ON THI CAP TOC VAO LOP 10 TOAN 9

TÀI LIỆU THAM KHẢO ÔN TẬP VÀ LUYỆN THI TOÁN 9

LêI NãI §ÇU
Thân ái chào các bạn và các em học sinh!
Toán là một môn học hay, gắn bó với các em từ những ngày đầu tiên tuổi học trò.
Môn học đó càng trở nên quan trọng hơn nữa khi các em đứng trước kì thi Tuyển sinh
vào các trường THPT. Chương trình Toán 9 – sau nhiểu lần chỉnh sửa của Bộ GDĐT,
đến nay đã khá hoàn chỉnh, phù hợp với năng lực học tập của các em. Tuy nhiên một
năm học đi qua thật nhanh, với những áp lực rất lớn của các môn học khác, rất nhiều
em học sinh chưa thật sự nắm vững nội dung chương trình Toán 9.
Để cùng các em vượt qua kì thi quan trọng này, điều quan trọng hơn là giúp các
em có phương pháp học tốt môn Toán 9, tôi soạn cuốn TÀI LIỆU THAM KHẢO ÔN
TẬP VÀ LUYỆN THI TOÁN 9. Hy vọng cuốn tài liệu sẽ giúp các em nhìn nhận lại một
cách toàn diện nội dung chương trình Toán 9, có phương pháp giải Toán tốt hơn, nắm
vững một số chuyên đề Toán 9.
NỘI DUNG GỒM:
Phần I: Hệ thống lại một số vấn đề cơ bản Toán 9:
Phần này trình bày các dạng bài tập cơ bản về Đại số và Hình học thường gặp
trong cấu trúc đề thi Tuyển sinh vào lớp 10. Mỗi dạng Toán có các ví dụ minh họa có
lời giải, tiếp đó là các bài tập tương tự dành cho các em tự luyện.
PhầnII: Tuyển tập một số đề thi theo cấu trúc thường gặp:
Phần này trình bày 10 đề thi môn Toán tuyển sinh vào THPT theo cấu trúc đề
thường gặp với đáp án, lời giải chi tiết. Với mỗi bài giải có phân bổ biểu điểm cụ thể
để các em tiện đánh giá năng lực bản thân, cũng như nắm vững các bước giải quan
trọng trong một bài toán.
Phần III: Một số đề tự luyện:
Phần này gồm 05 đề thi tự luận theo cấu trúc đề thường gặp, giúp các em thử sức
với đề thi.
Mặc dù đã rất cố gắng, song chắc hẳn cuốn tài liệu không tránh khỏi thiếu sót, rất
mong nhận được sự góp ý của các bạn và các em để cuốn tài liệu được hoàn thiện
hơn!

Chân thành cảm ơn các bạn và các em!
Lê Ngọc

Trao Tri Thức – Gửi Niềm Tin

1


TI LIU THAM KHO ễN TP V LUYN THI TON 9
PHN I:
H THNG CC VN C BN CA TON 9
---***--VN I: RT GN BIU THC CHA CN BC HAI

A. Kin thc cn nh:

A.1. Kiến thức cơ bản

A.1.1. Căn bậc hai

a.Căn bậc hai số học
- Với số dơng a, số a đợc gọi là căn bậc hai số học của a
- Số 0 cũng đợc gọi là căn bậc hai số học của 0
x 0

- Một cách tổng quát: x a 2

x a

b.So sánh các căn bậc hai số học
- Với hai số a và b không âm ta có: a b a b

A.1.2. Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức A2 A
a.Căn thức bậc hai
- Với A là một biểu thức đại số , ngời ta gọi A là căn thức bậc hai
của A, A đợc gọi là biểu thức lấy căn hay biểu thức dới dấu căn
- A xác định (hay có nghĩa) A 0
b.Hằng đẳng thức A2 A
1
3

- Với mọi A ta có A2 A
- Nh vậy: + A2 A nếu A 0
+ A2 A nếu A < 0
A.1.3. Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phơng
a.Định lí: + Với A 0 và B 0 ta có: A.B A. B
+ Đặc biệt với A 0 ta có ( A )2 A2 A
b.Quy tắc khai phơng một tích: Muốn khai phơng một tích của
các thừa số không âm, ta có thể khai phơng từng thừa số rồi
nhân các kết quả với nhau
c. Quy tắc nhân các căn bậc hai: Muốn nhân các căn bậc hai của
các số không âm, ta có thể nhân các số dới dấu căn với nhau
rồi khai phơng kết quả đó
A.1.4. Liên hệ giữa phép chia và phép khai phơng
1
3

a.Định lí: Với mọi A 0 và B > 0 ta có:

A

B

A
B

b.Quy tắc khai phơng một thơng: Muốn khai phơng một thơng
a/b, trong đó a không âm và b dơng ta có thể lần lợt khai phơng hai số a và b rồi lấy kết quả thứ nhất chí cho kết quả thứ
hai.
Trao Tri Thc Gi Nim Tin

2


TI LIU THAM KHO ễN TP V LUYN THI TON 9
c. Quy tắc chia các căn bậc hai: Muốn chia căn bậc hai của số a
không âm cho số b dơng ta có thể chia số a cho số b rồi khai
phơng kết quả đó.
A.1.5. Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai
a.Đa thừa số ra ngoài dấu căn
- Với hai biểu thức A, B mà B 0, ta có A2 B A B , tức là
+ Nếu A 0 và B 0 thì A2 B A B
+ Nếu A < 0 và B 0 thì A2 B A B
b.Đa thừa số vào trong dấu căn
+ Nếu A 0 và B 0 thì A B A2 B
+ Nếu A < 0 và B 0 thì A B A2 B
c. Khử mẫu của biểu thức lấy căn
- Với các biểu thức A, B mà A.B 0 và B 0, ta có

