Một vài kết quả về sự tồn tại nghiệm của bài toán quy hoạch toàn phương (Luận văn thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

ĐÀO THỊ THU

MỘT VÀI KẾT QUẢ VỀ SỰ TỒN TẠI NGHIỆM
CỦA BÀI TOÁN QUY HOẠCH TOÀN PHƯƠNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2017


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

ĐÀO THỊ THU

MỘT VÀI KẾT QUẢ VỀ SỰ TỒN TẠI NGHIỆM
CỦA BÀI TOÁN QUY HOẠCH TOÀN PHƯƠNG

Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số:

60 46 01 12

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

GS.TSKH. LÊ DŨNG MƯU

Thái Nguyên - 2017


i

Mục lục

Mục lục

ii

Danh sách ký hiệu

iii

Mở đầu

1

1

Kiến thức chuẩn bị

3

1.1

Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.1

Không gian tiền Hilbert . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.2

Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.3

Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.4

Một vài tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . . . .

5

Tập lồi và hàm lồi trong không gian Hilbert . . . . . . . . .

7

1.2.1

Tập lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2.2

Hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

Hàm toàn phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

1.2

1.3
2

Bài toán quy hoạch toàn phương

21

2.1

Giới thiệu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2.1.1

Phát biểu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

Các định lí về sự tồn tại nghiệm . . . . . . . . . . . . . . .

23

2.2


ii
2.2.1

Bài toán quy hoạch toàn phương với ràng buộc tuyến
tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2.2

23

Bài toán quy hoạch toàn phương lồi với hữu hạn ràng
buộc toàn phương lồi trong không gian Hilbert thực .

37

Kết luận

60

Tài liệu tham khảo

61


iii

Danh sách ký hiệu
N

Tập số tự nhiên

R

Tập số thực

Rn

Không gian các số thực n chiều

., .

Tích vô hướng

.

Chuẩn

0+ F

Nón lùi xa của tập lồi F

∂f (x)

Dưới vi phân của f tại x

∂ε f (x0 )

ε−Dưới vi phân của f tại x0

∇f (x)

Đạo hàm của f tại x

Rm×n

Không gian ma trận cấp m × n

Rn×n
S

Không gian ma trận đối xứng cấp n × n

AT

Ma trận chuyển vị của ma trận A

B(x0 , ρ)

Hình cầu đóng tâm x0 bán kính ρ

H

Không gian Hilbert thực


1

Mở đầu
Quy hoạch toàn phương là một bộ phận đặc biệt của quy hoạch phi tuyến,
có nhiều ứng dụng trong lý thuyết và trong thực tế. Đây là vấn đề đã được
nhiều nhà Toán học nghiên cứu và xây dựng nên nhiều thuật toán để giải.
Sau khi học những kiến thức trong chuyên ngành Toán ứng dụng, với
mong muốn tìm hiểu sâu hơn về những kiến thức đã học, mối quan hệ và ứng
dụng của chúng. Đồng thời muốn tìm hiểu sâu hơn về kết quả tồn tại nghiệm
của bài toán quy hoạch toàn phương. Tác giả chọn đề tài nghiên cứu "Một vài
kết quả về sự tồn tại nghiệm của bài toán quy hoạch toàn phương".
Luận văn trình bày sự tồn tại nghiệm của bài toán quy hoạch toàn phương
với ràng buộc tuyến tính trong Rn và bài toán quy hoạch toàn phương lồi với
những ràng buộc toàn phương lồi trong không gian Hilbert. Các kết quả và
thông tin trong luận văn được viết dựa vào bài báo "On the Solution Existence
of Convex Quadratic Programming Problems in Hilbert Spaces" của Vũ Văn
Đông và Nguyễn Năng Tâm, 2016.
Luận văn được chia thành hai chương với nội dung chính như sau:
Chương 1: "Kiến thức chuẩn bị", chương này trình bày một số kiến thức
cơ sở về không gian Hilbert, tập lồi và hàm lồi trong không gian Hilbert.
Chương 2: "Bài toán quy hoạch toàn phương", chương này trình bày

nội dung bài toán quy hoạch toàn phương và sự tồn tại nghiệm của bài toán
quy hoạch toàn phương với ràng buộc tuyến tính trong không gian Rn và bài
toán quy hoạch toàn phương lồi với hữu hạn ràng buộc toàn phương lồi trong


2
không gian Hilbert thực.
Thái Nguyên, ngày 05 tháng 9 năm 2017
Tác giả luận văn

Đào Thị Thu


3

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị
Chương này trình bày một số kiến thức cở bản về không gian Hilbert và
giải tích lồi. Đó là những kết quả sẽ được dùng cho chương sau. Nội dung
trong chương này được trích dẫn chủ yếu từ các tài liệu tham khảo [1], [2],
[3] và [4].

