2 1
�2 x �
f� �
� 3  3 . 2
�3 �
�

www.thuvienhoclieu.com

�2 x � 2 x 1 �2 x � 2 x �4 2 �
f � �
 f � �
 �  �x
�3 � 3 3 �3 � 3 �27 3 � .
Trang 5


www.thuvienhoclieu.com

2
1
2
a1 
an 1  an2 
n

1,
2,
�


(
a
)
3 và
3
3.
Xét dãy n ,
được xác định như sau:
*
Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp theo n rằng với mỗi n �� luôn có.

f ( x)  an x với x  0 (3).
Thật vậy, khi n  1 thì theo (2), ta có ngay (3).
Giả sử mệnh đề (3) đúng với n  k . Khi đó.
�1 �2 x �
� 2x 1
2x 2x
�2 x � 2 x 1

f ( x) �f � f � ��
 a . f � �
 a .a . 
3
�2 �3 �
� 3 2 k �3 � 3 2 k k 3
a2  2
 k
.x  ak 1.x
3
.
Vậy (3) đúng với n  k  1 .
Tiếp theo ta chứng minh

lim an  1 . Thật vậy, ta thấy ngay

an  1 n ��* . Do đó:

1
an 1  an  (an  1)( an  2)  0
3
, suy ra dãy ( an ) tăng ngặt.
1
2
l  l2 
(
a
)
lim
a


l
n
3
3 với l �1 , suy ra l  1 . Vậy
Dãy n tăng và bị chặn trên nên hội tụ. Đặt
thì
lim an  1 .

Do đó từ (3) suy ra f ( x) �x với mỗi x  0 (đpcm).
Bài 10. Tìm tất cả các hàm số f : �� � thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau đây.
1.

f  x  y  �f  x   f  y 

2.

f  x  �e x  1

với mọi x, y ��.

với mỗi x ��.
Hướng dẫn giải

f  x 0�
  f  x

f  0

f  0

0

và bởi vì

f  0  �e0  1  0

f  x    x   �f  x   f   x  � f  x   f   x  �0
�x �
f  x  �f � �
�2 �

 1 .

x
�x � �2 �
f � ��2 �
e  1�
�2 � �
�.

�2x �
f  x  �
2�

e �
1� f  x 
�
�

�x � �x �
f �� f ��
�2 � �2 �

�4x �
4�
e 1�
�
�.

�2xn
�
f  x  �2 �
e

1
�
�
�
n

1,
2,...
�
�.
Dùng quy nạp theo
ta CM được
n

www.thuvienhoclieu.com

Trang 6

cho nên

f  0  0

.


www.thuvienhoclieu.com
�2x0n
�
f  x0  �2 �
e  1�
�
�
�
�.
Cố định x0 �� ta có
n

�2x0n
�
an  2n �
e  1�
�
�
�
�ta có:.

Xét dãy

�x0n
�
�
e2 1 �
lim an  lim �
.x0 � x0
x
� 0n
�
�2
� .
Vậy

f  x0  �x0

Vậy

f  x   f   x  �x    x   0

Kết hợp (1) và (3) ta được
Từ (2)

 �
f  �x 

ta thấy đúng. Vậy

x

 3 .

f  x  f  x  0
f  x

x

.

 4  . Kết hợp (2) và (4) ta được f  x   xx ��. Thử lại f  x   x

f  x   f   x  �x    x   0

Kết hợp (1) và (3) ta được
 �
f  �x 
Từ (2)
ta thấy đúng.

 2 .

x0 ��

x

f  x   f  x  0
f  x

x

 3 .

.

 4  . Kết hợp (2) và (4) ta được f  x   xx ��. Thử lại f  x   x

� 2015
�x1  2016
�
�
2
�x  x  �xn �, n �1
n
� �
�n1
�n �
Bài 11. Cho dãy số xác định bởi �
. Chứng minh rằng dãy số đã cho có giới hạn
hữu hạn.
Hướng dẫn giải
Trước hết, bằng quy nạp, ta dễ dàng có xn  0 n �1 và dãy số đã cho là dãy tăng.
Ta có :.
x2  x1  x12  2 x1 ;
x3  x2 

x22
 2 x1  x12  3 x1;
4
.

Giả sử xk  kx1 với k  1 . Ta có:

xk 1  xk 

xk2
 kx1  x12  (k  1) x1
2
k
.

Theo nguyên lý quy nạp ta có xn  nx1 n  1 .

www.thuvienhoclieu.com

Trang 7


www.thuvienhoclieu.com
Ta

xm  m  1 m �2017 thật

có :

mx1  m  1 � m  1  x1   1 � m 

vậy :

1

1
�m
� m  2016
2015
1  x1
1
2016
;.

Do đó .

xn2
2
x x
x
1
1
1
1
1
1

 n 1 n  n  2 n  2 


xn xn1
xn xn1 n xn1 n
n(n  1) n  1 n .
Ta có với n �2 thì xn xn1
1

Do
n  2018

n �2018

đó
� 1

1

�

1

1

x2017

thì



1 n  2018 � 1
1
 ��

xn
x2017i x2018i
i 0 �

1




��
�
�2016  i 2017  i � 2016 n  1 2016
i0

.

