toán chuyên nghành kỹ thuật

Lý thuyết :
Câu 1)Tại sao pp newton Rapshon còn gọi là pp tiếp tuyến:
Vì về ý nghĩa hình học yn+1 là giao điểm tiếp tuyến của đường cong y = F(x) tại
điểm(xn, f(xn)) với trục hoành do đó……
Ta có pt nghiệm theo pp Newton- Raphson
Xn+1 = xn – f (xn)/f’ (xn)
Về mặt hình học, xn+1 chính là giao điểm của tiếp tuyến đối với đồ thị hàm f(xn) tại
điểm (xn , f(xn)). Do đó, pp newton raphson còn được gọi là phương pháp tiếp tuyến.
Câu 2)Ưu nhược điểm của pp lặp gải phương trình phi tuyến:
Phương pháp
Ưu điểm
Nhược điểm
Chia đôi
Nghiệm tương đối chính
Quá trình tính toán rất lâu,
xác, đơn giản
hội tụ chậm.
K tận dụng đc tính chất của
hàm fx
Lặp đơn
Nghiệm chính xác hơn
Khó xác định hội tụ
Dây cung
Đơn giản
Hội tụ còn chậm, chỉ hội tụ
Nhanh hơn pp lặp đơn
tuyến tính
Newton rapshon
Đạo hàm fx hội tụ nhanh
Việc kiểm tra đk để áp
hơn

dụng pp này là khó
Câu 3. Hãy nêu ưu nhược điểm của các phương pháp giải hệ đại tuyến (trực tiếp
và lặp) ?
 pp giải trực tiếp
- pp khử Gauss
 Ưu: thuật toán dễ hiểu, cách thức đơn giản.
 Nhược:+ số lương vòng lắp lớn, độ phức tạp bài toán cao
+ Thời gian chạy chương trình kéo dài, đối với các ma trận lớn kết quả
còn ko chính xác
- Phân tích LU


 Ưu: Hạn chế được thời gian chạy của pp Gaus: thời gian rút ngắn 1 nửa, số vòng
lặp giảm 1 nửa.
 Nhược: + vấn mắc những lỗi của pp gauss về độ chính xác đối với ma trận hệ số
lớn.
+ sử dụng thêm 1 ma trận để lưu các bước khai triển Gauss gây loãng phí
thêm 1 lượng ô nhớ bằng với ma trận đã cho.
 Pp lặp
 Pp lặp đơn:
 Ưu: + tiết kiệm được bộ nhớ máy tính, đảm bảo thời gian thực hiện
chương trình, số lần lặp cũng như thời gian chạy giảm đáng kể so
với pp trên.
+ Độ chính xác cao hơn các pp trk, nguyên do là do thực hiện kiểm
tra độ chính xác sau mỗi lần lặp.
 Nhược: + không phải tất cả các pp đều có nghiệm hội tụ ( chỉ áp
dụng cho ma trận đường chéo trội )
+ Nếu hệ số hội tụ quá lớn thì ma trận sẽ lâu hội tụ về ma
trận kết quả.
 Pp seisel + ưu: cải tiến hơn sơ với pp lặp đơn: sử dụng ít bộ nhớ máy,

thời gian tốc độ hội tụ về nghiệm nhanh hơn.
+ Nhược: còn những nhược điểm như pp lặp đơn về độ hội tụ
của bài toán đã cho
Câu 4) Tại sao pp Adam còn gọi là pp đa bước:
Vì tính thông qua nhiều bước trc đó.muốn Tính yi phải tính yi-1, yi-2,….
Câu 5)Đk sơ đồ sai phân đc chấp nhận:
Zjn+1 =(1-r) Zjn + rZjn-1
Ta nói 1 lược đồ sai phân là ổn định khi:” Nếu tập hợp vô hạn các nghiệm tính đc là bị
chặn đều, ngược lại là k ổn định”.
Định lý courant: Nếu lược đồ sai phân nhất quán với pt vi phân và bản thân lược đồ đó là
ổn định thì nghiệm của pt sai phân sẽ hội tụ đén nghiệm của pt vi phân.
Câu 6) Các ứng dụng cơ học của pp sai phân trong tính toán các hiện tượng:
Pt vi phân dạng elip: trong bài toán truyền nhiệt, thẩm thấu cơ học chất lỏng,..
Pt vi phân dạng pararabol: khuyết tán chất ô nhiễm.
Pt vi phân hypebol: pt dao động của dây U=U( x,t) với x là tọa độ,t là thời gian.
Câu 7) PP phần tử hữu hạn # pp biến phân:
PP phần tử hh sử dụng thuật toán biến phân áp dụng cho 1 miền chia thành nhiều miền
con. Nên pppthh có ưu điểm áp dụng cho miền có dạng hình học phức tạp.


