Lý thuyết Jacobian xấp xỉ và ứng dụng

LỜI CẢM ƠN
Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2
dưới sự hướng dẫn của GS.TSKH Nguyễn Xuân Tấn.
Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới GS.TSKH Nguyễn
Xuân Tấn. Sự giúp đỡ và hướng dẫn tận tình song rất nghiêm túc của
thầy trong suốt quá trình làm luận văn đã giúp tác giả trưởng thành
hơn rất nhiều trong cách tiếp cận một vấn đề mới.
Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn tới Ban giám hiệu trường
ĐHSP Hà nội 2, Phòng sau đại học, các thầy cô giáo giảng dạy chuyên
nghành Toán giải tích, Sở GD-ĐT Bắc Ninh, Trường THPT Lý NHân
Tông, gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã giúp đỡ, động viên và tạo mọi
điều kiện thuận lợi trong suốt quá trình tác giả học tập và hoàn thành
bản luận văn này.

Hà Nội, tháng 12 năm 2011

Tác giả
Nguyễn Văn Hùng


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan Luận văn là công trình của nghiên cứu của riêng tôi.
Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa thành quả khoa học
của các nhà khoa học và đồng nghiệp với sự trân trọng và biết ơn.

Hà Nội, tháng 12 năm 2011

Tác giả
Nguyễn Văn Hùng

Mục lục

Mở đầu

4

Chương 1. HÀM KHẢ VI

8

1.1. Hàm khả vi từ R → R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.2. Hàm khả vi từ Rn → R . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.2.1. Các định nghĩa và tính chất . . . . . . . . . . . . .

8

1.2.2. Các phép tính của đạo hàm . . . . . . . . . . . . .

12

1.3. Hàm khả vi từ Rn đến Rm . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.3.1. Các định nghĩa và tính chất . . . . . . . . . . . . .

13

1.3.2. Các phép tính của đạo hàm . . . . . . . . . . . . .

15

1.4. Ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

Chương 2. JACOBIAN XẤP XỈ

17

2.1.

Định nghĩa và tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

2.2.

Các phép tính của Jacobian xấp xỉ. . . . . . . . . . . . . .

28

2.3.

Jacobian xấp xỉ của hàm vectơ. . . . . . . . . . . . . . .

38

2.4.

Hessian xấp xỉ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50

Chương 3. ỨNG DỤNG CỦA JACOBIAN XẤP XỈ

56

3.1. Bài toán tối ưu tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56

3.2. Các loại bài toán tối ưu . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58

3.3. Bài toán tối ưu không ràng buộc . . . . . . . . . . . . . .

59

3.4. Bài toán tối ưu có ràng buộc . . . . . . . . . . . . . . . . .

61

3.5. Điều kiện tối ưu cấp hai của bài toán tối ưu vectơ . . . . . 65
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78


MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Vào nửa sau thế kỉ XVII, đồng thời và độc lập, nhà toán học
người Đức là Leibniz và nhà toán học người Anh là Newton đã phát
minh ra phép tính vi phân, một công cụ đắc lực để giải quyết nhiều bài
toán trong vật lý, cơ học, hoá học, kỹ thuật,. . . Nhưng phép tính vi
phân mà Leipniz và Newton phát minh ra chỉ áp dụng được cho các
lớp hàm có tính chất khá tốt.
Một vấn đề đặt ra là đối với các hàm không khả vi, vì đạo hàm
của chúng không tồn tại nên có thể thay thế khái niệm đạo hàm
bằng khái niệm khác được không? Đây là vấn đề nghiên cứu của nhiều
nhà toán học vào nửa cuối thế kỷ thứ XX. Từ đó môn giải tích không
trơn ra đời. Môn học này đã giải quyết các bài toán trên các lớp hàm
không có đạo hàm theo nghĩa thông thường bằng cách đưa ra các khái
niệm dưới vi phân khác nhau để thay thế khái niệm đạo hàm, tại một
điểm cho trước hàm được xấp xỉ bằng một họ các hàm tuyến tính. Nhờ
đó mà giải tích không trơn đã đem lại nhiều kết quả sâu sắc trong lý
thuyết tối ưu, giải tích biến phân, phương trình vi phân, cơ học và lý
thuyết điều khiển.
Trong những năm gần đây nhiều nhà nghiên cứu về giải tích không
trơn bằng cách tập trung phát triển các dưới vi phân suy rộng đảm bảo
những tính chất tốt cũng như các điều kiện cần và đủ tối ưu đối với
hàm không trơn như: F.H.Clarke, R.T.Rockafellar, B.D.Craven, D.Ralph
và

