Mô hình 3-3-1 đơn giản và mô hình 3-2-2-1 cho vật chất tối và khối lượng neutrino

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC
VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ
-----------------------------

NGUYỄN THỊ KIM NGÂN

MÔ HÌNH 3-3-1 ĐƠN GIẢN VÀ MÔ HÌNH 3-2-2-1 CHO
VẬT CHẤT TỐI VÀ KHỐI LƯỢNG NEUTRINO

LUẬN ÁN TIẾN SỸ VẬT LÝ

HÀ NỘI – 2018


1

Phần mở đầu
Mô hình chuẩn (MHC) đã thành công trong việc dự đoán chính xác
nhiều kết quả thực nghiệm đo được. Thành công của MHC có thể kể đến
như việc tiên đoán boson W và Z, các gluon, quark c (charm), quark t
(top) và quark b (bottom) trước khi chúng được thực nghiệm quan sát
thấy. Trong số đó, đáng chú ý là tiên đoán về hạt Higgs của MHC đã được
máy gia tốc năng lượng cao LHC (Large Hadron Colidder) tại CERN phát
hiện trong khoảng thời gian cuối năm 2012 với khối lượng đo được vào
khoảng 125 GeV [1, 2]. Đây là hạt cuối cùng được tiên đoán bởi MHC.
Tuy nhiên, đến nay vẫn còn nhiều dữ liệu thực nghiệm nằm ngoài
dự đoán của MHC, điển hình như:

• Tại sao quark t (top) có khối lượng nặng bất thường? MHC dự đoán
khối lượng của quark t khoảng 10 GeV khác với kết quả thực nghiệm
xác định trên máy Tevatron tại Fermilab vào năm 1995 cho thấy quark
t có khối lượng 173 GeV.

• Vũ trụ sớm là hệ lượng tử do đó có số hạt bằng số phản hạt, tại sao
vũ trụ ngày nay chỉ bao gồm vật chất cấu thành từ các hạt, không có
bằng chứng cho sự tồn tại của phản vật chất cấu thành từ các phản
hạt, gọi là bất đối xứng vật chất - phản vật chất hay bất đối xứng
baryon [3].

• Mô hình chuẩn dự đoán khối lượng neutrino triệt tiêu, vì nó không


2

có thành phần phải và số lepton luôn được bảo toàn. Tuy nhiên, thực
nghiệm với neutrino khí quyển, neutrino mặt trời, neutrino từ máy
gia tốc và lò phản ứng hạt nhân gần hai mươi năm qua khẳng định
chúng dao động (chuyển vị) khi đi một quãng đường đủ lớn, nghĩa
là các neutrino phải có khối lượng khác không (dù nhỏ, dưới 1 eV)
và trộn lẫn. Có ba vị neutrino và sự trộn lẫn của chúng được tham
số bởi ba góc Euler và ba pha vi phạm CP (1 pha Dirac và 2 pha
Majorana). Số liệu thực nghiệm ngày nay cho các hiệu bình phương
khối lượng và các góc trộn neutrino với giá trị xác định [3]. Neutrino
thế hệ 1 và 2, thế hệ 2 và 3 trộn lớn, trong khi thế hệ 1 và 3 trộn
nhỏ, nhưng khác không, và điều này hoàn toàn khác sự trộn quark
(tất cả trộn nhỏ). Thực nghiệm neutrino chỉ cho xác định pha CP
Dirac và nó có thể khác không, hoàn toàn không cho xác định pha

Majorana. Như vậy, neutrino là fermion Dirac hay Majorana? Làm
sao để sinh các khối lượng neutrino nhỏ tự nhiên, phù hợp với thực
nghiệm? Tại sao các vị lepton và quark trộn như vậy với các góc trộn
hoàn toàn xác định? Nếu tồn tại neutrino phải νaR , nó không màu,
isospin và siêu tích yếu bằng không, và vì vậy nó không có tương tác
chuẩn, gọi là hạt trơ (sterile). Tuy vậy, nó có thể có ý nghĩa trong việc
sinh khối lượng neutrino và bất đối xứng số baryon của vũ trụ. Thực
vậy, khi thêm νaR , neutrino sẽ nhận khối lượng Dirac do tương tác
với Higgs, mD ∼ v (thang điện yếu), tương tự như các fermion mang
điện. Vì νaR là đơn tuyến mô hình chuẩn, nó có thể có khối lượng
Majorana lớn, mR , vi phạm số lepton. Kết quả, neutrino quan sát

∼ νaL nhận khối lượng Majorana thông qua cơ chế seesaw [4, 5, 6],
mL = −(mD )2 /mR , nhỏ tự nhiên vì điều kiện mR

mD . Như lý

thuyết thống nhất lớn SO(10) [7, 8], khối lượng Dirac tỷ lệ thang điện
yếu, mD ∼ 100 GeV. Khối lượng neutrino quan sát mL ∼ eV , do đó


3

mR ∼ 1013 GeV thuộc thang thống nhất lớn, và đây là một động lực
cho SO(10). Tuy vậy, thống nhất lớn khó quan sát thực nghiệm và
đối mặt với vấn đề phân bậc không tự nhiên [9]. Ai đó có thể từ bỏ
ý tưởng thống nhất lớn và đặt mR ∼ TeV, thang đang được khám
phá bởi LHC, khi đó mD có giá trị cỡ khối lượng electron. Ta có cơ
chế seesaw thang TeV. Tuy vậy, vấn đề mới phát sinh, tự nhiên của
neutrino phải (νaR ) là gì?

• Một trong những vấn đề được các nhà vật lý thực nghiệm lẫn lý thuyết
đặc biệt quan tâm hiện nay là giải thích sự tồn tại của lượng vật chất
chưa quan sát được (Vật chất tối - DM). Hiện nay có hai quan niệm
về DM đó là baryonic DM và non-baryonic DM (DM có và không
có nguồn gốc từ vật chất thông thường). Ứng cử viên của baryonic
DM là các sao neutron hay hố đen thuộc lĩnh vực nghiên cứu của vật
lý thiên văn và vũ trụ học, trong khi ứng cử viên của non-baryonic
DM là các WIMPs (Weakly Interacting Massive Particles), những hạt
có khối lượng nhưng tham gia tương tác rất yếu với vật chất thông
thường, là đối tượng tìm kiếm của các nhà vật lý hạt cơ bản. Theo
quan điểm của vật lý hạt cơ bản, hạt DM phải là hạt trung hòa điện,
bền và thỏa mãn mật độ tàn dư DM. Mặc dù các WIMPs vẫn chưa
được tìm thấy tại máy gia tốc, nhưng trong những thập kỷ vừa qua
một loạt các bằng chứng từ vật lý thiên văn và vũ trụ học khẳng định
sự tồn tại của DM. Điển hình là bằng chứng quan sát thiên văn trong
dữ liệu gần đây từ vệ tinh Planck [10] cho thấy rằng non-baryonic DM
trong vũ trụ chiếm đến 26.8% khác với 23% từ dữ liệu WMAP [11]
trước đó. Trên thực tế, MHC được chứng minh rằng không chứa hạt
nào là ứng cử viên của DM.

