tai lieu hay tong hop hsg
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (319.53 KB, 11 trang )
Khóa học TOÁN 11 – Thầy Đặng Việt Hùng
Chuyên đề : Giới hạn
Tài liệu bài giảng (Khóa Toán 11)
05. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ (P4)
Thầy Đặng Việt Hùng – www.facebook.com/Lyhung95
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
Dạng 2: Giới hạn dạng
∞
∞
Phương pháp giải:
Chia cả tử và mẫu cho x mũ cao nhất, hoặc đặt x mũ cao nhất làm nhân tử chung
Bài 1: [ĐVH]. Tính các giới hạn sau
2x + 1
a. lim
.
x →+∞ x − 1
Bài 2: [ĐVH]. Tính các giới hạn sau
3x(2 x 2 − 1)
a. lim
.
x →−∞ (5 x − 1)( x 2 + 2 x)
Bài 3: [ĐVH]. Tính các giới hạn sau
x3 − 2 x 2 − 2
a. lim
.
x →±∞ 3 x 2 − x − 1
Bài 4: [ĐVH]. Tính các giới hạn sau
(2 x − 3) 2 (4 x + 7)3
.
x →±∞ (3 x − 4) 2 (5 x 2 − 1)
Bài 5: [ĐVH]. Tính các giới hạn sau
a. lim
x 2 − 3x + 2 x
.
3x − 1
a. lim
x→−∞
x2 + 1
b. lim
x →−∞ 1 − 3 x − 5 x 2
c. lim
x → +∞
3x3 − 2 x 2 − 1
x →±∞ 4 x 4 + 3 x − 2
c. lim
x 4 − 3x 2 + 1
x →±∞ − x 3 + 2 x − 2
c. lim
4 x2 + 1
3x − 1
c. lim
b. lim
b. lim
b. lim
x →∞
b. lim
x →± ∞
x 2 + x + 2 + 3x + 1
4x +1 +1− x
2
x x +1
x2 + x + 1
3x3 − 2 x + 2
x →±∞ −2 x 3 + 2 x 2 − 1
( x − 1)2 (7 x + 2) 2
x →±∞
(2 x + 1) 4
x 2 − 3x + 2 x
3x − 1
x →+∞
x x+3
x →+∞ x 2 + 1
c. lim
Bài 6: [ĐVH]. Tính các giới hạn sau
4 x2 − 2 x + 1 + 2 − x
a. lim
.
9 x 2 − 3x + 2 x
Bài 7: [ĐVH]. Tính các giới hạn sau
x →± ∞
( x 3 + 2 x 2 )2 + x 3 x3 + 2 x 2 + x 2
x →−∞
3x 2 − 2 x
Bài 8: [ĐVH]. Tính các giới hạn sau
3
a. lim
a. lim
(x
)(
x + x −1
)
x +1
( x + 2)( x − 1)
Bài 9: [ĐVH]. Tính các giới hạn sau
x →+∞
a. lim
x →∞
9 x2 + x + 1 − 4 x2 + 2 x + 1
x −1
b. lim
x →±∞
x2 + 2 x + 3 + 4 x + 1
4 x2 + 1 + 2 − x
x →−∞
2 x 2 + 3x + 1
x →∞ 3 x 2 − x + 5
c. lim
x5 + 2 x2 + 1
x →∞
x3 + 1
c. lim
4 x3 + 3x − 7
x →∞ x 2 − 3 x + 5
c. lim
b. lim
b. lim
b. lim
x3 + 2 x 2 + x
2x − 2
3
c. lim
− x3 + x + 1
x →+∞
x2 − 2
x →−∞
x →∞
x2 + 1
2x + 3
x2 + 2x + 3
3
x3 − x + 1
Khóa học TOÁN 11 – Thầy Đặng Việt Hùng
Chuyên đề : Giới hạn
Dạng 3: Giới hạn dạng ∞ − ∞
Phương pháp giải:
Nhân liên hợp, quy đồng biểu thức.