A

B

AB
B

d.Trục căn thức ở mẫu
- Với các biểu thức A, B mà B > 0, ta có
A
A B

B
B

- Với các biểu thức A, B, C mà A 0 và A B 2 , ta có
C
C ( A B)

A B2
A B

- Với các biểu thức A, B, C mà A 0, B 0 và A B , ta có
C ( A B)
C

A B
A B

A.1.6. Căn bậc ba
a.Khái niệm căn bậc ba:
- Căn bậc ba của một số a là số x sao cho x 3 = a
- Với mọi a thì ( 3 a )3 3 a3 a

b.Tính chất
- Với a < b thì 3 a 3 b
- Với mọi a, b thì 3 ab 3 a . 3 b
- Với mọi a và b 0 thì

3

a 3a

b 3b

A.2. Kiến thức bổ xung (*) Dành cho học sinh khá giỏi, học
sinh ôn thi chuyên
A.2.1. Căn bậc n
a. Căn bậc n ( 2 n N ) của số a là một số mà lũy thừa n bằng a
b. Căn bậc lẻ (n = 2k + 1)
Trao Tri Thc Gi Nim Tin

3


TI LIU THAM KHO ễN TP V LUYN THI TON 9
Mọi số đều có một và chỉ một căn bậc lẻ
Căn bậc lẻ của số dơng là số dơng
Căn bậc lẻ của số âm là số âm
Căn bậc lẻ của số 0 là số 0
c. Căn bậc chẵn (n = 2k )
Số âm không có căn bậc chẵn
Căn bậc chẵn của số 0 là số 0
Số dơng có hai căn bậc chẵn là hai số đối nhau kí hiệu là

2k
a và 2k a
d. Các phép biến đổi căn thức.


2k



A.B 2 k 1 A.2 k 1 B với A, B

A.B 2 k A .2 k B với A, B mà A.B 0
A2 k 1.B A.2 k 1 B với A, B

2 k 1
2k



A2 k A với A

2 k 1
2k



A2 k 1 A với A

2 k 1
2k

A. xác định với A
A. xác định với A 0

2 k 1

A2 k .B A .2 k B với A, B mà B 0
A

B

2 k 1

2k

A

B



m n



m

2 k 1

A
với A, B mà B 0
2 k 1
B

2k

A

2k

B

với A, B mà B 0, A.B 0

A mn A với A, mà A 0
m

An A n với A, mà A 0

B. MT S BI TP Cể LI GII.
Bi 1: Tớnh:
a. A =

3- 3

2- 3 +2 2
b. B = +
c. C = 5. + . +

+

3 +3
2+ 3 - 2 2

HNG DN GII:

Trao Tri Thc Gi Nim Tin

4


TÀI LIỆU THAM KHẢO ÔN TẬP VÀ LUYỆN THI TOÁN 9
3- 3
3 +3
+
a. A =
.
2- 3 +2 2
2+ 3 - 2 2
2( 3 - 3)
2( 3 + 3)
=
+
4- 2 3 +4
4 +2 3 - 4
2( 3 - 3)
2( 3 + 3)
=

+
3 - 1+ 4
3 +1- 4
2
2( 3 - 3) + 2( 3 + 3) 2
=
3- 9
24 2
=
=- 4 2
- 6
b. B = + =
= = =3
c. C = 5. + . + = 5. + . +
= + + =3
1



Bài 2: Cho biểu thức A = 

x

x



1



 :
x  1

x 1





x1

2

a) Nêu điều kiện xác định và rút biểu thức A
b) Tim giá trị của x để A =

1
.
3

c) Tìm giá trị lớn nhất cua biểu thức P = A - 9 x
HƯỚNG DẪN GIẢI:

a). Điều kiện 0  x �1

Với điều kiện đó, ta có: A  x
b). Để A =
Vậy x 

1

thì
3



x 1

:

 

x 1

x 1



x 1

2



x 1
x

x 1 1
3
9
 � x  � x  (thỏa mãn điều kiện)

3
2
4
x

1
9
thì A =
3
4

c). Ta có P = A - 9 x =

�
1 �
 9 x  �
9 x
� 1
x
x�
�

x 1

Áp dụng bất đẳng thức Cô –si cho hai số dương ta có: 9 x 
Suy ra: P �6 1 5 . Đẳng thức xảy ra khi 9 x 

1
x

� x

Trao Tri Thức – Gửi Niềm Tin

1
x

�2 9 x.

1
x

6

1
9

5


TI LIU THAM KHO ễN TP V LUYN THI TON 9
Vy giỏ tr ln nht ca biu thc P 5 khi x
Bi 3: 1) Cho biu thc A

1
9

x 4
. Tớnh giỏ tr ca A khi x = 36
x 2

x
4 x 16

:
(vi x 0; x 16 )
x 4
x 4
x 2

2) Rỳt gn biu thc B


3) Vi cỏc ca biu thc A v B núi trờn, hóy tỡm cỏc giỏ tr ca x nguyờn giỏ
tr ca biu thc B(A 1) l s nguyờn
HNG DN GII:
36 4 10 5


36 2 8 4

1) Vi x = 36 (Tha món x >= 0), Ta cú : A =
2) Vi x 0, x 16 ta cú :

x( x 4) 4( x 4) x 2
(x 16)( x 2)
x2



=

x 16 x 16
(x 16)(x 16) x 16
x 16

B=


3) Ta cú: B( A 1)

x2 x 4 x2
2
2
.
1

.