• Một vấn đề đáng chú ý nữa đối với các nhà vật lý lý thuyết hiện nay là
tín hiệu thực nghiệm thu được năm 2014 tại LHCb với độ tin cậy 3.5


4

σ so với MHC về sự dị thường trong rã meson B [12, 13] cho thấy có
sự vi phạm tính như nhau của vị lepton (violation of the lepton flavor
universality) hay nói cách khác là có sự tách biệt vị lepton (lepton

flavor non-universality), điều này khác với đặc tính như nhau của vị
lepton (lepton flavor universality) trong MHC.
Vì những lý do trên, chúng ta thấy rằng MHC chưa phải là một lý
thuyết hoàn chỉnh cho vật lý hạt và đòi hỏi các nhà vật lý phải mở rộng
MHC. Đến nay, một mô hình vật lý phải thoả mãn các yêu cầu sau đây:
i) Ở năng lượng thấp (cỡ 200 GeV), mô hình phải bao MHC. ii) Cho khối
lượng và góc trộn neutrino phù hợp với thực nghiệm dao động neutrino. iii)
Giải thích được sự bất đối xứng baryon của Vũ trụ (Baryon Asymmetry
of Universe - BAU). iv) Có phổ Higgs phù hợp với dữ liệu Higgs hiện tại,
chứa hạt boson Higgs có các đặc điểm tương tự như trong MHC (SM-like
Higgs). v) Có hạt mới đóng vai trò ứng cử viên của DM. Tuy nhiên các
mô hình vật lý mới được xây dựng ban đầu sao cho chúng thoả mãn một
số yêu cầu thực nghiệm nói trên và với một số kết quả thực nghiệm mới
phát hiện gần đây. Các mô hình này sẽ tiếp tục được hoàn thiện dần để
có thể giải thích được đầy đủ các kết quả thực nghiệm đã có. Trong các
mô hình mở rộng của MHC hiện nay, số liệu thực nghiệm về DM và dao
động neutrino là các yêu cầu đầu tiên cần thỏa mãn. Do đó, việc nghiên
cứu các khả năng tồn tại ứng cử viên của DM hoặc/ và sự phù hợp thực
nghiệm dao động neutrino để xem xét tính thực tế của các mô hình mới
là vấn đề thú vị và không kém phần quan trọng.
Về mặt lý thuyết để có ứng cử viên DM với mật độ tàn dư lớn như
thực nghiệm đo được hiện nay, các mô hình mở rộng MHC phải chứa hạt
trung hoà bền, theo đó chúng không được rã quá nhanh ra các hạt MHC.
Cụ thể là các kênh rã một hạt DM ra hai hạt MHC phải rất nhỏ, và hệ
quả là hệ số tương tác đỉnh ba tương ứng phải rất nhỏ hoặc bằng không.


5

Để loại bỏ hoàn toàn đỉnh tương tác ba này, người ta gán cho lý thuyết

bảo toàn một đối xứng Z2 , theo đó mô hình sẽ chứa các hạt MHC luôn
mang tích chẵn, đồng thời chứa ít nhất một hạt mới trung hoà điện mang
tích lẻ Z2 . Lý thuyết luôn bảo toàn tích Z2 sẽ cấm các đỉnh tương tác ba
chứa hạt trung hoà điện mới nói trên với hai hạt MHC. Khi đó kênh huỷ
DM chỉ còn lại kênh hai hạt DM huỷ nhau để sinh ra hai hạt MHC. Các
mô hình mở rộng từ MHC với ứng cử viên DM nói trên đã được nghiên
cứu rộng rãi và đã giải thích rất tốt các số liệu thực nghiệm về DM. Tuy
nhiên, các ứng cử viên DM nhẹ được dự đoán như trong siêu đối xứng,
thêm chiều (extra dimensions), photon tối (dark photon) và các mở rộng
MHC với hạt trơ đã thực sự bị loại bỏ bởi LHC và các thực nghiệm khác.
Việc tìm kiếm ứng cử viên DM theo hướng này đối với lớp các mô
hình mở rộng đối xứng chuẩn không Abel như mô hình 3-3-1 chỉ mới được
nghiên cứu gần đây cho một số mô hình nhất định. Đặc biệt, mô hình
3-3-1 rút gọn tối thiểu (RM331M), phiên bản rút gọn của mô hình 3-3-1
tối thiểu (M331M), có phổ Higgs được xây dựng đơn giản [14, 15] vẫn còn
nhiều hạn chế như: cho dòng trung hòa thay đổi vị (FCNC) quá lớn, dự
đoán giá trị tham số ρ không phù hợp với thực nghiệm, và không chứa
ứng cử viên DM. Trong luận án này, chúng tôi giải quyết được các vấn đề
nói trên dựa trên cơ sở xây dựng mô hình mới, gọi là mô hình 3-3-1 đơn
giản [16], bằng cách sắp xếp lại một cách hợp lý phổ fermion, chọn phổ
Higgs mới khác với RM331M. Ngoài ra, vấn đề DM được giải quyết thông
qua giả thiết mô hình bảo toàn đối xứng Z2 và chứa thêm các đa tuyến vô
hướng trơ (nhận tích lẻ Z2 ) thuộc thang TeV của phá vỡ 3-3-1.
Các thành phần mới trong các đa tuyến này sẽ cho hạt vật lý nhẹ
nhất là ứng cử viên DM, do luôn mang tích lẻ Z2 nên không chứa đỉnh
tương tác 3 với hai hạt MHC. Các khả năng cho mật độ tàn dư cụ thể
theo kênh huỷ hai DM phụ thuộc vào biểu diễn của các vô hướng trơ và


6

cần phải khảo sát cụ thể để so sánh với thực nghiệm.
Chúng tôi nhắc lại một số đặc điểm và lịch sử của mô hình 3-3-1
đơn giản:

• Mô hình được chúng tôi đề xuất dựa trên mô hình 3-3-1 tối thiểu
(M331M) [17, 18]. Mô hình có nhóm đối xứng chuẩn là SU (3)C ⊗

SU (3)L ⊗ U (1)X [17, 19]. Trong đó hai nhóm cuối được mở rộng
từ nhóm đối xứng điện yếu SU (2)L ⊗ U (1)Y của MHC, còn nhóm
đối xứng màu vẫn được giữ nguyên. M331M có phần lepton sử dụng
đúng các lepton của MHC, phần quark có thế hệ quark 3 biến đổi
khác so với thế hệ 1 và 2 dưới nhóm đối xứng chuẩn. Do phần vô
++
0
hướng của M331M có ba tam tuyến vô hướng ρ = (ρ+
1 , ρ2 , ρ3 ),
−−
0
η = (η10 , η2− , η3+ ), χ = (χ−
1 , χ2 , χ3 ) và một lục tuyến vô hướng
++
−
+
−−
0
0
, S33
), nên phần Higgs trong M331M
, S12

, S13
, S22
, S23
S = (S11

phức tạp, không có lời giải, và mô hình không tồn tại ứng cử viên
DM.