1.1
1.1.1

Không gian Hilbert
Không gian tiền Hilbert

Định nghĩa 1.1.1. Cho H là không gian trên trường K. Tích vô hướng trên H

là một ánh xạ xác định như sau: ., . : H × H → K, (x, y) → x, y , thỏa
mãn các điều kiện sau đây:
a) x, y = y, x với mọi x, y ∈ H;
b) x + y, z = x, z + y, z với mọi x, y, z ∈ H;
c) λx, y = λ x, y với mọi x, y ∈ H; λ ∈ K;
d) x, x ≥ 0 với mọi x ∈ H và x, x = 0 khi và chỉ khi x = 0.
Số x, y được gọi là tích vô hướng của hai véctơ x và y. Cặp (H, ., . )
được gọi là không gian tiền Hilbert (hay còn gọi là không gian Unita).
Từ định nghĩa ta thấy rằng với trường R thì tích vô hướng ., . là một dạng
song tuyến tính xác định dương trên H. Khi đó H được gọi là không gian tiền
Hilbert thực.


4
Định lí 1.1.2. Cho H là không gian tiền Hilbert với x, y ∈ H ta luôn có bất
đẳng thức sau
| x, y |2 ≤ x, x . y, y .
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x, y phụ thuộc tuyến tính.
Định lí 1.1.3. Cho H là không gian tiền Hilbert. Khi đó x = x, x , x ∈ H
xác định một chuẩn trên H.

1.1.2

Không gian Hilbert

Một không gian tiền Hilbert xem như không gian định chuẩn có thể đầy
đủ hoặc không đầy đủ.
Định nghĩa 1.1.4. Nếu H là một không gian tiền Hilbert và đầy đủ với chuẩn
cảm sinh từ tích vô hướng thì được gọi là không gian Hilbert.
Cũng tương tự như trường hợp không gian tiền Hilbert, với trường R thì

ta có không gian Hilbert thực.

1.1.3

Các ví dụ

i) Rn là không gian Hilbert thực với tích vô hướng
n

xi yi , trong đó x = (x1 , x2 , . . . , xn ), y = (y1 , y2 , . . . , yn ) ∈ Rn .

x, y =
i=1

ii) Xét không gian
∞
2

l =

|xn |2 < +∞ .

x = (xn )n ⊂ K
i=1

Ta đã biết l2 là không gian Banach với chuẩn
∞

|xn |2 .

x =
i=1

(1.1)


5
Với x = (xn )n∈N , y = (yn )n∈N ∈ l2 , từ bất đẳng thức
2

∞

x n yn

≤ x 2. y

2

< +∞,

i=1

dễ kiểm tra rằng x, y =

∞

xn yn xác định một tích vô hướng trong l2 và nó

i=1

cảm sinh (1.1). Vậy l2 là không gian Hilbert.

1.1.4

Một vài tính chất cơ bản

Định lí 1.1.5. Cho H là không gian Hilbert. Khi đó ., . : H × H → R là
một hàm liên tục.
Định lí 1.1.6. Với mọi x, y thuộc không gian tiền Hilbert H ta luôn có đẳng
thức hình bình hành sau đây:
x+y

2

+ x−y

2

= 2( x

2

+ y 2 ).

(1.2)

Hệ quả 1.1.7. Cho H là không gian tiền Hilbert và x, y, z ∈ H. Khi đó, ta có
đẳng thức Apollonius:
2

2

x−y

2

+ x−z

2

=4 x−

y+z
2

+ y − z 2.

Định lí 1.1.8. Giả sử (H, . ) là một không gian định chuẩn trên trường R,
trong đó bất đẳng thức hình bình hành nghiệm đúng với mọi x, y ∈ H:
x+y

2

+ x−y

2

= 2( x

2

+ y 2 ).

Khi đó, với trường R ta đặt
1
x, y = p(x, y) = ( x + y
4

2

− x − y 2 ),

thì ., . là một tích vô hướng trên H và ta có
x, x = x 2 , ∀x ∈ H.


Luận văn đầy đủ ở file: Luận văn full