Tỉ lệ vàng và ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
——————–o0o——————–

NGUYỄN THỊ LINH

TỈ LỆ VÀNG VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên, 10/2017


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
——————–o0o——————–

NGUYỄN THỊ LINH

TỈ LỆ VÀNG VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp
Mã số: 60.46.01.13

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS.TS. NGUYỄN DANH NAM

Thái Nguyên, 10/2017

i

Mục lục
Lời cảm ơn

ii

Mở đầu

2

1 Tỉ lệ vàng và dãy số Fibonacci
4
1.1 Tỉ lệ vàng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Dãy số Fibonacci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3 Mối liên hệ giữa tỉ lệ vàng và dãy số Fibonacci . . . . . . 30
2 Ứng dụng của tỉ lệ vàng và sự liên hệ giữa tỉ lệ vàng với
thực tiễn
33
2.1 Hình chữ nhật vàng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2 Hình tam giác vàng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.3 Đường xoắn ốc vàng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.4 Một số ứng dụng của tỉ lệ vàng trong thực tiễn . . . . . 52
Kết luận

71

Tài liệu tham khảo chính

72


ii

Lời cảm ơn
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy tôi PGS.TS. Nguyễn
Danh Nam, người đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn,
cho tôi những nhận xét quý báu để tôi có thể hoàn thành luận văn.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng Đào tạo,
các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Phương pháp Toán sơ cấp
trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên đã giúp đỡ, tạo điều
kiện cho tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu khoa học.
Nhân dịp này tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình,
bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi
trong suốt quá trình học tập.
Thái Nguyên, tháng 10 năm 2017
Tác giả luận văn

Nguyễn Thị Linh


2

Mở đầu
√
1+ 5
. Nó đã được quan
Tỉ lệ vàng là một số vô tỉ được xác định là
2

tâm bởi các nhà toán học, vật lí học, triết học, kiến trúc sư, nghệ sĩ
và thậm chí là các nhạc sĩ từ thời cổ đại.
Euclide - nhà toán học đã từng nói đến tỉ lệ vàng trong tác phẩm
bất hủ của ông mang tên "Cơ bản". Theo Euclide, điểm I trên đoạn
AB được gọi là điểm chia đoạn AB theo tỉ lệ vàng (còn được gọi là
AI
AB
AI
AB
điểm vàng) nếu thoả mãn:
=
. Đặt
=
= x, số x được
IB
AI
IB
AI
gọi là tỉ lệ vàng và điểm I là điểm vàng của đoạn AB. Ở thời kỳ trung
đại, có khá nhiều phát hiện về sự tồn tại của tỉ lệ vàng trong các hình
tự nhiên như hình ngôi sao năm cánh, hình đa giác mười cạnh,... trong
dãy số Fibonacci. Luca Pacioli (1445 - 1517) xác định tỉ lệ vàng là "tỉ
lệ thần thánh" trong tác phẩm Proportione Divina. Ở thời kỳ hiện
đại, Mark Bar (thế kỷ 20) sử dụng chữ cái Hy Lạp phi (ϕ) là kí hiệu
của tỉ lệ vàng. Như vậy, ngoài tên tỉ lệ vàng nó còn được gọi là phần
vàng, cắt vàng, tỉ lệ thần thánh và có giá trị là 1.61803. . . Một số vô
tỉ không thể biểu diễn bằng một tỉ số hữu hạn số nguyên. Những con
số này được tạo thành tập vô hạn và một số như π (tỉ số của chu vi
với đường kính của một đường tròn) và e (cơ sở của logarit tự nhiên)
nổi tiếng và có ứng dụng trong nhiều lĩnh vực. Tại sao tỉ lệ vàng lại

thu hút được sự quan tâm sâu sắc và ứng dụng của
√ nó là gì?
a+ b
Một số vô tỉ được thể hiện dưới dạng I =
trong đó ϕ được
c
xác định bởi các giá trị a = 1, b = 5 và c = 2. Các số vô tỉ như
a = 3, b = 3 và c = 3 có sự đối xứng hơn so với tỉ lệ vàng và một giá trị
tương tự 1.57735. . . Tuy nhiên, tỉ lệ vàng chiếm hữu một số tính năng
thú vị và tính chất quan trọng làm cho nó trở lên thu hút trong tập
hợp số vô tỉ.
Các nghệ sĩ và kiến trúc sư bắt đầu tính toán và xây dựng sao cho