B.M.Glover,

V.F.Demyanov

và

V.Jeyakumar,

A.D.Loffe,

B.S.Morduchovich và Y.Shao, J.P.Penot,. . . Đối với hàm lồi, chúng ta có
dưới vi phân của hàm lồi. Lý thuyết về dưới vi phân của hàm lồi là
công cụ cơ bản trong việc giải các bài toán cực trị liên quan tới các
hàm lồi. Việc nghên cứu lớp hàm Lipschitz có tầm quan trọng đặc biệt
vì lớp hàm này rất gần với lớp hàm lồi và các


5

hàm khả vi thông thường.
Rất gần đây, với hàm liên tục, V.Jeyakumar và D.T.Luc đã đưa
ra khái niệm mới về dưới vi phân và gọi là Jacobian xấp xỉ. Các khái
niệm này cho ta một công cụ hữu ích để nghiên cứu những bài toán
về hàm liên tục có Jacobian xấp xỉ và cũng có những phép tính khá
tốt, tương ứng với các phép tính của đạo hàm thông thường như phép
lấy tích, tổng, hợp, định lý về giá trị trung bình,. . . Đặc biệt, nhiều
dưới vi phân cũng là Jacobian xấp xỉ, ví như dưới vi phân của hàm
lồi, hàm Lipschitz đã nói ở trên và nhiều dưới vi phân khác như của
Moduchovich, Michel-Penot, Treiman,. . . Vì vậy những kết quả thu
được bằng sử dụng Jacobian xấp xỉ cũng đúng cho các hàm có dưới vi
phân theo nghĩa của nhiều tác giả đã đưa ra. Hơn nữa, khác với

những dưới vi phân đã đề cập đến, Jacobian xấp xỉ ở đây chỉ là tập
đóng không nhất thiết bị chặn hoặc lồi. Nhờ tính không lồi và không
bị chặn mà ta có thể dùng để đặc trưng một số tính chất của hàm
liên tục như tính Lipschitz địa phương, tính lồi, tính đơn điệu,. . . Việc
nghiên cứu Jacobian xấp xỉ đã mở rộng, thống nhất và làm sâu sắc
nhiều kết quả trong giải tích không trơn và tối ưu hoá. Lý thuyết
Jacobian xấp xỉ đang là đề tài được nhiều nhà toán học quan tâm,
nghiên cứu.
Với mong muốn được tìm hiểu kỹ hơn về lý thuyết Jacobian xấp
xỉ, cùng với sự giúp đỡ và hướng dẫn tận tình của GS.TSKH Nguyễn
Xuân Tấn, tôi xin giới thiệu đề tài:
“LÝ THUYẾT JACOBIAN XẤP XỈ VÀ ỨNG DỤNG”
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu của đề tài này là tập trung trình bày có hệ
thống một số kết quả về Jacobian xấp xỉ của một hàm liên tục trong
không gian hữu hạn chiều, trước hết là hàm vô hướng, sau đó là hàm
véctơ dựa trên cơ sở các kết quả mà V.Jeyakumar, D.T.Luc và các cộng sự
nghiên cứu. Lý thuyết tối ưu vô hướng và véctơ được phát triển mạnh
trong những thập


niên cuối thế kỷ 20 và đầu thế kỷ 21 và đã được ứng dụng vào nhiều
lĩnh vực quan trọng của toán học, đặc biệt trong lĩnh vực kinh tế. Trong
những năm gần đây, lý thuyết này vẫn còn là đề tài hấp dẫn đối với
nhiều nhà toán học trong và ngoài nước và vẫn còn đang được quan tâm
nghiên cứu và ứng dụng. Người ta đã mở rộng các kết quả thu được cho
những trường hợp tổng quát hơn như trường hợp ánh xạ véctơ, ánh xạ đa
trị trong những không gian vô hạn chiều.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu lý thuyết Jacobian xấp xỉ và ứng dụng.

