Thủy Lực Và Cơ Học Đất: Chương 5: Áp Lực Ngang Của Đất

Chương 5
ÁP LỰC NGANG CỦA ĐẤT
5.1 Áp lực tĩnh E0 của đất lên tường
E0 = Ex =

1
2

k0 γ H2

ν
: hệ số áp lực ngang
1 −ν
k0 = 1 - sinϕ
k0 = ξ =

5.3 Tính toán áp lực đất theo phương pháp dùng mặt trượt giả định của Coulomb
5.3.1 Áp lực chủ động Ea
•

Đối với đất rời:

Xem tường tuyệt đối cứng, đất sau lưng tường là đất rời, đồng nhất, tường bị trượt theo mặt
phẳng BC và AB; lăng thể ABC ở trạng thái cân bằng giới hạn.
G
C
β

A

ψ

H

α
ψ

W
ψ

H

ϕ

N2
δ

K

E T
2
3

ψ

T1

θ

N1

ψ=900-α-δ
D

E
W

ψ+θ-ϕ

R

R

θ
B ϕ

Hình 5.2 Tính toán áp lực chủ động theo Coulomb
* Phương pháp giải tích
- Áp lực chủ động:
1
Ea = K a γ H 2
2
Với Ka : hệ số áp lực chủ động

- 115 -

θ-ϕ


cos 2 (ϕ − α )

Ka =

2


sin(δ + ϕ ) sin(ϕ − β ) 
cos α cos(δ + α ) 1 +

cos(δ + α ) cos( β − α ) 

δ : góc ma sát ngoài, có thể xác định bằng thực nghiệm.
2

β

η
0
< 90 - ϕ
900 - ϕ ÷ 900 - ϕ/2
900 - ϕ/2 ÷ 900 + ϕ/2
900 + ϕ/2 ÷ 900 + ϕ
> 900 + ϕ

- ϕ÷ 0

0

0÷ ϕ

0

0
ϕ/4
ϕ/3
ϕ/2

0
ϕ/4
ϕ/2
2ϕ/3
3ϕ/4

0
ϕ/2
ϕ/3
3ϕ/4
ϕ

β : góc nghiêng của mặt đất đắp sau lưng từơng; lấy dấu (+) khi mặt đất đắp nằm cao hơn mặt
nằm ngang đi qua đỉnh tường và lấy dấu (–) khi ngược lại.
η = 900 + α ; α : góc nghiêng của lưng tường.
- Cường độ áp lực đất chủ động tại chân tường, với chiều cao tam giác là H* = H cosδ/cosα
pa = K a

cos α
γH
δ

* Trường hợp δ = β = 0, α ≠ 0
Ka =

cos 2 (ϕ − α )
cos α (cosα + sin ϕ ) 2

* Trường hợp δ = β = α = 0
K a = tan 2 (450 − ϕ / 2)
•

Đối với đất dính:

* Trường hợp δ = β = 0, α ≠ 0
1
Ka γ H 2 − C c H
2
cos ϕ
C=
ϕ +α 

cos 2  450 −

2 

pa = K a γ z − C c
E max =

- Áp lực chủ động Ea:
1
c2
Ea = K a γ H 2 − C c H + D
2
γ

- 116 -


Hc = C
D=

c
Ka γ

C2
2 Ka

- Điểm đặt lực nằm ở độ sâu cách chân tường một khoảng:
H − Hc
3
* Trường hợp δ = β = α = 0
1
ϕ
ϕ
γ H 2 tan 2 (45 0 − ) − 2 c H tan(45 0 − )
2
2
2
- Cường độ áp lực đất chủ động
ϕ
ϕ
p a = γ z tan 2 (45 0 − ) − 2 c tan(450 − ) = γ zK a − 2c K a
2
2

- Chiều sâu Hc tại pa = 0
2c
Hc =
ϕ
γ tan(450 − )
2
- Áp lực chủ động Ea
1
ϕ
ϕ
2c 2
2
2
0
0
E a = γ H tan (45 − ) − 2 c H tan(45 − ) +
2
2
2
γ
E max =