2016 x2017
1
1
1


 0 � xn 
2016  x2017 .
Suy ra xn x2017 2016
Vậy dãy đã cho tăng và bị chặn trên nên có giới hạn hữu hạn.
u  1; u2  2
�
�1
�
3
1
un 1  un  un1 n �2
�

2
2
Bài 12. Cho dãy số (un ) xác định như sau �
.
a) Xác định số hạng tổng quát un .
b) Tính

lim un
n ��

.
Hướng dẫn giải

Biến đổi ta được:

un 1  un 

1
1
vn 1  vn , n �2
 un  un1 
v

u

u
n 1
n khi đó:
2
2

với n 1
.

nghĩa là dãy v2 , v3 ,...vn ,... là một cấp số cộng của

v2  1; q 

vn  un  un 1

�
vn 1  un 1  un  2 �
�
�� un  u1  v2  v3  ...vn
........................ �
�
v2  u2  u1
�
n2
n2
� 1
�1 � �
�1 �
� un  1  �
1   ... � � � 3  � �
� 2
�2 � �
�2 �
�
�
.

n2
� �1 �
�
lim un  lim �
3  � � � 3
�
x ��
x ���
� �2 � � .

www.thuvienhoclieu.com

Trang 8

1
2.

�
�
�


www.thuvienhoclieu.com
Bài 13. Cho dãy số

 un  được xác định như sau.

u1  2011; un 1  n 2  un 1  un 

,.

*
u 
với mọi n  � , n 2 . Chứng minh rằng dãy số n có giới hạn và tìm giới hạn đó.

Hướng dẫn giải
Từ công thức truy hồi của dãy ta được.
�
�
1 �
1 �� 1 �
� 1 �
� 1 �
� 1 �
un  �
1 2 �
un 1  �
1 2 �
1
u

...

1

1

... 1  2 �
u1
�

�
�
�
� 2�
�  n  1 2 �n 2
�  n  1 2 � �
n
2
� n �
� n �
�
�
�
�
�
�
�
�

un 
Do đó

.

 n  1  n  1 .  n  2  n ... 4.2 . 3.1 .2011  n  1 .2011
2011
2
2
2
lim

u

n2
3
2
2
n
n
n

1
 
2 .
. Từ đó

Bài 14. Cho dãy số

 un 

xác định bởi

 u1   2014, un1 

un4  20132
, n ��*
un3  un  4026
.

n

1
vn  � 3
, n ��*
k 1 uk  2013
Đặt
. Tính lim vn .
Hướng dẫn giải

Cho dãy số

 un 

un4  20132
, n ��*
 u1   2014, un1  3
un  un  4026
xác định bởi
.

n
1
vn  � 3
, n ��*
k 1 uk  2013
Đặt
. Tính lim vn .

Ta có

 un  2013  un3  2013

un4  20132
un 1  2013  3
 2013 
un  un  4026
un  un2  1  4026

Từ đó bằng quy nạp ta chứng minh được

 un  2013  un3  2013
un 1  2013  3
 un  2013   un  2013

un  2013, n ��*

.

.

 1
.

1
1
1
1
1
1

 3
� 3



 1 suy ra un1  2013 un  2013 un  2013 un  2013 un  2013 un 1  2013 .
Từ
n
� 1
�
1
1
1
1
vn  ��


 1
�
uk  2013 uk 1  2013 � u1  2013 un1  2013
un1  2013
k 1 �
Do đó
.

Ta chứng minh lim un  �.

u 2  4026un  20132
 u  2013  0, n ��*
un 1  un  n 3
 3n
un  un  4026
un  un  4026

Thật vậy, ta có
.
2

www.thuvienhoclieu.com

Trang 9


www.thuvienhoclieu.com
Suy ra

 un 

là dãy tăng, ta có 2014  u1  u2  ... .

Giả sử ngược lại
a

 un 

bị chặn trên và

 un 

là dãy tăng nên lim un  a  � thì a  2014 . Khi đó

a 4  20132
a 3  a  4026 � a  2013  2014 (vô lý). Suy ra  un  không bị chặn trên, do đó lim un  �.

�
�
1
lim vn  lim �
1
� 1
uk 1  2013 �
�
Vậy
.

 un 

Bài 15. Tìm số hạng tổng quát của dãy số
� 1
u1 
�
2
�
�
u2  673
�
�
2(n  2) 2 un 1  (n3  4n 2  5n  2)un
�
un  2 
n3
�

 n

biết.

�, n 1

.

Hướng dẫn giải

Vì

un  2

2(n  2) 2 un 1  ( n3  4n2  5n  2)un

n3
nên ta có:.

( n  3)un  2  2(n  2) 2 un 1  (n  2)(n  1) 2 un

.

�

n3
un  2  2(n  2)un 1  (n  1) 2 un
n2
.

�

n3
un  2  (n  3)un 1  (n  1)un 1  (n  1) 2 un .
n2
.

Đặt un  n !vn , n  �, n 1 thu được.
(n  3)vn  2  ( n  3)vn 1  (n  1)vn 1  (n  1)vn .
� ( n  3)(vn  2  vn 1 )  (n  1)(vn 1  vn ). .

Đặt wn  vn  vn 1 , n  �, n 2 thu được.
( n  1) wn  ( n  1) wn 1 .
� (n  1)nwn  n(n  1) wn 1 .