• Mặc dù M331M đã được nghiên cứu để giải quyết phần Higgs phù
hợp hơn thông qua phiên bản RM331M, ở đó phần vô hướng của
RM331M chỉ sử dụng duy nhất hai tam tuyến ρ và χ [14, 15], nhưng
mô hình này vẫn còn các vấn đề chưa phù hợp thực nghiệm như đã
đề cập ở phần trên.

• Để khắc phục những nhược điểm của M331M và RM331M, mô hình
3-3-1 đơn giản (S331M) được chúng tôi đề xuất [16, 20] có phần cấu
trúc hạt gần giống của RM331M [15]. Tuy nhiên, S331M có sự khác
biệt so với RM331M [15] như sau: trong RM331M, các quark thế
hệ 2 và 3 được xếp trong các phản tam tuyến, trong khi ở mô hình
của chúng tôi [16, 20] các quark thế hệ 1 và 2 xếp trong phản tam
tuyến. Cả hai mô hình đều sử dụng 2 tam tuyến vô hướng nhưng


7

trong RM331M [15] sử dụng hai tam tuyến vô hướng ρ và χ khác
với S331M, ở đó chúng tôi sử dụng hai tam tuyến vô hướng η và χ.
S331M có sự sắp xếp hạt như đã chọn sẽ dẫn đến FCNC nhỏ phù hợp
thực nghiệm, tham số ρ có giá trị phù hợp thực nghiệm, quark t nhận
khối lượng ở bậc cây phù hợp thực nghiệm, và đặc biệt là mô hình

sẽ cho các ứng cử viên của DM [16, 21] bằng cách thêm vào các đa
tuyến vô hướng trơ (lẻ dưới đối xứng Z2 ) chứa ứng cử viên của DM.
Khối lượng neutrino được giải thích thông qua đối xứng xấp xỉ B-L.
Ngoài lớp mô hình 3-3-1 nói trên, các nghiên cứu gần đây cũng tập
trung vào lớp mô hình mới mở rộng từ MHC chuẩn theo hướng mở rộng
nhóm điện yếu SU (2) ⊗ U (1)Y thành SU (2)1 ⊗ SU (2)2 ⊗ U (1)Y , đồng thời
thêm các fermion tựa vec-tơ (vector-like fermion) nhằm giải thích hợp lý
các kết quả thực nghiệm gần đây về sự dị thường trong các quá trình rã
của meson B. Nhóm màu giữ nguyên vì vậy mô hình mới gọi là mô hình
G221 [22, 23].
Như chúng ta đã biết, trong mô hình Glashow-Weinberg-Salam
(GWS), mô hình thống nhất tương tác điện từ và tương tác yếu còn gọi
là MHC đề cập ở trên, có một đặc điểm đáng chú ý chính là sự lặp lại của
ba thế hệ quark và lepton. Điều này có nghĩa là vật lý học của các thế hệ
là như nhau và ta chỉ cần xét tương tác của một thế hệ (chẳng hạn như
thế hệ thứ nhất) thì sẽ tự động suy ra tương tác của hai thế hệ còn lại.
Hệ quả cụ thể của tính lặp lại của ba thế hệ lepton trong mô hình GWS
là tính như nhau của vị lepton. Tuy nhiên, những số liệu thực nghiệm gần
đây [12, 13] về sự dị thường trong rã meson B cho ta:

R

D∗

RD

¯ → D∗ τ ν˜)
Γ(B
=
¯ → D∗ l ν˜) = 0.310 ± 0.015 ± 0.008 ,

Γ(B
¯ → D τ ν˜)
Γ(B
=
¯ → D l ν˜) = 0.403 ± 0.040 ± 0.024, l = e, µ,
Γ(B

(1)


8

với độ chính xác 3.5 σ so với tiên đoán của MHC:

RD∗ = 0.252 ± 0.004, RD = 0.305 ± 0.012.

(2)

Các kết quả trên nói lên rằng có sự vi phạm tính như nhau (đồng nhất)
của vị lepton.
Vì vậy, năm 2016 một loạt các mô hình mở rộng của MHC được
xây dựng nhằm giải thích thêm kết quả thực nghiệm mới được công bố
về sự dị thường trong quá trình rã của hạt meson B (B anomalies decay).
Như đã đề cập ở trên, các mô hình này cũng phải giải thích đầy đủ các số
liệu thực nghiệm về neutrino và DM. Một trong số các mô hình đó là mô
hình G221. Mô hình này đã giải thích hợp lý tất cả số liệu thực nghiệm
cho các dị thường trong rã của meson B.
Mô hình G221 chứa các nhóm chuẩn điện yếu SU (2)1 và SU (2)2
lần lượt phá vỡ ở thang năng lượng cao và sau đó ở thang năng lượng điện
yếu của MHC. Phần fermion ban đầu trong mô hình bao gồm các fermion

nhẹ có thành phần trái và phải đều biến đổi như đơn tuyến SU (2)1 , trong
khi các thành phần trái và phải này lần lượt biến đổi theo lưỡng tuyến
và đơn tuyến SU (2)2 , tương tự như MHC. Mô hình thêm vào các fermion
nặng có các thành phần trái và phải đều biến đổi theo lưỡng tuyến SU (2)1 ,
đơn tuyến SU (2)2 , nên được gọi là các fermion tựa vec-tơ. Ngoài lưỡng
tuyến Higgs là lưỡng tuyến SU (2)2 như trong MHC, mô hình còn có thêm
1 lưỡng tuyến SU (2)1 và một lưỡng tuyến đôi cho cả 2 nhóm SU (2)1 và

SU (2)2 . Tương tác Yukawa giữa các fermion với các Higgs boson cho ma
trận trộn khối lượng khá phức tạp của lepton và quark. Hệ quả là ma
trận trộn của các trạng thái fermion cho các góc trộn khác nhau đối với
các thế hệ fermion khác nhau. Vì vậy, các fermion vật lý này sẽ tương
tác khác nhau với các boson chuẩn trong mô hình, từ đó giải thích được
hợp lý các kết quả thực nghiệm về rã meson B. Tuy nhiên, ma trận trộn