1
ϕ
2c 2
K a γ H 2 − 2 c H tan(450 − ) +
2
2
γ
ϕ

K a = tan 2 (450 − )
2
Ea =

•

Trường hợp có tải phân bố đều q trên mặt đắp

* Đất rời

δ=β=α=0
1
ϕ
ϕ
E a = γ H 2 tan 2 (45 0 − ) + q H tan 2 (450 − )
2
2
2
ϕ
ϕ
p a = γ z tan 2 (450 − ) + q tan 2 (45 0 − )
2
2
Có thể thay tải trọng q bằng một lớp đất có cùng trọng lượng riêng γ , chiều dày là h0 =
h0
cos β cos α
=
cos(α − β ) 1 + tan α tan β
H’ = H + h’0
h0' = h0

* Đất dính

δ=β=α=0
- 117 -

q
γ


1
ϕ
ϕ
ϕ
γ H 2 tan 2 (450 − ) + q H tan 2 ( 450 − ) − 2 c H tan(450 − )
2
2
2
2
ϕ
ϕ
ϕ
p a = γ z tan 2 (450 − ) + q tan 2 ( 450 − ) − 2 c tan(45 0 − )
2
2
2

Ea =

5.3.2 Áp lực bị động Ep

- Áp lực bị động của đất
sin(θ + ϕ )
Ep = W
sin(θ + ϕ +ψ ' )
0
ψ’ = 90 - α + δ
Dùng phương pháp giải tích hay đồ giải, ta có kết quả
C
A

β

ψ

α

θ+ϕ
W

W
ψ’=900-α+δ

H

E

R

δ ψ’

ϕ
θ
B

Hình 5.3 Tính toán áp lực bị động
* Đất rời
Trường hợp δ = β = 0, α ≠ 0
1
Kp γ H2
2
Kp : hệ số áp lực đất bị động
cos 2 (ϕ + α )
Kp =
cos(α ) (cos α − sin ϕ ) 2
Trường hợp δ = β = α = 0
ϕ
K p = tan 2 (450 + )
2
Góc giữa mặt trượt và phương của W của khối đất trượt
θ = (450 + ϕ/2)
Ep =

* Đất đính
Trường hợp δ = β = 0, α ≠ 0
1
c2
2
Ep = K p γ H + C c H + D
2
2

- 118 -

R
E


cos ϕ
α −ϕ 

cos 2  450 −

2 

c2
D=
2Kp

C=

kp =

cos 2 (ϕ + α )
cos(α ) (cos α − sin ϕ ) 2

Trường hợp δ = β = α = 0

ϕ
ϕ
p p = tan 2 (450 + ) γ z + 2 c tan(450 + )
2

2
ϕ
p p = K p γ z + 2 c tan(45 0 + )
2
1
ϕ
ϕ
2c 2
E p = tan 2 (45 0 + ) γ H 2 + 2 c H tan(450 + ) +
2
2
2
γ
1
ϕ
2c 2
K p γ H 2 + 2 c H tan(45 0 + ) +
2
2
γ
ϕ
K p = tan 2 (450 + )
2
Ep =

* Tính toán áp lực bị động Ep theo Coulomb cho kết quả khá lớn.
5.4 Tính toán áp lực đất theo lí thuyết cân bằng giới hạn
5.4.1 Phương pháp của Rankine
•

Đất rời

- Áp lực chủ động
p a = γ z cos β

cos β − cos 2 β − cos 2 ϕ

cos β + cos 2 β − cos 2 ϕ
β : góc nghiêng của đất sau lưng tường
- Áp lực bị động
p p = γ z cos β

cos β + cos 2 β − cos 2 ϕ
cos β − cos 2 β − cos 2 ϕ

* Trường hợp đất sau lưng tường nằm ngang (β= 0)
- Áp lực chủ động

ϕ

p a = γ z tan 2  450 − 
2


- 119 -


ϕ

K a = tan 2  450 −  : hệ số áp lực chủ động

2

1
ϕ

E a = γ H 2 tan 2  45 0 − 
2
2

Vị trí áp lực chủ động Ea tại H/3 kể từ đáy tường
- Áp lực bị động

ϕ

p p = γ z tan 2  450 + 
2

ϕ

K p = tan 2  450 + 
2

1
ϕ

E p = γ H 2 tan 2  450 + 
2
2

Vị trí áp lực bị động Ep tại H/3 kể từ đáy tường

•

Đất dính

δ=β=α=0
- Áp lực chủ động

ϕ
ϕ


p a = γ z tan 2  450 −  − 2 c tan  450 − 
2
2


2c
Hc =
ϕ

γ tan  450 − 
2

- Áp lực bị động
ϕ
ϕ


p p = γ z tan 2  450 +  + 2 c tan 450 +  = γzK a + 2c K a =
2

2


5.4.2 Phương pháp số của Sokolovski
•

Đất rời
1 *
Ka γ H 2
2
1
E p = K *p γ H 2
2
K*a , K*p : hệ số áp lực chủ động và bị động theo lí thuyết cân bằng giới hạn.
Ea =