3

các tác phẩm của họ xấp xỉ tỉ lệ vàng còn các nhà toán học đã nghiên
cứu tỉ lệ vàng vì tính độc đáo cũng như các tính chất lí thú của nó.
Qua nhiều năm, các nghệ sĩ và kiến trúc sư đã nỗ lực tìm kiếm mối
quan hệ giữa tỉ lệ vàng với nghệ thuật, kiến trúc, sinh học, thực vật và
các lĩnh vực khác. Những con số này được nổi bật nên trong một số
công trình xây dựng hình học và có một số tính chất toán học thú vị.
Từ đó dẫn đến sự yêu thích của những người đam mê đã gán những
thuộc tính huyền bí đến số này và dẫn đến những cái tên như: giá trị
trung bình vàng và tỉ lệ thần thánh.
Về mặt nguyên lý thiết kế, tỉ lệ vàng là một trong những yếu tố
quan trọng tạo nên tổng thể của một công trình kiến trúc đẹp, một
không gian hài hòa hay một sản phẩm mỹ thuật có điểm nhấn sáng
tạo.
Trong toán học và nghệ thuật, đại lượng được xem là tỉ số vàng hay

tỉ lệ vàng nếu tỉ số giữa tổng của các đại lượng đó với đại lượng lớn
hơn bằng tỉ số giữa đại lượng lớn hơn với đại lượng nhỏ hơn tức toàn
thể và tất cả chỉ có một giá trị tương quan duy nhất bằng 1, 618033987
(con số vàng). Tỉ số này đã được con người sử dụng hàng thế kỷ qua và
tiếp tục có mặt trong các tác phẩm mỹ thuật, kiến trúc, điêu khắc cho
đến ngày nay. Nó cũng xuất hiện trong các tỉ lệ trên cơ thể con người,
sự biến động của thị trường chứng khoán và rất nhiều ảnh hưởng khác
tới cuộc sống và vạn vật. Luận văn tìm hiểu về tỉ lệ vàng, một số ứng
dụng của tỉ lệ vàng trong Toán học và liên hệ giữa toán học với thực
tiễn.
Bố cục luận văn gồm phần mở đầu, hai chương trình bày nội dung
của luận văn, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo.
Chương 1: "Tỉ lệ vàng và dãy số Fibonacci" trình bày định nghĩa
của tỉ lệ vàng, dãy số Fibonacci và mối quan hệ giữa chúng. Các kiến
thức cơ bản về tỉ lệ vàng, các kiến thức về dãy Fibonacci và mối quan
hệ giữa tỉ lệ vàng và dãy Fibonacci.
Chương 2: "Ứng dụng của tỉ lệ vàng và sự liên hệ giữa Toán học với
thực tiễn" trình bày ứng dụng của tỉ lệ vàng trong hình học: hình chữ
nhật vàng, hình tam giác vàng, đường xoắn ốc vàng và mối liên hệ của
tỉ lệ vàng và dãy Fibonacci trong đời sống: tự nhiên, kiến trúc, hội hoạ
và thiết kế đồ hoạ.


4

Chương 1

Tỉ lệ vàng và dãy số Fibonacci
Chương này đưa ra các kiến thức cơ bản, tính chất và những biểu
diễn khác nhau của tỉ lệ vàng. Các kiến thức về dãy Fibonacci và mối

quan hệ giữa tỉ lệ vàng và dãy số Fibonacci.
1.1

Tỉ lệ vàng

Nội dung được tham khảo chủ yếu ở tài liệu [1], [3] và [5].
Định nghĩa 1.1.1 Trong toán học, hai đại lượng được gọi là tỉ lệ vàng
nếu tỉ số giữa tổng các đại lượng đó với đại lượng lớn hơn bằng tỉ số
giữa đại lượng lớn hơn với đại lượng nhỏ hơn.
Tỉ lệ vàng được kí hiệu bằng kí tự ϕ (phi) trong bảng chữ cái Hy
Lạp. Dạng tổng quát của tỉ lệ vàng là:

Hình 1.1 Cách chia AB trong tỉ lệ vàng suy rộng
Giả sử một đoạn thẳng AB được chia thành hai đoạn AC và CB
(Hình 1.1) sao cho
n
AB
βAC
(1.1)
a
=
AC
CB


5

trong đó a và β là số thực dương.
βAC
AB

AC + CB
CB
Cho
= x thì a
= a
=a 1+
CB
AC
AC
AC
β
= a+
x
Như vậy, ta có

a+

aβ
x

= xn hoặc
xn+1 = ax + b

(1.2)

trong đó, aβ = b. Trong trường hợp đặc biệt cho n = 1 ta chia AB sao
AB
βAC
cho a
=

, ta có:
AC
CB
x2 − ax − b = 0
Hoặc
x1 =

a+

và
x2 =

a−

(1.3)

√

a2 + 4b
2

(1.4)

√

a2 + 4b
2

(1.5)

Ta gọi nghiệm dương của phương trình này là tổng quát hai tham
số tỉ lệ vàng ϕ(a, b).