Câu 8) Ưu, nhược điểm của các sai phân hiện, sai phân ẩn:
Ưu điểm:
 Sai phân hiện: từ phương trình sai phân tiến theo thời gian t ta tìm đc ngay giá trị
Uk+1ij từ các giá trị Uki-1,j, Uki,j, Uki,j-1, Uki,j+1
 Sai phân ẩn: Tìm đc Ukij theo sai phân lùi theo thời gian t qua các giá trị Uk+1i-1,j,
Uk+1i,j, Uk+1i,j-1, Uk+1i,j+1
Nhược điểm: Phải thiết lập tất cả các phương trình cho tất cả các nút bên trong miền bài
toán và giải đồng thời các hệ pt này nên gây khó khan trong việc tính toán.
Câu 9) So sánh PPPTHH và PPSP:


PPSP xấp xỉ bài toán phương trình vi phân; còn PPPTHH thì xấp xỉ lời giải của bài
toán này



Điểm đặc trưng nhất của PPPTHH là nó có khả năng áp dụng cho những bài toán
hình học và những bài toán biên phức tạp với mối quan hệ rời rạc. Trong khi đó PPSP
về căn bản chỉ áp dụng được trong dạng hình chữ nhật với mối quan hệ đơn giản, việc
vận dụng kiến thức hình học trong PPPTHH là đơn giản về lý thuyết.



Điểm đặc trưng của phương pháp sai phân hữu hạn là có thể dễ dàng thực hiện
được.



Trong một vài trường hợp, PPSP có thể xem như là một tập con của PPPTHH xấp
xỉ. Việc lựa chọn hàm cơ sở là hàm không đổi từng phần hoặc là hàm delta Dirac.
Trong cả hai phương pháp xấp xỉ, việc xấp xỉ được tiến hành trên toàn miền, nhưng
miền đó không cần liên tục. Như một sự lựa chọn, nó có thể xác định một hàm trên
một miền rời rạc, với kết quả là toán tử vi phân liên tục không sinh ra chiều dài hơn,
tuy nhiên việc xấp xỉ này không phải là PPPTHH.



Có những lập luận để lưu ý đến cơ sở toán học của việc xấp xỉ phần tử hữu hạn trở
lên đúng đắn hơn, ví dụ, bởi vì trong PPSP đặc điểm của việc xấp xỉ những điểm lưới
còn hạn chế.



Kết quả của việc xấp xỉ bằng PPPTHH thường chính xác hơn PPSP, nhưng điều
này còn phụ thuộc vào nhiều vấn đề khác và một số trường hợp đã cho kết quả trái
ngược.

Nói chung, PPPTHH là một phương pháp thích hợp để phân tích các bài toán về kết cấu
(giải các bài toán về biến dạng và ứng suất của vật thể dạng khối hoặc động lực học kết
cấu), trong khi đó phương pháp tính trong động lực học chất lỏng có khuynh hướng sử
dụng PPSP hoặc những phương pháp khác (như phương pháp khối lượng hữu
hạn).Những bài toán của động lực học chất lỏng thường yêu cầu phải rời rạc hóa bài toán
thành một số lượng lớn những "ô vuông" hoặc những điểm lưới (hàng triệu hoặc hơn), vì


vậy mà nó đòi hỏi cách giải phải đơn giản hơn để xấp xỉ các "ô vuông". Điều này đặc biệt
đúng cho các bài toán về dòng chảy ngoài, giống như dòng không khí bao quanh xe hơi
hoặc máy bay, hoặc việc mô phỏng thời tiết ở một vùng rộng lớn. Có rất nhiều bộ phần
mềm về phương pháp phần tử hữu hạn, một số miễn phí và một số được bán.
10) Tại sao trong sách ppt thường sử dụng pp runghe – kutta bậc 4 mà k gọi bậc
cao hơn, thấp hơn:
Tại vì pp Runghe – kutta bậc 4 cho lời giải xấp xỉ chính xác và thuật toán không phức tạp
Câu11 Hãy cho ví dụ về bài toán nào đó trong thực tế kỹ thuật có ma trận thưa
(dạng BAND hay dạng bất kỳ) ?
Ma trận thưa là một ma trận trong đó hầu hết các yếu tố này là không. số lượng ko có
giá trị nguyên tố chia cho tổng sản lượng của các yếu tố ( vd: m x n)
Ma trận thưa thớt thường xuất hiện trong khoa học và kĩ thuật khi giải quyết các pt vi
phân từng phần.
Vd
11 12 0 0 0 0 0