Bài 10: [ĐVH]. Tính các giới hạn sau
a. lim
x →− ∞
(
)
x2 + x − x .
b. lim
)
(
x2 + x − x
(
x+2 − x−2
x→+∞
c. lim
(
c. lim
(
3
x3 + x 2 − x
c. lim
(
3
x3 − x 2 + x + x
x3 + 2 x − 1 − x 2 − 3x
)
x →+∞
x 2 − 3x + 2 − x
)
Bài 11: [ĐVH]. Tính các giới hạn sau
a. lim
x →−∞
(
x 2 − 3x + 2 − x
)
b. lim
x →+∞
)
x → ±∞
)
Bài 12: [ĐVH]. Tính các giới hạn sau
a. lim
x →±∞
(
x2 − 2 x + 4 − x
)
b. lim x
x →±∞
(
x2 + 5 + x
)
x → ±∞
Bài 13: [ĐVH]. Tính các giới hạn sau
a. lim
x→±∞
(
x 2 − 4 x + 3 − x 2 − 3x + 2
)
b. lim
(
b. lim
(
x 2 − 3x + 2 + x − 2
)
b. lim
(
x 2 − 3x + 2 + x − 2
)
b. lim
(
x 2 − 3x + 1 − x + 3
b. lim
(
x 2 + 1 − 3 x3 − 1
x →±∞
3
Bài 14: [ĐVH]. Tính các giới hạn sau
(
a. lim 2 x − 1 − 4 x 2 − 4 x − 3
x→±∞
)
x →+∞
Bài 15: [ĐVH]. Tính các giới hạn sau
(
a. lim 3 x + 2 − 9 x 2 + 12 x − 3
x→±∞
)
x →−∞
Bài 16: [ĐVH]. Tính các giới hạn sau
a. lim
x →±∞
(
)
x 2 − 3x + 2 + x − 1
x →±∞
Bài 17: [ĐVH]. Tính các giới hạn sau
a. lim
x →±∞
(
)
4 x2 − x + 3 − 2 x + 1
x→+∞
)
)
LỜI GIẢI BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1: [ĐVH]. Tính các giới hạn sau
2x + 1
.
x →+∞ x − 1
x2 + 1
x →−∞ 1 − 3 x − 5 x 2
a. lim
b. lim
Lời giải:
1
2x + 1
x = 2 + 0 = 2.
a) lim
= lim
1 1− 0
x →+∞ x − 1
x→+∞
1−
x
1
1+ 2
x2 + 1
1+ 0
1
x
b) lim
= lim
=
=− .
2
x → −∞ 1 − 3 x − 5 x
x →−∞ 1
3
5
− − 5 0 − 3.0 − 5
2
x
x
1
1
+ 2
x x +1
0+0
x
= lim x
=
= 0.
c) lim 2
x →+∞ x + x + 1
x →+∞
1 1 1+ 0 + 0
1+ + 2
x x
2+
c. lim
x → +∞
x x +1
x2 + x + 1
)
Khóa học TOÁN 11 – Thầy Đặng Việt Hùng
Bài 2: [ĐVH]. Tính các giới hạn sau
3x(2 x 2 − 1)
a. lim
.
x →−∞ (5 x − 1)( x 2 + 2 x)
Chuyên đề : Giới hạn
3x3 − 2 x 2 − 1
b. lim
x →±∞ 4 x 4 + 3 x − 2
3x3 − 2 x + 2
c. lim
x →±∞ −2 x 3 + 2 x 2 − 1
Lời giải:
3
6− 2
3 x(2 x 2 − 1)
6 − 3.0
6
x
a) lim
= lim
=
= .
2
x →−∞ (5 x − 1)( x + 2 x )
x →−∞
1 2 ( 5 − 0 )(1 + 2.0 ) 5
5 − 1 +
x x
3 2 1
− 2− 4
3x3 − 2 x 2 − 1
x
x
x = 3.0 − 2.0 − 0 = 0.
b) lim
= lim
4
x →±∞ 4 x + 3 x − 2
x →±∞
3 2
4 + 3 − 4 4 + 3.0 − 2.0
x
x
2 2
3− 2 + 3
3x3 − 2 x + 2
x
x = 3 − 2.0 + 2.0 = − 3 .
= lim
c) lim
3
2
x →±∞ −2 x + 2 x − 1
x →±∞
2 1
2
−2 + − 3 −2 + 2.0 − 0
x x
Bài 3: [ĐVH]. Tính các giới hạn sau
x3 − 2 x 2 − 2
a. lim
.
x →±∞ 3 x 2 − x − 1
x 4 − 3x 2 + 1
b. lim
x →±∞ − x 3 + 2 x − 2
( x − 1)2 (7 x + 2) 2
c. lim
x →±∞
(2 x + 1) 4
Lời giải:
2
2 2
x2 − 2 x −
1− − 3
3
2
x − 2x − 2
x = lim x.
x x
a) lim
= lim x. 2
x →±∞ 3 x 2 − x − 1
x →±∞
3 x − x − 1 x →±∞ 3 − 1 − 1
x x2
2 2
2 2
1− − 3
1− − 3
3
2
1
2.0
2.0
1
−
−
x x =
x x = +∞ ⇒ lim x − 2 x − 2 = +∞.