4b
1+ 2
1

a 
ϕ(a, b) = a  +

2
2

Trong trường hợp b = 1, ta có:
a
ϕa = ϕ(a, 1) = +
2

√

a2 + 4b
2

được gọi là tỉ lệ vàng tổng quát. Cho a = 1 ta có tỉ lệ vàng:
√
1+ 5
ϕ = ϕ1 = ϕ(1, 1) =
2

6

Hãy xem xét các tính chất của tỉ lệ vàng. Cho a = b ta có:


4
1+ 
1

a
ϕ = a +

2
2

Đó là một cách giải cho phương trình x2 − ax − b = 0. Bây giờ có
b
thể xem xét các tính chất khác của tỉ lệ này, ta có: a + = ϕ. Khi
ϕ
đó, tỉ lệ vàng
√ tổng quát ϕ (với a = 1) giảm xuống đến tỉ lệ vàng lịch
1+ 5
sử ϕ =
có nhiều tính chất và ứng dụng trong nghệ thuật, kỹ
2
thuật, vật lí và toán học. Các tính chất tương tự có thể được thiết lập
trong trường hợp tổng quát.
Ví dụ: tổng quát ϕ có thể được thể hiện bằng chính số hạng của nó
1

như ϕ = a + . Nó có thể được mở rộng thành phân số hoặc nghiệm
ϕ
các phương trình lồng nhau và được gọi là phân số liên tục hay nghiệm
lồng nhau.
√
ϕ = 1 + 1 + 1 + ...

ϕa =

1+a

ϕ(a, b) =

1+a

b+a

√
1 + a ...

1+a

b+a

√
b + a ...

Sử dụng mối quan hệ trong số hạng của chính nó ta nhận được các
phân số liên tục của ϕ, ϕa , ϕ(a, b) tương ứng
1

ϕ=

1

1+
1+

1
1 + ...
1

ϕa = a +

1

a+
a+

1
a + ...


7

b

ϕ(a, b) = a +

b

a+

b

a+
a+

b
a + ...

Stakhov và Rozin đưa ra một số kết quả từ n = 2 và a = b = 1,
kết quả tương tự được xác minh với các giá trị khác nhau của a và b.
Bằng cách sử dụng phân số liên tục trên có thể khái quát hóa trong
ứng dụng nghệ thuật và kiến trúc. Đoạn thẳng AB trên có thể chia
thành n phần và theo tỉ lệ kế tiếp một hệ phương trình sẽ được tạo ra
sao cho a có giá trị n, (1.1) được mở rộng đến các tham số tỉ lệ để tạo
ra một tỉ lệ vàng nhiều tham số. Ở đây, ta tập trung vào tham số tổng
quát và các ứng dụng của tỉ lệ này.
Nếu a = b trong (1.3) thì


4
1+ 
1

a
ϕ(a, a) = a  +

2


2
Tỉ số tham số tổng quát duy nhất khác với ϕ(a, 1). Thật vậy, (1.2)
có thể được xem như là hàm đặc trưng của phương trình khác nhau
của n với các tham số a và b.
Pn+2 (a, b) = aPn+1 (a, b) + bPn (a, b)
có thể được khái quát thành một trường hợp nhiều tham số.
p

Pn+p (a1 , a2 , ..., ap ) =

ai Pn+p−i (a1 , a2 , ..., ap ), p = 2, 3, ...
i=1

1.1.1 Các tính chất cơ bản của tỉ lệ vàng
Nội dung được tham khảo chủ yếu ở tài liệu [3] và [5].
Tỉ lệ vàng xuất hiện trong một số mối quan hệ rất cơ bản liên quan
đến số mà từ đó rất nhiều tính chất của tỉ lệ vàng được phát hiện. Một
dãy số là một tổng của một dãy các biểu thức toán học. Trong đa số
các trường hợp sử dụng, các biểu thức trong dãy có thể được xây dựng
bằng các công thức hay thuật toán hay thậm chí bằng số ngẫu nhiên.


Luận văn đầy đủ ở file: Luận văn full