- Sử dụng các kết quả và ý tưởng của các tác giả đã công bố trên các
tạp chí để hệ thống lại theo cách hiểu và vận dụng của mình trong các
trường hợp ứng dụng vào các bài toán không trơn trong thực tế.
- Luôn luôn gắn những bài toán trên vào các lĩnh vực ứng dụng trong lý
thuyết tối ưu, điều khiển tối ưu liên quan tới các hàm không trơn, để
tìm ra các kết quả mới trong lĩnh vực này...
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Trước hết tìm hiểu thật kỹ các kiến thức cơ bản thuộc lĩnh vực giải
tích hiện đại liên quan tới hàm véctơ và giải tích đa trị, đặc biệt là
các tính chất của các hàm có Jacobian xấp xỉ.
- Sử dụng các tính chất khác nhau của Jacobian xấp xỉ để tìm các
điều kiện cần và đủ cho việc tồn tại nghiệm của bài toán tối ưu liên
quan tới hàm có Jacobian xấp xỉ và đưa ra các ứng dụng trong các bài
toán thực tế...
- Phân tích đặc thù riêng của từng loại bài toán để tìm ra các
phương pháp khác nhau cho việc áp dụng lý thuyết Jacobian xấp xỉ. Ứng dụng bài toán tối ưu Jacobian xấp xỉ vào một số bài toán khác
trong lý thuyết tối ưu như bài toán điểm cân bằng, bài toán bất đẳng
thức biến phân...


5. Phương pháp nghiên cứu
Dịch, đọc tài liệu, nghiên cứu lý luận, tài liệu chuyên khảo.
Phân tích, tổng hợp kiến thức để phục phục vụ cho mục đích
nghiên
cứu.
6. Những đóng góp mới của đề tài
- Hoàn thành luận văn về đề tài lý thuyết tối ưu Jacobian xấp xỉ và
ứng dụng, dày khoảng 80 trang.
- Tìm ra những ứng dụng có ý nghĩa trong lý thuyết tối ưu liên quan
tới các hàm có Jacobian xấp xỉ.

- Làm rõ, hệ thống các kiên thức về hàm khả vi, Jacobian xấp xỉ, ứng
dụng của Jacobian xấp xỉ.


Chương 1
HÀM KHẢ VI

Trong khoảng ba thập kỷ vừa qua, lý thuyết tối ưu đã thay đổi và
phát triển nhanh chóng nhằm giải quyết kịp thời những bài toán
thường gặp trong thực tế được quy về dạng min f (x), trong đó D
là một tập trong

x∈D

không gian Rn còn f là hàm số xác định trên một tập chứa D. Một lớp
hàm số rất quan trọng trong loại bài toán này là hàm khả vi.

Hàm khả vi từ R → R

1.1.

Cho hàm f : (a, b) ⊂ R → R.
Định nghĩa 1.1.1. Hàm f được gọi là khả vi tại điểm c ∈ (a, b)
nếu tồn tại giới hạn

Số lim
−f (c)

h→0

f (c+h)

lim f (c + h) − f
( c) h
h→0
,
được gọi là đạo hàm của hàm f tại c, kí hiệu f / (c) .

h

Định nghĩa 1.1.2. Nếu hàm f khả vi tại mọi điểm x ∈ (a, b) thì ta
nói f
khả vi trong (a, b) .
1.2.

Hàm khả vi từ Rn → R

1.2.1. Các định nghĩa và tính chất
Cho U là tập mở trong Rn, hàm f : U → R, a = (a1, a2, ..., an)
∈ U. Ta kí hiệu L (Rn, R) là không gian các hàm tuyến tính liên tục
từ Rn vào R.
Định nghĩa 1.2.1. Hàm f được gọi là khả vi tại điểm a nếu tồn
tại một hàm tuyến tính liên tục L ∈ L (Rn, R) sao cho
f (a + h) − f (a) = L (h) + ε (h) "h" ,


9

trong đó h = (h1, h2, ..., hn) ∈ Rn, ε (h) → 0 khi h → 0.
Hàm tuyến tính L được gọi là đạo hàm của f tại a, kí hiệu là f /(a)

hay
Df (a).
Hàm f được gọi là khả vi trong U nếu nó khả vi tại mọi điểm x ∈ U.
Từ định nghĩa ta có thể chứng minh được các định lí sau
Định lí 1.2.1. Nếu f khả vi tại a thì đạo hàm tương ứng được xác
định duy nhất.
Định lí 1.2.2. Nếu f khả vi tại a thì f liên tục tại a.
Định nghĩa 1.2.2. Ta nói f khả vi theo hướng v ∈ Rn tại a nếu
tồn tại giới hạn
lim f (a + tv) − f
(a) t
t↓0
.
Khi đó giới hạn này được gọi là đạo hàm của hàm f theo hướng v tại a,
kí hiệu là f /(a, v).
Trong trường hợp đặc biệt v là một vectơ trong cơ sở chính tắc
{e1, e2, ..., en} của không gian Rn ta có khái niệm sau:
Định nghĩa 1.2.3. Nếu f /(a, ei) tồn tại thì được gọi là đạo hàm
riêng thứ
i của hàm f tại a, hay đạo hàm riêng theo biến xi của hàm f tại a và
kí
∂f
hiệu là
(a) hay Dif (a) hoặc (a) .
∂
x