1 33 44 0 0 0 0
0 0 55 66 77 0 0
0 0 0 0 0 88 0
0 0 0 0 0 0 99

Ma trận thưa chỉ chứa 9 yếu tố khác 0 với số 0 nguyên tố của nó là 74% và mật độ của
nó là 25%
12. Trình bày cách giải hệ phương trình phi tuyến theo công thức lặp NewtonRaphson?
Từ khai triển taylor cho bài toán 1 biến ta có
Xn+1 = xi – f(xi)/f’(xi) vì f(xi+1)=0
FTổng quát cho bài toán 2 biến
Định thức Jacobien detJ = det ui/xi ui/yi
vi/xi vi/yi
một cách tổng quát cho phương trình: f(x) = 0
với x= [x1, x2,...xn] và f [ f1, f2,…fn]
phương pháp lặp Newton- Raphson cho hệ phương trình n ẩn này là:
x(n+1) = x(k) – Fx-1(xk).f(xk)
f1/x1
…f1/xn
với ma trận jacobien như sau Fx = f2/x
…f2/xn
…
…
fn/x1
… fn/xn


Câu 13 Hãy cho một ví dụ cụ thể về ma trận A xác định dương ?
Ma trận đối xứng nxm gọi là xác định dương nếu với mọi vecto khác 0, x thuộc R n
dạng toàn phương xác định bởi Q(x) = xT Ax chỉ nhận các giá trị dương.

Chương 5: Các phương pháp số của đại số tuyến tính
5.1 Phương pháp lặp đơn hệ phương trình
 x ( m ) Bx ( m  1)  g
 (0)
 x
n

b x
ij

j1

j

Trong đó: (Bx)i =
, x(0) cho trước.
5.2 Phương pháp lặp Seiden
Giả sử cho hệ:  xi = i + với i = 1, 2,. . . , n
Lấy xấp xỉ ban đầu là x1(0) , x2(0) , . . . , xn(0)
Tiếp theo, giả sử ta đã biết xấp xỉ thứ k là xi(k) theo Seiden, ta sẽ tìm xấp xỉ
thứ ( k+1) của nghiệm theo công thức:


Chương 6

NGHIỆM GẦN ĐÚNG CỦA HỆ
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG

6.2.1 Phương pháp xấp xỉ liên tiếp Pica

Mục đích của phương pháp này là xây dựng nghiệm cần tìm là y= y(x)
Từ (6.2.1) ta có:
Hay:
(6.2.4)
Giả sử f(x,y) là hàm liên tục theo x,y và < K.
Để tìm xấp xỉ liên tiếp, trong (6.2.4) thay y bằng y0, ta có xấp xỉ thứ nhất:
,
Tương tự có xấp xỉ thứ hai:
Tổng quát, ta có:
, với n = 1,2,3,…
Như vậy ta sẽ có:
Sai số: , trong đó = M
Với: < a  , < b   , thì C = min

6.2.2 Phương pháp Euler
Ta có Xi=i.h,yi+1=Yi+h.f(x,y)

6.2.3
Phương pháp Runghe - Kutta bậc 4
Xét phương trình vi phân:
u’ = f(x , u)
 ui +1 = ui +
Với sai số:
6.2.4 Phương pháp Adam
Giả sử cần giải phương trình vi phân:
Y’ = f(x , y), với điều kiện ban đầu: y(x0) = y0
Cho biến số thay đổi bởi bước h nào đó; xuất phát từ điều kiện ban đầu Y(x 0)
= Y0 bằng phương pháp nào đó (ví dụ: phương pháp Runghe-Kutta bậc 4), ta tìm
được 3 giá trị tiếp theo của hàm cần tìm y(x): Y 1 = Y(x1) = Y(x0+h), Y2 =
Y(x0+2h), Y3 = Y(x0 + 3h) .