9

neutrino trong mô hình này luôn cho trị riêng khối lượng các neutrino nhẹ
nhận giá trị bằng không, mâu thuẫn với các kết quả thực nghiệm dao động
neutrino. Mô hình trên cũng xét đến đối xứng Z2 nhưng đối xứng này bị
phá vỡ mềm (softly-broken) để đảm bảo sinh khối lượng hợp lý cho các vô
hướng mang điện trong mô hình. Do đó, mô hình cũng không chứa ứng
cử viên DM. Tuy nhiên, khả năng về DM trong một số mở rộng của nó sẽ
được thảo luận.
Để giải quyết vấn đề khối lượng neutrino trong mô hình G221,
chúng tôi nhận thấy mô hình có chứa sẵn hai lưỡng tuyến Higgs, rất phù
hợp với cơ chế sinh khối lượng bổ đính cho các neutrino như trong mô
hình Zee [24, 25]. Điều quan trọng nữa là khi áp dụng cơ chế sinh khối
lượng cho neutrino theo mô hình Zee trong trường hợp này, chúng tôi chỉ

cần thêm vào các vô hướng mang điện đơn nên không xuất hiện thang phá
vỡ đối xứng mới. Do đó, ngoài neutrino có khối lượng rất nhỏ sinh ra từ
cơ chế bổ đính bậc cao, tất cả các kết quả về khối lượng, ma trận trộn và
trạng thái riêng vật lý của các hạt còn lại đều không bị ảnh hưởng. Hệ
quả là tất cả các kết quả có được từ khảo sát rã meson B trong [22, 23]
hầu như không thay đổi. Vì tính thời sự và cấp thiết của các vấn đề được
trình bày ở trên nên tôi chọn đề tài “Mô hình 3-3-1 đơn giản và mô hình
3-2-2-1 cho DM và khối lượng neutrino”. Luận án tập trung nghiên cứu
hai vấn đề chính đó là tìm kiếm DM và sinh khối lượng cho neutrino trong
mô hình 3-3-1 đơn giản [16, 20] và mô hình 3-2-2-1 [22, 23].

Mục đích nghiên cứu.
• Tìm kiếm DM trong mô hình được đề xuất có tên gọi là mô hình 3-3-1
đơn giản.

• Giải quyết vấn đề khối lượng neutrino và phổ Higgs trong mô hình G221


10

với sự tách biệt vị lepton.

Đối tượng nghiên cứu.
• Ứng cử viên của DM trong mô hình 3-3-1 đơn giản.

• Khối lượng neutrino và phổ Higgs trong mô hình G221 với sự tách biệt
vị lepton.

Nội dung nghiên cứu
• Đề xuất mô hình 3-3-1 đơn giản.

• Đưa các đa tuyến vô hướng trơ vào mô hình 3-3-1 đơn giản để tìm kiếm
ứng cử viên của DM.

• Sinh khối lượng cho neutrino bằng bổ đính một vòng và nghiên cứu chi
tiết đặc điểm của phổ Higgs trong mô hình G221 với sự tách biệt vị lepton.

Phương pháp nghiên cứu
• Sử dụng lý thuyết trường và lý thuyết nhóm.

• Sử dụng quy tắc Feynman để tính biên độ và bề rộng rã.

• Sử dụng phần mềm Mathematica để tính số và xử lý các phép rút gọn
giải tích phức tạp trong tính hệ số đỉnh tương tác.

Bố cục của luận án
Trong luận án này ngoài phần mở đầu, phần kết luận và phụ lục, nội dung
chính của luận án được trình bày qua 3 chương (theo danh sách công bố,


11

Chương 1 và Chương 2 trình bày theo nội dung của công bố 1, Chương 3
trình bày theo nội dung của công bố 3):
Chương 1: Đề xuất mô hình 3-3-1 đơn giản. Chúng tôi đã sắp xếp
cấu trúc hạt trong mô hình, xác định các trường vô hướng Higgs vật lý,
các boson chuẩn, khối lượng của các fermion và tính bền proton cũng như
khảo sát FCNC.
Chương 2: Chúng tôi đưa vào mô hình các đa tuyến vô hướng trơ
nhằm tìm kiếm ứng cử viên cho DM. Việc lần lượt khảo sát mô hình 3-3-1

đơn giản như đã đề xuất với tam tuyến trơ ρ và lục tuyến trơ S cũng như
các trường lặp η , và χ giúp chúng tôi xác định được ứng cử viên cho DM.
Ngoài ra chúng tôi cũng làm một ước lượng về các quan sát DM ở cuối
chương này.
Chương 3: Tóm tắt lại mô hình dựa trên nhóm đối xứng chuẩn SU(2)1 ⊗

SU(2)2 ⊗ U(1)Y , trong đó chúng tôi cũng đã giải quyết được vấn đề sinh

khối lượng bổ đính cho neutrino hoạt động và nghiên cứu những đặc điểm
chi tiết của phần boson chuẩn và phần Higgs trong mô hình này.
Để thấy được các đặc điểm chi tiết của S331M, chúng ta đi vào nội
dung của Chương 1.


12

Chương 1
Mô hình 3-3-1 đơn giản
Từ mô hình 3-3-1 rút gọn [14] và mô hình 3-3-1 tối thiểu [17, 18]
chúng tôi sẽ xây dựng một mô hình mới có lượng lepton và vô hướng tối
thiểu—được gọi là mô hình 3-3-1 đơn giản (S331M). Mô hình này cho thấy
phù hợp với thực nghiệm.

1.1

Cấu trúc hạt trong mô hình
Nhóm đối xứng chuẩn trong mô hình đang xem xét [16, 20] được cho

bởi SU (3)C ⊗ SU (3)L ⊗ U (1)X , với hai nhóm cuối SU (3)L ⊗ U (1)X được
mở rộng từ nhóm đối xứng điện yếu của MHC trong khi nhóm đối xứng

QCD SU (3)C vẫn được giữ nguyên. Sự sắp xếp fermion không phụ thuộc
vào dị thường được xác định như [17, 18],


13



ψaL

QαL

Q3L



ν
 aL 


≡  eaL  ∼ (1, 3, 0),


c
(eaR )


d
 αL 



≡  −uαL  ∼ (3, 3∗ , −1/3),


JαL


u
 3L 


≡  d3L  ∼ (3, 3, 2/3) ,


J3L

uaR ∼ (3, 1, 2/3) ,
JαR ∼ (3, 1, −4/3) ,

(1.1)

daR ∼ (3, 1, −1/3) ,
J3R ∼ (3, 1, 5/3) ,

(1.2)

trong đó a = 1, 2, 3 và α = 1, 2 là các chỉ số thế hệ. Các số lượng tử trong
ngoặc được cho dựa trên các đối xứng 3-3-1 tương ứng. Toán tử điện tích
√
có dạng Q = T3 − 3T8 + X , với Ti (i = 1, 2, ..., 8) là tám vi tử của nhóm