lim x = +∞; lim
= > 0 ⇒ lim x.
x →+∞
x →+∞
x →+∞
x →+∞ 3 x 2 − x − 1
1 1
1 1
3− 0− 0
3
3− − 2
3− − 2
x x
x x
2 2
2 2
1− − 3
1− − 3
3
2
x x = 1 − 2.0 − 2.0 = 1 > 0 ⇒ lim x.
x x = −∞ ⇒ lim x − 2 x − 2 = −∞.
lim x = −∞; lim
x →−∞
x →−∞
x →−∞
x →−∞ 3 x 2 − x − 1
1 1
1 1
3− 0− 0
3
3− − 2
3− − 2
x x
x x
1
3 1
x3 − 3x +
1− 2 + 4
x4 − 3x2 + 1
x = lim x.
x
x
= lim x. 3
b) lim
x →±∞ − x 3 + 2 x − 2
x →±∞
− x + 2 x − 2 x →±∞ −1 + 2 − 2
x2 x4
3 1
3 1
1− 2 + 4
1− 2 + 4
4
2
1
−
3.0
+
0
x
x =
x
x = −∞ ⇒ lim x − 3 x + 1 = −∞.
lim x = +∞; lim
= −1 < 0 ⇒ lim x.
x →+∞
x →+∞
x →+∞
x →+∞ − x 3 + 2 x − 2
2 2
2 2
−1 + 2 − 4 −1 + 2.0 − 2.0
−1 + 2 − 4
x
x
x
x
3 1
3 1
1− 2 + 4
1− 2 + 4
1 − 3.0 + 0
x 4 − 3x 2 + 1
x
x
x
x
lim x = −∞; lim
=
= −1 < 0 ⇒ lim x.
= +∞ ⇒ lim
= +∞.
x →−∞
x →−∞
x →−∞
x →−∞ − x 3 + 2 x − 2
2 2
2 2
−1 + 2 − 4 −1 + 2.0 − 2.0
−1 + 2 − 4
x
x
x
x
Khóa học TOÁN 11 – Thầy Đặng Việt Hùng
Chuyên đề : Giới hạn
2
2
2
1
1− 7 +
2
2
2
2
1 − 0 ) ( 7 + 2.0 )
(
( x − 1) (7 x + 2)
x
x
c) lim
= lim
=
= 1.
4
2
x →±∞
x →±∞
(2 x + 1)4
1
2 + 0)
(
2+
x
Bài 4: [ĐVH]. Tính các giới hạn sau
(2 x − 3) 2 (4 x + 7)3
a. lim
.
x →±∞ (3 x − 4) 2 (5 x 2 − 1)
4 x2 + 1
b. lim
x →∞ 3 x − 1
c. lim
x →+∞
x 2 − 3x + 2 x
3x − 1
Lời giải:
2
3
2
3
3
7
3
7
x5 2 − 4 +
2− 4+
2
3
(2 x − 3) (4 x + 7)
x
x
x
x
a) lim
= lim
= lim x.
2
2
x →±∞ (3 x − 4) 2 (5 x 2 − 1)
x →±∞
x →±∞
4
1
4
1
x4 3 − 5 − 2
3− 5 − 2
x
x
x
x
2
3
2
3
2
3
3
7
2
3
2− 4+
2 − 3.0 ) ( 4 + 7.0 )
(
256
x
x
lim x = +∞; lim
=
=
>0
2
2
x →+∞
x →+∞
45
4
1
3 − 4.0 ) ( 5 − 0 )
(
3− 5 − 2
x
x
3
7
2− 4+
(2 x − 3) 2 (4 x + 7)3
x
x
⇒ lim x.
=
+∞
⇒
lim
= +∞.
2
x →+∞
x →+∞ (3 x − 4) 2 (5 x 2 − 1)
4
1
3 − 5 − 2
x
x
3
7
2
3
2− 4+
( 2 − 3.0 ) ( 4 + 7.0 ) = 256 > 0
x
x
lim x = −∞; lim
=
2
2
x →−∞
x →+∞
45
4
1
3 − 4.0 ) ( 5 − 0 )
(
3− 5 − 2
x
x
2
3
3
7
2− 4+
(2 x − 3) 2 (4 x + 7)3
x
x
⇒ lim x.
=
−∞
⇒
lim
= −∞.