Do đó.

(n  1) nwn  n(n  1) wn 1  ( n  1)( n  2) wn  2  ...  3.2.w2
 6(v2  v1 )  2016.

Như vậy

wn 

.

2016
1 �
�1
 2016 � 
�

n(n  1)
�n n  1 �, n  �, n 2 .

www.thuvienhoclieu.com

Trang 10


www.thuvienhoclieu.com
Từ đó, với n  �, n 1 , ta có.
1 �
n 1
�1
vn  v1  2016 � 
� 2016
n 1 .
�2 n  1 �
� vn 

Vậy

4033n  4031
2(n  1) .

un  n !

4033n  4031
,
n  �, n 1 .
2(n  1)

Bài 16. Cho dãy số

 un 

3�
n4 �
u1  1; u n 1  �
un  2
, n �N*
�
2 � n  3n  2 �
xác định bởi
.

Tìm công thức số hạng tổng quát un của dãy số theo n .
Hướng dẫn giải
3�
n4 �
u n 1  �
un  2
�
2 � n  3n  2 �nên.
Vì
3
n4
1,5n  6
2 u n 1  3un   . 2

2 n  3n  2  n  1  n  2 

� 2 u n 1  3un  2.
� 2 u n 1  2.

.

1,5
1,5
 3.
n2
n 1 .

1,5
1,5
 3un  3.
n2
n 1 .

1,5 � 3 �
1,5 �
�
��
u n 1 
un  3.
� �
�
n2� 2�
n  1 �.
�
Đặt

vn  un 

Lại có:

1,5
3
vn 1  vn
n  1 , khi đó ta có:
2 .

v1  u1 

1,5 1

2 4.
n 1

Từ đẳng thức trên ta có công thức tổng quát của dãy

 vn 

�3 � 1
vn  � � .
�2 � 4 .
là:
n 1

Từ đó ta có công thức tổng quát của dãy
Bài 17. Cho dãy số

 un 

là:

u  3un 2  2
xác định bởi u1  1 và n 1
với mọi n �1 .

a) Xác định số hạng tổng quát của dãy số
b) Tính tổng

 un 

1,5 �3 � 1
3
u n  vn 
�� . 
n  1 �2 � 4 2  n  1

2
S  u12  u22  u32  ...  u2011

www.thuvienhoclieu.com

 un  .

.
Trang 11

.

www.thuvienhoclieu.com
Hướng dẫn giải
a) Dễ thấy
Từ

un  0, n �N *

.

un 1  3un2  2 � un21  3un2  2

.

2
v  3vn  2 � vn 1  1  3  vn  1
Đặt vn  un thì có: n 1
.

x 
Đặt xn  vn  1 thì ta có: xn 1  3 xn . Từ đây suy ra n là cấp số nhân với x1  2 , công bội là 3.
n 1
n 1
n 1
Nên: xn  2.3 � vn  2.3  1 � un  2.3  1 .
0
1
2
2010

b) S  2.3  2.3  2.3  ...  2.3  2011 .

 2  30  31  32  ...  32010   2011



2  32011  1
3 1

 2011

Bài 18. Cho dãy số

.

 32011  2012 .

 un 

n
được xác định bởi u1  1 và un 1  un  2 với mọi n �1 .

n
a) Chứng minh rằng: un  2  1 .

b) Tính tổng S  u1  u2  u3  ...  un theo n .
Hướng dẫn giải
1
2
a) Khi n  1 : u2  u1  2  1  2  2  1 đúng.

k
Giả sử uk  2  1 đúng với k �1, k �N .

Ta chứng minh:

uk 1  2k 1  1 .

k
k
k
k 1
Thật vậy: uk 1  uk  2  2  1  2  2  1 .

b)

S   21  1   22  1  ...   2n  1  21  22  ...  2n  n

S  2.

.

2n  1
 n  2n 1  n  2
2 1
.

�
u1  2
�
�

u  2 1
un 1  n
�
1  ( 2  1)un
Bài 19. Cho dãy số(un) xác định như sau: �
a) Chứng minh:

tan


 2 1
8
.

b) Tính: u2015 .
Hướng dẫn giải
www.thuvienhoclieu.com

Trang 12

(n �1, n ��)
.


www.thuvienhoclieu.com


2 tan




�
�
8
1  tan  tan �  �
4
�8 8 � 1  tan 2  � tan 2   2 tan   1  0
8
8
8
a) Ta có:
.
� 
tan  2  1
�
8
��


�
tan   2  1 � tan   2  1
tan
�
� 8
8
8 dương).
(Vì





tan(a  )  tan

8  tan(a  ) u 
8
8  tan(a  2.  )
u2 
3



8
8
1  tan a.tan
1  tan tan(a  )
u1  2  tan a
8
8
8
b) Đặt
, ta có:
,
.
tan a  tan


un  tan( a  ( n  1) ), n �1, n ��
8
Ta chứng minh:
(*).

Với n  1 : u1  tan a đúng.


uk  tan( a  ( k  1) )
8 .
Giả sử (*) đúng với n  k , k �1 , hay ta có:



tan(a  (k  1) )  tan
u  2 1
8
8  tan(a  k .  )
uk 1  k

8
1  ( 2  1)uk 1  tan( a  ( k  1)  ).tan 
8
8
Ta có:
.

un  tan( a  (n  1) ), n �1, n ��
8
Vậy (*) đúng với n  k  1 . Vậy
.