Hệ số K*a theo Sokolovski
ϕ0
10
20

δ0

α0
0
5
10
0
10

-30
0,49
0,45
0,43
0,27
0,23

-20
0,58
0,54
0,51
0,35
0,31

-10
0,65
0,61
0,58
0,42
0,38

0
0,70
0,66
0,64
0,49
0,44

- 120 -

10
0,72
0,69
0,67
0,54
0,50

20
0,73
0,70
0,69
0,57
0,53

30
0,72
0,69
0,68
0,60
0,56

40
0,67
0,64
0,63
0,59
0,55


20

0
15
30
0
20
40

30
40

0,22
0,13
0,11
0,10
0,06
0,05
0,04

0,28
0,20
0,17
0,15
0,11
0,09
0,07

0,35
0,27
,023
0,21

0,16
0,13
0,12

0,41
0,33
0,29
0,27
0,22
0,19
0,17

0,47
0,40
0,36
0,33
0,29
0,25
0,23

0,51
0,46
0,42
0,39
0,35
,032
0,29

0,53
0,50

0,46
0,43
0,42
0,38
0,36

0,54
0,52
0,48
0,46
0,46
0,42
0,41

Hệ số K*p theo Sokolovski
ϕ0
10
20
30
40

•

δ0

α0
0
5
10
0

10
20
0
15
30
0
20
40

-30

-20

-10

0

1,53 1,53 1,49 1,42
1,71 1,69 1,64 1,55
1,88 1,79 1,74 1,63
2,76 2,53 2,30 2,04
3,26 3,11 2,89 2,51
4,24 3,79 3,32 2,86
5,28 4,42 3,65 3,00
8,76 7,13 5,63 4,46
11,72 9,31 7,30 5,67
11,27 8,34 6,16
4,60
26,70 18,32 13,02 9,11
43,23 29,40 20,35 13,96

10

20

30

40

50

60

1,34
1,43
1,50
1,77
2,16
2,42
2,39
3,50
4,35
3,37
6,36
9,43

1,18
1,26
1,33
1,51

1,80
2,00
1,90
2,70
3,29
2,50
4,41
6,30

1,04
1,10
1,15
1,26
1,46
1,63
1,49
2,01
2,42
1,86
2,98
4,16

0,89
0,93
0,96
1,01
1,16
1,25
1,15
1,45

1,73
1,35
1,99
2,67

0,71
0,74
0,76
0,77
0,87
0,92
0,85
1,03
1,23
0,95
1,33
1,65

0,53
0,55
0,55
0,56
0,61
0,63
0,60
0,69
0,75
0,64
0,81
0,96

Đất dính

Tải trọng tác dụng phân bố đều khắp q, δ = β = α = 0
ϕ
ϕ


p a = (γ z + q ) tan 2  450 −  − 2 c tan  450 − 
2
2


ϕ
ϕ


Pp = (γ z + q) tan 2  45 0 +  + 2 c tan  450 + 
2
2


5.5 Áp lực đất lên tường chắn một số trường hợp khác
5.5.1. Trường hợp đất sau lưng tường có nhiều lớp
- Tính hệ số áp lực Ka (hoặc Kp) cho từng lớp đất riêng biệt.
- Tính và vẽ biểu đồ cường độ áp lực đất Pa (hoặc Pp)
- Tính Ea (hoặc Ep)
5.5.2 Trường hợp trong đất đắp có mực nước ngầm
- Tính và vẽ cường độ áp lực đất Pa (hoặc Pp) có xét đến ứng suất hữu hiệu
- Tính và vẽ cường độ áp lực tĩnh của nước

- Tính Ea (hoặc Ep) bằng tổng của áp lực đất và áp lực của nước.