SU (3)L (các vi tử của SU (3)C được ký hiệu là ti ) và X là vi tử của U (1)X .
Các quark mới có điện tích ngoại lai như Q(Jα ) = −4/3 và Q(J3 ) = 5/3.
Bởi vì thế hệ quark thứ ba được cho biến đổi khác so với hai thế
hệ đầu dưới nhóm SU (3)L , nên FCNCs có thêm ràng buộc do có sự trao
đổi của boson chuẩn trung hòa mới (Z ) dẫn đến một giới hạn thấp cỡ vài
TeV cho thang phá vỡ đối xứng 3-3-1 hay khối lượng của Z [29, 30, 31].
Thang vật lý mới như thế vẫn nằm trong vùng giới hạn tốt của lý thuyết,
có nghĩa là được giới hạn dưới cực Landau (khoảng 5 TeV) [32]. Ngược
lại, nếu thế hệ quark thứ nhất hoặc thứ hai được sắp xếp khác với hai thế
hệ còn lại giống như mô hình 3-3-1 rút gọn [14], thì lý thuyết sẽ bị loại
do FCNCs lớn. Hơn nữa, lý thuyết sẽ sai (hay mâu thuẫn) nếu thang vật
lý mới được giới hạn trên cực Landau nhằm chặn FCNC [15, 29]. Tất cả


14

những vấn đề này sẽ được làm rõ trong phần cuối chương.
Mô hình làm việc chỉ với hai tam tuyến vô hướng [14]. Theo phần
fermion đã được đề xuất, chúng tôi đưa ra hai tam tuyến vô hướng phải
có dạng sau:








 −

η =  η2  ∼ (1, 3, 0),


+
η3



χ =  χ−−
 2
χ03

η10

χ−
1




 ∼ (1, 3, −1),


(1.3)

với VEVs




u

1  

η = √  0 ,
2 
0





0

1  

χ = √  0 .
2 
w

(1.4)

Việc chọn hai tam tuyến vô hướng như trên sẽ sinh khối lượng lớn
cho top quark ở mức cây trong khi một số quark nhẹ hơn, không có khối
lượng tại mức cây, sẽ nhận khối lượng qua tương tác hiệu dụng hoặc đóng
góp bổ đính [33, 34, 35]. Ngược lại, nếu giữ lại cho mô hình này hai tam
tuyến vô hướng χ và ρ ∼ (1, 3, 1) (trong trường hợp này bỏ η ) giống trong
mô hình [14] thì dẫn đến khối lượng ở mức cây cho top quark triệt tiêu,
điều này trái với tự nhiên, vì nó không thể sinh do bổ đính hoặc tương tác
hiệu dụng.

Nghiên cứu về mô hình 3-3-1 rút gọn [14] xét thế hệ quark thứ
nhất biến đổi khác, điều này đối mặt với vấn đề FCNCs lớn. Trong một
nghiên cứu gần đây [36], sự sắp xếp fermion đã được thay đổi, nhưng phần
vô hướng của phiên bản [14] được giữ nguyên, dẫn đến khối lượng cho top
quark ở mức cây triệt tiêu. Do đó, với cách sắp xếp hạt như trong S331M
thì tất cả các vấn đề vừa nêu được giải quyết một cách tự nhiên. Mặt khác,
tất cả các hạt được sắp xếp như trên là duy nhất, khác với các phiên bản
trước như RM331M và M331M [14, 17] do có sự khác biệt về sự sắp xếp


15

fermion và vô hướng. Vì vậy mô hình đang xem xét được gọi là "mô hình
3-3-1 đơn giản", một mô hình mới được khám phá bởi luận án.

1.2

Phần vô hướng

Để xác định phổ Higgs của mô hình chúng ta xây dựng thế vô hướng
có dạng sau:
Vsimple = µ21 η † η + µ22 χ† χ + λ1 (η † η)2 + λ2 (χ† χ)2 + λ3 (η † η)(χ† χ) + λ4 (η † χ)(χ† η),

(1.5)

với µ1,2 có thứ nguyên của khối lượng, trong khi λ1,2,3,4 thì không có thứ
nguyên. Các trung bình chân không (VEVs) u, w được xác định từ điều
kiện cực tiểu thế với

2(2λ2 µ21 − λ3 µ22 )

,
u =
λ23 − 4λ1 λ2
2

2(2λ1 µ22 − λ3 µ21 )
w =
.
λ23 − 4λ1 λ2
2

(1.6)

Thế vô hướng phải đảm bảo rằng
1. Thế vô hướng được giới hạn dưới (trạng thái ổn định chân không),
2. Các VEVs u, ω khác không (để phá vỡ đối xứng và sinh khối lượng),
3. Khối lượng của các hạt vô hướng vật lý xác định dương,
thì các thông số phải thỏa mãn

µ21,2 < 0,
λ1,2,4 > 0,
−2 λ1 λ2

(1.7)

< λ3 < Min 2λ1 (µ2 /µ1 )2 , 2λ2 (µ1 /µ2 )2

Hơn nữa, trung bình chân không w phá vỡ đối xứng 3-3-1 thành đối xứng
3-2-1 trong MHC và sinh khối lượng cho các hạt vật lý mới, còn trung bình
chân không u phá vỡ đối xứng MHC và sinh khối lượng cho các hạt thông

thường. Do đó, để phù hợp với MHC, chúng tôi giả định w

u.


16

Khai triển η, χ quanh các VEVs, ta được η T = ( √u2 0 0) +
+iA1 − +
( S1√
η2 η3 ) và χT = (0 0
2

w
√
) + (χ−
1
2

χ−−
2

S3√
+iA3
).
2

Vì vậy, các trường vô

hướng vật lý được xác định như sau

h ≡ cξ S1 − sξ S3 ,
H ≡ sξ S1 + cξ S3 ,
H ± ≡ cθ η3± + sθ χ±
1,

(1.8)

với khối lượng lần lượt

m2h

2

2

= λ1 u + λ2 w −

(λ1

u2

− λ2

w2 )2

+

4λ1 λ2 − λ23 2
u,

2λ2

λ23 u2 w2

m2H = λ1 u2 + λ2 w2 + (λ1 u2 − λ2 w2 )2 + λ23 u2 w2
λ4 2
λ4
m2H ± = (u2 + w2 )
w .
2
2

2λ2 w2 ,

(1.9)

Ở đây, ta ký hiệu cx = cos(x), sx = sin(x), tx = tan(x), với x là góc bất
kỳ. Góc ξ và θ lần lượt là góc trộn của hai trạng thái S1 -S3 , và χ1 -η3 . Các
góc này được xác định bởi

tθ =

u
,
w

t2ξ =

λ3 uw
λ2 w2 − λ1 u2

λ3 u
.
λ2 w

(1.10)