i

/

x
f
i
Ta có mối quan hệ giữa đạo hàm, đạo hàm riêng và đạo hàm

theo hướng như sau:
Định lí 1.2.3. Nếu hàm f khả vi tại a thì f có đạo hàm riêng theo
mọi
biến a và

. (a) h , trong đó h =
(h
f
∂f (a) (h) =
n

/

, h , ...,
h

1
i=1

2

) ∈ Rn.
n

∂xi
i

Từ định lí này ta suy ra f /(a) là hàm tuyến tính được xác định bởi
1
∂f
ma trận .
∂
x


(a) ,

∂f

10

(a) , .
∂f
..,

(a). và như vậy cũng có thể xem f

(a)
như một vectơ của không gian Rn gọi là vectơ gradient của f tại a,
thường kí hiệu là ∇f (a).
∂xn
2

∂

x

/


Định lí 1.2.4. Nếu hàm f có các đạo hàm
∂f
riêng

(x) ,

(x) , ..., (x)

∂x ∂f
1

∂f
∂ n
x

∂x

2
trong một lân cận nào đó tại điểm a và chúng là các hàm
số liên tục tại
a

thì hàm f khả vi tại a và
n.
/

f
(a)
(h)
=
(a) h , trong đó h =
∂f
(h

1
i=1

) ∈ Rn.

, h , ...,
h
2

n

∂xi
i

Định lí 1.2.5. Nếu hàm f khả vi tại a thì nó có đạo hàm theo mọi
hướng tại a và
f /(a, v) = f /(a) (v) = (∇f (a), v) (v1, v2, ..., vn) ∈ Rn.
Cho U là tập mở trong Rn, hàm f : U → R, a = (a1, a2, ..., an) ∈ U.
Giả sử Dif (x) tồn tại với mọi x ∈ U . Như thế ta có ánh xạ
Dif : U → R, x ›→ Dif (x) .
Định nghĩa 1.2.4. Nếu hàm Dif có đạo hàm riêng theo biến thứ j
tại a

thì đạo hàm này được gọi là đạo hàm riêng cấp hai của f tại a theo biến
2
thứ i và thứ j hay theo các biến xi và xj , kí hiệu là Dijf (a) hay∂ (a).
f

∂xi∂xj

Định lí 1.2.6.(Định lí
Schwarz)

Cho U là tập mở trong Rn, hàm f : U → R, a = (a1, a2, ..., an) ∈ U.
Nếu
2

∂
f i∂xj
∂x

và

∂
f2
∂xj ∂xi

tồn tại trên U và liên tục tại a thì ta có
∂2 f (a)
=
∂xi∂xj

biến.

∂2f
∂xj
∂xi

(a).


Bằng
quy
nạp
ta có
thể
định
nghĩa
đạo
hàm
riêng
các
cấp
theo
các
Áp dụng liên tiếp định lí 1.2.6 ta suy ra nếu f có các đạo hàm riêng liên
∂p
tf ục đến cấp k trên U thì các đạo hàm riêng
(a) (p ≤ k)
không
∂xi1 ∂xi2 ...∂xip

phụ thuộc vào thứ tự các biến lấy đạo hàm. Chúng luôn được viết

dưới
∂
f
dạng chính tắc:∂xα ∂x|α|
, , ..., ) là bộ n số nguyên
...∂x
α2
αn (a), với α =
1
α2 αn
(α1
1

n

2

không âm , |α| = α1 + α2 + ... + αn = p.
Giả sử f khả vi trong U . Khi đó ta có ánh xạ
f

/

: U → L (Rn, R) , x → f /(x).