- 121 -


Pa1=0
Lớp 1
MNN

Lớp 2

Ea1
P’a1=Ka1γ 1h1

ya1

yE

Ka1=tan2(450-ϕ1/2)
Ka2=tan2(450-ϕ2/2)

Pa2=Ka2γ 1h1
Ea
Ea2

ya2
O

Ew
Pw=γ wh2

yw

P’a2=Ka2 (γ 1h1+γ ’2h2)

Hình 5.4 Đất sau lưng tường có nhiều lớp và mực nước ngầm (đất rời)
2a + b H
(y=
; a: cạnh nhỏ; b: cạnh lớn)
a+b 3
5.6 Kiểm tra ổn định của tường chắn
5.6.1 Kiểm tra ổn định trượt phẳng của tường chắn
∑ N tt f ≥ 1,0 ÷ 1,4
ktp =
∑H
tt
ΣN : tổng trọng lượng của tường
f : ma sát giữa đáy tường và nền,
f = τ = (∑Ntt – U) tgϕ + b c
U: áp lực đẩy nổi của nước tác dụng lên móng tường chắn ứng với chiều rộng mặt trượt
tính toán (b).
b : chiều rộng móng tường chắn (chiều rộng mặt trượt tính toán)
Theo kinh nghiệm lấy: f = 0,2 ÷ 0,5
ΣH : tổng tải trọng ngang tính toán tác dụng tại đáy tường, ΣH = ΣEax - ΣEpx
5.6.2 Kiểm tra ổn định trượt sâu (lật) theo Coulomb
∑ M giu / 0 ≥ 1,0 ÷ 1,4
kts =
∑ M truot / 0
5.6.3 Kiểm tra ổn định trượt sâu
R

k at =
≥ 1,0 ÷ 1,4
∑ N tt
R: khả năng chịu tải của đất nền dưới đáy móng tường
Hệ số an toàn ổn định trượt
Tổ hợp tải
trọng
Cơ bản
Đặc biệt

Cấp công trình
I
1,40
1,20

II
1,30
1,15

III
1,20
1,10

- 122 -

IV
1,15
1,05

V

1,10
1,00


Bài tập:
5.1 Một tường chắn đất cao 6m, đất đắp sau tường là loại đất sét dẻo cứng có γ =19.0kN/m3, ϕ
=190, c =11kN/m2, mực nước ngầm ở rất sâu. Biết rằng tường thẳng đứng, lưng tường trơn
láng, đất đắp sau tường nằm ngang.
1. Xác định chiều sâu (m) có khả năng đào đất mà không phải chắn (áp lực đất chủ động bằng
0) [3.24]
2. Xác định độ lớn (kN/m) và điểm đặt (m) (so với chân tường) của áp lực đất chủ động tác
dụng lên tường [92,58 và 1,459]
3. Trường hợp δ = β = α = 100, c = 0 kN/m 2, Xác định độ lớn (kN/m) và điểm đặt (m) (so với
chân tường) của áp lực đất chủ động tác dụng lên tường [222 và 2 ]
4. Đất trước lưng tường cao 2m, xác định độ lớn (kN/m) và điểm đặt (m) (so với chân tường)
của áp lực đất bị động tác dụng lên tường.
5.2 Một tường chắn đất bằng BTCT cao 8m, đất sau lưng
tường gồm 2 lớp cát có các đặc trưng như hình vẽ:
Tường thẳng đứng, trơn láng, đất sau lưng tường nằm
ngang. Mực nước ngầm nằm ở rất sâu.
1. Xác định độ lớn (kN/m) và điểm đặt (m) (cách chân
tường O) của tổng áp lực đất chủ động (trên 1m tường) của
đoạn tường lớp 1 tác dụng lên thân tường. [200,72; 5,81].
2. Xác định độ lớn (kN/m) và điểm đặt (m) (cách chân
tường O) của tổng áp lực đất chủ động (trên 1m tường)
của đoạn thân tường lớp 2. [290,67 và 1,88].
3. Xác định độ lớn (kN/m) và điểm đặt (m) (cách chân
tường O) của tổng áp lực đất chủ động (trên 1m tường)
tác dụng lên toàn thân tường. [491,39 và 3,485].