3
3
u2015  tan( a  2014. )  tan( a 

 251 )  tan( a  )
8
4
4 .
Cho n  2015 , ta có:


2 1

 tan( a  ) 
 ( 2  1) 2  tan 2
4
2 1
8.

Bài 20. Cho dãy số thực

 un 

u1  1
�
�
u 2  1
�
�
u  2un 1  un ( n �N * )
với �n  2
.

*

a) Chứng minh un  3  2n với mọi n �N .

b) Tính tổng S  u1  u2  ...  u2012 .
Hướng dẫn giải
a) Dùng phương pháp qui nạp.
u1  1  3  2.1 , u2  3  2.2  1 .

 k �3 .
Giả sử uk  3  2k
www.thuvienhoclieu.com

Trang 13


www.thuvienhoclieu.com
Ta có: uk 1  2uk  uk 1  2(3  2k )  (3  2(k  1)) .
 1  2k  3  2(k  1) .
*
Vậy un  3  2n với mọi n �N .

b) S  (3  2.1)  (3  2.2)  ...  (3  2.2012) .
 3.2012  2(1  2  ...  2012)  6036  2013.2012  4044120 .

 vn 

Bài 21. Cho dãy số

v1  8
�
�

v2  34
(n �N * )
�
�
v  8vn 1  1996vn
với �n  2
.

Tìm số dư khi chia v2013 cho 2011 .
Hướng dẫn giải

Xét dãy số
Ta có

 un 

u1  8
�
�
u2  34
(n �N * )
�
�
u  8un1  15un
với �n  2
.

vn �un  mod 2011

*

với mọi n �N .

2
Xét phương trình đặc trưng: t  8t  15  0 .

Phương trình trên có nghiệm t  5, t  3 .

 un 

5 A  3B  8
�
�
có dạng un  A.5  B.3 . Vì u1  5, u2  13 nên �25 A  9 B  34 .Ta có: A  B  1 .
n

n

n
n
Ta có: un  5  3 .

5
Ta có 2011 là số nguyên tố Theo định lý Fecma ta có:
32010 �1 mod 2011

2010

.

52013 �125  mod 2011 32013 �27  mod 2011

Suy ra
,
.
Vậy khi chia u2013 cho 2011 ta được số dư là 152 .
Suy ra khi chia v2013 cho 2011 ta được số dư là 152 .
u1  1
�

 un  : �
�n
Bài 22. Cho dãy số
a) Chứng minh dãy số

3  2un 1  un   2, (n ��* )
�
.

 un 

là dãy số giảm.

b) Lập công thức số hạng tổng quát của dãy số
www.thuvienhoclieu.com

 un  .

Trang 14

�1 mod 2011

.


www.thuvienhoclieu.com
Hướng dẫn giải
a) Chứng minh dãy số
Ta có:

un 1 

 un 

là dãy số giảm.

un 1

*
2 3n ; Chứng minh: un 1  un n �� bằng phương pháp quy nạp.

u1  1
�
�
� 5 � u2  u1
u2 
�
6
�
 Ta có:
.
 Giả sử: uk 1  uk ; k �� và k  1 . Chứng minh: uk  2  uk 1 .

Ta có:

uk  2 

uk 1
u
u
1
1
1
 k 1  k  k 1  k  k  uk 1
*
2
3
2 3
2 3
. Vậy un 1  un n �� .

b) Lập công thức số hạng tổng quát của dãy số
Ta có:

3n (2un 1  un )  2 � 3n 1.un 1 

Đặt vn  3 u n  6 , ta được:
n

vn 1  6 

 un  .

3 n
3 .un  3
2
.
3
3
(vn  6)  3 � vn 1  vn
2
2 .

v 9
�
�1
(vn ) : �
3
3
vn 1  vn , (n ��* )
q
�
�
2
2.
Ta được:
là cấp số nhân có công bội
n 1

n 1

�3 �
�3 �

vn  v1. � �  9. � �
�2 �
�2 � .
Suy ra:

Vậy

un 

vn  6
�1 1 �
 6. � n  n �
n
3
�2 3 �.

Bài 23. Tìm số hạng tổng quát của dãy

 xn 

biết rằng:.

�
�x0  1; x1  5; x2  125
�
2
2
�xn  2 xn xn 1  3  xn 1  xn 1  10 xn 1  xn  ( n �N * ).
Hướng dẫn giải
Từ đề bài ta có: xn  0 với mọi n �N .

xn  2 3 xn1 10 xn


x
x
xn1 với mọi n �N * .
n

1
n
Ta có:

Đặt

yn 

xn
xn1 ta được yn  2  3 yn 1  10 yn  0 với mọi n �N * .

www.thuvienhoclieu.com

Trang 15


www.thuvienhoclieu.com
Vì phương trình đặc trưng của dãy
n �N * .
x1
�
�y1  x  5

�
0
�
�y  x2  25
� 2 x1
Với �
ta có
Ta có

n

n 1

x 5
Kết hợp với x0  1 , ta suy ra n

Bài 24. Cho dãy số

n  ( n 1)...1

n2  n
2

5

n2  n
2

 un 

*
với mọi n �N .

với mọi n �N .

