Luận văn Thạc sĩ Toán học Biến đổi laplace

1

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề
tài
Phép biến đổi Laplace là một trong các phép biến đổi tích phân có vai trò quan
trọng trong toán học nói chung và trong giải tích phức nói riêng. Nó cùng với phép
biến đổi Fourier và biến đổi Radon là những phép biến đổi hữu ích thường được sử
dụng trong việc giải các bài toán phức tạp như giải phương trình vi phân, phương
trình đạo hàm riêng, phương trình tích phân, phương trình vi tích phân…
Nghiên cứu cơ sở của phép biến đổi này người ta có thể biết được cơ sở của
phép tính toán tử để đưa các dạng phương trình trên về dạng đơn giản hơn.
Trong vật lý, phép biến đổi Laplace được dùng để giải các bài toán về phân tích
mạch điện, xử lý số liệu, dao động điều hoà, các hệ cơ học...
Như vậy phép biến đổi Laplace không chỉ có ý nghĩa trong lý thuyết toán học
mà nó còn có nhiều ứng dụng trong các ngành khoa học khác.
Trên cơ sở đó và dưới sự hướng dẫn của Tiến sĩ Trần Văn Vuông, tôi đã lựa
chọn đề tài “Biến đổi Laplace” nhằm nghiên cứu sâu hơn về phép biến đổi này
cũng như một số ứng dụng của nó trong thực tiễn.
2. Mục đích nghiên cứu
- Nghiên cứu hệ thống kiến thức cơ bản của phép biến đổi Laplace.
- Vận dụng phép biến đổi Laplace để giải một số dạng toán liên quan.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu về phép biến đổi Laplace và một số ứng dụng của nó.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đề tài chủ yếu tập trung nghiên cứu phép biến đổi Laplace và một vài ứng
dụng của nó trên cơ sở thao tác đối với hàm một biến và một số lượng nhỏ các
hàm hai biến để tìm biến đổi Laplace, biến đổi Laplace ngược của một số hàm
số thông thường. Vận dụng phép biến đổi Laplace để giải một số phương trình vi
phân, phương trình sai phân, phương trình tích phân, phương trình đạo hàm riêng...

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com


5. Phương pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu lý thuyết.
- Phân tích đánh giá, tổng hợp kết quả.
6. Đóng góp của đề tài
Hiểu rõ bản chất của phép biến đổi Laplace và tìm được một vài ứng dụng
mới của phép biến đổi Laplace.


Chương 1
BIẾN ĐỔI LAPLACE VÀ BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC
1.1. Phép biến đổi Laplace
1.1.1. Định nghĩa phép biến đổi Laplace
Cho


s
t

e

f

f (t) là hàm số xác định trên nửa khoảng  0;. Nếu tích phân suy rộng
(trong đó s là biến số phức) hội tụ thì nó được gọi là biến đổi Laplace

(t)dt
0

của

f (t) và được ký hiệu là Lf (t) .

Biến đổi Laplace của f (t) là một hàm biến phức, kí hiệu là F (s) . Công thức
đầy đủ
là



F (s) L f (t)est f (t)dt .
0

Theo công thức trên, biến đổi Laplace của f (t) là một tích phân suy rộng nên
biến đổi Laplace
của

f (t) được viết dưới dạng khai triển như sau


T

F (s) L f (t)
 est f (t)dt lim
 est f (t)dt.
T 

0

0

Cận dưới của tích phân bằng 0 nên F
(s)

chỉ mang thông tin về f (t) với t 0 .

Phép biến đổi Laplace biến mỗi hàm biến thực f (t) thành một hàm biến phức


F (s) L f (t)est f (t)dt .
0

Ví dụ 1.1. Tìm biến đổi Laplace
của

f (t) c, c ¡ .

Lời giải. Với c 0 , ta có


T

L f (t)L ccestdt c.lim
 estdt
T 


0



0

c



 est
1 lim
e
.lim
T
c

 

t
T  
T 
  0 s

s

sT




.

Đặt s i, ta có

lim e sT

lim e

 T

T 

(cos T i sin T ) .

T 

Do cos T i sin là hàm số bị chặn của biến T nên giới hạn nói trên bằng 0 khi
T

0 và không tồn tại khi 0 .
Nếu c = 0 thì ta có ngay
Vậy

L[c] L 0F (s) 0.

L cF (s) với Re s 0 .
c

s

Ví dụ 1.2. Tìm biến đổi Laplace
của

f (t) t .