2
x →−∞
x →−∞ (3 x − 4) 2 (5 x 2 − 1)
4
1
3 − 5 − 2
x
x
1
1
4+ 2
4+ 2
2
4x2 + 1
4
+
0
2
4
x
+
1
x =
x = 4+0 = − 2.
b) lim
= lim
= ; lim
= lim
x →+∞ 3 x − 1
x →+∞
x →−∞
1
1
3−0
3 x →−∞ 3 x − 1
−3 + 0
3
3−
−3 +
x
x
3
1− + 2
x2 − 3x + 2 x
1 − 3.0 + 2
x
c) lim
= lim
=
= 1.
x →+∞
x →+∞
1
3x − 1
3
−
0
3−
x
Bài 5: [ĐVH]. Tính các giới hạn sau
a. lim
x→−∞
x 2 − 3x + 2 x
.
3x − 1
b. lim
a) Đặt x = −t. Với x → −∞ ⇒ t → +∞. Khi đó
x 2 + x + 2 + 3x + 1
4x +1 +1− x
Lời giải:
x →± ∞
2
c. lim
x →+∞
x x+3
x2 + 1
Khóa học TOÁN 11 – Thầy Đặng Việt Hùng
Chuyên đề : Giới hạn
3
−2
1 + 3.0 − 2 1
t
lim
=
= .
1
x →−∞
−
3
−
0
3
−3 −
t
1 2
1
1+ + 2 + 3 +
x 2 + x + 2 + 3x + 1
x x
x = 1 + 0 + 2.0 + 3 + 0 = 4.
b) lim
= lim
x →+ ∞
x →+∞
1 1
4 + 0 + 0 −1
4 x2 + 1 + 1 − x
4 + 2 + −1
x
x
Đặt x = −t. Với x → −∞ ⇒ t → +∞. Khi đó
x 2 − 3x + 2 x
t 2 + 3t − 2t
= lim
= lim
t →+∞
t →+∞
3x − 1
−3t − 1
x + x + 2 + 3x + 1
2
lim
4x2 + 1 +1 − x
x →−∞
= lim
t →+∞
1+
1 2
1
1− + 2 − 3 +
t − t + 2 − 3t + 1
t t
t = 1 − 0 + 2.0 − 3 + 0 = − 2 .
= lim
t →+∞
3
1 1
4 + 0 + 0 +1
4t 2 + 1 + 1 + t
4 + 2 + +1
t
t
2
1 3
+ 2
x x+3
x
x = 0 + 3.0 = 0.
c) lim 2
= lim
x →+∞ x + 1
x →+∞
1
1+ 0
1+ 2
x
Bài 6: [ĐVH]. Tính các giới hạn sau
4 x2 − 2 x + 1 + 2 − x
a. lim
9 x 2 − 3x + 2 x
.
b. lim
x2 + 2 x + 3 + 4 x + 1
3
c. lim
4 x2 + 1 + 2 − x
Lời giải:
2 1 2
4 − + 2 + −1
2
4x − 2x +1 + 2 − x
4 − 2.0 + 0 + 2.0 − 1 1
x x
x
a) lim
= lim
=
= .
2
x →+ ∞
x →+ ∞
5
3
9 − 3.0 + 2
9 x − 3x + 2 x
9− +2
x
Đặt x = −t. Với x → −∞ ⇒ t → +∞. Khi đó
x →± ∞
lim
4x2 − 2x +1 + 2 − x
9 x 2 − 3x + 2 x
x →−∞
x →±∞
= lim
4t 2 + 2t + 1 + 2 + t
9t 2 + 3t − 2t
t →+∞
= lim
t →+∞
x →−∞
x3 + 2 x 2 + x
2x − 2
2 1 2
4 + + 2 + +1
4 + 2.0 + 0 + 2.0 + 1
t t
t
=
= 3.
3
9 + 3.0 − 2
9+ −2
t
2 3
1
+ 2 +4+
x x
x = 1 + 2.0 + 3.0 + 4 + 0 = 5.
b) lim
= lim
x →+∞
x →+∞
1 2
4 + 0 + 2.0 − 1
4x2 + 1 + 2 − x
4 + 2 + −1
x
x
Đặt x = −t. Với x → −∞ ⇒ t → +∞. Khi đó
1+
x2 + 2 x + 3 + 4 x + 1
x + 2x + 3 + 4x +1
2
lim
4 x2 + 1 + 2 − x
x →−∞
= lim
t →+∞
2 3
1
1− + 2 − 4 +
t − 2t + 3 − 4t + 1
t t
t = 1 − 2.0 + 3.0 − 4 + 0 = −1.