11

Định nghĩa 1.2.5.
i) Hàm f gọi là khả vi liên tục hay thuộc lớp C 1 trên U, kí hiệu là f ∈

C1(U ), nếu f / liên tục.
ii) Hàm f gọi là khả vi cấp hai tại a nếu f / khả vi tại a, tức là tồn tại
một ánh xạ tuyến tính B : Rn → L (Rn, R) sao cho
f /(a + h) − f /(a) − B(h) = ε(h) "h" ,
trong đó h = (h1, h2, ..., hn) ∈ Rn, ε (h) → 0 khi "h" → 0.
Ánh xạ B nếu tồn tại là duy nhất và được gọi là đạo hàm của f / tại a
hay đạo hàm cấp hai của f tại a, kí hiệu là f //(a) hay D2f (a).
iii) Hàm f gọi là khả vi cấp hai trên U nếu f khả vi cấp hai tại mọi x ∈
U.
Khi đó nếu ánh xạ f // : x → f //(x) là liên tục thì f được gọi là khả vi
cấp hai liên tục hay thuộc lớp C 2 trên U, kí hiệu là f ∈ C2(U ).
Định lí 1.2.7. Giả sử f khả vi cấp hai tại a. Khi đó f //(a) là ánh xạ
song tuyến tính đối xứng từ Rn × Rn vào R.
Bằng quy nạp ta có thể định nghĩa hàm khả vi cấp p, đạo hàm cấp
p của f tại a, kí hiệu là f

(p)

(a) hay D(p)f (a); hàm khả vi liên tục cấp

p hay thuộc lớp C p trên U . Nếu f khả vi cấp p tại a thì f (p)(a) là ánh
xạ p-tuyến
tính đối xứng từ Rn × Rn × ... × Rn vào R. Khi f khả vi cấp p tại a, ta
sẽ
s
¸p¸
x
p
p
viết D f (a)(h ) thay cho việc viết Dp f (a)(h, h, .. ., h).

s ¸p¸ x
Định lí 1.2.8. Giả sử f khả vi cấp hai tại a. Khi đó f có tất cả các
đạo hàm riêng tại a và
n

f //(a)(h, k) =
.

∂
f

i,j=1

2

∂xi∂xj

(a)h k .

i j

Như vậy f //(a) được xác định bởi ma trận vuông cấp n:

∂ 2f
∂
(a), ..., 2 (a) 
f

∂x21

∂x1∂xn


12

 ...........................
2
2
∂ f

∂x1∂xn

∂ f

(a), ..., ∂xn2 (a)


,


ma trận này gọi là ma trận Hessian của f tại a.
Tổng quát hơn ta có:
Định lí 1.2.9. Giả sử f khả vi cấp p tại a. Khi đó f có tất cả các
đạo hàm riêng cấp p tại a và
(p)
p
f
. (a)(h ) =

∂

|α|

(a)h
(h

f
∂x
|α|=p

α1

...∂x

αn

α1

...hαn, với h =

1
n

,) h , ..., h
1

2

n

Rn .
∈

n

1

1.2.2. Các phép tính của đạo hàm
Các phép tính đối với hàm khả vi dưới đây cho phép ta tính
được đạo hàm của các hàm phức tạp thông qua đạo hàm của các hàm
đơn giản và tính được gần đúng giá trị của đạo hàm.
1. Phép nhân vô hướng
Định lí 1.2.10. Giả sử f : U → R khả vi tại a, λ ∈ R. Khi đó hàm
λf
cũng khả vi tại a và
/

(λf ) (a) = λf / (a) .
2. Phép
cộng
Định lí 1.2.11. Giả sử các hàm f, g : U → R khả vi tại a. Khi đó
hàm
f + g khả vi tại a và
/

(f + g) (a) = f / (a) + g/ (a) .
3. Định lí về giá trị trung bình
Ta gọi một đoạn trong Rn với hai đầu mút a, b ∈ Rn là tập hợp
[a, b] := {ta + (1 − t) b, 0 ≤ t ≤ 1} .
Định lí 1.2.12. Giả sử U là một tập mở trong Rn, [a, b] là một

đoạn chứa trong U và f : U → R là một hàm khả vi trên U. Khi đó
tồn tại c ∈ [a, b] sao cho
f (b) − f (a) = f / (c) (b − a) .
4. Đạo hàm hàm hợp


Định lí 1.2.13. Cho U là một tập mở trong Rn, hàm f : U → Rm
với


f = (f1, f2, ..., fn). Giả sử với mỗi i = 1, 2, ..., m hàm fi khả vi tại a
∈ U, V là tập mở chứa f (a) trong Rm, hàm g : V → R khả vi tại f
(a). Khi đó hàm h = g◦f : U → R khả vi tại a và
/