Lời
giải.

T

Lf (t)L  t testdt lim
 test dt
T 

0

0

 test est T 
lim 


2 
T 
s
s
t
0





1
Te  s
 sT
 lim
T  lim
.
e
s2
Đặt s i, ta có

lim e sT

T 

s

lim e
T 

T  2

s

 T

(cos T i sin T ) .

T 

Do cos T i sin là hàm số bị chặn của biến T nên:
T
+) Khi Re s 0 lim
s
T  Tes
li e 0 .
,
T
T
m
T 
s
s2
+) Khi Re s 0 , hai giới hạn nói trên không tồn tại.
Vậy

L t F (s)
1


s2


với Re s 0
.
Ví dụ 1.3. Tìm biến đổi Laplace
của

f (t) e at , a ¡ .



Lời
giải.

T

L f (t)L e at  e ate st
dt lim  e ( sa )T dt
T
0



e
lim





T 

( s a )t



T



0

1



sa t
sa
0

1

lim

T 

( s a )T

e 


.

Đặt s i, ta có lim lim e (a)T (cos T i sin T ) .
 
T 

e ( s a )T
T 


Do hàm số cos T i
sin T

là hàm số bị chặn của biến T nên:

 
+) Khi Re s a
lim e ( a )T (cos T i sin T ) 0 .
( s a
T 
lim
e
)T T 
,

+) Khi Re s a , giới hạn nói trên không tồn tại.
Vậy

1

L  eat F
(s) 

với Re s a.

s

a

Ví dụ 1.4. Tìm biến đổi Laplace
của
Lời
giải.

f (t) sin at, a ¡ .



Lf (t)Lsin at  e st sin atdt
0



a lim e sT (a cos aT s sin aT )
s 2 a 2 T s2 a2

với Re s 0 .
a
2
 s a
2

Hoàn toàn tương tự, ta
có

L[cos at]


s
s2
a 2

với Re s 0 .

Ví dụ 1.5. Tìm biến đổi Laplace của hàm Heaviside
1
(t)  khi t 0
0 khi t 0.
Lời
giải.

L(t)F (s)  e st
1

dt 
0

với Re s 0 .
s
  
L t 2 .
 
 
1

Ví dụ 1.6. Tìm L t
,

n

n 1, áp dụng kết quả đó
tìm


Lời giải. Xét hàm



(t) xác định bởi công thức (n) un1eu du . Trước hết ta
0

chứng minh (n 1) n! (n ¥ ) .


u
Thật vậy, do (n 1)
n u
 u e du
0

du

n

x
nên đặt 

n1

u

dy e

dx nu du

1 u

y   e


u






thì (n 1)  u n e  u du

n u
u e
Lặp lại quá trình trên ta
có
(0) 1
nên





nun 1e u du n.(n), (n ¥ ) .

u
0

0

Mặt
khác



0

(n 1) n(n 1)(n 1)...1(0) .
(n 1) n!. Từ đó suy ra

L t n F (s)






e st t n dt 
e



 

s

0


Áp dụng kết quả trên ta có

1





L t 2

  



 

u



0

1

un du

n

s

1 


 2 

s

n1

n

(n 1)



n!

n1

s

0

1

,ở

đó
1

u

e u du 



.

n1

s

1


 
    u 2 eudu .
2  0

s2



Đổi
biến

1 

2
u x thì  2  e x dx   .
2  0
2


Do vậy

1





L t 2

  

1 

2 



s

1
2

 
(s 0) .



s
1.1.2. Sự tồn tại của biến đổi Laplace
Định nghĩa 1.1. Hàm số f (t) được gọi là hàm gốc nếu nó có hai tính chất sau:
a) f (t) đo được trên khoảng (0;) .
b) f (t) tăng không nhanh hơn một hàm mũ khi t  , nghĩa là
0, M 0, f (t) |Met ,t 0 .
|


Số 0 
inf 

với tất cả thoả mãn (b) được gọi là chỉ số
tăng của

Định lý 1.1. Nếu f (t) là một hàm gốc và có chỉ số
tăng  0
của nó có miền hội tụ
là

Me


ta đều có do đó
T
st

t

M e e dt  e
0

thì biến đổi Laplace

Re s  0 .

Chứng minh. Với mọi 0 ,
T

f (t) .