= lim
t →+∞
1 2
4 + 0 + 2.0 + 1
4t 2 + 1 + 2 + t
4 + 2 + +1
t
t
2
2
+1 3
x + 2x + x
1 + 2.0 + 1
x
c) lim
= lim
=
= 1.
x →−∞
x →−∞
2
2x − 2
2
−
2.0
2−
x
Bài 7: [ĐVH]. Tính các giới hạn sau
3
3
a. lim
x →−∞
3
2
3
1+
( x 3 + 2 x 2 )2 + x 3 x3 + 2 x 2 + x 2
3x 2 − 2 x
2 x 2 + 3x + 1
x →∞ 3 x 2 − x + 5
b. lim
− x3 + x + 1
x →+∞
x2 − 2
c. lim
Khóa học TOÁN 11 – Thầy Đặng Việt Hùng
Chuyên đề : Giới hạn
Lời giải:
a) Đặt x = −t. Với x → −∞ ⇒ t → +∞. Khi đó
3
L = lim
( −t
3
+ 2t 2
)
2
− t 3 −t 3 + 2t 2 + t 2
3t 2 + 2t
t →+∞
3
= lim
(t
3
− 2t 2
)
2
+ t 3 t 3 − 2t 2 + t 2
3t 2 + 2t
t →+∞
2
2
2 3
1 − + 1 − + 1 3 (1 − 2.0 ) 2 + 3 1 − 2.0 + 1
t
t
= lim
=
= 1.
t →+∞
2
3
+
2.0
3+
t
3 1
2+ + 2
2
2 x + 3x + 1
x x = 2 + 3.0 + 0 = 2 .
b) lim 2
= lim
x →∞ 3 x − x + 5
x →∞
1 5
3 − + 2 3 − 0 + 5.0 3
x x
1
1 1
− x2 + 1 +
−1 + 2 + 3
− x3 + x + 1
x = lim x.
x
x
= lim x.
c) lim
x →+∞
x →+∞
x →+∞
2
x2 − 2
x2 − 2
1− 2
x
1 1
1 1
−1 + 2 + 3
−1 + 2 + 3
3
x
x = −1 + 0 + 0 = −1 < 0 ⇒ lim x.
x
x = −∞ ⇒ lim − x + x + 1 = −∞.
lim x = +∞; lim
x →+∞
x →+∞
x →+∞
x →+∞
2
2
1 − 2.0
x2 − 2
1− 2
1− 2
x
x
Bài 8: [ĐVH]. Tính các giới hạn sau
3
a. lim
(x
)(
x + x −1
)
x +1
( x + 2)( x − 1)
x →+∞
x5 + 2 x2 + 1
x →∞
x3 + 1
b. lim
c. lim
x →−∞
x2 + 1
2x + 3
Lời giải:
1
1
1
−
1 +
1 +
x x + x −1
x +1
x x x
x (1 + 0 − 0 )(1 + 0 )
a) lim
= lim
=
= 1.
x →+∞
x →+∞
( x + 2)( x − 1)
1 + 2.0 )(1 − 0 )
2 1
(
1 + 1 −
x x
1
2 1
x3 + 2 + 2
1+ 3 + 5
x5 + 2 x2 + 1
x = lim x 2 . x
x
b) lim
= lim x 2 .
x →∞
x →∞
x →∞
1
x3 + 1
x3 + 1
1+ 3
x
2 1
2 1
1+ 3 + 5
1+ 3 + 5
5
2
1
+
2.0
+
0
x
x =
x = +∞ ⇒ lim x + 2 x + 1 = +∞.
lim x 2 = +∞; lim
= 1 > 0 ⇒ lim x 2 . x
x →∞
x →∞
x →∞
x →∞
1
1
x3 + 1
1+ 0
1+ 3
1+ 3
x
x
1
1+ 2
x2 + 1
x = 1+ 0 = − 1 .