/

h/(a) = g/ (f (a)) .f (a) , f (a) , ..., f / (a). .
1

2

(1.2.1)

m

(Vế phải của (1.2.1) là:
/

/

D
g (f (a)) .f (a) + D2g (f (a)) .f (a) + ... + Dmg (f (a)) .f
/ 1
(a)).
1

2

m

5. Công thức Taylor
Định lí 1.2.14. Cho U là một tập mở trong Rn, f : U → R,
a = (a1, a2, ..., an) ∈ U. Giả sử f khả vi cấp k − 1 trên U và khả vi
cấp k
tại a. Khi đó với mọi h ∈ Rn với "h" khá nhỏ ta có
. 2.
1 2
1
D
f
(a)
h + ...+
Df (a) (h)
f (a + h) = f
+
2!
(a) +
1!
1

. .
k
+ Dk f (a) hk + "
o .h ..
k!
"

1.3.

Hàm khả vi từ Rn đến Rm
Trong mục này ta sẽ trình bày các khái niệm và các kết quả

được mở rộng từ hàm vô hướng khả vi cho hàm vectơ khả vi.
1.3.1. Các định nghĩa và tính chất
Cho U là tập mở trong Rn, f : U → Rm là hàm vectơ, f =
(f1, f2, ..., fm), a ∈ U. Ta kí hiệu L(Rn, Rm) là không gian các ánh xạ
tuyến tính liên tục từ Rn vào Rm.
Định nghĩa 1.3.1. Hàm f được gọi là khả vi tại điểm a nếu tồn
tại một ánh xạ tuyến tính liên tục L ∈ L(Rn, Rm) sao cho
"f (a + h) − f (a) − L (h)" = o ("h")


hay là "f (a + h) − f (a) − L (h)" = ε (h) "h" ,
trong đó h = (h1, h2, ..., hn) ∈ Rn, ε (h) → 0 khi "h" → 0. Ánh xạ
tuyến tính L được gọi là đạo hàm của f tại a, kí hiệu là f /(a) hay Df
(a).
Hàm f được gọi là khả vi trong U nếu nó khả vi tại mọi điểm x ∈ U.
Định lí 1.3.1. Nếu f khả vi tại a thì đạo hàm tương ứng được xác
định duy nhất.
Định lí 1.3.2. Nếu f khả vi tại a thì f liên tục tại a.

Ta có điều kiện cần và đủ về tính khả vi của hàm f như sau:
Định lí 1.3.3. Hàm f khả vi tại a khi và chỉ khi các hàm thành
phần
.
.
fi i = 1, m khả vi tại a. Khi đó Df (a) = (Df1(a), Df2(a), ...,
Dfm(a)) .
Từ đây ta suy ra ma trận của ánh xạ tuyến tính Df (a) là:


D1f1(a) D2f1(a) ... Dnf1(a)
 D1f2(a) D2f2(a) ... Dnf2(a)



.
................................................... 

D1fm(a) D2fm(a) ... Dnfm(a)
Ma trận này gọi là ma trận Jacobi của hàm f tại a, kí hiệu là Jf (a).
Cũng như hàm vô hướng ở trên, đối với hàm vectơ ta cũng có các khái
niệm được định nghĩa tương tự như: hàm khả vi cấp p; đạo hàm cấp
p; hàm khả vi liên tục cấp p và nếu f khả vi cấp p tại a thì f

(p)

(a) là

ánh xạ
p-tuyến

tính từ Rn × Rn × ... × vào Rm.
n
R
s
¸p¸
x
Bây giờ ta lấy v ∈ Rm bất kì và định nghĩa hàm vf : Rn → R
sau: như
m

(vf ) (x) := (v, f (x)) =

.

vifi (x).

i=1

Rõ ràng rằng nếu f khả vi tại a thì vf cũng khả vi tại a. Khi đó dựa
vào định lí 1.1.5 ta có:
Nhận xét 1.3.1.


/

/

(vf ) (a, u) = .(vf ) (a) , u. = .f /(a)(u), v. ∀v ∈ Rm, u ∈ Rn.

1.3.2. Các phép tính của đạo hàm
Ta cũng có các phép tính về đạo hàm của hàm vectơ tương tự
như đối với hàm vô hướng.

1.4.