� 7
u1 
�
� 2
 un  : �
7u  4
�
un 1  n
, n ��*
2un  5
�
�

a) Chứng minh dãy số

n
2;5 nên yn  A  2   B.5 với mọi

�B  1
�
n
�A  0 . Suy ra yn  5 với mọi n �N * .

xn  5 .xn 1  5 .5 ....5.x0  5
n

 yn  có hai nghiệm phân biệt

.

là dãy số giảm.

b) Lập công thức tổng quát của dãy số

 un  .
Hướng dẫn giải

a) Chứng minh dãy số

 un 

là dãy số giảm.

7
19
u1  ; u2  � u1  u2
2
8
Ta có:
.

Giả sử: uk  uk 1 với k >1. Cần chứng minh: uk 1  uk  2 .

Ta có:

uk 1 

Mà uk  uk 1
�

7uk  4 7 27
1
7 27
1
  .
� uk  2   .
2uk  5 2 2 2uk  5
2 2 2uk 1  5 .
�

1
1

2uk  5 2uK 1  5 .

7 27
1
7 27
1
 .
  .
� uk 1  uk  2
2 2 2uk  5 2 2 2uk 1  5
(điều phải chứng minh).

b) Lập công thức tổng quát của dãy số

 un  .

7
0  un � , n ��*
2
Ta có
.

xn 

un  2
1
x1 
un  1 , ta có:
3

Xét dãy số
www.thuvienhoclieu.com

.
Trang 16

n


www.thuvienhoclieu.com
xn 1 

un1  2 1 �un  2 � 1
1
 �
� xn
� xn  n
un 1  1 3 �un  1 � 3 � ( xn )
3
là cấp số nhân
.

un  2 1
2.3n  1
n
n
 �  3  1 un  2.3  1 � un  n
.
un  1 3n
3 1 .
1
�
u1 
�
2016
 un  : �
�
2015un  1
�
un 1 
, n ��*
�

2016
Bài 25. Cho dãy số
.
*
a) Chứng minh rằng un  1, n �� .

b) Lập công thức tổng quát của dãy số

 un  .
Hướng dẫn giải

a) Chứng minh rằng
u1 

.

1
1
2016

Ta có:

.

Giả sử:
Ta có:

un  1, n ��*

uk  1, ( k  1) ; Cần chứng minh: uk 1  1

uk  1 � 2015uk  1  2016 �

2015uk  1
 1 � uk 1  1
*
2016
. Vậy un  1, n �� .

b)Lập công thức tổng quát của dãy số
xn  un  1 ta có

x1  

.

 un  .

2015
2016

Đặt

.

xn 1  un 1  1 

2015un  1
2015
2015

1 
xn
 un  1 
2016
2016
2016

.
n

�  xn 

�2015 �
� xn   �
�
�2016 �.
là cấp số nhân
n

�2015 �
*
un  1  �
�, n �� .
�2016 �
Vậy
.

Bài 26. Cho dãy số

 un 

xác định bởi:

www.thuvienhoclieu.com

�
u1  2
�
u2  3
�
�
un  nun1   n  2  un  2  2n  4, n �3
�
Trang 17

.


www.thuvienhoclieu.com
a) Tìm số hạng tổng quát của dãy

 un  .

b) Tìm số dư khi chia u2016 cho 2015 .
Hướng dẫn giải
�
v1  1
�
v2  1
�

�
v  n(vn 1  n  1)  (n  2)(vn  2  n  2)  3n  4  nvn1   n  2  vn  2 , n �3
a) Đặt vn  un  n ta có: �n
.
Khi đó vn  vn 1  (n  1)vn1  (n  2)vn  2 .
Lại có:.
vn  v2  (vn  vn 1 )  (vn 1  vn 2 )  ...  (v4  v3 )  (v3  v2 ) .

  (n  1)vn 1  (n  2)vn  2    (n  2)vn  2  (n  3)vn 3   ...  (3v3  2v2 )  (2v2  1v1 )

.

 (n  1)vn 1  v1 .

Do đó vn  (n  1)vn 1 . Hay vn  (n  1)(n  2)vn  2  ...  ( n  1)( n  2)...1.v1  (n  1)! .
Vậy un  (n  1)! n .
b) Ta có u2016  2015! 2016 chia cho 2015 dư 1.
�x1  3
�
 xn  : �x  xn1 , n �2
�n
2
� 1  1  xn 1
Bài 27. Xác định công thức số hạng tổng quát của dãy số
.
Hướng dẫn giải

Ta có:

1

1
1

 1 2
xn xn 1
xn 1

yn  yn 1  1  yn21

. Đặt

yn 

1
xn , khi đó ta được dãy

 yn 

xác định như sau:

.


1  cos
1



3  cot 
y1 

 cot � y2  cot  1  cot 2 

3
3
3
2.3
3
sin
3
Vì
.
Bằng quy nạp ta chứng minh được:

yn  cot


n 1

2 .3

� xn  tan


n 1

2 .3

, n �1

.

.
1.2. DÃY SỐ CHO BỞI CÔNG THỨC TRUY HỒI.

Bài 1.