.


x 16 x 2 x 16 x 2 x 16

B(A 1) nguyờn, x nguyờn thỡ x 16 l c ca 2, m (2) = 1; 2
Ta cú bng giỏ tr tng ng:
x 16 1
1
2
2
x

17
15
18
14
Kt hp K x 0, x 16 , B(A 1) nguyờn thỡ x 14; 15; 17; 18
Bi 4: Cho biểu thức:
P
( x

x
y )(1

y )



y
x



xy





y) x 1

x 1 1

y



a). Tìm điều kiện của x và y để P xác định . Rút gọn
P.
b). Tìm x,y nguyên thỏa mãn phơng trình P = 2.
HNG DN GII:
a). Điều kiện để P xác định là :; x 0 ; y 0 ; y 1 ; x y 0 .
P

x(1



x ) y (1
x

y

y ) xy

1

x

x

1 y

y









( x y ) x x y y xy



x



y 1

Trao Tri Thc Gi Nim Tin

x 1

x
y



y



6


TI LIU THAM KHO ễN TP V LUYN THI TON 9








x

y

x

y x



xy y xy



y
x x 1 y x 1 y 1 x 1 x
1 x 1 y
x 1 y 1 y y 1 y
x y y y x

1 y
1 y
x

y 1

x 1

Vậy P =

x

xy



x1







y



x 11

x

xy

y.

y.

b) KX: x 0 ; y 0 ; y 1 ; x y 0
P = 2 x xy y. = 2

y 1 1



y 1

0 x 4 x = 0; 1; 2; 3 ; 4
Ta có: 1 + y 1 x 1 1
Thay x = 0; 1; 2; 3; 4 vào ta cócác cặp giá trị x=4, y=0 và x=2,
y=2 (thoả mãn).

Bi 5:Cho biểu thức M =

2 x9
x 5 x 6



2 x 1
x 3



x 3
2

x

a. Tìm điều kiện của x để M có nghĩa và rút gọn M
b. Tìm x để M = 5
c. Tìm x Z để M Z.
HNG DN GII:
M=

2 x 9
x 5 x 6



2 x 1
x3



x 3
2

x

a.ĐK x 0; x 4; x 9
Rút gọn M =

2 x 9

0,5đ

x 3 x 3 2 x 1
x 2 x 3





Biến đổi ta có kết quả: M =
M=








x

x 2

x 2


x 3
x 1

x 2



x 3




2

x 2
x



Trao Tri Thc Gi Nim Tin

M

x 1
x 3

7

TI LIU THAM KHO ễN TP V LUYN THI TON 9
x 1

b. . M 5



x 3

5





x 1 5

x 3



x 1 5

x 15

16 4 x
16

x
4 x 16
4

Đối chiếu ĐK: x 0; x 4; x 9
c. M =

x 1
x 3

Do M z nên



x 34
x 3

Vậy x = 16 thì M = 5

1

4
x 3

x 3 là ớc của 4

x 3 nhận các giá trị: -4; -2; -1; 1; 2;

4
Lập bảng giá trị ta đợc:

x 1;4;16;25;49 vì x 4 x 1;16;25;49

Bi 6: Cho biu thc P = ( - )2 . ( - ) Vi a > 0 v a 1
a) Rỳt gn biu thc P
b) Tỡm a P < 0
HNG DN GII:
a) P = ( - )2 . ( - ) Vi a > 0 v a 1
P(

a
1 2 a1
a1

) .(

)
2 2 a
a1
a1

P(

a a 1 2 ( a 1)2 ( a 1)2
).
2 a
( a 1)( a 1)

P(

a 1 2 a 2 a 1 a 2 a 1

).
a 1
2 a

P

(a 1)4 a 1 a

4a
a

Vy P =

1 a
Với a > 0 v a 1
a

b) Tỡm a P < 0
Vi a > 0 v a 1 nờn > 0
Trao Tri Thc Gi Nim Tin

8


TÀI LIỆU THAM KHẢO ÔN TẬP VÀ LUYỆN THI TOÁN 9
 P = < 0  1 - a < 0  a > 1 ( TMĐK)
Bài 7: Cho biểu thức: Q = - ( 1 + ) :
a) Rút gọn Q
b) Xác định giá trị của Q khi a = 3b
HƯỚNG DẪN GIẢI:

a) Rút gọn:
Q= -(1+):
= -.
= - =
= =
b) Khi có a = 3b ta có:

Q= = =

Bài 8: Cho biểu thức
 1


x3  y x  x y  y3
1
2
1
1
.
A  

  :

y  x  y x y 
 x
x 3 y  xy 3

a ) Rút gọn A;
b) Biết xy = 16. Tìm các giá trị của x, y để A có giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị đó.
HƯỚNG DẪN GIẢI:

Đkxđ : x > 0 , y > 0
 1
1 
2
1 1

.
  :
a) A  
y  x  y x y 
 x

 x y
2
x  y 

.

:


xy
xy
x

y



 2

x  y 


:
 xy

xy





b) Ta có 


x y
xy



2

.



x



x3  y x  x y  y3
x 3 y  xy 3



x  y x





xy  y  xy x  y



xy x  y







y  x  y

xy  x  y 
xy

x

y



x
xy

y

.

2

x

y  0 


x y 2

xy 0

Trao Tri Thức – Gửi Niềm Tin

9


TÀI LIỆU THAM KHẢO ÔN TẬP VÀ LUYỆN THI TOÁN 9

x  y 2


Do đó

A

x

y



xy

2

xy



xy

2

16

( vì xy = 16 )

1

16

xy .