Nhờ các giá trị x0 , x1 , x2 , x3 và Y0 , Y1 , Y2 , Y3 , ta tính được q0, q1, q2, q3.
Trong đó: q0 = h.Y0’ = h.f(x0 , y0), q1 = h.f(x1 , y1), q2 = h.f(x2 , y2),
q3 = h.f(x3 , y3), sau đó ta lập bảng sai phân hữu hạn của các đại lượng y và q


x
xo

y
yo

y

q
qo

yo
x1

y1

q1

x3
y3
--------- --------- -----------

-------

3q0

2q1

q2
y2

3q

2q0

q1

y2

2q

q0

y1
x2

q

q2
q3
--------- ----------

---------------

---------

---------

-------------

Biết các số ở đường chéo dưới, ta tìm y3 theo công thức Adam như sau:
Tiếp đó ta có:

Y4 = Y3 + Y3  q4 = h.f(x4, Y4)
Sau đó viết đường chéo tiếp theo như sau:
q3 = q4 - q3 , 2q2= q3 - q2 , 3q1 = 2.q2 - 2.q
Đường chéo mới cho phép ta tính Y4 :
Y4 = q4 + 1/2q3 + 5/122q2 + 3/83q1
Vì vậy ta có: Y5 = Y4 + Y4 . . . . .

1.Ưu nhược điểm của các phương pháp nội suy:
* Nội suy lagrange
+ Ưu : đơn giản
+ Nếu thêm nút nội suy thì phải tính toàn bộ .
*Nội suy Newton
+Ưu : khi tăng số nút nội suy ta ko cần tính lại mà chỉ cần bổ sung thêm
+ Nhược: số điểm góc rất lớn, mặc khác có nhiều hiện tượng vật lý thì sẽ gây ra sai
số lớn.
*Phương pháp nội suy spline
+ Ưu: có thể đáp ứng được một số bài trong thực tế phù hợp với hiện tượng vật lý
quan sát và không quá phức tạp thuật toán.
+ Nhược: trong thực tế có những hiện tượng chính xác, do đó việc tìm con đường
qua các cặp điểm này không hẳn là phù hợp.
2.Trương hợp cụ thể và cách chọn phương pháp nội suy thích hợp:

_ Nội suy Newton: đề cập đến đa thức nội suy khi biết các mẫu quan sát rời rạc
(xi;yi) sao cho sao cho mỗi lần bổ sung thêm số liệu thì mẫu kế thừa được đa thức
nội suy đã tính trước đó.
_ Nội suy Spline: các đa thức nội suy có bậc rất lớn, có nhiều hiện tượng vật lý
khác nhau như sự phân bố.
* Sai số tuyệt đối và sai số tương đối
* Định nghĩa sai số tuyệt đối:
. Giá trị ước lượng Δa sao cho:
| a-a0| ≤ Δa (1) được gọi là sai số tuyệt đối của số gần đúng a.
Sai số tuyệt đối nhỏ nhất có thể biết được gọi là sai số tuyệt đối giới hạn của a.
Thông thường ước lượng sai số tuyệt đối giới hạn là rất khó và nhiều khi không
cần thiết nên người ta chỉ cần ước lượng sai số tuyệt đối đủ nhỏ và dùng từ 1 đến 3
chữ số có nghĩa (là số chữ số bắt đầu từ chữ số khác không đầu tiên từ trái sang
phải) để biểu diễn sai số tuyệt đối của số gần đúng.
Thay cho biểu thức (1) người ta còn dùng biểu diễn sau để chỉ sai số tuyệt đối:
a= a0 ± Δa
*Đ ịnh nghĩa sai số tương đối: Sai số tương đối của số gần đúng a (được ký hiệu
là δa) là tỷ số giữa sai số tuyệt đối và giá trị tuyệt đối của nó:
δa=Δa/∣a∣
Thường sai số tương đối được biễu diễn dưới dạng % với 2 hoặc 3 chữ số.
Dễ thấy: Δa = |a|. δa
nên chỉ cần biết một trong hai loại sai số là tính đ ư ợc loại kia.
* Sai số tính toán và sai số phương pháp
Khi giải một bài toán phức tạp ta phải thay bài toán đó bằng bài toán đơn giản
hơn để có thể tính toán bằng tay hoặc bằng máy. Phương pháp thay bài toán phức
tạp bằng một phương pháp đơn giản tính được như vậy gọi là phương pháp gần
đúng. Sai số do phương pháp gần đúng tạo ra gọi là sai số phương pháp.
Mặc dầu bài toán đã ở dạng đơn giản, có thể tính toán được bằng tay hoặc trên
máy tính, nhưng trong quá trình tính toán ta thường xuyên phải làm tròn các kết
quả trung gian. Sai số tạo ra bởi tất cả những lần quy tròn như vậy được gọi là sai

số tính toán. Trong thực tế việc đánh giá các loại sai số, nhất là sai số tính toán
nhiều khi là bài toán rất khó thực hiện.
Để hiểu rõ hơn bản chất của sai số phương pháp và sai số tính toán ta xét ví dụ
sau:
Công thức này có thể dùng để tính giá trị ex . Tuy nhiên đây là tổng vô hạn, nên
trong thực tế ta chỉ tính được tổng nghĩa là chúng ta đã dùng phương pháp gần
đúng. Khi tính tổng Sn ta lại thường xuyên phải làm tròn, do đó ta lại gặp sai số khi
tính toán Sn.