0

t

f (t) 

Me t

T

st

st

t

f (t)dt M  e e dt
0

,t 0 ,


t

st

st

T e
 M M
e F (t)dt M T estetdt
lim
lime dt F (s)  T lim



s 
T 
T 
T 

0

 Ms

 F (s)
 

0

0

M Vậy
s 

M
với Re s  0 .
s



Nhận xét. Từ định lý trên ta có lim
F (s) 0 .
Re
s

Định lý 1.2. Nếu f (t) là hàm gốc với chỉ số tăng thì biến đổi Laplace F (s)

0

của f (t) là hàm giải tích trong

miền
Chứng minh. Bước 1. Đặt

Re s  0 ,
với

n

Fn (s)


F

  thì dãy
0
(s)

Re s 0 2.
Thật vậy,


Fn (s) F
(s)

Re s  0 .

e

st

f (t)dt . Trước hết ta chứng minh với

0

n1,2,...

n

s  z

Re z 0 2, ta có

£
(Re s )t

e

f (t) dt

n


(Re s )t ( 
e
M ne

0

)t

dt


 t

M e dt
n

 1  
M  e t











hội tụ đều về F
(s)



M

t n 

en .

trên miền


Hơn nữa, bất đẳng thức trên không phụ thuộc vào s với
s   z
£

Re z 0 2nên dãy

F

n

hội tụ đều
về

n1,2,...

(s)

Bước 2. Ta chứng minh Fn
(s)

giải tích trên miền Re s 

(Tức là ta chỉ ra sự tồn tại của F
n
'(s),

0

F
(s)

với mỗi n ¥ *.

n ¥ ). Thật vậy, với s cố định thuộc
*

miền Re s 0 , theo định lý hội tụ bị chặn của Lesbesgue ta có
Fn '(s) lim
h0

Fn (s h) Fn (s)
h

trên miền đó.


n

n

e

lim

 ( s  h)t

0

f (t)dt 0 e

st

f (t)dt

h

h0

n
h

lim  tf (t)e ste t 1
dt
h0 0
ht
n
n
h

 tf (t)e st lime t 1dt  tf (t)estdt .

h0
ht
0
0

Theo định lý Weierstrass, hàm F
(s)

giải tích trên
miền

Re s  0 .

1.1.3. Tính chất của biến đổi Laplace
Định lý 1.3. Cho

fk (t) là các hàm gốc có biến đổi Laplace lần lượt là Fk (s) ,

chỉ số tăng tương ứng là

, k 1, 2,..., n .

k

Nếu

n

f (t)  c k fk (t), ck ¡ là các hằng số , thì biến đổi Laplace của f (t) là hàm
k 1

số F
(s)

n

F (s)  ck Fk với miền hội
tụ
(s)

xác định
bởi

Re s max  k .
1k n

k 1

Chứng minh. Ta có


L f (t)F (s) est f (t)dt
0



0 e

n

st

c
k 1

n



k 1

0

k

(t)dt

fk

 c k  e t fk (t)dt
s

n

n

k 1

k 1

 ck L fk (t) dt  ck Fk (s) .
Ví dụ 1.7. Tìm biến đổi Laplace của f (t) 2t e3t sin 4t .
Lời
giải.

L f (t)L  2t e3t sin 4t 2L t L  e3t L[sin 4t]




2

 1

s 2 s 3

4
s2
16

với Re s 3 .


Ví dụ 1.8. Tìm biến đổi Laplace của f (t) sinh at


Lời
giải.

eat

, a ¡ .

at

e
2

at

e e
L  f (t)  L sinh at L  
2 

at

1
1
at
at
 L e  L[e
]2
2
1

1

1
với Re s  a .
.


a
2 s a 2 s a s2 a 2

 .

Tương tự,
nếu

1

f (t) cosh at


e at e at , a ¡ , thì
2

L f (t)Lcosh at

s
s2
a 2


Định lý 1.4. Cho

với Re s  a .

f (t) là hàm gốc có chỉ số tăng
,

F (s) Lf (t). Khi
đó

1

s 

Lf (ct) F
tụ
 
c c


Chứng minh. Ta có

Lf (ct)est f
(ct)dt .
0

Đặt u
ct
Do đó

1
u
du
cdt,
dt

du,
t


.
thì
c
c
1
s
1
 s  u
L f
f (u)du  F
.
(ct)
e

c





c0



 
 

c
0

là hằng số, và

0

với miền hội Re s c.
0


c 

c
Định lý 1.5. Cho

Lf (t)F với Re s  0 .
(s)

0
Đặt fı(t) 
f (t 
ı)
Khi
đó

khi

t ı

khi

t ı.