c) lim
= lim
x →−∞ 2 x + 3
x →−∞
3 −2 − 3.0
2
−2 −
x
Bài 9: [ĐVH]. Tính các giới hạn sau
(
)(
)
9 x2 + x + 1 − 4 x2 + 2 x + 1
a. lim
x →∞
x −1
4 x3 + 3x − 7
b. lim 2
x →∞ x − 3 x + 5
Lời giải:
c. lim
x →∞
x2 + 2x + 3
3
x3 − x + 1
Khóa học TOÁN 11 – Thầy Đặng Việt Hùng
(
x →∞
x →∞
( x − 1)
L1 = lim
x →+∞
(
5x2 − x
9 x2 + x + 1 + 4 x2 + 2 x + 1
( x − 1)
9 x2 + x + 1 + 4 x2 + 2 x + 1
( x − 1)
(
)
)
1
x
= lim
=
x →+∞
1 1
2 1 (1 − 0 )
1
1 − 9 + + 2 + 4 + + 2
x x
x x
x
x →−∞
)
)
5x2 − x
(
(
5−
L2 = lim
) (
9 x2 + x + 1 − 4 x2 + 2 x + 1
9 x2 + x + 1 − 4 x2 + 2 x + 1
= lim
x →∞
x −1
( x − 1) 9 x 2 + x + 1 + 4 x 2 + 2 x + 1
a) Ta có lim
= lim
Chuyên đề : Giới hạn
5x2 − x
9 x2 + x + 1 + 4 x2 + 2 x + 1
(
5−0
9 + 0 + 0 + 4 + 2.0 + 0
)
= 1.
)
Đặt x = −t. Với x → −∞ ⇒ t → +∞. Khi đó
5t 2 + t
L2 = lim
t →+∞
( −t − 1) 9t 2 − t + 1 + 4t 2 − 2t + 1
)
(
1
5+0
t
= lim
=
= −1.
t →+∞
1
1 1
2 1 ( −1 − 0 ) 9 − 0 + 0 + 4 − 2.0 + 0
−1 − 9 − + 2 + 4 − + 2
t
t t
t t
7
3 7
4 x2 + 3 −
4+ 2 − 3
4 x3 + 3x − 7
x = x = lim x.
x
x
b) lim 2
= lim x. 2
x →∞ x − 3 x + 5
x →∞
x →∞
3 5
x − 3x + 5
1− + 2
x x
3 7
3 7
4+ 2 − 3
4+ 2 − 3
3
4
+
3.0
−
7.0
x
x =
x
x = +∞ ⇒ lim 4 x + 3 x − 7 = +∞.
lim x = +∞; lim
= 4 > 0 ⇒ lim x.
x →+∞
x →+∞
x →+∞
x →+∞ x 2 − 3 x + 5
3 5
3 5
1 − 3.0 + 5.0
1− + 2
1− + 2
x x
x x
3 7
3 7
4+ 2 − 3
4+ 2 − 3
4 + 3.0 − 7.0
4 x3 + 3x − 7
x
x
x
x
lim x = −∞; lim
=
= 4 > 0 ⇒ lim x.
= −∞ ⇒ lim 2
= −∞.
x →−∞
x →−∞
x →−∞
x →−∞ x − 3 x + 5
3 5
3 5
1 − 3.0 + 5.0
1− + 2
1− + 2
x x
x x
2 3
1+ + 2
2
x + 2x + 3
x x = 1 + 2.0 + 3.0 = 1.
c) lim
= lim
3
x →+∞ 3 3
x →+∞
1 1
1− 0 + 0
x − x +1
3 1−
+
2
3
x
x
3 7
3 7
4+ 2 − 3
4+ 2 − 3
x
x = 4 + 3.0 − 7.0 = 4 > 0 ⇒ lim x.
x
x = +∞.
lim x = +∞; lim
x →+∞
x →+∞
x →+∞
3 5
3 5
1
−
3.0
+
5.0
1− + 2
1− + 2
x x
x x
Đặt x = −t. Với x → −∞ ⇒ t → +∞. Khi đó
5+
(
)
Khóa học TOÁN 11 – Thầy Đặng Việt Hùng
x2 + 2 x + 3
lim
x →−∞
x3 − x + 1
3
t 2 − 2t + 3
= lim
t →+∞ 3
−t 3 + t + 1
Chuyên đề : Giới hạn
2 3
1− + 2
t t = 1 − 2.0 + 3.0 = −1.
3
1 1
−1 + 0 + 0
−1 + 2 + 3
t
t
= lim
t →+∞
3
Bài 10: [ĐVH]. Tính các giới hạn sau
a. lim
x →− ∞
(
)
x2 + x − x .
b. lim
x→+∞
(
x2 + x − x
)
c. lim
(
c. lim
(
x →+∞
x 2 − 3x + 2 − x
)
Lời giải:
1
a) Ta có lim
x 2 + x − x = lim ( − x ) 1 + + 1 = +∞
x →− ∞
x→−∞
x
x
1
1
b) lim
x 2 + x − x = lim
= lim
= .