�
�x  y
� x  y  4.
�
xy  16
�

Vậy min A = 1 khi
Bài 9: Cho biểu thức:

 2


x  1  2  2  x


1
P 

 x  x 1

x 2

2 x  x 

x 3

a) Tìm điều kiện để P có nghĩa.
b) Rút gọn biểu thức P.

c) Tính giá trị của P với x 3  2 2 .
HƯỚNG DẪN GIẢI:

 x 0

 x  1 0
a. Biểu thức P có nghĩa khi và chỉ khi : 
 2  x 0

 x  1  2 0
x 0
 x 1
 x 1


 
  x 2
 x 2
 x 3

 x 3
b) Đkxđ : x 1; x  2; x 3

P 








1
x


x

x 1



x  x 1
x 1





2 

x 3
x 1



x  x 1



 

2
2

x

 x  3

2








2


x  1  2  2  x

x 1 2

x 1



x 2

2 x  x 





x



x 2
2



x 



 x  x  1  x  3 x  1  2  2 x  x  2


.
 x  1  2
x 2 x

 x   x  1



















x  x  1  x  3 x  1  2   2  x
.

 x 2 x
x  x 1
x 3


 x  x 1

x 1

  x1  

2.

x





2 .  1
x





2

x
x

Trao Tri Thức – Gửi Niềm Tin

10


TÀI LIỆU THAM KHẢO ÔN TẬP VÀ LUYỆN THI TOÁN 9





2

c) Thay x 3  2 2  2  1 vào biểu thức P 
P

2







21



21

2

2



2

21
21



2

2

2 1
21

x
x



, ta có:

1
21

 2 1

Bài 10: Cho biểu thức:
4 x
8x
x 1

2

):(

)
P =(
2 x 4 x
x2 x
x
a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị của x để P = -1
c) Tìm m để với mọi giá trị x > 9 ta có: m( x  3) P  x  1
HƯỚNG DẪN GIẢI:
a) Ta có: x  2 x  x ( x  2)
�x �0
�
�x  0
� x �0
��
 ĐKXĐ: �
4  x �0
�x �4
�
� x  2 �0
�


Với x > 0 và x �4 ta có:
P= (

4 x
8x
x 1
2

):(

)
2 x x4
x ( x  2)
x



4 x ( x  2)  8 x
:
( x  2)( x  2)



4 x  8x  8x
:
( x  2)( x  2)



4 x  8 x
:
( x  2)( x  2)



x  1  2( x  2)
x ( x  2)
x 1  2 x  4
x ( x  2)
 x 3
( Đk: x �9)
x ( x  2)

4 x ( x  2)
x ( x  2)
.
( x  2)( x  2)
3 x

4 x . x ( x  2)
(3  x )( x  2)
Trao Tri Thức – Gửi Niềm Tin
4x

x 3


11


TÀI LIỆU THAM KHẢO ÔN TẬP VÀ LUYỆN THI TOÁN 9

Với x > 0 , x �4, x �9 thì P =

4x
x 3

b) P = - 1
4x
�
 1 ( ĐK: x > 0, x �4, x �9 )
x 3
� 4x  3  x
� 4x  3  x  0

Đặt

x  y đk y > 0

Ta có phương trình: 4 y 2  y  3  0

Các hệ số: a + b + c = 4- 1-3 =0

� y1  1 ( không thoả mãn ĐKXĐ y > 0),

Với y 

y2 

3
( thoả mãn ĐKXĐ y > 0)
4

3
9
 x thì x =
( thoả mãn đkxđ)
16
4

Vậy với x =
c) m( x  3) P  x  1
� m( x  3)

9
thì P = - 1
16

(đk: x > 0; x �4, x �9 )

4x
 x 1
x 3

� m.4 x  x  1
x 1
4x
( Do 4x > 0)
x 1
x
1
1
1



 
 Xét
4x
4x 4x
4 4x
Có x > 9 (Thoả mãn ĐKXĐ)
�m

�

1 1
 ( Hai phân số dương cùng tử số, phân số nào có mẫu số lớn hơn thì nhỏ hơn)
x 9

Trao Tri Thức – Gửi Niềm Tin

12


TÀI LIỆU THAM KHẢO ÔN TẬP VÀ LUYỆN THI TOÁN 9
1
1
�

4x
36
1
1

1
1
�



4
4x
4
36
1
1
5
�


4
4x
18
�5 x  1

�
�
18
4x
 m
Theo kết quả phần trên ta có : �
x

1

�
m
�
4x

5
18

5
18

Kết luận: Với m � , x  9 thì m( x  3) P  x  1
C. MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
C©u 1 Cho biểu thức :
A (

1
x 1



1
x 1

)2.

x2  1
 1 x2
2

1) Tim điều kiện của x để biểu thức A cã nghĩa .
2) Rót gọn biểu thức A .
3) Giải phương tr×nh theo x khi A = -2 .
C©u2 Cho biểu thức : A (

2 xx
x x1


x 2 

) : 
x  1  x  x  1 
1



a) Rút gọn biểu thức .
b) Tính giá trị của A khi x 4  2 3
C©u3 Cho biểu thức : A 

x 1

:

1
2

x x x x x 

x

a) Rút gọn biểu thức A .
b) Coi A là hàm số của biến x vẽ đồ thi hàm số A .
�1

1

�� 1

1

�

1


:

C©u4 Cho biểu thức : A= �
��
�
1- x 1  x ��
1 x 1 x � 1 x
�
a) Rút gọn biểu thức A .
b) Tính giá trị của A khi x = 7  4 3
c) Với giá trị nào của x thì A đạt giá trị nhỏ nhất .
�a a  1 a a  1 �a  2

:
C©u 5 Cho biểu thức : A = �
�a  a  a  a �
�
�
�a  2
a. T×m §KX§

Trao Tri Thức – Gửi Niềm Tin

13


TI LIU THAM KHO ễN TP V LUYN THI TON 9
b) Rút gọn biểu thức A
c) Tìm giá trị nguyên của a để A nguyên.


x 1
2 x
1
:

Câu 6 Cho biu thc P

1
x

1
x

1
x
x

x

x

1



a) Tỡm KX v rỳt gn P
b) Tỡm giỏ trn nguyờn ca x P x nh giỏ tr nguyờn.
a a
a a
1
1
; a 0, a 1
Câu 7 Cho P



a

1

1

a




a) Rút gn P.
b) Tìm a bit P > 2 .
c) Tìm a bit P = a .