1.Trình bày cách giải hệ phương trình phi tuyến theo ct lặp Newton
Ý tưởng:
-Thay ptpt f(x)=0 bằng một pttt với x
-Yêu cầu biết nghiệm xấp xỉ ban đầu
-Dựa trên khai triển taylor

2.Tại sao phương pháp lặp New còn được gọi là phương pháp phi tuyến
Ý chủ đạo của phương pháp Newton là thay phương trình phi tuyến đối với x bằng phương trình gần
đúng, tuyến tính đối với x. Trước hết ta nhắc lại định lý về khai triển Taylo của một hàm như sau:
Định lý. Cho hàm số f(x) xác định và có đạo hàm đến cấp n+1 tại x0 và lân cận của x0. Giả sử h là một
giá trị sao cho x0 + h cũng thuộc lân cận này. Ta có công thức sau đây được gọi là khai triển Taylor bậc n
của f(x) tại x0:
f(x0 +h) = f(x0) + h/1! f'(x0) + h/2! f''(x0) + . . .+ h^n/n f^(n)(x0) + h^(n+1)/(n+1)!f^(n+1)(c)
Trong đó c∈ (x0,x0+h)
Dựa vào khai triển Taylo, ta sẽ xác định một hàm ϕ(x) và tìm nghiệm của f(x0)=0 bằng phép lặp: xn+1 =
ϕ(xn). Giả sử x là nghiệm đúng của (4.1), còn xn là nghiệm xấp xỉ tại bước lặp thứ n. Ta đặt x=xn+Δxn.
Theo khai triển Taylo ta có f(x) = f(xn + Δxn) = f(xn) + Δxnf'(xn) + !2 2 n Δx f''(c) = 0 Nếu Δxn đủ nhỏ
thì ta có công thức gần đúng: f(xn) + Δxnf'(xn) ≈ f(x) = 0
Từ đây Δxn ≈ -f(xn)/f’(xn).
Vì Δxn = x – xn. Do đó x ≈ xn -f(xn)/f’(xn).

Và ta suy ra công thức lặp cho phép lặp Newton: xn+1 = xn -f(xn)/f’(xn).
Về ý nghĩa hình học xn+1 chính là giao điểm của tiếp tuyến đường cong y = f(x) tại điểm (xn,f(xn)) với
trục hoành. Do đó phương pháp này còn được gọi là phương pháp tiếp tuyến.
3. Ưu nhược điểm pp lặp:
Nhược: khả năng tốc độ hội tụ của phương pháp Newton phụ thuộc nhiều vào giá trị ban đầu . Giá
trị
càng gần nghiệm thực của phương trình thì phương pháp này càng hội tụ nhanh chóng. Trong
trường hợp xấu (khi
vô nghiệm, hoặc khi giá trị không cùng nằm trên một đoạn biến thiên
của hàm số) thì phương pháp sẽ khó hội tụ nhanh. Trong trường hợp phương trình không có nghiệm,
phương pháp này cũng không thể phát hiện.


Một điểm hạn chế nữa là do yêu cầu tính tích phân của hàm số, phương pháp này sẽ khó khăn trong
trường hợp việc tính đạo hàm trở nên phức tạp.
PP chia đôi:
Ưu: đơn giản.
Nhược: tốc độ hội tụ chậm, không tận dụng được tính chất của hàm số f(x). Dù hàm số có dạng gì thì
chúng ta cũng chỉ chia đôi, xét giá trị của hàm tại các điểm chia rồi quyết định chọn đoạn nào để chia tiếp.
Nếu khoảng [a,b] ban đầu lớn thì phải khá nhiều bước mới đạt được độ chính xác cần thiết.
PP dây cung:
Ưu: là thuật toán đơn giản.
Nhược: tuy có nhanh hơn thuật toán chia đôi nhưng vẫn còn hội tụ chậm, chỉ hội tụ tuyến tính.
PP Newton Nhờ việc sử dụng đạo hàm của hàm số f(x) nên nói chung phương pháp Newton hội tụ nhanh
hơn phương pháp chia đôi và phương pháp dây cung.
Nhược: Khả năng tốc độ hội tụ của phương pháp Newton phụ thuộc nhiều vào giá trị ban đầu xo. Giá
trị xo càng gần nghiệm thực của phương trình thì phương pháp này càng hội tụ nhanh chóng. Trong
trường hợp xấu (khi f(x)=0 vô nghiệm, hoặc khi giá trị x0 không cùng nằm trên một đoạn biến thiên của
hàm số) thì phương pháp sẽ khó hội tụ nhanh. Trong trường hợp phương trình không có nghiệm, phương
pháp này cũng không thể phát hiện.