2
x →+ ∞
x →+ ∞
x + x + x x →+ ∞ 1 + 1 + 1 2
x
(
)
)
(
)
(
c) lim
x →+∞
2
3
x
= lim
=−
2
x 2 − 3 x + 2 + x x→+∞ 1 − 3 + 2 + 1
2
x x
−3 +
−3 x + 2
x 2 − 3 x + 2 − x = lim
x →+∞
Bài 11: [ĐVH]. Tính các giới hạn sau
a. lim
x →−∞
(
x 2 − 3x + 2 − x
)
b. lim
x →+∞
(
x+2 − x−2
)
x → ±∞
3
x3 + x 2 − x
)
Lời giải:
b) lim
(
c) lim
(
x →+∞
x →±∞
)
(
3 2
x 2 − 3 x + 2 − x = lim ( − x ) 1 − + 2 + 1 = +∞ .
x →−∞
x →−∞
x x
4
x + 2 − x − 2 = lim
=0
x →+∞
x+2 + x−2
a) Ta có: lim
)
3
)
x2
x3 + x 2 − x = lim
x →±∞
3
(x
3
+ x2
)
2
+ x 3 x3 + x 2 + x 2
1
= lim
x →±∞
2
3
=
1
1 3
1 + + 1 + + 1
x
x
1
3
Bài 12: [ĐVH]. Tính các giới hạn sau
a. lim
x →±∞
(
x2 − 2 x + 4 − x
)
b. lim x
x →±∞
(
x2 + 5 + x
)
Lời giải:
)
(
2 4
x 2 − 2 x + 4 − x = lim ( − x ) 1 − + 2 + 1 = +∞
x →−∞
x →−∞
x x
4
−2 +
−
2
x
+
4
x
lim x 2 − 2 x + 4 − x = lim
= lim
= −1 .
2
x →+∞
x →+∞
x →+∞
2 4
x − 2x + 4 + x
1− + 2 +1
x x
5x
−5
5
= lim
=−
b) Ta có: lim x x 2 + 5 + x = lim
2
x →−∞
x →−∞
x →−∞
2
5
x +5 − x
1+ 2 +1
x
a) Ta có: lim
)
(
(
)
c. lim
x →±∞
(
3
x3 − x 2 + x + x
)
Khóa học TOÁN 11 – Thầy Đặng Việt Hùng
lim x
x →+∞
)
(
5
x 2 + 5 + x = lim x 2 1 + 2 + 1 = +∞ .
x →+∞
x
c) Ta có: lim
x →+∞
lim
x →−∞
(
3
(
3
)
1 1
x3 − x 2 + x + x = lim x 3 1 − + 2 + 1 = +∞ .
x →+∞
x x
)
− x2 + x
x3 − x 2 + x + x = lim
x →−∞
−1 +
= lim
x →−∞
Chuyên đề : Giới hạn
3
(x
3
− x2 + x
1
x
)
2
− x 3 x3 − x2 + x + x2
= −1
2
1 1
1 1 3
3 1−
+ 2 − 1− + 2 +1
x x
x x
Bài 13: [ĐVH]. Tính các giới hạn sau
(
a. lim
x→±∞
x 2 − 4 x + 3 − x 2 − 3x + 2
a) Ta có: lim
x →+ ∞
(
)
b. lim
x →±∞
)
x 2 − 4 x + 3 − x 2 − 3 x + 2 = lim
x →+ ∞
x→+∞
lim
x →+−∞
(
x → −∞
− 1−
b) Ta có: lim
x →−∞
lim
(
3
1
x
4 3
3 2
+ 2 − 1− + 2
x x
x x
(
3
=
x3 + 2 x − 1 − x 2 − 3x
x +1
x 2 − 4 x + 3 + x 2 − 3x + 2
1
1+
1
x
= .