1 2x
P

2

16x 2
1
; x
2
1 4x
2
2
a) Chng minh P
1 2x
3
b) Tớnh P khi x
2

Câu 8 Cho

2 5 24

12
x 1
x 1 8 x x x 3
1


:

Câu 9 Cho biu thc B


x

1
x

1
x

1
x

1
x

1



a) Rỳt gn B.

b) Tớnh giỏ tr ca B khi x 3 2 2 .
c) Chng minh rng B 1 vi mi gớa tr ca x tha món x 0; x 1 .

1
1
1 a
:
1
Câu 10 Cho M
1 a
1 a 2

a) Tỡm TX
b) Rỳt gn biu thc M.
3
c) Tớnh giỏ tr ca M ti a
.
2 3

2.Tớnh Q

a a

a

a



1

1 ; a 0, a 1 .
Câu 11 Cho biu thc: A
a 1 a 1
1. Rỳt gn biu thc A.
2. Tỡm a 0 v a1 tho món ng thc: A= -a2

Trao Tri Thc Gi Nim Tin

14


TÀI LIỆU THAM KHẢO ÔN TẬP VÀ LUYỆN THI TOÁN 9


y

 2 xy

y

:

; x  0, y  0, x  y .
C©u 12 Cho biểu thức: S 
 x y
x

xy
x


xy


1. Rút gọn biểu thức trên.
2. Tìm giá trị của x và y để S=1.


x  2  x 1

; x  0, x 1 .

x


x 2


C©u 13 Cho biểu thức: Q 
x 1
 x  2 x 1

a. Chứng minh Q 

2
x 1

b. Tìm số nguyên x lớn nhất để Q có giá trị là số nguyên.
  x 2
 : 


x  1   x  1

 1

1


C©u 14 Cho biểu thức: A 
 x
1. Rút gọn A.
2. Tìm x để A = 0.

a 1

C©u 15 Rút gọn biểu thức: A 
C©u 16 Cho biểu thức: T 

a2  1 
x2
x x1



1



a2  a
x 1

x  x 1

x 1 
 ; x  0 , x 1, x 4 .
x  2 

a 1 a




a3  a
a1

; a 1.

x 1
; x  0, x 1 .
x 1

1. Rút gọn biểu thức T.
2. Chứng minh rằng với mọi x > 0 và x≠1 luôn có T<1/3.
C©u 17 Cho biểu thức: M 

1 x

1

x



1

 x

3

1 x  x

; x 0; x 1.

1. Rút gọn biểu thức M.
2. Tìm x để M ≥ 2.
Bài 18: Cho biểu thức :
�
2mn
2mn �
1
A= � m+
 m
1 2
2
2 �
1+n
1 n � n
�

với m ≥ 0 ; n ≥ 1

a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm giá trị của A với m  56  24 5 .
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của A.
�
�
a

3
a

2
a

a
�: � 1  1 �

Bài 19: Cho biểu thức P  �
�
� a  2 a 1
a  1 ��
a 1 �
� a 1
�
�
a) Rút gọn P.
1
a 1
b) Tìm a để 
�1
P

8
Trao Tri Thức – Gửi Niềm Tin







15


TI LIU THAM KHO ễN TP V LUYN THI TON 9


x 1
2 x
1
:

Bi 20: Cho biu thc P

1
x

1
x

1
x

x

x

x

1



a) Tỡm KX v Rỳt gn P
b) Tỡm cỏc giỏ tr nguyờn ca x P x nhn giỏ tr nguyờn.

VN 2: PHNG TRèNH BC HAI MT N S
A. KIN THC CN NH:
I. Định nghĩa : Phơng trình bậc hai một ẩn là phơng trình có dạng
ax 2 bx c 0

trong đó x là ẩn; a, b, c là những số cho trớc gọi là các hệ số và a 0
II. Công thức nghiệm của phơng trình bậc hai :
Phơng trình bậc hai ax 2 bx c 0(a 0)
b 2 4ac

*) Nếu 0 phơng trình có hai nghiệm phân biệt :
Trao Tri Thc Gi Nim Tin

16


TI LIU THAM KHO ễN TP V LUYN THI TON 9

x1

b
b
; x2
2a
2a

*) Nếu 0 phơng trình có nghiệm kép :
x1 x 2

b
2a

*) Nếu 0 phơng trình vô nghiệm.
III. Công thức nghiệm thu gọn :
Phơng trình bậc hai ax 2 bx c 0(a 0) và b 2b '
' b '2 ac

*) Nếu ' 0 phơng trình có hai nghiệm phân biệt :
x1

b ' '
b ' '
; x2
a
a

*) Nếu ' 0 phơng trình có nghiệm kép : x1 x 2

b '
a

*) Nếu ' 0 phơng trình vô nghiệm.
IV. Hệ thức Vi - Et và ứng dụng :
1. Nếu x1; x2 là hai nghiệm của phơng trình ax 2 bx c 0(a 0) thì :
b

x1 x 2


a

x x c
1 2 a

2. Muốn tìm hai số u và v, biết u + v = S, uv = P, ta giải phơng
trình :
x 2 Sx P 0

(Điều kiện để có u và v là S2 4P 0 )
3. Nếu a + b + c = 0 thì phơng trình ax 2 bx c 0(a 0) có hai
nghiệm :
x1 1; x 2

c
a

Nếu a - b + c = 0 thì phơng trình ax 2 bx c 0(a 0) có hai
nghiệm :

x1 1; x 2

c
a

IV: Cỏc b iu kin phng trỡnh cú nghim thoa món c im cho trc:
Tìm điều kiện tổng quát để phơng trình ax2+bx+c = 0 (a 0)
có:
1. Có nghiệm (có hai nghiệm) 0
2. Vô nghiệm < 0
3. Nghiệm duy nhất (nghiệm kép, hai nghiệm bằng nhau) =
0
Trao Tri Thc Gi Nim Tin
17