q =100kN/m2

∞

Lớp 1:
γ =19.5kN/m3
ϕ =280
c=0

4m

Lớp 2:
γ =20.0kN/m3
ϕ =300
c=0

4m

4. Xác định độ lớn (kN/m) và điểm đặt (m) (cách chân O
tường O) của tổng áp lực đất chủ động (trên 1m tường).
tác dụng lên toàn thân tường khi có mực nước ngầm ngay tại mặt đất. [ 702,5 và 3,23 ].
5. Xác định độ lớn (kN/m) và điểm đặt (m) (cách chân tường O) của tổng áp lực đất chủ động
(trên 1m tường) tác dụng lên toàn thân tường khi có mực nước ngầm ngay tại đỉnh lớp đất thứ
2. [544,72 và 3,27].
6. Trường hợp đất trước tường cao 4m so với chân tường, γ =20kN/m3, ϕ =300, c = 0. Xác định
áp lực bị động của đất tác dụng lên tường [480 kN/m]
7. Kiểm tra ổn định trượt phẳng của tường, cho biết tường dày 0,5m, γ bt=25kN/m3, hệ số ma
sát f = 0,3; ktp = 1,3, (MNN nằm rất sâu), [2,63>1,3]
8. Kiểm tra ổn định trượt sâu của tường với kts = 1,3, (MNN nằm rất sâu), [0,388<1,3].
5.3 Một tường chắn đất bằng BTCT cao 10m, đất sau lưng tường gồm 2 lớp đất có các đặc

trưng như hình vẽ:
Tường thẳng đứng, trơn láng, đất sau lưng tường nằm ngang. Mực nước ngầm nằm ở rất sâu.
1. Xác định độ lớn (kN/m) và điểm đặt (m) (cách chân tường O) của tổng áp lực đất chủ động
(trên 1m tường) của đoạn tường lớp 1 tác dụng lên thân tường.
2. Xác định độ lớn (kN/m) và điểm đặt (m) (cách chân tường O) của tổng áp lực đất chủ động
- 123 -


(trên 1m tường) của đoạn thân tường lớp 2.

q =100kN/m2

3. Xác định độ lớn (kN/m) và điểm đặt (m)
(cách chân tường O) của tổng áp lực đất chủ
động (trên 1m tường) tác dụng lên toàn thân
tường.
4. Giả sử q = 0, xác định độ sâu khi đào rất
không phải chắn.
5. Xác định độ lớn (kN/m) và điểm đặt (m)
(cách chân tường O) của tổng áp lực đất chủ
động (trên 1m tường) tác dụng lên toàn thân
tường khi có mực nước ngầm ngay tại mặt đất.
6. Xác định độ lớn (kN/m) và điểm đặt (m)
(cách chân tường O) của tổng áp lực đất chủ
động (trên 1m tường) tác dụng lên toàn thân
tường khi có mực nước ngầm ngay tại đỉnh lớp
đất thứ 2.

∞

Lớp 1:
γ =18kN/m3
ϕ =260
c = 10 kN/m2

6m

Lớp 2:
γ =19kN/m3
ϕ =300
c=0

4m

O

7. Trường hợp đất trước tường cao 4m so với
chân tường, γ = 19 kN/m3, ϕ =300, c = 0. Xác
định áp lực bị động của đất tác dụng lên tường.
8. Kiểm tra ổn định trượt phẳng của tường, cho biết tường dày 0,5m, γ bt=25kN/m3, hệ số ma
sát f = 0,3; ktp = 1,3.
9. Kiểm tra ổn định trượt sâu của tường với kts = 1,3.
5.4 Cho một tường chắn đất bằng BTCT cao 10m, đất sau lưng tường gồm 2 lớp đất có các
đặc trưng như hình vẽ. Tường thẳng đứng, trơn láng, đất sau lưng tường nằm ngang. Lấy γ w =
10kN/m3, γ bt = 25kN/m3
1. Tính toán áp lực đất tác dụng lên tường
2. Kiểm tra ổn định
q =100kN/m2
∞
Lớp 1: sét pha cát

γ = 18kN/m3
ϕ = 200 , c = 10

0,4m

Lớp 2: cát
γ sat = 20kN/m3
ϕ= 300, c = 0

O
0,5m

A
1m

2m

- 124 -

5m

5m