Cho dãy số

(un ) biết

u1  2
�
�
un  3un 1  1, n �2
�

www.thuvienhoclieu.com

. Xác định số hạng tổng quát của dãy.

Trang 18

y1 

1
3 và


www.thuvienhoclieu.com
Hướng dẫn giải

un  3un 1  1 � un 

1
3
1
1
 3un 1  � un   3(un 1  )(1)
2
2
2
2
.

1
1 5
� v1  u1  
2
2 2
(1) � vn  3vn1 , n �2
.
Ñaë
t v n  un 

Dãy (vn ) là cấp số nhân với công bội là q  3 .
Nên

vn  v1.q n 1 
un  vn 

Do đó

Bài 2.

5 n 1
.3
2
.

1 5 n 1 1

3  , n  1, 2,...
2 2
2
.

A  lim

a) Tính giới hạn



3

n3  n 2  1  n

.

u1  11
�
�

u  10un  1  9n, n ��
b) Cho dãy số (un) xác định bởi : �n 1
. Tìm công thức tính un theo n .
Hướng dẫn giải
A  lim

a) Tính giới hạn
A  lim



3



3

n3  n 2  1  n



n2  1

n3  n 2  1  n  lim
3

Ta có:
1

 lim

n

3

 n 2  1  n. 3 n3  n 2  1  n 2
2

1
n2

2

3

Vậy

.

� 1 1 � 3� 1 1 �
1  4  6 � �
1   3 � 1
�
� n n � � n n � .

A

1
3.

b) Ta có:.
u1  11  10  1
u2  10.11  1  9  102  100  2
u3  10.102  1  9.2  1003  1000  3 .
Dự đoán:

un  10 n  n  1

.

Chứng minh:.
1
Ta có: u1  11  10  1 , công thức (1) đúng với n  1 .

www.thuvienhoclieu.com

Trang 19

.


www.thuvienhoclieu.com
k
Giả sử công thức (1) đúng với n  k ta có: uk  10  k .

Ta có:

uk 1  10  10k  k   1  9k  10k 1   k  1 .

.

Công thức (1) đúng với n  k  1 .
n
Vậy un  10  n, n �N . .

u1  4
�
�
�
1
un 1  (un  4  4 1  2un ), n ��*
�
(u )
9
Cho dãy số n xác định bởi: �
. Tìm công thức của số hạng tổng
(u )
quát n ?.

Bài 3.

Hướng dẫn giải
xn2  1
x  1  2un � xn2  1  2un , xn �0 � un  2
Đặt n
.

Thay vào giả thiết:.
xn21  1 1 xn2  1
 (

 4  4 xn )
� (3 xn 1 ) 2  ( xn  4) 2 �
3 xn γ
xn
1
2
9 2

4, n

N * , xn

0.

n 1
n
n
Ta có 3 xn 1  xn  4 � 3 xn 1  3 xn  4.3 .

y  3n.xn � yn 1  yn  4.3n , n �N *
Đặt n
.
n
n 1
� yn 1  y1  4(3  3  ...  3) � yn 1  y1  6  2.3n 1 .
n
Ta có x1  3 � y1  9 � yn  3  2.3 .

Suy ra

xn  2 

Bài 4.

1
1
4
1
, n �N * � un  (3  n 1  2 n 2 ), n �N *
n 1
3
2
3
3
.

 un 

Cho dãy số
theo n. .

xác định bởi:

u1  1;

un 1 

un
, n ��* .
u

2un  1
Tìm công thức số hạng tổng quát n

Hướng dẫn giải
Ta có un  0, n ��. Khi đó
*

*

Với mọi n �� , đặt
Suy ra, dãy số
Do đó,

Vậy

 vn 

vn 

un 1 

un
1
1
�
 2 .
2un  1
un 1
un .

1
� v1  1;
vn 1  vn  2, n ��* . .
un

là cấp số cộng có v1  1 và công sai d  2. .

vn  v1   n  1 d  2n  1, n ��* .
.

un 

1
1

.
vn 2n  1 .

www.thuvienhoclieu.com

Trang 20


www.thuvienhoclieu.com
Bài 5.

Cho dãy số
theo n .

(un ) xác định bởi: u1  1; un 1  2un  3n , n ��* . Tìm công thức số hạng tổng quát un

Hướng dẫn giải
*
Với mọi n �� , ta có.

un 1  2un  3n � un 1  3n 1  2(un  3n ) .
n
*
Xét dãy số (vn ), với vn  un  3 , n ��. Ta có: vn 1  2vn . Do đó, dãy số (vn ) là một cấp số nhân có
công bội q  2 và số hạng đầu bằng 2. .

Suy ra

vn  v1.q n 1  2 n.

.

n
n
n
Vậy un  vn  3  3  2 . .

3�
n4 �
u1  1; un 1  �
un  2
, n ��* .
�
(u )
2 � n  3n  2 �

Cho dãy số n xác định bởi:
Tìm công thức số hạng
u
tổng quát n theo n .

Bài 6.

Hướng dẫn giải
*
Với mọi n �� , ta có.

2un 1  3(un 
� 2(un 1 

dãy số

3
3
3
3
3
)  3(un 
) � un 1 
 (un 
).
n2
n 1
n2 2
n 1 .