TI LIU THAM KHO ễN TP V LUYN THI TON 9
4. Có hai nghiệm phân biệt (khác nhau) > 0
5. Hai nghiệm cùng dấu 0 và P > 0
6. Hai nghiệm trái dấu > 0 và P < 0 a.c < 0
7. Hai nghiệm dơng(lớn hơn 0) 0; S > 0 và P > 0
8. Hai nghiệm âm(nhỏ hơn 0) 0; S < 0 và P > 0
9. Hai nghiệm đối nhau 0 và S = 0
10.Hai nghiệm nghịch đảo nhau 0 và P = 1
11. Hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn
hơn
a.c < 0 và S < 0
12. Hai nghiệm trái dấu và nghiệm dơng có giá trị tuyệt đối lớn
hơn
a.c < 0 và S > 0

B. MT S BI TP Cể LI GII:
Bài 1. Giải các phơng trình sau :
a / 2x 2 8 0

c / 2x 2 3x 5 0

b / 3x 2 5x 0

d / x 4 3x 2 4 0
x2
6
f/
3
x 5
2x

e / x 3 3x 2 2x 6 0

Giải
a / 2x 8 0 2x 8 x 4 x 2
2

2

2

Vậy phơng trình có nghiệm x 2
x0

x0

b / 3x 5x 0 x(3x 5)

5

3x 5 0
x

3
2

Vậy phơng trình có nghiệm x 0; x

5
3

c / 2x 2 3x 5 0

Nhẩm nghiệm :
Ta có : a - b + c = - 2 - 3 + 5 = 0 => phơng trình có nghiệm :
5 5

2 2
d / x 4 3x 2 4 0
x1 1; x 2

Đặt t x 2 (t 0) . Ta có phơng trình : t 2 3t 4 0
a+b+c=1+3-4=0
=> phơng trình có nghiệm : t1 1 0 (thỏa mãn);

Vi: t 1 x 2 1 x 1
Trao Tri Thc Gi Nim Tin

t2

4
4 0 (loại)
1

18


TI LIU THAM KHO ễN TP V LUYN THI TON 9
Vậy phơng trình có nghiệm x 1
e / x 3 3x 2 2x 6 0 (x 3 3x 2 ) (2x 6) 0 x 2 (x 3) 2(x 3) 0 (x 3)(x 2 2) 0
x 3
x 3 0
x 3



2
2

x 2 0
x 2
x2

V

ậy phơng trình có nghiệm x 3; x 2
x2
6
3
(ĐKXĐ : x 2; x 5 )
x 5
2x
x2
6
3
Phơng trình :
x 5
2x
(x 2)(2 x) 3(x 5)(2 x)
6(x 5)



(x 5)(2 x) (x 5)(2 x) (x 5)(2 x)
(x 2)(2 x) 3(x 5)(2 x) 6(x 5)
f/

4 x 2 6x 3x 2 30 15x 6x 30
4x 2 15x 4 0
152 4.( 4).4 225 64 289 0; 17

=> phơng trình có hai nghiệm : x1

x2

15 17
1
(thỏa mãn ĐKXĐ)
2.( 4)
4

15 17
4 (thỏa mãn ĐKXĐ)
2.(4)

Bài 2. Cho phơng trình bậc hai ẩn x, tham số m :
x 2 mx m 3 0 (1)
a/ Giải phơng trình với m = - 2.
b/ Gọi x1; x2 là các nghiệm của phơng trình. Tính x12 x 22 ; x13 x 32
theo m.
c/ Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn :
x12 x 22 9 .
d/ Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn :
2x1 + 3x2 = 5.
e/ Tìm m để phơng trình có nghiệm x1 = - 3. Tính nghiệm
còn lại.
f/ Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu.
g/ Lập hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phơng trình
không phụ thuộc vào giá trị của m.
HNG DN GII:
a/ Thay m = - 2 vào phơng trình (1) ta có phơng trình :
x 2 2x 1 0
(x 1) 2 0

x 1 0
x 1

Trao Tri Thc Gi Nim Tin

19


TI LIU THAM KHO ễN TP V LUYN THI TON 9
Vậy với m = - 2 phơng trình có nghiệm duy nhất x = 1.
b/ Phơng trình : x 2 mx m 3 0 (1) Ta cú: m 2 4(m 3) m 2 4m 12
Phơng trình có nghiệm x1; x 2 0
x1 x 2 m
x1 x 2 m 3

(a)

Khi đó theo định lý Vi-et, ta có :

(b)

*) x12 x 22 (x1 x 2 )2 2x1x 2 (m) 2 2(m 3) m 2 2m 6
*) x13 x 32 (x1 x 2 )3 3x1x 2 (x1 x 2 ) (m)3 3(m 3)(m) m 3 3m 2 9m
c/ Theo phần b : Phơng trình có nghiệm x1; x 2 0
Khi đó x12 x 22 m 2 2m 6
Do đó x12 x 22 9 m 2 2m 6 9 m 2 2m 15 0
'(m) (1) 2 1.(15) 1 15 16 0; (m) 4

=> phơng trình có hai nghiệm : m1

1 4
1 4
5; m 2
3
1
1

Thử lại :