Một điểm hạn chế nữa là do yêu cầu tính tích phân của hàm số, phương pháp này sẽ khó khăn trong
trường hợp việc tính đạo hàm trở nên phức tạp.
PP lặp đơn
Ưu: Phương pháp lặp đơn có tính chất tự điều chỉnh, nghĩa là nếu tại một vài bước tính toán trung gian ta
mắc phải sai số thì dãy  n n 0, x   vẫn hội tụ đến * x , tất nhiên chỉ một vài bước sai và sai số mắc
phải không vượt ra ngoài đoạn. Một tính chất đặc biệt của phép lặp này là có thể đánh giá ngay từ đầu số
bước lặp mà ta cần phải làm để có được độ chính xác theo yêu cầu.
Nhược: không có phương pháp để tìm phương trình tương đương.

1. Ma trận xác định dương:
Ma trận [A] gọi là xác định dương nếu với vec tơ [x] bất kì ta có:

[ X]^T [A ][X ]>0

Ma trận đối xứng là xác định dương nếu và chỉ nếu mọi trị riêng của nó có giá trị dương,
VD: 1 -1 1;-1 2 -2;1 -2 3.

2. Ưu nhược điểm của các phương pháp giải hệ đại tuyến:
_ Pp trực tiếp:
-Pp khử Gass:
+Ưu: thuật toán dễ hiểu, cách thức đơn giản
+Nhược: số lượng vòng lặp nhiều, độ phức tạp bài toán cao
Time chạy ctrinh kéo dài, đối với các ma trận lớn kq còn k chính xác
-Pp LU:
+Ưu: hạn chế đc time chạy của pp Gass, time rút ngắn 1 nửa, số vòng lặp giảm 1 nửa
+Nhược: vẫn mắc lỗi của Gauss về độ chính xác đối với mt hệ số lớn
Sử dụng thêm 1 MT để lưu các bước khai triển Gauss gây lãng phí thêm 1 lượng ổ nhớ= vs MT đã
chọn.
_Pp lặp:
-LẶp đơn:

+ Ưu: tiết kiệm đc bộ nhớ máy tính, đảm bảo time thực hiện ctrinh số lần lặp cũng như time chạy
giảm đáng kể so vs những pp trên
Độ chính xác cao hơn các pp trc,ngyên nhân do thực hiện ktra độ chính xác sau mỗi lần lặp.
+Nhược: K giải all các pt đều có hội tụ ( chỉ áp dụng cho MT đg chéo trội)
Nếu hệ số hội tụ quá thì MT sẽ hội tụ về MT Kq.

- Lặp Seidel
+Ưu: Cải tiến hơn so với pp lặp đơn, sử dụng 1 bộ nhớ máy, time tốc độ hội tụ về nghiệm nhanh hơn
+Nhược: Còn những nhược điểm như pp lặp đơn về độ hội tụ của bài toán đã chọn

Chương 3 Tính gần đúng đạo hàm và tích phân
1. phạm vi cho phép), khi nào nó không được chấp nhận. Cho vài ví dụ ?
2. Tại sao tích phân gần đúng Gauss tốt hơn tích phân gần đúng Simpson và Tp
gần đúng Simpson tốt hơn Tp gần đúng hình thang ?
3. Tại sao tích phân số (gần đúng) của Gauss càng chính xác khi điểm tích phân
càng nhiều ?