Trong bốn hạt vô hướng có khối lượng, thì trường h tựa boson
Higgs trong MHC, ba hạt còn lại là H và H ± tương ứng là các Higgs
boson mới trung hòa và mang điện, điều này khác với [14]. Tám trường vô
±
±±
±±
hướng không khối lượng GZ ≡ A1 , GZ ≡ A3 , G±
và
W ≡ η2 , GY ≡ χ2
±
±
G±
X ≡ cθ χ1 − sθ η3 tương ứng với tám Goldstone boson của tám trường

chuẩn mang khối lượng Z , Z , W ± , Y ±± và X ± (xem bên dưới). Trong
giới hạn hiệu dụng, u


η







w, ta có


u+h+iG
√ Z
2
G−
W

H+



,




χ






G−
X
G−−

Y
w+H+iG
Z
√
2




.


(1.11)


17

1.3

Phần trường chuẩn
Để Lagrangian bất biến dưới nhóm chuẩn ta thay đạo hàm thường ∂µ

thành đạo hàm hiệp biến có dạng Dµ = ∂µ + igs ti Giµ + igTi Aiµ + igX XBµ ,
với gs , g và gX là các hằng số tương tác chuẩn, trong khi Giµ , Aiµ và Bµ
là các boson chuẩn, theo thứ tự liên quan đến các nhóm 3-3-1.Mặc khác,
trong phần sau chúng tôi sẽ giới thiệu thêm các trường vô hướng lẻ dưới
đối xứng Z2 (được gọi là vô hướng "trơ"). Tuy nhiên, các vô hướng trơ
không sinh khối lượng cho các boson chuẩn bởi vì chúng không có VEVs
do đối xứng Z2 . Do đó, các boson chuẩn trong mô hình S331M nhận khối
lượng từ số hạng

Φ=η,χ (Dµ

Φ )† (Dµ Φ ) trong Lagrangian, kết quả thu

được như sau:
Các gluons Gi không có khối lượng và tự chúng là các trường vật
lý. Các boson chuẩn mang điện có khối lượng lần lượt là

A1 ∓ iA2
√
W ≡
,
2
A4 ∓ iA5
√
,
X∓ ≡
2
A6 ∓ iA7
√
Y ∓∓ ≡
,
2
Hạt W trong mô hình này giống W
±

g2 2
= u,
4

g2 2
2
mX = (w + u2 ),
4
g2 2
2
mY = w .
4
m2W

(1.12)
(1.13)

boson trong MHC dẫn đến u

246 GeV. Các boson chuẩn mới X và Y nhận khối lượng lớn ở thang w.
Các khối lượng này thỏa mãn mối liên hệ m2X = m2Y + m2W và trái ngược
với [14] và mô hình 3-3-1 tiết kiệm [33, 34, 35].
Trường photon Aµ khi kết hợp với toán tử điện tích ta dễ dàng thu
được

√
Aµ = sW A3µ + cW − 3tW A8µ + 1 − 3t2W Bµ ,
(1.14)
√
trong đó sW = e/g = t/ 1 + 4t2 (với t = gX /g ) là sine của góc Weinberg [37]. Boson Zµ của MHC và boson trung hòa mới Zµ được xác định


18

từ điều kiện trực giao với Aµ như sau [37]
√
Zµ = cW A3µ − sW − 3tW A8µ +

Zµ =

1 − 3t2W A8µ +

√

1 − 3t2W Bµ ,

3tW Bµ .

(1.15)
(1.16)

Trường Aµ là trường vật lý (có mA = 0), ngược lại có sự trộn giữa Z và

Z thông qua ma trận trộn có dạng,


2
2
mZ mZZ
,

2
2
mZZ mZ

(1.17)

với

m2Z
m2ZZ
m2Z

g2 2
=
u,
4c2W
g 2 1 − 4s2W 2
√
u,
=
4 3c2W
g 2 [(1 − 4s2W )2 u2 + 4c4W w2 ]
=
.
12c2W (1 − 4s2W )

(1.18)

Vậy, ta có hai boson chuẩn trung hòa (bên cạnh photon),

Z1 = c ϕ Z − s ϕ Z ,
với góc trộn

t2ϕ

√

Z2 = sϕ Z + cϕ Z ,

3(1 − 4s2W )3/2 u2
= 4 2
2cW w − (1 + 2s2W )(1 − 4s2W )u2

√

(1.19)

3(1 − 4s2W )3/2 u2
,
2c4W
w2

(1.20)

và khối lượng của chúng

m2Z1
m2Z2

Do ϕ

1
= [m2Z + m2Z − (m2Z − m2Z )2 + 4m4ZZ ]

2
1
= [m2Z + m2Z + (m2Z − m2Z )2 + 4m4ZZ ]
2
g 2 c2W
w2.
2
3(1 − 4sW )

1, nên ta có Z1

Z và Z2

g2 2
u , (1.21)
4c2W

(1.22)

Z . Hạt Z1 giống như boson Z của

MHC trong khi Z2 là boson trung hòa mới có khối lượng ở thang w. Trong
[14] không có sự trộn của Z và Z .


19

Phần đóng góp cho tham số ρ thực nghiệm được tính như sau

m2W

∆ρ ≡ 2 2 − 1
cW mZ1

m4ZZ
m2Z m2Z

1 − 4s2W
2c2W

2

u2
.
w2

(1.23)

Thay s2W = 0.231 và ∆ρ < 0.0007 [3], ta được w > 460 GeV. Do những
ràng buộc khác dẫn đến w cỡ vài TeV, chúng tôi kết luận rằng tham số ρ
gần bằng một và phù hợp dữ liệu thực nghiệm [3].
Chú ý rằng nếu chọn mô hình với hai tam tuyến vô hướng χ và ρ thì tham
số ρ quá lớn, không phù hợp với thực nghiệm [38].