Ứng dụng
Trong phần này ta sẽ ứng dụng đạo hàm để đưa ra các điều

kiện cực trị cho lớp bài toán trơn.
Cho bài toán:
min f (x)

(P )

x∈D

trong đó f : Rn → R (gọi là hàm mục tiêu), D ⊂ Rn (gọi là hàm
ràng buộc).
Định nghĩa 1.4.1. Điểm x0 ∈ D được gọi là cực tiể. u đ. ịa phương
của (P) nếu tồn tại một lân cận U của x0 sao cho f x0 ≤ f (x) ∀x
∈ U ∩ D.
Điểm x0 ∈ D được gọi là điểm cực tiểu toàn cục của (P) nếu ta
có
f (x0) ≤ f (x), ∀x ∈ D.
Dưới đây ta sẽ đưa ra các điều kiện cần và đủ tối ưu cho bài
toán không có ràng buộc và bài toán với ràng buộc bất đẳng thức.
1.4.1. Bài toán trơn không có ràng buộc
Xét bài toán:
min f (x)

x∈Rn

(P 1)

Ta
có:
Điều kiện cần: Giả sử hàm f khả vi tại x0; x0 là điểm cực tiểu địa
phương của (P1). Khi đó, Df .x0. = 0.
Các điểm thỏa mãn Df .x0. = 0 gọi là điểm dừng.
Điều kiện đủ: Giả sử trong một lân cận nào đấy của điểm dừng x0
hàm
f khả vi cấp hai
và0 tất2 cả các đạo hàm
riêng cấp hai0 liên tục tại x0.
2
n
Khi đó, nếu D f .x . .h . > 0 ∀h ∈ R , h ƒ= 0 thì x là cực tiểu địa
phương
của bài toán (P1).


1.4.2. Bài toán trơn với ràng buộc bất đẳng thức
Xét bài toán:
min f (x)

(P 2)

x∈D

.
.
Trong đó D = x ∈ Rn : φi (x) = 0, i = 1, m ; các hàm f, φi : Rn →
R.
Với các bài toán có ràng buộc, một công cụ hữu ích được sử dụng rộng
rãi khi nghiên cứu là hàm Lagrange.
Hàm Lagrange của bài toán (P2) được thiết lập như sau:
L (x, λ) := f (x) + λ1φ1 (x) + ... + λmφm (x) (λ = (λ1, λ2, ..., λm)
∈ R m) .
Khi đó bài toán (P2) được đưa về bài toán tối ưu không ràng buộc
với hàm mục tiêu là hàm Lagrange. Ta có điều kiện cần của bài toán
(P2) như sau:
Điều kiện cần: Giả sử x0 là cực tiểu địa phương của (P2); hàm
.
.
f và mọi hàm φi i = 1, m khả vi liên tục trong một lân cận của
. 0.
. 0.
. 0.
0
x và Dφ1 x , Dφ2 x , ..., Dφm x độc lập tuyến tính. Khi đó,
tồn tại λ∗ =
(λ∗, λ∗, ..., λ∗ ) sao cho:
1

m

2

x.

L x
/

,

0

λ

= 0 hay
.
∗ Df

+ λ∗Dφ1
. . .
x0 x0
.

+ ... + λ∗ Dφm
. 0.
x
m

1
0

= 0.

0

1.

2
0
0

Điểm x ∈ D gọi là điểm dừng ứng với giá trị λ = λ , λ ,
..., λ0
. 0 0.
= 0.
/x x , λ
L
Khảo sát các điểm dừng ta thu được điều kiện đủ sau:

m.

nếu

Điều kiện đủ: Giả
sử trong một lân cận nào đó của điểm dừng x0
0
ứng với giá trị λ , hàm f và mọi hàm φi .i = 1, m. khả vi cấp hai và
có// tất
2
cLả các đạo hàm riêng cấp hai liên tục tại x0. Nếu
x
λ0, . .h . > 0
x.
∀h ∈ Rn, h ƒ= 0, thì x0 là điểm cực tiểu địa phương của

(P2).