L (t)esı
fı F (s)

với Re s  0 .

Chứng minh. Ta có
L fı (t)






e
0

st ı

f

(t)dt 

ı

e
0

st ı

f

(t)dt 



e
ı



(t)d est f (t  ı)dt .
ft

st ı

ı


Đặt u t  thì du dt, t u ı.

ı

Đổi
cận:
Do đó

t ıu 0, t u  .

L  (t)

fı 




s (u ı)

ıe


f (u)du e

s
0

e



su

f (u)du e

sı

F (s) .

0

Ví dụ 1.9. Tìm La (t)trong đó

a


1 (t)   (t  a)


khi t
a

, a ¡ .

0 khi t
a

1
1
ta đã có
L(t)F (s)  , Re s 0 .
Lời giải. Với (t)  khi t 0
s
0 khi t
0
Vì vậy với
a

trong đó a ¡ là hằng số, thì

khi t
a


1 (t)   (t  a)


0 khi t
a

La (t)eas F (s) s
với Re s 0 .
e
s

a

Định lý 1.6. Cho

Lf (t)F (s)
với

Re s 0 , ¡ là hằng số.
Khi đó

t

L e f (t)F (s với Re s  .

0

 )

Chứng minh. Ta có


t


st

t

L e f (t) e e f (t)dt e
0

0

 ( s  )t

f (t)dt F (s ) .


Ví dụ 1.10. Tìm biến đổi Laplace
của
Lời giải. Vì

f (t) teat
,

L  t F (s) với Re s
1
 0

a ¡ .

nên

s2
L te F (s
a) 
at

Định lý 1.7. Cho

Laplace,

f ( k 1)
(0)

L f

với Re s a .

Lf (t)F (s) , giả
sử

tồn tại
với

f (0 )

(t) s  F (s) 

s

n

f (k )
(t)

tồn tại và là hàm có biến đổi

k 1,..., n . Khi đó



(n)

1
(s
a)2



f 
'(0 )
s

2

f ( n1) (0) 
 ... 
.

sn


(1.1)


Chứng minh. Với n 1 ta có


L f

e st f '(t)dt


'(t)

st

st

e df (t) e f (t)





0

t

s e




0

st

f (t)dt




0


0

sF (s)  f (0 ) .
Điều này nghĩa là (1.1) đúng với n 1.
Giả sử (1.1) đúng
với
L f

( N 1)

n N ¥ . Khi đó
*

(t)L  ( f ')

(N)

(t)




( N 1)



f '(0 ) f ''(0
)
f (0 ) 
N 
2
.
s L f '(t) s
 s
...  s N


Theo trên ta có

Lf '(t)sF (s) f (0) nên suy ra


 

'(0 )
( N 1)
N
L f
(t) s  sF
(s) 


f


f (0 ) 

N 1

s



 ... 

s

f ( N 1) (0) 
s

2




s



f ''(0 )

f (0 )

 F (s) 


s

f 
'(0 )


 s2

Điều này nghĩa là (1.1) đúng với

N

f
...

(N)



(0 ) 

.
s N 1 


n N 1. Theo nguyên lý quy nạp toán học,

(1.1) đúng với n ¥ *.
Ví dụ 1.11. Tìm biến đổi Laplace của

Lời giải. Ta đã biết

Lsin
at




a
s2
a 2

f (t) cos
at,

a ¡ .

với Re s
0,

a ¡ .


1
s
s
at]
L
(sin
.L
sin
, với Re s 0 .

thì L[cos

at)' 
at 
2
2

 a
s a
 a

1
s
a 0
L[cos at] L[1] 
, với Re s 0 .

Nếu thì

s s 2 a 2
Nếu

a
0

Vậy với mọi hằng số a ¡ , ta
có
Định lý 1.8. Cho

Lf (t)F
(s)

L[cos at]


s
, với Re s 0 .
s2
a 2

với Re s 0 . Khi đó ta có


L (t) f (t) F
n

( n)

(s), n ¥ ,

0

Re s  

.

(1.2)

Chứng minh. Với n 1, ta nhận thấy hàm (t)n f
(t)
f (t) . Hơn
nữa

có cùng chỉ số tăng với



F (s) e

st

f (t)dt

0





0

0

F '(s)  te st f (t)dt  e st [tf (t)]dt L tf Re s  0 .
(t)  ,
Điều này nghĩa là (1.2) đúng với n 1. Giả sử (1.2) đúng
với
khi đó

N 1
N
L  (t) f (t)L  (t) (t) f (t)

n N ¥ ,
*

 L  (t) f (t)( N 1) (s)  F '(s)( N ) (s)


F ( N 1) (s),
Điều này chứng tỏ (1.2) đúng
với

N ¥ * với Re s  0 .
,

n N 1.