1.4

Khối lượng fermion và tính bền của proton
Như đã đề cập phần trên, các vô hướng trơ không sinh khối lượng cho

fermion vì chúng không có VEVs và không có các tương tác Yukawa có
thể tái chuẩn hóa do đối xứng Z2 . Vì vậy, các tương tác dẫn đến việc sinh

khối lượng cho fermion chỉ được cho bởi hai tam tuyến vô hướng η và χ
như đã được giới thiệu ở trên. Để sinh khối lượng cho fermion thì ta xây
dựng các tương tác Yukawa nhờ vào hai tam tuyến vô hướng trên,

¯ 3L χJ3R + hJαβ Q
¯ αL χ∗ JβR
LY = hJ33 Q
huαa ¯
u ¯
+h3a Q3L ηuaR +
QαL ηχuaR
Λ
hd3a ¯ ∗ ∗
d ¯
∗
Q3L η χ daR
+hαa QαL η daR +
Λ
he c
c
+heab ψ¯aL
ψbL η + ab2 (ψ¯aL
ηχ)(ψbL χ∗ )
Λ
sνab ¯c ∗
+ (ψaL η )(ψbL η ∗ ) + H.c.,
Λ

(1.24)

trong đó Λ (có thứ nguyên là khối lượng) là một thang mới mà ở đó tương
tác hiệu dụng xảy ra. Dễ dàng kiểm tra được heab là phản đối xứng trong
khi sνab là đối xứng theo chỉ số vị. Hệ số tương tác sν vi phạm số lepton
hai đơn vị, trong khi các hệ số tương tác khác h’s thì bảo toàn số lepton.


20

Lưu ý rằng các tương tác hiệu dụng năm chiều sinh khối lượng cho các
quark và neutrino, trong khi các tương tác hiệu dụng sáu chiều thì sinh
khối lượng cho các lepton mang điện.
Các đặc tính của tương tác hiệu dụng:
1. Không có bằng chứng cho một thuyết thống nhất lớn (GUT) và cường
độ của tương tác hiệu dụng: Do tính chất nhiễu loạn của tương tác
trong nhóm U (1)X bị phá vỡ cũng như cực Landau xuất hiện tại thang
thấp cỡ vài TeV, nên mô hình không có nguồn gốc từ một lý thuyết
cơ bản hơn chẳng hạn như GUT ở thang năng lượng cao hơn. Điều
này mâu thuẫn với trường hợp MHC và mô hình 3-3-1 với neutrino
phân cực phải. Do đó, chúng ta không có một lý thuyết GUT như thế
để so sánh và bàn về độ lớn của tương tác hiệu dụng.
2. Khối lượng nhỏ của neutrino: hệ số tương tác sν vi phạm số lepton, vì
vậy nó rất nhỏ để so sánh với các hệ số bảo toàn h’s đối với các lepton
mang điện và các quark, sν

h’s (bởi vì ngược lại sự bảo toàn số

lepton đưa đến sν = 0 nhưng h’s = 0). Do đó tương tác năm chiều là
hợp lý để sinh khối lượng nhỏ cho neutrino. Chúng tôi kết luận rằng
các khối lượng neutrino được sinh ra nhỏ một cách tự nhiên như kết
quả của đối xứng gần đúng số lepton đã được đề cập, được thể hiện

bởi

≡ sν /h

1 đối với tất cả các h’s.

3. Tính chẵn lẻ của Lepton và trạng thái bền của proton: Số lepton của
các thành phần trong tam tuyến lepton (ψ ) là L = diag(1, 1, −1) thì
không giao hoán với đối xứng chuẩn. Thật ra, đó là một đối xứng gần
đúng. Chúng ta hãy đưa vào một đối xứng bảo toàn như một nhóm
con của số lepton

P = (−1)L ,

(1.25)

nên được gọi là đối xứng chẵn lẻ lepton (lepton parity). Đối xứng


21

chẵn lẻ lepton đối với các thành phần trong tam tuyến lepton là

P = diag(−1, −1, −1) = −1 và đối với các tam tuyến vô hướng,
tam tuyến/ phản tam tuyến quark P = diag(1, 1, 1) = 1, đối với đơn
tuyến quark phân cực phải P = 1 mặc dù L(J) = ±2. Vì vậy, đối
xứng chẵn lẻ lepton luôn giao hoán với đối xứng chuẩn và bảo toàn.
c
Chính cơ chế ngăn chặn các tương tác hiệu dụng như ψ¯1L
Q1L u¯c1R d1R

dẫn đến quá trình rã proton, điều này không giống trong [14].
Lagrangian khối lượng của quark và lepton mang điện có dạng −f¯aL mfab fbR +
√
J
J
H.c., trong đó f = J, u, d, e. Ta có m33 = −h33 w/ 2 như là khối lượng
√
của J3 , trong khi mJαβ = −hJαβ w/ 2 như ma trận khối lượng của J1,2 . Các
hạt này có khối lượng lớn ở thang w. Ma trận khối lượng của u và d tương
ứng thu được như sau
u
mu3a = −hu3a √ ,
2

muαa = −huαa

uw
,
2Λ

u
mdαa = −hdαa √ ,
2

md3a = hd3a

uw
. (1.26)
2Λ

Do Λ ∼ w, các quark thông thường u và d có khối lượng ở thang yếu (weak

scale), tỷ lệ với u = 246 GeV. Đối với top quark, ta có mt = −hu33 × 174
GeV, cho thấy rằng hu3a chéo vị. Vì vậy, mt = 173 GeV nếu hu33 ≈ −1.

Mặt khác, các quark nhẹ hơn (u, d, c, s, b) có thể được giải thích tự
nhiên hơn so với MHC bởi huαβ < 1, hdab < 1 cũng như w < Λ. Nếu thế hệ
thứ nhất hoặc thứ hai của các quark biến đổi khác dưới nhóm SU (3)L ,
thì khối lượng của top quark sẽ là mt = −hu33 wΛ × 123 GeV, mà không tự

nhiên để nhận được một giá trị thực nghiệm 173 GeV do thực tế hu33 < 1
và

w
Λ

< 1 trong phạm vi lý thuyết nhiễu loạn. Vấn đề này khá giống với

mô hình 3-3-1 tiết kiệm [33, 34, 35]. Đối với các lepton mang điện, ta được

meab =

√

2u heab + hbae

w2
4Λ2

.

(1.27)

Bởi vì Λ ∼ w, các lepton mang điện có khối lượng ở thang điện yếu (weak

scale), tức là tỷ lệ với u = 246 GeV. he là ma trận phản đối xứng và h e là
ma trận tổng quát theo các chỉ số thế hệ. Do đó, ma trận khối lượng của


22

lepton mang điện có dạng tổng quát và có thể so sánh với các giá trị khối
lượng thực nghiệm như MHC.
Cuối cùng, Lagrangian khối lượng của neutrino được cho bởi

1 c ν
− ν¯aL
mab νbL + H.c.,
2
với

mνab

=

2
ν u
−sab .

Λ
Để đi sâu hơn, chúng ta hãy cho nhận xét về khối lượng neutrino trong
mô hình [14] có dạng −κ

vρ2
2Λ

vχ 2
Λ .