Chương 4 Giaỉ gần đúng phương trình và hệ pt phi tuyến
1. Phương trình (hoặc hệ phương trình) phi tuyến thông thường có nhiều
nghiệm;để giải nó (hoặc chúng nó), bước đầu tiên ta phải làm gì ?
2. Trình bày cách giải hệ phương trình phi tuyến theo công thức lặp NewtonRaphson?
Từ khai triển taylor cho bài toán 1 biến ta có
Xn+1 = xi – f(xi)/f’(xi) vì f(xi+1)=0
FTổng quát cho bài toán 2 biến
Định thức Jacobien detJ = det ui/xi ui/yi
vi/xi vi/yi
một cách tổng quát cho phương trình: f(x) = 0
với x= [x1, x2,...xn] và f [ f1, f2,…fn]

phương pháp lặp Newton- Raphson cho hệ phương trình n ẩn này là:
x(n+1) = x(k) – Fx-1(xk).f(xk)
f1/x1
…f1/xn
với ma trận jacobien như sau Fx = f2/x
…f2/xn
…
…
fn/x1
… fn/xn
3. Tại sao phương pháp lặp Newton – Raphson còn được gọi là phương pháp tiếp
tuyến ?
Ta có pt nghiệm theo pp Newton- Raphson
Xn+1 = xn – f (xn)/f’ (xn)


Về mặt hình học, xn+1 chính là giao điểm của tiếp tuyến đối với đồ thị hàm f(xn) tại
điểm (xn , f(xn)). Do đó, pp newton raphson còn được gọi là phương pháp tiếp tuyến.
4. Ưu nhược điểm của các phương pháp lặp để giải phương trình phi tuyến ?
 Pp dây cung + Ưu: thuật toán đơn giản
+ Nhược: tuy có nhanh hơn thuật toán chi đôi nhưng còn hội tụ
chậm. chỉ hội tụ tuyến tính.
 Pp chia đôi: + Ưu: Đơn giản
+ Nhược: - tốc độ hội tụ chậm, ko tận dụng được tính chất của hàm số f(x).
- Dù hàm có dạng gì thì chúng ta cũng chỉ chia đôi, xét qua giá trị của hảm
tại các điểm chia rồi quyết định chọn đoạn nào đó để chi tiếp. Nếu khoảng
[a,b] ban đầu lơn thì phải khá nhiểu bước mới đạt được độ chính xác cần
thiết.
 Pp Newton-Raphson
+ Ưu: sử dụng đạo hàm f(x) nên hội tụ nhanh hơn pp chia đôi và dây cung.

+ Nhược: Việc kiểm tra điều kiện để áp dụng pp Newton phức tạp hơn.

Chương 5 Phương pháp số của đại số tuyến tính
1. Hãy cho ví dụ về bài toán nào đó trong thực tế kỹ thuật có ma trận thưa
(dạng BAND hay dạng bất kỳ) ?
Ma trận thưa là một ma trận trong đó hầu hết các yếu tố này là không. số lượng ko có
giá trị nguyên tố chia cho tổng sản lượng của các yếu tố ( vd: m x n)
Ma trận thưa thớt thường xuất hiện trong khoa học và kĩ thuật khi giải quyết các pt vi
phân từng phần.
Vd
11 12 0 0 0 0 0
1 33 44 0 0 0 0
0 0 55 66 77 0 0
0 0 0 0 0 88 0
0 0 0 0 0 0 99
Ma trận thưa chỉ chứa 9 yếu tố khác 0 với số 0 nguyên tố của nó là 74% và mật độ của
nó là 25%
2. Hãy trình bày một thuật toán lưu trữ tiết kiệm bộ nhớ trong máy tính và giải
nó khi ma trận thưa ?
3. Hãy cho một ví dụ cụ thể về ma trận A xác định dương ?
Ma trận đối xứng nxm gọi là xác định dương nếu với mọi vecto khác 0, x thuộc R n
dạng toàn phương xác định bởi Q(x) = xT Ax chỉ nhận các giá trị dương.
4. Hãy nêu ưu nhược điểm của các phương pháp giải hệ đại tuyến (trực tiếp và
lặp) ?


 pp giải trực tiếp
- pp khử Gauss
 Ưu: thuật toán dễ hiểu, cách thức đơn giản.
 Nhược:+ số lương vòng lắp lớn, độ phức tạp bài toán cao