(vn ), vn  un 
n 1

�3 �
vn  � �
�2 �

Bài 7.

n4
2
3
) � 2un 1  3(un 

)
(n  1)( n  2)
n  2 n 1 .

3
3
1
q
v1  
n  1 là cấp số nhân có công bội
2 và
2.
n 1

3
1 �3 �

� 1�
.�
 �
, n ��* � un 
 � � , n ��*
n  1 2 �2 �
� 2�
.

u1  3
�
�
5u  3
�
un 1  n
, n ��*
�
3un  1
Cho dãy số (un) xác định bởi: �
.

Xét dãy số

 vn 

với

tổng quát của dãy số

vn 

un  1
,
un  1 n ��* . . Chứng minh dãy số  vn  là một cấp số cộng. Tìm số hạng

 un  . .
Hướng dẫn giải

Ta có

vn 

un  1
v 1
� un  n
un  1
vn  1 thay vào hệ thức truy hồi ta có.

www.thuvienhoclieu.com

Trang 21


www.thuvienhoclieu.com
vn  1
3
vn 1  1
vn  1

vn 1  1 3. vn  1  1 � vn 1  1  2vn  8

v  1 2vn  8
� n 1

vn  1
vn 1  1 2vn  4
2
4 .
5.

v 
hay vn 1  vn  3 và v1  2 . Suy ra dãy số n là một cấp số cộng có v1  2 và công sai d  3. .
Ta có

vn  v1   n  1 d  2  3  n  1  3n  1.

Do đó

un 

3n  1  1
3n

3n  1  1 3n  2 . Thử lại thấy dãy số này thỏa mãn.

u 
Vậy số hạng tổng quát của dãy số n
Bài 8.

.

Cho dãy số

là

un 

3n
3n  2 n ��* . .

(un ) xác định bởi:.

u1  4
�
�
�
1
un 1  (un  4  4 1  2un ), n ��*
�
9
�
.
Tìm công thức của số hạng tổng quát (un ) ?.
Hướng dẫn giải

Đặt

xn  1  2un � xn2  1  2un , xn �0 � un 

xn2  1
2 .

Thay vào giả thiết:.
xn21  1 1 xn2  1
 (
 4  4 xn )
2
9 2
� (3 xn 1 )2  ( xn  4)2
�
3 xn γ
xn
1

4, n

N * , xn

0

.

n 1
n
n
Ta có 3 xn 1  xn  4 � 3 xn 1  3 xn  4.3 .
n
n
*
Đặt yn  3 .xn � yn 1  yn  4.3 , n �N .

� yn 1  y1  4(3n  3n 1  ...  3)
� yn 1  y1  6  2.3n 1

.

n
Ta có x1  3 � y1  9 � yn  3  2.3 .

Suy ra.
1
, n �N *
n 1
3
1
4
1
� un  (3  n 1  2 n  2 ), n �N *
2
3
3
.
xn  2 

www.thuvienhoclieu.com

Trang 22


www.thuvienhoclieu.com

1.3. PHƯƠNG TRÌNH ĐẶC TRƯNG.

Bài 1.

Cho dãy số

 un 

xác định bởi

u1  1, u2  2, un 2

un 1
n � � u
 un  2un 1 , n �1.
n .
Tìm
lim

Hướng dẫn giải
Dễ thấy dãy đã cho là dãy số dương, do đó không có số hạng nào của dãy bằng 0. Từ công thức truy hồi
un  2
u
 2  n , n �1.
un 1
của dãy ta có un 1
.

Đặt

vn 

un 1
1
, n �1
v1  2, vn 1  2  , n �1.
un
vn
, ta được dãy số
.

Dễ thấy dãy

 vn 

là dãy số dương và

1 1
1 5
� �2��
vn 2
vn 2

vn 1

vn �2, n �1

. Do đó.

5

5
, n 1.
2 �vn �
2
2.
Vậy ta có

1
� 5�
1
f  x   2  , x ��
2; �
f '  x    2  0, x.
x
� 2 �. Ta có
x
Xét hàm số
Do đó có hai dãy con đơn điệu của dãy
v2 n
b  lim v2 n 1
 vn  và hai dãy con này đều bị chặn nên chúng có giới hạn. Giả sử a  nlim
��
n ��
và
thì ta có
hệ.
1
�
�
a  b  1 2

a  2
�
�
ab
�
�
b
��
��
a  b  1 2
�
1
ab  1 �
�
�
b  2
ab  1
�
�
a
�
.
Ta thấy chỉ có a  b  1  2 thỏa mãn và đây là giới hạn cần tìm.

Bài 2.

Tìm số các dãy số

 un 

�
u  4un2  4un  0, n �1
�n 1
�
1
u2004 
�
2
thỏa mãn điều kiện: �
.
Hướng dẫn giải

 Viết lại

un 1  4un  1 – un   f  un 

Nhận xét:

f  x  � 0;1 � x � 0;1 .

Vì vậy:
 Với

u2004

với

f  x   4x  1 – x 

.

.

1
 2 � 0;1 � u2003 � 0;1 � u2002 � 0;1 � ....u1 � 0;1 .
.

0  u1  1


u  sin 2 a
tồn tại duy nhất : 0  a  2 và 1
.