Kết quả này thu được từ một tương

tác bảy chiều và tương tự với thang đo của chúng tôi đó là vχ gần bằng

Λ. Cách tăng số chiều của tương tác hiệu dụng không thể là lý do để giải
thích việc neutrino có khối lượng nhỏ. Trong tài liệu [16, 20], chúng tôi đã
lập luận rằng tương tác hiệu dụng sinh khối lượng cho neutrino vi phạm
số lepton như là một đặc tính cho đối xứng gần đúng của tích này (kết quả
là mô hình 3-3-1 tự phù hợp). Ngược lại, tất cả những toán tử khối lượng
khác thì không có tính chất này. Mặt khác, lý thuyết hiệu dụng không có
một nguyên nhân từ GUTs và trường hợp như thế thì cường độ tương tác
hiệu dụng ví dụ như sν không xác định. Vì vậy, các cường độ này chỉ xuất
hiện do các hiệu ứng không nhiễu loạn để phản ánh các hiện tượng quan
sát được. Thực vậy, sử dụng Λ = 5 TeV, u = 246 GeV và mνab ∼ eV, ta
có sνab = h ∼ 10−10 . Chúng ta hãy chọn tương tác Yukawa của electron

h = he ∼ 10−6 , tham số vi phạm số lepton thu được là
∼ 10−4 .

(1.28)

Cường độ của tương tác vi phạm số lepton đặc trưng cho đối xứng số
lepton xấp xỉ nhỏ một cách hợp lý so với các tương tác thông thường, và
đây có thể là nguồn gốc của việc neutrino có khối lượng rất nhỏ như thực
nghiệm quan sát được.


23

Ma trận khối lượng neutrino là đối xứng và tổng quát. Do đó nó
có thể so sánh với các hiệu khối lượng bình phương và góc trộn, như trong
phân tích độc lập mô hình [3].

1.5

Dòng trung hòa thay đổi vị (FCNC)
Chúng ta hãy đánh giá về các dòng thay đổi vị (FCNCs) ở mức cây

mà có nguồn gốc phần lớn từ các tương tác chuẩn. Sử dụng t = gX /g và
√
X = Q − T3 + 3T8 , tương tác của boson chuẩn trung hòa thu được bởi
√
¯ µ [T3 A3µ + T8 A8µ + t(Q − T3 + 3T8 )Bµ ]Ψ, (1.29)
LNC = −g
Ψγ
Ψ

với Ψ lấy tổng theo tất cả các đa tuyến fermion của mô hình. Không có
FCNC gắn với toán tử Q và T3 vì các vị νaL , eaL , eaR , uaL , uaR , daL , daR ,

JαL và JαR tương ứng biến đổi tương tự dưới các toán tử này. Vì vậy,
FCNCs chỉ xảy ra với T8 và được cho bởi
LT8 = −g

Ψ

√
¯ µ T8 (A8µ + t 3Bµ )Ψ = −
Ψγ

g
1−
√

ở trên ta đã sử dụng các đồng nhất A8 + t

3t2W ΨL

3B = (1/

¯ L γ µ T8 ΨL Zµ ,
Ψ
1 − 3t2W )Z

(1.30)

và T8 (ΨR ) = 0.

Trong trường hợp này, không có FCNC gắn với lepton thông thường và
quark ngoại lai vì các vị νaL , eaL , eaR và JαL tương ứng biến đổi như nhau

dưới T8 . Do đó, FCNCs chỉ liên quan đến các quark thông thường (uaL ,

daL ) như một thực tế rằng dưới T8 thế hệ quark thứ 3 khác với hai thế hệ
đầu. Phần có liên quan là
LT8

⊃ −
= −
= −

1 − 3t2W
g
1−
g

3t2W

1−

3t2W

[¯
uaL γ µ T8 (uaL )uaL + d¯aL γ µ T8 (daL )daL ]Zµ
(¯
uL γ µ Tu uL + d¯L γ µ Td dL )Zµ
†
†
[¯
uL γ µ (VuL
Tu VuL )uL + d¯L γ µ (VdL

Td VdL )dL ]Zµ ,

1
√
diag(−1, −1, 1), u = (u1
2 3
t)T và d = (d s b)T . VuL và VdL

với Tu = Td =

u = (u c

g

(1.31)

u2 u3 )T , d = (d1 d2 d3 )T ,
đóng vai trò chéo hóa ma


24

trận khối lượng của các quark thông thường, uL = VuL uL , uR = VuR uR ,
†
dL = VdL dL và dR = VdR dR , với kết quả là VuL
mu VuR = diag(mu , mc , mt )
†
†
và VdL
md VdR = diag(md , ms , mb ). Ma trận CKM là VCKM = VuL

VdL .

FCNCs ở mức cây được mô tả bởi Lagrangian,

LFCNC = −

g
1
∗
µ
√
(V
)
(V
)
q
¯
γ
qjL Zµ
3i
qL
3j
qL
iL
3
1 − 3t2W

(i = j),

(1.32)

ở đó chúng ta đã ký hiệu q thay cho u hoặc d.
Với kết quả trên, việc thay thế Z = −sϕ Z1 + cϕ Z2 , Lagrangian hiệu
dụng đối với hadronic FCNCs có thể được nhận từ sự trao đổi Z1,2 như
sau

Leff
FCNC

∗
)3i (VqL )3j ]2
g 2 [(VqL
=
3(1 − 3t2W )

s2ϕ
c2ϕ
+
m2Z1 m2Z2

(¯
qiL γ µ qjL )2 .

(1.33)

Đóng góp của Z1 thì không đáng kể vì

s2ϕ /m2Z1
c2ϕ /m2Z2

(1 − 4s2W )2 u2
4c4W
w2

với điều kiện là s2W = 0.231 và u

u2
0.00244 × 2
w

1,

(1.34)

w. Do đó, chỉ Z2 chi phối FCNCs và

ta có

∗
)3i (VqL )3j ]2
[(VqL
(¯
qiL γ µ qjL )2 .
(1.35)
2
w
Chúng ta thấy rằng tương tác này không phụ thuộc vào cực Landau 1/(1−

Leff
FCNC

4s2W ) (đây là một bằng chứng cho thấy khi lý thuyết đạt tới cực Landau
thì các tương tác hiệu dụng xảy ra). Nó mô tả các hệ trộn như K 0 −

¯ 0, D0 − D
¯ 0, B 0 − B
¯ 0 và Bs0 − B
¯s0 , lần lượt được gây ra bởi (q , q ) =
K
i j
¯ 0 được
(d, s), (u, c), (d, b), (s, b). Sự ràng buộc mạnh nhất từ hệ K 0 − K
cho bởi [3]
∗
[(VdL
)31 (VdL )32 ]2
1
<
.
w2
(104 TeV)2

(1.36)

Không mất tính tổng quát, thừa nhận ua chéo vị. Ma trận CKM chỉ là
∗
VdL (nghĩa là VCKM = VdL ). Do đó, |(VdL
)31 (VdL )32 |

3.6 × 10−4 [3] và ta