+) Với m 5 7 0 => loại.
+) Với m 3 9 0 => thỏa mãn.
Vậy với m = - 3 thì phơng trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn :
x12 x 22 9 .
d/ Theo phần b : Phơng trình có nghiệm x1; x 2 0
x1 x 2 m
x1 x 2 m 3

(a)

Khi đó theo định lý Vi-et, ta có :

(b)

Hệ thức : 2x1 + 3x2 = 5
(c)
Từ (a) và (c) ta có hệ phơng trình :
3x 3x 2 3m
x 3m 5
x1 x 2 m

x 3m 5

1
1
1

2x1 3x 2 5
2x1 3x 2 5
x 2 m x1
x 2 2m 5



x1 3m 5
vào (b) ta có phơng trình :
x 2 2m 5

Thay

(3m 5)(2m 5) m 3

6m 2 15m 10m 25 m 3
6m 2 26m 28 0
3m 2 13m 14 0
( m) 132 4.3.14 1 0

13 1
2
2.3
=> phơng trình có hai nghiệm phân biệt :

13 1
7
m2

2.3
3
m


2



0
Thử lại : +) Với
=> thỏa mãn.
7
25
+) Với m 0 => thỏa mãn.
3
9
m1

Trao Tri Thc Gi Nim Tin

20


TI LIU THAM KHO ễN TP V LUYN THI TON 9
Vậy với m 2; m

7
phơng trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn : 2x1
3

+ 3x2 = 5.
e/ Phơng trình (1) có nghiệm
x1 3 (3) 2 m.(3) m 3 0 2m 12 0 m 6
Khi đó : x1 x 2 m x 2 m x1 x 2 6 (3) x 2 3

Vậy với m = 6 thì phơng trình có nghiệm x1 = x2 = - 3.
f/ Phơng trình (1) có hai nghiệm trái dấu
ac 0 1.(m 3) 0 m 3 0 m 3

Vậy với m < - 3 thì phơng trình có hai nghiệm trái dấu.
g/ Giả sử phơng trình có hai nghiệm x1; x2. Khi đó theo định lí Viet, ta có :

m x1 x 2
x1 x 2 m


x1 x 2 x1x 2 3

m x1x 2 3
x1x 2 m 3


Vy h thc liờn h gia x1; x2 khụng ph thuc vo m l: x1.x2 + (x1 + x2 ) 3 = 0
Bài 3:
Cho phơng trình (m-1)x2 + 2x - 3 = 0 (1) (tham số m)

a) Tìm m để (1) có nghiệm
b) Tìm m để (1) có nghiệm duy nhất? tìm nghiệm duy
nhất đó?
c) Tìm m để (1) có 1 nghiệm bằng 2? khi đó hãy tìm
nghiệm còn lại(nếu có)?
HNG DN GII:
a) + Nếu m-1 = 0 m = 1 thì (1) có dạng 2x - 3 = 0 x =

3
(là
2

nghiệm)
+ Nếu m 1. Khi đó (1) là phơng trình bậc hai có: =12- (-3)(m1) = 3m-2
(1) có nghiệm = 3m-2 0 m

2
3

+ Kết hợp hai trờng hợp trên ta có: Với m

2
thì phơng trình có
3

nghiệm
b) + Nếu m-1 = 0 m = 1 thì (1) có dạng 2x - 3 = 0 x =

3
(là

2

nghiệm)
+ Nếu m 1. Khi đó (1) là phơng trình bậc hai có: = 1- (-3)
(m-1) = 3m-2
Trao Tri Thc Gi Nim Tin

21


TI LIU THAM KHO ễN TP V LUYN THI TON 9
(1) có nghiệm duy nhất = 3m-2 = 0 m =

2
(thoả mãn m
3

1)
Khi đó x =



1
1

3
2
m 1
1
3

+Vậy với m = 1 thì phơng trình có nghiệm duy nhất x =
với m =

3
2

2
thì phơng trình có nghiệm duy nhất x = 3
3

c) Do phơng trình có nghiệm x1 = 2 nên ta có:
(m-1)22 + 2.2 - 3 = 0 4m 3 = 0 m =

3
4

Khi đó (1) là phơng trình bậc hai (do m -1 =

3
1
-1= 0)
4
4

3
3

12 x 2 6
Theo đinh lí Viet ta có: x1.x2 = m 1 1

4
3
Vậy m = và nghiệm còn lại là x2 = 6
4

Bài 4: Cho phơng trình: x2 -2(m-1)x - 3 - m = 0
a) Chứng tỏ rằng phơng trình có nghiệm x1, x2 với mọi m
b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu
c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm cùng âm
d) Tìm m sao cho nghiệm số x 1, x2 của phơng trình thoả
mãn x12+x22 10.
e) Tìm hệ thức liên hệ giữa x 1 và x2 không phụ thuộc vào
m
f) Hãy biểu thị x1 qua x2
HNG DN GII:
2

a)

1 15

Ta có: = (m-1) ( 3 m ) = m
2
4



2

2

15
1
0 > 0 với mọi m
Do m 0 với mọi m;
4
2


Phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt
Hay phơng trình luôn có hai nghiệm (đpcm)
Trao Tri Thc Gi Nim Tin

22


TI LIU THAM KHO ễN TP V LUYN THI TON 9
b) Phơng trình có hai nghiệm trái dấu a.c < 0 3 m < 0
m > -3
Vậy m > -3
c) Theo ý a) ta có phơng trình luôn có hai nghiệm
Khi đó theo định lí Viet ta có: S = x1 + x2 = 2(m-1) và P = x1.x2
= - (m+3)
Khi đó phơng trình có hai nghiệm âm S < 0 và P > 0
2(m 1) 0