2
4 3
3 2
1− + 2 + 1− + 2
x x
x x
x +1
x 2 − 4 x + 3 − x 2 − 3 x + 2 = lim
1+
= lim
x →+∞
)
3
Lời giải:
= lim
Ta có:
(
x →− ∞
x 2 − 4 x + 3 + x 2 − 3x + 2
1
1
=−
2
− 1 −1
)
2 1
3
x3 + 2 x − 1 − x 2 − 3 x = lim x 3 1 + 2 − 3 + 1 − = −∞
x →−∞
x
x
x
)
x3 + 2 x − 1 − x 2 − 3 x = lim
x →−∞
(
3
x3 + 2 x − 1 − x + x − x 2 − 3x
)
2x +1
3x
lim
+
2
2
x →+∞
3
3
2
x + x − 3x
3 x + 2 x − 1 + 3 x + 2 x − 1 x + x
(
)
(
)
2 1
+ 2
3
x
x
= lim
+
= 0+3= 3
2
x →+∞
3
3 1 + 2 − 1 + 3 1 + 2 − 1 + 1 1 + 1 −
2
x
x 2 x 3
x3
x
Bài 14: [ĐVH]. Tính các giới hạn sau
(
a. lim 2 x − 1 − 4 x 2 − 4 x − 3
x →± ∞
)
b. lim
x →+∞
Lời giải:
(
x 2 − 3x + 2 + x − 2
)
)
Khóa học TOÁN 11 – Thầy Đặng Việt Hùng
)
(
Chuyên đề : Giới hạn
)
(
a) Ta có: lim 2 x − 1 − 4 x 2 − 4 x − 3 = −∞ , lim 2 x − 1 − 4 x 2 − 4 x − 3 = lim
x → −∞
x →+∞
3 2
2
x 2 − 3 x + 2 + x − 2 = lim x 1 − + 2 + 1 − = +∞
x →+∞
x →+∞
x x
x
Bài 15: [ĐVH]. Tính các giới hạn sau
(
a. lim 3 x + 2 − 9 x 2 + 12 x − 3
x →± ∞
2 x − 1 + 4 x2 − 4 x − 3
)
(
b) lim
x →+ ∞
4
(
)
b. lim
x →−∞
(
x 2 − 3x + 2 + x − 2
)
Lời giải:
)
a) Ta có: lim 3 x + 2 − 9 x 2 + 12 x − 3 = −∞
x →−∞
(
)
lim 3 x + 2 − 9 x 2 + 12 x − 3 = lim
x →+ ∞
b) lim
x →−∞
(
)
x →+ ∞
7
3 x + 2 + 9 x 2 + 12 x − 3
x−2
x 2 − 3 x + 2 + x − 2 = lim
x 2 − 3x + 2 − x + 2
x →−∞
=0
1−
= lim
x →−∞
− 1−
Bài 16: [ĐVH]. Tính các giới hạn sau
a. lim
x →±∞
(
)
x 2 − 3x + 2 + x − 1
a) Ta có: lim
x →+∞
x →−∞
− 1−
x →±∞
)
(
x 2 − 3x + 2 + x − 1 = +∞; lim
−1 +
= lim
b. lim
1
x
3
1
+ 2 −1 +
x
x
=
x →−∞
(
(
Lời giải:
)
2
x
3
2
+ 2 −1 +
x
x
=
1
1
=−
2
− 1 −1
x 2 − 3x + 1 − x + 3
x 2 − 3x + 2 + x − 1 = lim
x →−∞
)
−x +1
x 2 − 3x + 2 − x + 1
1
.
2
)
(
3 1
3
x 2 − 3 x + 1 − x + 3 = lim ( − x ) 1 − + 2 + 1 − = −∞
x →−∞
x →−∞
x x
x
8
3−
3
x
−
8
3
3
x
lim x 2 − 3 x + 1 − x + 3 = lim
= lim
=
=
x →+∞
x →+∞
1 +1 2
x 2 − 3 x + 1 + ( x − 3) x→+∞ 1 − 3 + 1 + 1 − 3
2
x x
x
Bài 17: [ĐVH]. Tính các giới hạn sau
b) Ta có: lim
)
(
a. lim
x →±∞
(
)
4 x2 − x + 3 − 2 x + 1
b. lim
x →+ ∞
(
x 2 + 1 − 3 x3 − 1
)
Lời giải:
a) Ta có lim
x →−∞
lim
x →+∞
(
)
(
4 x 2 − x + 3 − 2 x + 1 = −∞
)
4 x 2 − x + 3 − 2 x + 1 = lim
b) Ta có: lim
x →+ ∞
(
x →+∞
)
3x + 2
4 x 2 − x + 3 + ( 2 x − 1)
x 2 + 1 − 3 x 3 − 1 = lim
x →+ ∞
(
= lim
x →+∞
2
3
3
x
=
=
1 3
1
4 +2 4
4− + 2 +2−
x x
x
x 2 + 1 − x + x − 3 x3 − 1
3+
)
=0
Khóa học TOÁN 11 – Thầy Đặng Việt Hùng
Chuyên đề : Giới hạn
1
1
= lim
+
2
x →+ ∞
x + 1 + x x 2 + x 3 x 3 − 1 + 3 x3 − 1
(
)
2
=0
Chương trình lớp 11 trên Moon.vn : />