+ Thời gian chạy chương trình kéo dài, đối với các ma trận lớn kết quả
còn ko chính xác
- Phân tích LU
 Ưu: Hạn chế được thời gian chạy của pp Gaus: thời gian rút ngắn 1 nửa, số vòng
lặp giảm 1 nửa.
 Nhược: + vấn mắc những lỗi của pp gauss về độ chính xác đối với ma trận hệ số
lớn.
+ sử dụng thêm 1 ma trận để lưu các bước khai triển Gauss gây loãng phí
thêm 1 lượng ô nhớ bằng với ma trận đã cho.
 Pp lặp
 Pp lặp đơn:
 Ưu: + tiết kiệm được bộ nhớ máy tính, đảm bảo thời gian thực hiện
chương trình, số lần lặp cũng như thời gian chạy giảm đáng kể so
với pp trên.
+ Độ chính xác cao hơn các pp trk, nguyên do là do thực hiện kiểm
tra độ chính xác sau mỗi lần lặp.
 Nhược: + không phải tất cả các pp đều có nghiệm hội tụ ( chỉ áp
dụng cho ma trận đường chéo trội )
+ Nếu hệ số hội tụ quá lớn thì ma trận sẽ lâu hội tụ về ma
trận kết quả.
 Pp seisel + ưu: cải tiến hơn sơ với pp lặp đơn: sử dụng ít bộ nhớ máy,
thời gian tốc độ hội tụ về nghiệm nhanh hơn.
+ Nhược: còn những nhược điểm như pp lặp đơn về độ hội tụ
của bài toán đã cho

Việc ghép các ma trận độ cứng k và các véctơ lực f của các phần tử để tạo ra ma trận
độ cứng K và véctơ lực nút F chung cho cả hệ, từ đó thiết lập hệ phương trình PTHH là
một vấn đề quan trọng.
Ta sẽ cộng các số hạng của ma trận độ cứng của mỗi phần tử vào các vị trí tương ứng
của ma trận độ cứng chung và cộng các số hạng của véctơ lực vào véctơ lực chung.
Cách dễ nhất để ghép các phần tử là gán số cho mỗi dòng và cột của ma trận độ cứng
phần tử đúng với bậc tự do của phần tử ấy, sau đó chúng ta sẽ làm việc qua các số hạng
của ma trận phần tử; tức là cộng các số hạng này vào ma trận chung mà mỗi dòng, mỗi
cột cũng được gán đúng những số trên.
Dưới đây ta sẽ xét hai ví dụ.
1. CÁC VÍ DỤ
1.1. Ví dụ 1
Một kết cấu được chia ra 8 phần tử tam giác như Hình 3.1. Mỗi phần tử có 3 nút; mỗi
nút có 1 bậc tự do (ví dụ nhiệt độ).
7

8
5

6

4
1

1

2

9
7

3
6

5
3

2

8

e

4

1

2

3
Hình 3.1

Mô tả quá trình ghép nối ma trận độ cứng chung K với giả sử chỉ xét 3 phần tử đầu tiên:
1, 2 và 3 với các ma trận độ cứng đã biết như sau:
;;


Lời giải
1. Xây dựng bảng ghép nối phần tử (đường đến các nút ngược chiều kim đồng hồ)
Bậc tự do

Phần tử
1
2
3

1

2

3

1
4
2

2
2
3

4
5
5

2. Xét từng phần tử
Với phần tử 1, các dòng và cột được nhận dạng như sau:
Ma trận này được cộng vào ma trận độ cứng chung và ta sẽ được:
Ma trận độ cứng của phần tử 2 được gán số bởi:
Các số hạng của ma trận k2 được cộng thêm vào ma trận chung, cho ta
Với phần tử 3:
Các số hạng của ma trận k3 được cộng tiếp vào ma trận chung ở trên, cho ta

Việc cộng các véctơ lực phần tử vào véctơ lực chung được tiến hành hoàn toàn tương
tự.
1.2. Ví dụ 2
Giả sử có hai phần tử 1 và 4 trong bài toán hai chiều; mỗi phần tử có 3 nút, mỗi nút
có 2 bậc tự do (Hình 3.2). Hãy mô tả quá trình ghép nối ma trận độ cứng chung K và
véctơ lực nút chung, theo các ma trận độ cứng phần tử và véctơ lực nút phần tử k1, k4, f1
và f4 cho trước như sau:
;
;


6

5

3

4
2

1
1

i
1

2

2

Hình 3.2

Các nút của phần tử 1 là: (1, 2, 5). Bậc tự do tương ứng của phần tử là:
Các hàng và cột của ma trận độ cứng phần tử 1 được gán các số ứng với bậc tự do tương
ứng của nó và các số hạng của ma trận được cộng vào các vị trí tương ứng của ma trận độ
cứng chung.

Tiến hành tương tự đối với ma trận độ cứng của phần tử 4. Các nút của phần tử 4 là: (5,
2, 6). Bậc tự do tương ứng của phần tử là:

Các số hạng của ma trận được cộng vào các vị trí tương ứng của ma trận độ cứng chung,
ta nhận được kết quả như sau:
Véctơ lực nút của các phần tử 1 và 4 cũng được cộng vào véctơ lực nút chung theo cách
tương tự:
; 