Theo nguyên lý quy nạp toán học, (1.2) đúng
với

n ¥ *.

Ví dụ 1.12. Tìm biến đổi Laplace của f (t) t sin at
và
đó a ¡ là hằng số.
Lời giải. Ta có

suy
ra

f (t) t 2 sin at , trong

d a
Lt sin at L  (t)sin at 
2sa
ds s 2 a 2  (s 2 a2 )2 ,

L t sin at L  (t)t sin
d
at 

Định lý 1.9. Nếu

Lf (t)F (s)
và



ds (s a )
2

f (t)
t

6s a 2a
2

2s
a

2

2

2

(s a )
2

là hàm gốc thì

2 3

3

.

L


 f (t)  F (u)du , trong
đó


 t 



F (u)du



lim
Re z 

s

F (u)du .
z

s

s

Chứng minh. Đặt

g(t)


f (t)
t

G(s) L[g(t)] .
,


Ta có G '(s) L (t)g(t) L[ f (t)] F


(s)
F (s) . Theo giả
thiết

g(t) là hàm gốc nên





| G(z) |e

(Re z )t

0

nên G(s) là một nguyên hàm của

| g(t) | dt M  e

(  Re z  1)t

dt

0

e( Re z 1)t M
M
M

, trong đó Re z 1 0 ,




Re z 1

Re z 1
t0

là chỉ số tăng của g . Từ đó
suy ra

lim G(z) 0 và

Re z 


G(s) G(s) 0 G(s)
lim G(z)   F (u)du ,
Re z 

s





 f (t) 
hay L
 F (u)du .

 

G(s) F
(u)du

t

s





Ví dụ 1.13. Tìm biến đổi Laplace

của
Lời giải. Ta đã biết rằng

s

F (s) Lsin
t 

sin t 





t

t

1

.

với Re s 0 . Do đó

s2
1

 arctan
s
1

arctan

L

du
 t 
2
u 1 2

 s
Định lý 1.10. Cho

sin t

f (t) 

với Re s 0 .
s

f (t) liên tục và thỏa mãn Lf (t)F (s) . Khi đó,
hàm



g(t) f (ı
)dı

 F (s)
f
(

ı
)d
ı .

s
0


t

là nguyên hàm
của

f (t) và L

0

Chứng minh.
Vì

t

g(t) f (ı liên tục, do đó g(t) đo được. Giả sử f (t) có
)dı
0

chỉ số tăng 0 , khi đó với mọi 0 1, ta có
t

| g(t) |

t

f (ı )
dı

 | f (ı) | dı

0

0

t
(
e

d
0 ı 

M

0

)ı

M

e
ı


0




ı t

( 0  )

ı

(
1
0 M e

0

)t

.


Vậy g(t) là hàm gốc.
t

Do g(t) f (ı ) nên g '(t)

dı

G(s) L[g(t)] thì

f (t) , nếu
đặt

0

F (s) L[ f (t)] L[g '(t)] sG(s) .
Do vậy

G(s) 
(s)

F

hay L  f (ı )   F (s)


0
s.
dı

t

s

t

sin u

f (t) Si(t) 

Ví dụ 1.14. Tìm biến đổi Laplace
của

0

Lời giải. Do

sin t 

L





( )

L Si t



du .

u

 arctan
s arctan nên ta có
1



 t  2

s

1
1
 1  sin t
arctan

L
du
L

với Re s 0 .








u
t
s
s
0
 s

t
 sin
u

Định nghĩa 1.2. Cho hai hàm số
của f (t) và g(t) kí hiệu
là

f*
g(t)

f (t) và g(t) liên tục từng khúc. Tích chập
được định nghĩa là



f * g(t)   f (ı)g(t 

ı)dı.

f (ı)
0

Trường hợp đặc biệt, nếu f (t) và g(t) thoả mãn 
g(t ı)
0
t

f * g(t) f (ı)g(t ı)dı.
0

Tích chập có tính chất giao hoán, nghĩa là f * g(t) g * f (t) .
Thật vậy, 
f * g(t)

t

f ()d
ı)g(t
ı
ı 

t

f (t

ı

()ıf

)d (t ı)

khi ı0
khi ı
t

thì