(m 3) 0

m 1

m3

m 3

Vậy m < -3
d) Theo ý a) ta có phơng trình luôn có hai nghiệm
Theo định lí Viet ta có: S = x1 + x2 = 2(m-1) và P = x1.x2 = (m+3)
Khi đó A = x12+x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 4(m-1)2+2(m+3) = 4m2
6m + 10
Theo bài A 10 4m2 6m 0 2m(2m-3) 0
m 0

2 m 3 0


m 0

2m 3 0

Vậy m

m 0

m 3
3

m

2

2


m

0


m 0

3
m
2


3
hoặc m 0
2

e) Theo ý a) ta có phơng trình luôn có hai nghiệm
x1 x 2 2(m 1)
x x 2 2m 2
. 1
x1 .x 2 (m 3)
2 x1 .x 2 2m 6

Theo định lí Viet ta có:

x1 + x2+2x1x2 = - 8

Vậy x1+x2+2x1x2+ 8 = 0 là hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 không
phụ thuộc m
f) Từ ý e) ta có: x1 + x2+2x1x2 = - 8 x1(1+2x2) = - ( 8 +x2)
x1

8 x2
1 2 x2
8 x

1
2
Vậy x1 1 2 x
( x2 )
2
2
Bài 5: Cho phơng trình: x2 + 2x + m-1= 0 ( m là tham số)
a) Phơng trình có hai nghiệm là nghịch đảo của nhau
Trao Tri Thc Gi Nim Tin
23


TI LIU THAM KHO ễN TP V LUYN THI TON 9
b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1; x2 thoả mãn
3x1+2x2 = 1
1

1

2

1

c) Lập phơng trình ẩn y thoả mãn y1 x1 x ; y 2 x 2 x với x1;
x2 là nghiệm của phơng trình ở trên
HNG DN GII:

2
a) Ta có = 1 (m-1) = 2 m
Phơng trình có hai nghiệm là nghịch đảo của nhau
' 0


P 1

2 m 0


m 1 1

m 2
m 2

m 2

Vậy m = 2
b) Ta có = 12 (m-1) = 2 m
Phơng trình có nghiệm 0 2 m 0 m 2 (*)
Khi đó theo định lí Viet ta có: x1+ x2 = -2 (1); x1x2 = m 1 (2)
Theo bài: 3x1+2x2 = 1 (3)
x1 x 2 2

3 x1 2 x 2 1

Từ (1) và (3) ta có:

2 x1 2 x 2 4


3x1 2 x 2 1

x1 5


x1 x 2 2

x1 5

x 2 7

Thế vào (2) ta có: 5(-7) = m -1 m = - 34 (thoả mãn (*))
Vậy m = -34 là giá trị cần tìm
d) Với m 2 thì phơng trình đã cho có hai nghiệm
Theo định lí Viet ta có: x1+ x2 = -2 (1) ; x1x2 = m 1 (2)
1

1

x x

2

2m

1
2
Khi đó: y1 y 2 x1 x 2 x x x1 x 2 x x 2 m 1 1 m (m1)
1
2
1 2

y1 y 2 ( x1

1
1
1
1
m2
)( x 2 ) x1 x 2
2 m 1
2
(m1)
x2
x1
x1 x 2
m 1
m 1

y1; y2 là nghiệm của phơng trình: y2 -

2m

m2
.y +
= 0 (m1)
1 m
m 1

Phơng trình ẩn y cần lập là: (m-1)y2 + 2my + m2 = 0

C. MT S BI TP T LUYN
Bài 1Cho phơng trình (m - 1)x2 - 2mx + m + 1 = 0 (1).
Tìm tất cả các số nguyên m để phơng trình (1) có nghiệm
nguyên.
HDẫn : * m = 1 : -2x + 2 = 0 x 1
Trao Tri Thc Gi Nim Tin

24


TI LIU THAM KHO ễN TP V LUYN THI TON 9
* m 1 :
m - 1 + (-2m) +m +1 = 0 x1 1 ;
x2

m 1
2
1
m 1
m 1

m 1 1;2 m 1;0;2;3

Bài 2: Cho phơng trình x2 + (2m - 5)x - 3n = 0 .
Xác định m và n để phơng trình có 2 nghiệm là 3 và -2.
HDẫn :

6m 3n 6
m 2


4m 3n 14
n 2

Bài 3: Tìm m, n để phơng trình bậc hai sau đây có nghiệm duy
nhất là

1
:
2

mx2 + (mn + 1)x + n = 0

HDẫn :


m 0

0
m
1
mn 1. n 0

2
4

m 2


1
n 2

Bài 4: Cho hai phơng trình : x2 - 3x + 2m + 6 = 0 (1) và x2 + x 2m - 10 = 0 (2)
CMR : Với mọi m, ít nhất 1 trong 2 phơng trình trên có
nghiệm .
HDẫn : 1 2 26 > 0 có 1 biệt số không âm .
Bài 5: Cho hai phơng trình : x2 + (m - 2)x +

m
=0
4

(1)

và 4x2 - 4(m - 3)x + 2m2 - 11m + 13 = 0
(2)
CMR với mọi m, ít nhất 1 trong 2 phơng trình trên có
nghiệm .
HDẫn : 1 (m 1)(m 4) ; 2 16(1 m)(m 4)
1 . 2 16(m 1) 2 (m 4) 2 0 có 1 biệt số không âm .
Bài 6: Tìm giá trị của m để hai phơng trình sau đây có ít nhất
1 nghiệm chung.
x2 + 2x + m = 0

x2 + mx + 2 = 0
HDẫn : (m -2)x 0 = m - 2
+2 = 0 ( vô nghiệm)

: + m =2 : hai phơng trình có dạng : x2 + 2x

Trao Tri Thc Gi Nim Tin

25