Chương 2
JACOBIAN XẤP XỈ

Trong chương này, trước tiên ta đưa ra các khái niệm ma trận
Jacobian xấp xỉ, để xấp xỉ các hàm số và hàm vectơ không trơn. Khái
niệm này đã được Jeyakumar và Đinh Thế Lục đưa ra khoảng 15 năm
trở lại đây và đang được ứng dụng rộng rãi trong lý thuyết tối ưu liên
quan tới các hàm liên tục. Sau đó, ta đi nghiên cứu các tính chất và các
phép tính cho Jacobian xấp xỉ. Đồng thời ta cũng chỉ ra dưới vi phân của
hàm lồi và dưới vi phân Clarke, dưới vi phân Michel-Penot của hàm
Lipschitz địa phương đều là các Jacobian xấp xỉ. Điều đó cho thấy những
kết quả nhận được với Jacobian xấp xỉ là tổng quát hơn các kết quả đã
biết trong giải tích lồi và giải tích Lipschitz, như tính chất cực trị và
định lý giá trị trung bình. Cuối cùng, ta đưa ra khái niệm Hessian xấp xỉ
của hàm khả vi liên tục cùng với công thức Taylor, chúng sẽ được sử
dụng cho việc nghiên cứu bài toán tối ưu ở chương sau.

2.1.

Định nghĩa và tính chất

Cho hàm thực mở rộng f : Rn → R, ở đây R = R ∪{±∞}. Cho x ∈
Rn,
|f (x)| < +∞. Trong phần này, không giảm tổng quát ta xem hàm f là
liên tục. Khái niệm Jacobian xấp xỉ được định nghĩa thông qua khái
niệm đạo
hàm Dini trên, dưới theo hướng của hàm f . Ta nhắc lại:

Định nghĩa 2.1.1. Đạo hàm Dini trên (dưới) của hàm f theo
hướng
v ∈ Rn tại x, kí hiệu là f +(x, v) (f −(x, v)) được xác định như sau:
d

d

f ( x + t v ) − f ( x)
f d+(x, v) := lim sup
t↓0
t
(f −(x, v) :=
lim inf

f (x + tv ) − f ( x )

).


d

t↓0

t


18

Nhận xét 2.1.1. Trong trường hợp f
đạo hàm

−

(x, v) = f

d

+

d

theo hướng v tại x và
f ′(x, v) = f
(x)
.

−

(x, v) = f

d

+

(x, v) thì f có

(x, v) = lim

d

f (x + tv) − f

t

t↓0

Định nghĩa 2.1.2. Ta nói hàm f có một Jacobian xấp xỉ trên
(dưới)
n
∂∗ f (x) (∂∗f (x)) tại x nếu: ∂∗ f (x) n (∂∗f (x) ⊂ ) là tập đóng và với
⊂R
R
n
mỗi v ∈ R có:
, v)
fd−(x, v) ≤ sup
(x∗
(f

+

d

x∗ ∈∂∗f (x)

(x, v) ≥ inf

(x∗, v)).

x∗∈∂∗ f (x)

Định nghĩa 2.1.3. Ta nói hàm f có một Jacobian xấp xỉ ∂xf (x) tại x
nếu
∂xf (x) đồng thời là Jacobian xấp xỉ trên và Jacobian xấp xỉ dưới của f
tại
x.
Điều này có nghĩa : ∂xf (x) ⊂ Rn là tập hợp đóng và với mỗi v ∈ Rn có:
(x, v) ≤ sup
f (x∗
−
d

, v) và f

+

(x, v) ≥

, v) .

(2.1)

(x∗

inf

x∗∈∂xf
(x)

x∗∈∂xf (x)

d

Nếu với mỗi x ∈ Rn, ∂xf (x) là một Jacobian xấp xỉ của f tại x thì ánh
xạ đa trị ∂xf : x ›→ ∂xf (x) được gọi là ánh xạ Jacobian xấp xỉ của f
.
Nhận xét 2.1.2. Với các định nghĩa trên ta dễ dàng thấy rằng:
i) Điều kiện (2.1) tương đương với điều kiện:
∀v ∈ Rn : max{f −(x, v), −f +(x, −v)} ≤ s(v|∂xf (x)),
d

d

ở đây s(v|A) := sup (v, ξ) (v ∈ Rn) là hàm tựa của tập A ∈ Rn.
x

ξ∈A

ii) Nếu ∂ f (x) là một Jacobian xấp xỉ của f tại x thì bất kì tập đóng
nào


n

x

19

của R mà chứa ∂ f (x) cũng là Jacobian xấp xỉ của f tại x. Như vậy
nhìn chung Jacobian xấp xỉ của f tại một điểm là không duy nhất.

Ta sẽ minh họa khái niệm trên bằng một số ví dụ và qua đó thấy
rằng Jacobian xấp xỉ không nhất thiết là tập lồi hoặc compact.
Ví dụ 2.1.1. Cho hàm f : R → R xác định bởi:
√
. x
nếu x ≥ 0
√
f (x) =
− −x
nếu x ≤ 0