2
2
2
2
2
2
Lúc đó: u2  4sin a(1 – sin a )  sin 2a ; u3  4 sin 2a(1 – sin 2a)  sin 4a .

www.thuvienhoclieu.com

Trang 23


www.thuvienhoclieu.com
1 1
 cos(2n )

2
n 1
u

sin
(2
a
)

n
2
2
Quy nạp ta được:
.

u2004


1
1 1
1
2004
�

c
os(2

)

2

2 2
2.

cos(2 2004 )  0 � 2 2004  



 k �   2005 (2k  1), k �Z .
2
2
.




1
1
0  2005 (2k  1)  �   k  22003 
2
2
2
2.
Vì 0  a  2 nên
2003
Do k �Z nên: k  0;1; 2;...; 2 –1 .

2003
Từ đó có tất cả 2

�

�
u1  sin 2 �2005 (2k  1) �
, k �{0;1;....;2 2003  1}
2
�
�
giá trị u1 thỏa bài toán:
.

2003
u 
Do đó có tất cả 2
dãy số n thỏa điều kiện đã cho.

Bài 3.

Cho

x1 , x2 ,..., xn ,...

dần. Tính

là các nghiệm dương của phương trình tan x  x được sắp theo thứ tự tăng

lim  xn  xn 1 

n ��

.
Hướng dẫn giải


�
�
1
x ��
  k  ;  k �
f '( x ) 
 1 �0
f
(
x
)

tan
x

x
2
2
�
�. Ta có
cos 2 x
Xét hàm số
, với
=> f ( x ) tăng từ
� đến �.


�

�
  k ;  k �
�
2
�phương trình tan x  x có nghiệm duy nhất xk .
Suy ra: trong khoảng � 2
�  �

yk ��
 ; �
lim yn 
xk  yk  k
tan
y

tan
x

y

n

�

�
�2 2�
n
n
n
2.

với
=>
=> n��
lim  xn  xn 1 

n � �

Bài 4.

=

lim

 y

n ��

n

 n    yn 1   n  1  



=

lim    yn  yn 1   

n � �

.

u1  2014
�
�
(u )
u  un2  (1  2a)un  a 2 n  1, 2,...
Cho dãy số n xác định như sau: �n 1
. Tìm điều kiện của
a �� để dãy số (un ) có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó.
Hướng dẫn giải

Ta có:

un 1 
un �
(un a) 2

0

un 1

* Suy ra dãy số

(un )

Giả sử tồn tại

lim un  L ( L ��)

tăng; từ đó dãy số

un ; n 1, 2,3,...

(un )

có giới hạn hữu hạn khi và chỉ khi dãy bị chặn trên.

2
2
, thì chuyển qua giới hạn hệ thức un 1  un  (1  2a)un  a ta có:

L  L2  (1  2a) L  a 2 � L  a .
www.thuvienhoclieu.com

.

Trang 24


www.thuvienhoclieu.com
*
u a
u  a; n �k
lim un  L  a
- Nếu có chỉ số k �� mà k
thì n
nên L  a trái với kết quả
.

Do

uk �a

đó:

với

k  1, 2,...

mọi

un2  (1  2a )un  a 2 �a, n  1, 2,3,...

hay

nói

u12  (1  2a)u1  a 2 �a � a  1 �u1 �a � a  1 �2014 �a từ đó ta được 2014 �a �2015 .
* Đảo lại: Nếu

2014 �a �2015 � a  1 �u1 �a

�(
u1 a��
1)(
u1 �
a) 0
và

u12 (1 2a)u1 a 2 a 0

u1 �u2 � a  1 �u2 �a

(un )

u2

a.

.

Bằng quy nạp ta chứng minh được
Như vậy dãy

.

a  1 �un �a, n  1, 2,3,...

(H/s trình bày ra).

(u )
tăng, bị chặn trên bới a , do đó dãy n có giới hạn hữu hạn.

(u )
lim un  a
Kết luận: Với điều kiện 2014 �a �2015 thì dãy số n có giới hạn hữu hạn và
.
Bài 5.

Cho hai dãy số

a1  2, b1  1

,

an 1 

Chứng minh rằng

 an 

và

 bn 

được xác định như sau:.

2an .bn
an  bn ; bn 1  an 1.bn , n  1, 2, � .

 an 

và

 bn 

có cùng giới hạn, tìm giới hạn đó.
Hướng dẫn giải

Bằng quy nạp, ta chứng minh rằng:.



2n.sin n
n
2 .3  1 b 
2 .3
an 
n



sin .cos n
sin
3
2 .3
3
;
(2).
2n.sin

Từ (1), (2) tồn tại

lim an

n ��

và

lim bn

n ��

.



n
2 .3  3  2 3
lim an  lim
n ��
n ��



9
sin .cos n
sin
3
2
.3
3
Ngoài ra:
.
2n.sin

lim bn  lim an .lim cos
n ��

n ��

Vậy hai dãy

Bài 6.

n ��

 an  ,  bn 


2 3

n
2 .3
9 .
2 3
có cùng giới hạn chung là 9 .

� 1
x1 
�
� 2
�
2
�x  x  xn ; n �1
n 1
n
n2
Cho dãy số (xn) thỏa mãn: �
. Chứng minh dãy số trên có giới hạn.

www.thuvienhoclieu.com

Trang 25

riêng